信号和系统第5章习题答案解析
信号与系统第五章习题答案
∞
n− 6
1 − a n− 5 ε [n − 6 ] 1− a
故系统的零状态响应为
y zs [n ] = f [n] ∗ h[n] = a n ε [n] ∗ (ε [n] − ε [n − 6]) = a n ε [n] ∗ ε [n ] − a nε [n] ∗ ε [n − 6]
联立以上两式可解得： A1 = 1 ， A2 = 2 于是齐次解为
275
y h [n] = (− 3) + 2 n+1
n
5.10
如有齐次差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 4 y[n − 2] = 0 ， 已知 y[0] = y[1] = −2 ， 试求其齐次解。 【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。 【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程，由特征方程求得特征根，代入条件即可求得齐次
λ2 + 3λ + 2 = 0
y zi [n ] = A1 (− 1) + A2 (− 2)
n
n
将初始状态 y[− 1] = −
1 , 2
y[− 2] =
5 代入上式，有： 4
−1 −1
y[− 1] = y zi [− 1] = A1 (− 1) + A2 (− 2 ) = − y[− 2] = y zi [− 2 ] = A1 (− 1) + A2 (− 2 )
−2 −2
1 2 5 = 4
271
联立以上两式可解得： A1 = 2 ， A2 = −3 则系统的零输入响应为
y zi [n ] = 2(− 1) − 3(− 2)
n
n
5.4 设有离散系统的差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 3 y[n − 2] = 4 f [n] + f [n − 1] ，试画出其时域模拟 图。 【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图，掌握直接模拟图的意义。 【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示。 解：时域模拟图如图 5.1
信号与系统习题答案作者王瑞兰第5章
习题五5-1 求下列齐次差分方程的解。
（1）()3(1)0,(0)1y k y k y +-== （2）()2(1)0,(0)3y k y k y --== 5-2 求下列齐次差分方程的解。
（1）()3(1)2(2)0,(1)2,(2)1y k y k y k y y +-+-=-=-= （2）()2(1)(2)0,(1)1,(2)3y k y k y k y y +-+-=-=-=- 5-3 求下列差分方程的零输入响应。
（1）()2(1)(2)()2(2),(0)(1)1y k y k y k f k f k y y +-+-=+-=-= （2）15()3(1)2(2)(),(1),(2)24y k y k y k f k y y +-+-=-=--= 5-4 用经典法求下列差分方程所描述因果离散系统的全响应。
（1）()3(1)2(2)6()y k y k y k f k +-+-=,()(),(1)1,(2)0f k k y y ε=-=-= （2）()4(1)4(2)()y k y k y k f k +-+-=,()2(),(0)0,(1)1k f k k y y ε===- 5-5 求下列差分方程所描述的LTI 离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
(1) ()4(1)4(2)()(1)y k y k y k f k f k +-+-=+-()(),(0)1,(1)2f k k y y ε=== （2）()3(1)2(2)(),y k y k y k f k +-+-=()(),(1)1,(2)0f k k y y ε=-=--=（3）()2(1)(2)(),y k y k y k f k +-+-=1()3(),(1)3,(2)52kf k k y y ε⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭5-6 下列差分方程所描述的系统，若激励()2cos 3k f k π⎛⎫= ⎪⎝⎭,k ≥。
求各系统的稳态响应。
第5章 北邮信号与系统课后习题解答
1 s2
e s 1
（4）
2
(t)
3e 2 t u (t )
2
s
3
2
（5）L
[
1 2a
3
(sin
at
at
cos at)]
1 2a3
(s2
a
a2
a
d ds
( s2
s
a2
))
1 2a2
( s2
1 a2
s2 a2 (s2 a2)2
)
1 (s2 a2)2
1)]
e(s2) s2
其波形题 5-3 解图所示。
f1 (t ) 1
f2 (t) 1
t
1
t
f3 (t) e2
t
f4 (t)
e-2
1
t
5-4 解：
题 5-3 解图
（a）L [ f1(t)] L [E[u(t t1) u(t t1 )] E[u(t t2) u(t t2 )]]
1[ (s2
s 1)2
]
1 2
t
sin
t
由拉氏变换的积分性质
L
1[
(
s
2
2
1)2
]
t
sin d
sin t
t cos t
，t
0
0
或：
s
1 2
1
sin
t
，
(s2
2 1)2
sin t *sin t
sin t t cos t
信号与系统课后习题答案第5章
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统第5章习题答案
第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnT)sn由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1F s ()F()T 2()1 T snFns式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。
可知抽样后信 号的频谱()F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。
如果s2m ，即抽样m 间隔 1 Tsf2m，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。
因此必须要求满足1 Tsf2 m，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)SatSa解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎m斯特速率，最低采样频率s 2称为奈奎斯特频率。
m（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则50)5025 f ， m由抽样定理得：最低抽样频率50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔1 T 。
sf50s2t（2）)Sa(100)(1100200脉宽为400，由此可得radsm200/，则100f，由抽样定理得最低抽样频率m200f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
sf200s（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s(50t)uu50Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低m抽样频率100f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
信号与系统郑君里版第五章
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
信号与系统课后习题答案第5章
yzi(k)=(－2)kε(k)
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第5章 离散信号与系统的时域分析 40
第5章 离散信号与系统的时域分析 41
第5章 离散信号与系统的时域分析 42
第5章 离散信号与系统的时域分析 43
第5章 离散信号与系统的时域分析
(6) 系统传输算子:
22
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.9 已知两序列
试计算f1(k)*f2(k)。
23
解 因为
第5章 离散信号与系统的时域分析
所以
24
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.10 已知序列x(k)、y(k)为
试用图解法求g(k)=x(k)*y(k)。
25
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 首先画出y(k)和x(k)图形如题解图5.10所示, 然后结合 卷积和的图解机理和常用公式,应用局部范围等效的计算方法 求解。
题解图 5.10
26
第5章 离散信号与系统的时域分析 27
总之有
第5章 离散信号与系统的时域分析
28
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.11 下列系统方程中，f(k)和y(k)分别表示系统的输入和输 出，试写出各离散系统的传输算子H(E)。
29
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 由系统差分方程写出传输算子H(E)如下:
解 各序列的图形如题解图5.2所示。
题解图 5.2
5
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.3 写出题图 5.1 所示各序列的表达式。
题图 5.1
6
第5章 离散信号与系统的时域分析 7
第5章 离散信号与系统的时域分析
《信号与系统》第五章基本内容示例(含答案)
e−4t
sin(0t)
(t)
（2）ℒ
(2t
−
5)
=
1
−5s
e2
s
（3）ℒ-1
1 1− e−s
=
k =0
(t
−
k)
（4）ℒ
cos(3t − 2) (3t − 2) =
s
2
s +
9
−
e
2 3
s
（5）ℒ
e−t (t)
− e−(t −3)
(t
−
3)
=
s
1 (1− +1
e−3s )
（6）ℒ-1
1 2
2. 已知系统的 H (s) = s +1 ，画出系统的零、极点分布图。
(s + 2)2 + 4
六、简单计算下列式子
ℒ 1、
-1
(s
+
0 4)2
+
02
2、ℒ (2t − 5)
ℒ-1
3、
1
1 − e−
s
4、ℒ cos(3t − 2) (3t − 2)
ℒ 5、 e−t (t) − e−(t −3) (t − 3)
系统并联后的复合系统的系统函数为（ ）。
A ． H1(s) + H2 (s)
B ． H1(s) H2(s)
C．无法确定
D． H1(s) // H2(s) 14、若 f (t) 1 ，Re[s] −3 ，根据终值定理，原函数 f (t) 的终值为
s+3
（ ）。
A．无穷小
B．无穷大
C． 1 D． 0
X (s) = F(s) + s X (s) + s2 X (s)
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第5章 连续时间信号的抽样与量化5.1 试证明时域抽样定理。
证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为∑∞-∞=-=n sT nT t t )()(δδ由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：[])()(21)(ωδωπωT s F F *=()[]∑∞-∞=-=n ssn F T ωω1式中)(ωF 为原信号)(t f 的频谱，)(ωδT 为单位冲激序列)(t T δ的频谱。
可知抽样后信号的频谱)(ωs F 由)(ωF 以 s ω为周期进行周期延拓后再与s T 1相乘而得到，这意味着如果m s ωω2≥，抽样后的信号)(t f s 就包含了信号)(t f 的全部信息。
如果m s ωω2<，即抽样间隔ms f T 21>，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。
因此必须要求满足ms f T 21≤，)(t f 才能由)(t f s 完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）)50(t Sa（2）)100(2t Sa（3） )100()50(t Sa t Sa +（4）)60()100(2t Sa t Sa +解：抽样的最大间隔m s f T 21=称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率m s f f 2=称为奈奎斯特速率，最低采样频率m s ωω2=称为奈奎斯特频率。
（1）)]50()50([50)50(--+↔ωωπu u t Sa ，由此知s rad m /50=ω，则π25=m f ，由抽样定理得：最低抽样频率π502==m s f f ，奈奎斯特间隔501π==s s f T 。
（2）)2001(100)100(2ωπ-↔t Sa 脉宽为400，由此可得s rad m /200=ω，则π100=m f ，由抽样定理得最低抽样频率π2002==m s f f ，奈奎斯特间隔2001π==s s f T 。
（3）)]50()50([50)50(--+↔ωωπu u t Sa ，该信号频谱的s rad m /50=ω)]100()100([100)100(--+↔ωωπu u t Sa ,该信号频谱的s rad m /100=ω)100()50(t Sa t Sa +信号频谱的s rad m /100=ω,则π50=m f ，由抽样定理得最低抽样频率π1002==m s f f ，奈奎斯特间隔1001π==s s f T 。
（4）)]100()100([100)100(--+↔ωωπu u t Sa ,该信号频谱的100=m ω)1201(60)60(2ωπ-↔t Sa ，该信号频谱的s rad m /120=ω 所以)60()100(2t Sa t Sa +频谱的s rad m /120=ω, 则π60=m f ，由抽样定理得最低抽样频率π1202==m s f f ，奈奎斯特间隔1201π==s s f T 。
5.3 系统如题图 5.3所示，)1000()(1t Sa t f π=，)2000()(2t Sa t f π=，∑∞-∞=-=n nT t t p )()(δ，)()()(21t ft f t f =，)()()(t p t f t f s =。
（1）为从)(t f s 中无失真地恢复)(t f ，求最大采样间隔max T 。
（2）当max T T =时，画出)(t f s 的幅度谱)(ωs F 。
题图 5.3解：（1）先求)(t f 的频谱)(ωj F 。
)]1000()1000([10001)()1000()(11πωπωωπ--+=⇒=u u j F t Sa t f )(1t f)(t f时域相乘时域抽样)(2t f)(t p)(t f s)]2000()2000([20001)()2000()(22πωπωωπ--+=⇒=u u j F t Sa t f )]}3000()1000()[3000()]1000()1000([2000)]1000()3000()[3000{(1041)]2000()2000((20001))1000()1000((10001[21)()(21)(621πωπωπωπωπωππωπωπωππωπωπωπωπωωπω---+-+--+++-++⨯⨯=--+*--+=*=-u u u u u u u u u u j F j F j F由此知)(ωj F 的频谱宽度为π6000，且s rad m /3000πω=，则Hz f m 1500=，抽样的最大允许间隔s f T m 3000121max ==（2）∑∞-∞=-=n nT t t p )()(δ，所以为用冲激序列对连续时间信号为)(t f 进行采样，设原输入信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，而单位冲激序列的频谱密度为：∑∞-∞=-=n s n Tp )(2)(ωωδπω 其中Ts πω2=则根据频域卷积定理得抽样信号)(t f s 的频谱为：∑∞-∞=-==n s s n F T p F F )(1)](*)([21)(ωωωωπω而max T T =，则s rad T s /6000230002maxπππω=⨯==，幅度谱如下图所表示。
5.4 对信号)()(t u e t f t-=进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。
解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：ωωj j F +=11)(其幅度频谱和相位频谱分别为211)(ωω+=j Fωωϕarctan )(-=单边非因果指数函数的波形)(t f 、 幅度谱)(ωj F 、相位谱)(ωϕ如下图所示，其中1=a 。
单边指数信号的波形和频谱显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。
抽样后的频谱是将原信号频谱以抽样频率s ω为周期进行周期延拓，幅度变为原来的sT 1而得到。
图略。
5.5 题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz 频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的时域波形如何？以图解法说明。
题图 5.5解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。
由此可知，脉宽为τ幅度为E 的三角形脉冲其频谱为2)4(2ωττSa E。
其波形如图所示。
三角函数的频谱在)(t x 中，s ms 1.0100==τ易求得)(t x 的频谱为：2E τ()X j ω4πτ8πτ4πτ-8πτ-ω()ϕω0 50 -50 t /msx (t )2)025.0(05.0)(ωωESa j X =在)(404为整数k k k πτπω⋅==处，)(ωj X 为零，图略。
由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：()[]∑∞-∞=-=n sss n j X T j X ωωω1)(其中s Hzf T s s 05.02011===，s rad f s s /402ππω==。
抽样后的频谱是将三角形频谱以s ω为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的sT 1，可见发生了频谱混叠现象。
5.6 若连续信号)(t f 的频谱)(ωF 是带状的)(21ωω～，利用卷积定理说明当122ωω=时，最低抽样频率只要等于2ω就可以使抽样信号不产生频谱混叠。
证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为[])()(21)(ωδωπωT s F F *=()[]∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n ssn ss n F T n w T F ωωωδπωπ1])(2*)([21抽样后的频谱是以抽样频率s ω为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的sT 1。
由于频谱)(ωF 是带状的且122ωω=，所以当2ωω=s 时频谱不会混叠。
5.7 如题图5.7所示的系统。
求：（1）求冲激响应函数)(t h 与系统函数)(s H ；（2）求系统频率响应函数)(ωH ，幅频特性)(ωH 和相频特性)(ωϕ，并画出幅频和相频特性曲线；（3）激励[])()()(T t u t u t f --=，求零状态响应)(t y ，画出其波形； （4）激励∑+∞=-=)()()(n s nT t nT f t f δ，其中T 为奈奎斯特抽样间隔，)(nT f 为点上)(t f 的值，求响应)(t y 。
题图 5.7解：（1）由图可知()()()[]()t u T t f t f t y *--=两边求拉氏变换可得()()()se s F s Y Ts--=1所以()()se s H Ts--=1（2）图略（3）)(t f 的拉氏变换为()se s F Ts--=1零状态响应得拉氏变换为()()()()221s e s F s H s Y Ts --==求拉氏反变换可得()()()()()()T t u T t T t u T t ut t y 222-++---=（4）由()()se s H Ts--=1可得()()T t u t u t h --=)(而()()()()()()()[]T t u t u nT t nT f t h t f t y sn ss ---==∑+∞=**0δ()()()[]T nT t u nT t u nT f ssn s----=∑+∞=0∑⎰延迟T)(t f+-)(t y。