概率论和数理统计第4章例题
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
概率论与数理统计第四章习题及答案
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。
概率论与数理统计第四章
E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立 与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计第4章练习题
第四章 随机变量的数字特征一、期望29.设二维随机向量（X，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=,,0;x y 0,1x 0,2)y ,x (f 其它且E （X ）=1，则常数x =（ ）21.已知随机变量X 的分布律为则P {X <E （X ）}=____________.20．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E （|X |）=______.7．设随机变量X 服从参数为21的指数分布，则E （X ）=（ ） A.41B.2129.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大29.设某型号电视机的使用寿命X 服从参数为1的指数分布（单位:万小时）. 求:（1）该型号电视机的使用寿命超过t （t >0）的概率; （2）该型号电视机的平均使用寿命.19．设随机变量X ～B (8，，Y=2X-5，则E (Y )=______． 求： (1)常数a ,b ; (2)X 的分布函数F (x )； (3)E (X ).二、方差，则D （X ）＝（ ）,且已知E （X ）=，试求：12F （x ）.7.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） （X ）=，D （X ）= （X ）=，D （X ）= （X ）=2，D （X ）=4（X ）=2，D （X ）=28.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（ ）28．设随机变量X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤-=.,x ,cx x f 其他；）（0222试求：（1）常数c ；（2）E （X ），D （X ）；（3）P {|X -E （X ）| < D （X ）}.7．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（ ） A ．8B ．16C ．28D ．4420.设随机变量X 在区间[0，5]上服从均匀分布，则D （X ）=______________. 21．设E （X 2）=0，则E （X ）=______________.22.已知E （X ）=-1，D （X ）=3，则E （3X 2-2）=____________.E （X ）及D （X ）。
《概率论与数理统计》第04章习题解答
第四章 正态分布１、解：(0,1)ZN（1）{ 1.24}(1.24)0.8925P Z ∴≤=Φ={1.24 2.37}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986P Z <≤=Φ-Φ==-= {2.37 1.24}( 1.24)( 2.37)(1.24)(2.37)0.89250.99110.0986P Z -<≤-=Φ--Φ-=-Φ+Φ=-+=（2）{}0.9147()0.9147 1.37{}0.05261()0.0526()0.9474 1.62P Z a a a P Z b b b b ≤=∴Φ==≥=-Φ=Φ==，，得，，，得2、解：(3,16)XN8343{48}()()(1.25)(0.25)0.89440.59870.295744P X --∴<≤=Φ-Φ=Φ-Φ=-= 5303{05}()()(0.5)(0.75)44(0.5)1(0.75)0.691510.77340.4649P X --<≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 31(25,36){25}0.95442(3,4){}0.95X N C P X C X N C P X C -≤=>≥、（）设，试确定，使；（）设，试确定，使解：（1）(25,36){25}0.9544X N P X C -≤=，{2525}0.9544P C X C ∴-≤≤+=25252525()()0.954466()()2()10.9544666()0.9772,21266C C C C CC CC +---Φ-Φ=-Φ-Φ=Φ-=Φ=∴==即， （2）(3,4){}0.95XN P X C >≥，331()0.95()0.952231.6450.292C CCC ---Φ≥Φ≥-≥≤-即，，4、解：（1）2(3315,575)XN4390.2533152584.753315{2584.754390.25}()()575575(1.87)( 1.27)(1.87)1(1.27)0.969310.89800.8673P X --∴≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= （2）27193315{2719}()( 1.04)1(1.04)10.85080.1492575P X -≤=Φ=Φ-=-Φ=-=(25,0.1492)YB ∴4440{4}(0.1492)(10.1492)0.6664ii i i P Y C -=∴≤=-=∑5、解：(6.4,2.3)X N{}{}1()81(1.055)10.85540.14462.3(85}0.17615 6.451(0.923)(0.923)0.82121()2.3P X P X X P X -Φ>-Φ-∴>>======->-Φ-Φ-Φ6、解：（1）2(11.9,(0.2))XN12.311.911.711.9{11.712.3}()()(2)(1)(2)1(1)0.20.20.977210.84130.8185P X --∴<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 设A ={两只电阻器的电阻值都在欧和欧之间} 则2()(0.8185)0.6699P A ==（2）设X , Y 分别是两只电阻器的电阻值，则22(11.9,(0.2))(11.9,(0.2))X N Y N ，，且X , Y 相互独立[]22212.411.9{(12.4)(12.4)}1{12.4}{12.4)}1()0.21(2.5)1(0.9938)0.0124P X Y P X P Y -⎡⎤∴>>=-≤⋅≤=-Φ⎢⎥⎣⎦=-Φ=-=7、一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从均值160μ=，均方差为的正态分布，若要求{120200}0.80P X <<≥，允许最大为多少解：因为2(160,)XN σ由2001601201600.80{120200}()()P X σσ--≤<<=Φ-Φ从而 40402()10.80()0.9σσΦ-≥Φ≥，即，查表得401.282σ≥，故σ≤8、解：（1）2(90,(0.5))XN8990{89}()(2)1(2)10.97720.02280.5P X -∴<=Φ=Φ-=-Φ=-= （2）设2(,(0.5))X N d由808080{80}0.991()0.99()0.99 2.330.50.50.5d d d P X ---≥≥∴-Φ≥Φ≥≥，，，即 从而d ≥ 9、解：22~(150,3),~(100,4)X Y X N Y N 与相互独立，且则（1）2221~(150(100,3)4)(250,5)W X Y N N =+++=()222222~2150100,(2)314(200,52)W X Y N N =+-⨯+-⨯+⨯=-22325~(125,)(125,(2.5))22X Y W N N +== （2）242.6250{242.6}()( 1.48)1(1.48)10.93060.06945P X Y -+<=Φ=Φ-=-Φ=-= 12551255125522212551251255125()1()(2)1(2)2.5 2.522(2)220.97720.0456X Y X Y X Y P P P ⎧+⎫++⎧⎫⎧⎫->=<-+>+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭--+-=Φ+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ=-⨯=10、解：（1）22~(10,(0.2)),~(10.5,(0.2))X N Y N X Y ，且与相互独立22~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.282))X Y N N ∴--⨯=-0(0.5){0}()(1.77)0.96160.282P X Y ---<=Φ=Φ=（2）22~(10,(0.2)),~(10.5,)X N Y N X Y σ设，且与相互独立222~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.2))X Y N N σ∴--⨯=-+0.90{0}P X Y ≤-<=Φ=Φ由1.28≥，故σ≤11、设某地区女子的身高（以m 计）2(1.63,(0.025))WN ，男子身高（以m 计）2(1.73,(0.05))MN ，设各人身高相互独立。
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章
解：X 的分布函数为依题意，当x <0时，当0≤x ≤2时，当x >2时，F (x )=P (X ≤x )F (x )=P (X ≤x )=0F (x )=P (X ≤x )=P (X <0)+P (0≤X ≤x )=0+kx 2=kx 2F (x )=P (X ≤x )=1例1.一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X 的分布函数.当0≤x ≤2时，F (x )=P (X ≤x )=kx 2另外依题意F (2)=P (X ≤2)=k.22=1所以k 14=x x F x x x 20,0(),0241,2<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩10.80.60.40.2-0.2-2-101234解得说明，存在一个非负可积函数f (x )，使得下式成立易知x x F x x x 20,0(),0241,2<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩x x F x f x ,02()()20⎧≤≤⎪'==⎨⎪⎩其他()()xF x f t dt-∞=⎰1.定义：设随机变量X 的分布函数为F (x )，如果存在一个非负可积函数f (x )，使对任意的实数x ，均有则称X 是连续型随机变量(Continuous Random Variable )，称f (x )是X 的概率密度函数，简称概率密度(Probability Density Function ).()()xF x f t dt-∞=⎰连续型随机变量X的分布函数F(x)和概率密度f(x)统称为X的概率分布，简称X的分布.易知此时分布函数F(x)是连续函数，即连续型随机变量的分布是连续函数.2.概率密度函数的性质（1）f (x ) ≥ 0（2）这两条性质是判定一个函数f (x )是否为某r.v.X 的概率密度函数的充要条件.f (x )xo 面积为1+()1f x dx ∞-∞=⎰（3）P (a <X ≤b )=F (b )-F (a )如 f (x )xo a b （4）()()GP X G f x dx∈=⎰()()b a f x dx f x dx -∞-∞=-⎰⎰()baf x dx =⎰()()a P X a f x dx+∞>=⎰（5）在f (x )的连续点x 处，有f (x )=F '(x )（6）设x 为f (x )的连续点，当∆x 较小，则有P (x< X ≤x+∆x )故X 的密度f (x )在x 这一点的值，恰好是X 落在区间(x ,x +∆x ]上的概率与区间长度∆x 之比.它反映了X 在x 附近单位长区间上取值的概率.x xx f t dt f x x()()+∆=≈⎰∆连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！（7）P (X =x 0)=F (x 0)-F (x 0-0)P (a <X ≤b )=P (a ≤X ≤b )=P (a <X <b )=P (a ≤X <b )密度函数f (x )在某点处a 的函数值f (a )，并不等于X 取值为a 的概率.但是，这个值f (a )越大，则X 在a 附近取值的概率f (a )∆x 就越大.也可以说，在某点密度曲线的函数值反映了概率集中在该点附近的程度，即X 在该点附近取值的密集程度.=0()ba f x dx=⎰=F (b )-F (a )若X 为连续型随机变量，概率密度f (x )唯一确定了分布函数F (x )；若随机变量X 的分布函数F (x )满足：(1)F (x )连续；(2)存在x 1<x 2<…<x n (n ≥0)，除这些点外，F (x )可导，且导函数F '(x )连续；令F x F x f x F x (),()()0,()''⎧=⎨'⎩当存在当不存在则f (x )必是X 的概率密度.例2.设随机变量X 的概率密度为求(1)常数k 的值；(2)X 的分布函数；(3)P (1<X <7/2).解：(1)由解得kx x f x x x ,03()2/2,340,≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他+1()f x dx ∞-∞=⎰3403(2)2x kxdx dx =+-⎰⎰k 16=k 9124=+解:(2)当x <0时，当0≤x <3时，当3≤x <4时，020()()0612x x t x F x f t dt dt dt -∞-∞==+=⎰⎰⎰03203()()0(2)32624x xt t x F x f t dt dt dt dt x -∞-∞==++-=-+-⎰⎰⎰⎰()()0x F x f t dt -∞==⎰求（2）X 的分布函数；()()xF x f t dt-∞=⎰6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他当x ≥4时，所以()()1xF x f t dt -∞==⎰x x x F x x x x x 220,0/12,03()32/4,341,4<⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪≥⎩求（2）X 的分布函数；6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他P X F F 7741(1)()(1)2248<<=-=72723113741(1)()(2)26248x x P X f x dx dx dx <<==+-=⎰⎰⎰求(3)P (1<X <7/2)解:(3)6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他在上例中，当x ∉[0,4]时，f (x )=0，所以P (X ∉[0,4])=0，为了方便，我们说X 只在[0,4]上取值.g x a x b f x ()0,()0,>≤≤⎧=⎨⎩其他我们就说X 只在[a , b ]上取值.一般地，若随机变量X 的概率密度f (x )是如下分段函数：6,03()2/2,340,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他例3.设连续型随机变量X 的分布函数为求(1)常数C 值；(2)X 取值于(0.3,0.7)内的概率；(3)X 的密度函数.解：(1)应用连续型随机变量X 的分布函数的连续性，有所以C =1x F x Cx x x 20,0(),011,1<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩x F F x C11(1)lim ()→-===x x f x F x 2,01()()0,<<⎧'==⎨⎩其他解：20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(2)P (0.3<X <0.7)=F (0.7)−F (0.3)=0.72−0.32=0.4求(2)P (0.3<X <0.7);(3)X 的密度函数.(3)随机变量的分类：离散型随机变量连续型随机变量.非离散型随机变量非连续非离散型随机变量.（1）若随机变量X 的概率密度为1.均匀分布(Uniform Distribution )则称X 在[a , b ]上服从均匀分布，记为X~U [a , b ]1,()0,a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他[,]1a b I b a =-[,][,]1,[,]()0,[,]a b a b x a b I I x x a b ∈⎧==⎨∉⎩区间[a ,b ]上的示性函数类似地，我们可以定义区间[a , b )、(a , b ]和(a , b )上的均匀分布一般地，设D 是数轴上一些不相交的区间之和，若X 的概率密度为x D f x D x D 1()0⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，的长度，则称X 在D 上服从均匀分布.若X ~U [a , b ]，X 的分布函数为对于满足a ≤c <d ≤b 的任意的c 、d ，有0(),1,x a x a F x a x bb a<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪⎩，其他()d c P c X d b a-<≤=-例1.设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量.试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率.解：设该乘客于7时X 到达此站，则X 服从[0, 30]上的均匀分布令B ={候车时间不超过5分钟}1530102511130303dx dx =+=⎰⎰()(1015)(2530)P B P X P X =≤≤+≤≤1030()300x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它2.指数分布(Exponential Distribution )若随机变量X 的概率密度为其中常数λ>0，则称X 服从参数为λ的指数分布.,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩易求得X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩指数分布的另一种等价定义定义：设连续型随机变量X 的概率密度为1,0()0,0x e x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中θ>0为常数，则称X 服从参数为θ的指数分布.服从指数分布的随机变量X 具有以下性质：事实上无记忆性或无后效性(|)()P X s t X s P X t >+>=>(,)(|)()P X s t X s P X s t X s P X s >+>>+>=>()()P X s t P X s >+=>1()1()F s t F s -+=-()s t t s e e e λλλ-+--==1()()F t P X t =-=>1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩即对于任意s , t >0，有如果X 表示某仪器的工作寿命，无后效性的解释是：当仪器工作了s 小时后再能继续工作t 小时的概率等于该仪器刚开始就能工作t 小时的概率.说明该仪器的使用寿命不随使用时间的增加发生变化，或说仪器是“永葆青春”的.(|)()P X s t X s P X t >+>=>一般来说，电子元件等具备这种性质，它们本身的老化是可以忽略不计的，造成损坏的原因是意外的高电压等等.3.正态分布(Normal Distribution )若随机变量X 的概率密度为其中μ, σ均为常数，且σ>0，则称X 服从参数为μ和σ的正态分布.记作X ~N (μ, σ2)正态分布最初由高斯（Gauss ）在研究偏差理论时发现，又叫高斯分布.22()21(),2x f x e x μσσπ--=-∞<<∞X 的分布函数为22()21()2t xF x e dtμσσπ---∞=⎰N (10, 32)0-50.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025正态分布N(μ,σ2)密度函数图形的特点f(x)μa.正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线.f(μ+c)=f(μ−c )特点是“两头小，中间大，左右对称”.b .μ决定了图形的中心位置，称为位置参数；σ决定了图形中峰的陡峭程度，称为形状参数或者刻度参数μ2μ1μ3x f (x )f (x )0xc .在x =μ处达到最大值：1()2f μπσ=d .曲线f (x )向左右伸展时，越来越贴近x 轴，即f (x )以x 轴为渐近线.当x →±∞时，f (x )→0e .x=μ±σ为f (x )的两个拐点的横坐标.说明X 落在μ附件的概率最大，或者说X 的取值在μ附件最密集.22()21(),2x f x e x μσσπ--=-∞<<∞μf (x )年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标——如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.标准正态分布(Standard Normal Distribution )μ=0，σ=1的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用φ(x )和Ф(x )表示：)(x Φ)(x ϕ221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<∞221()2t x x e dt π--∞Φ=⎰注意：Φ(0)=0.5,Φ(-x )=1-Φ(x )若X ~N (0, 1)，对任意的实数x 1，x 2(x 1< x 2)，有人们已编制了Φ(x )的函数表，可供查用.P (X≤x 1)=Φ(x 1)P (X>x 1)=1-Φ(x 1)P (x 1≤X≤x 2)=Φ(x 2)-Φ(x 1)221()2x t x e dt π--∞Φ=⎰−x x Φ(x )x4-40.40.2正态分布的计算()x μσ-=Φ对任意的实数x 1，x 2(x 1< x 2)，有211221()()()()()x x P x X x F x F x μμσσ--<≤=-=Φ-Φ222()()22()22x t xu F x e dt e du μσμσπσπ-----∞-∞==⎰⎰111()()()x P X x F x μσ-≤==Φ111()1()1()x P X x F x μσ->=-=-Φ例2.设X ~N (μ,σ2)，求P (|X −μ|<k σ)的值，k =1, 2, 3.解：当k =1时当k =2时当k =3时(||)()P X k P k X k μσμσμσ-<=-<<+()()F k F k μσμσ=+--()()k k μσμμσμσσ+---=Φ-Φ()()k k =Φ-Φ-()[1()]2()1k k k =Φ--Φ=Φ-(||)2(1)10.6826P X μσ-<=Φ-=(||2)2(2)10.9544P X μσ-<=Φ-=(||3)2(3)10.9974P X μσ-<=Φ-=质量控制中的3σ原则设在正常生产的情况下，某零件的尺寸X服从正态分布N(μ,σ2)，为了在生产过程中随时检查有无系统性误差出现，人们画了一个质量控制图.每隔一定时间，对产品尺寸进行检查，测量的产品的尺寸应落在上、下控制线之内.如果超出控制线，则很有可能是生产出现了异常情况，应该暂停生产进行检查.当然也可能虚报，但虚报的可能性比较小.214y x=π因此，需要求某些随机变量的函数的分布.在某些实际问题中，我们所关心的随机变量不能直接测量得到，而它却是某个能够直接测量的随机变量的函数.例如，考察一批圆轴的截面面积Y ，我们能够直接测量的是直径X ，且当直径X 取x 值时，截面面积Y 的取值为一般地，设X、Y是两个随机变量，y=g(x)是一个已知函数，如果当X取值x时，Y取值为g(x)，则称Y是随机变量X的函数，记为Y=g(X).问题是：如何由已知的随机变量X的概率分布去求它的函数Y=g(X)的概率分布.解：求Y =(X –1)2的分布律.Y 所有可能的取值为0，1，4，而且(0)(1)0.1P Y P X ====(1)(0)(2)0.7P Y P X P X ===+==(4)(1)0.2P Y P X ===-=例1.设随机变量X 的分布律为X −10 1 2P0.20.3 0.1 0.4一、离散型随机变量X 的函数Y =g (X )的分布所以，Y 的分布律为Y0 1 4P0.10.7 0.2X−1 0 1 2 Y= (X–1)24101 P0.20.3 0.1 0.4所以，Y 的分布律为Y0 1 4P0.10.7 0.2一般地，若X 的分布律为则Y =g (X )的分布律为如果g (x k )中有一些值是相等的，则它们是Y 可能取的同一个值.此时，在Y 的分布律中，只需列出一个，然后把对应于这些相同值的概率相加，作为Y 取这个可能值的概率.X x 1 x 2 … x k …Pp 1 p 2 … p k…Y g (x 1) g (x 2)… g (x k ) …Pp 1 p 2 … p k…二、连续型随机变量X 的函数Y =g (X )的分布例2.设随机变量X 的概率密度为令求Y 的分布.解：2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他1,1/20,1/2X Y X ≤⎧=⎨>⎩(1)P Y =(1/2)P X =≤1/2124xdx ==⎰所以Y 的分布为13(0)1(1)144P Y P Y ==-==-=Y0 1P 3/4 1/4例3.设连续型随机变量X 的概率密度函数为求Y =2X +8的概率密度.解：设X 和Y 的分布函数分别为F X (x )和F Y (y ).F Y (y )=P (Y≤y )=P (2X +8≤y )于是Y 的密度函数/8,04()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它88()()22X y y P X F --=≤=()81()()22Y Y X dF y y f y f dy -==⋅故当8<y <16时，当y ≤8或y ≥16时，81()()22Y X y f y f -=⋅/8,04()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它88()216X y y f --=8()02X y f -=8,816()320,Y y y f y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它方法：1.先求Y=g(X)分布函数F(y)；Y2.求分布函数F Y (y)的导数，即为密度函数f Y(y).关键步骤：F(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X∈D)Y。
概率论与数理统计第4章例题
则=)(X E DA. 0.96B. 0.3C. 1.4D. 2.6 2.的概率密度为设随机变量X ⎩⎨⎧≤≤=其它102)(x xx f ,=)(X E 则 C2.A 1.B 32.C3.D3.设随机变量X ，其概率密度为 ()1101010x x f x xx +-≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它，求()E X . 解()()()()011011E Xx fx dx x x dx x x dx +∞-∞-==++-⎰⎰⎰=04. 设连续型随机变量X 的分布函数为30,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求()E X解()23010x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它()13334E X x dx ==⎰5.设随机变量X 的分布列为（1） 试计算常数a ； （2）求随机变量()21-=X Y 的期望. 解、（1）由14126131=++++a a，得121=a（2）随机变量Y 的所有可能取值4,1,41,0，Y的分布律为所以()=Y E 2441方差部分1.方差的计算公式为C A.22)(EX EXDX -= B. 22)(EX EX DX -= C. 2)(EX EX DX -=D. EX EX DX -=22.某牌号手表日走时误差()()X E X ,D X ，求.解 010*******=⨯+⨯+⨯-=...)()(X E2010********222....)()(=⨯+⨯+⨯-=X E 20.)(=x D3. 设随机变量)(~x f X =⎩⎨⎧≤≤其它102x Ax ，求： )(),(X D X E . 解⎰==101,12A Axdx 32210=⋅=⎰xdx x EX2121022=⋅=⎰xdx x EX181)(22=-=EX EX DX4. 设随机变量)(~x f X =⎩⎨⎧≤≤其它20x kx ，求： )(),(X D X E .解2/1,12⎰==k kxdx342120=⋅=⎰xdx x EX2212022=⋅=⎰xdx x EX9/2)(22=-=EX EXDX5.设随机变量X f(x)x x ≤≤⎧=⎨⎩201的概率密度为0其它， 求E(X)，D(X). 解()E X x dx =⎰1202= 32 ()E X x dx ==⎰123122, D (X )=1186.设随机变量X 的概率密度为,,020,121)(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-=其它x x x f求),(X E 数学期望)(X D 方差. 解:,32)21()(22=+-=⎰dx x x X E ,32)21()(20332=+-=⎰dx x x X E 92)()()(22=-=X E X E X D7.设相互独立的随机变量X 和Y ，方差分别为4和2，则)(Y X D +=BA ．2 B. 6 C. 1 D. 128.两个相互独立的随机变量X 和Y,D(X)=4,D(Y)=2，则D(3X+2Y)=DA ．8 B. 16 C. 28 D. 449.=+==)2(,3)(,6)(,Y X D Y D X D Y X 则独立与设随机变量 C9.A 15.B 27.C 21.D10.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差各为4和2,则3X-2Y 的方差为DA. 8B. 16C. 28D. 44 11.=+==)34(,100)5(,4)2(2X D X E X E 则已知____________. 256, 12.=+==)13(,8)4(,20)2(2X D X E X E 求设__________________54常见分布1.某电话交换台在时间[0，t]内接到的电话呼唤次数服从参数为5的泊松分布， 则在[0，t]内接到的平均呼唤次数为 A A. 5 B. 25 C. 0.2 D. 0.252.设随机变量X 服从泊松分布()P λ，则()D X =BA. 2λB.λC.12λD.1λ3.设随机变量X 服从泊松分布(3)P ，则()D X =BA. 6B. 3C. 1D. 134.设随机变量X 服从参数为λ 的泊松分布，则(12)D X +=B A ．2λ B ．4λ C ．12λ+ D ．14λ+5.设随机变量X ～(,)B n p ，且().,().,E X D X ==04032则,n p 的值为A A. n ,p .==202 B. n ,p .==401 C. n ,p .==40001 D. n ,p .==200026.设随机变量X ～(,)B n p ，且().,().,E X D X ==24144则,n p 的值为A A. n ,p .==604 B. n ,p .==406 C. n ,p .==803 D. n ,p .==4067．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，试验成功的次数为X ，(1)求D(X). (2)p 为多大时，D(X)最大.解 (1)() D X 100p (1-p)X =服从二项分布，(2)()()()122211100120022p dD X d D Xp p p dpdp==-==<=时方差最大8.设X 是一个随机变量，其概率密度为()1,;0,.a x b f x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪ ⎩其他则()E X =2b a +9.=-)34(),9,3(~,]6,2[Y X E N Y X 则上的均匀分布服从区间设随机变量7,11.=+)32(,]2,0[Y X E Y X 则上的均匀分布均服从区间与设随机变量__512.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分为单位）服从参数为1/5 指数分布，则顾客等待服务的平均时间 DA. 0.25B. 25C. 0.2 D . 513.设23),(~-=X Z e X λ，则=)(Z E 231--λ14.已知随机变量X 的数学期望为E(X)，标准差为σ(X)>0，设随机变量()()X X E X X *σ-=，则E(*X )=__________ 015.设随机变量X ～N(-1，5)，Y ～N(1，2)，且X 与Y 相互独立，则D(X ＋Y)＝ D A. 2 B. 5 C. 3 D. 716.设X 服从正态分布，其密度函数为()()21x f x--=，则()D X =______1/217.设随机变量X ～()2,1σN ，若EX 2=1，则σ=CA. 1B. 2C. 0D. 318.设随机变量()~0,1X N ，则()2E X =___________ 1 19.已知连续随机变量X 的概率密度为()()2112x x ϕ--=，则D （X ）为AA ．1 B. 2 C. 0.5 D. 0.2520.设随机变量X ～N(-1，4)，Y ～N(2，6)，且X 与Y 相互独立，则D(X ＋Y)＝ A A.10 B. 4 C. 6 D. 021.设随机变量(1,2),(0,3)X N Y N ～～，,X Y 相互独立，则X Y + ～CA. (),N 111B. (),N 11C. (),N 15D. (),N 111 22.设随机变量X ～()2,1σN ，若()2X E =2，则σ=__________ 123. 设()22,2~N X ，12--=X Y ，则 Y 服从的分布为AA. )16,5(-NB. )15,5(-NC. )16,4(-ND. )15,4(-N24.设随机变量(0,2),(1,3)X N Y N ～～，,X Y 相互独立，则2X Y + ～CA. (),N 15B. (),N 11C. (),N 111D. (),N 111 25.=-)34(),9,3(~,]6,2[Y X E N Y X 则上的均匀分布服从区间设随机变量726.设~(5,9)X N ， 则 =)(X D _______ 9 27.设()22,2~N X ，121-=X Y ，则 Y服从的分布为 CA. )2,1(NB. )4,2(NC. )1,0(ND. )2,0(N 28.=+)32(,]2,0[Y X E Y X 则上的均匀分布均服从区间与设随机变量_____.529.设随机变量Y X ,相互独立,)1,0(~),2,1(~N Y N X求随机变量Y X Z -=概率密度函数. 解、由题意， 服从正态分布Y X Z -=,3)()(;1)()(=-==-=Y X D Z D Y X E Z E 又6)1(261)(--=z ez f Z π的概率密度函数所以30.设随机变量Y X ,相互独立,)1,0(~),1,0(~N Y N X求随机变量Y X Z +=概率密度函数. 解: 由题意， 服从正态分布Y X Z +=2)()(,0)()(=+==+=Y X D Z D Y X E Z E 又4221)(zez f Z -=π的概率密度函数所以。
《概率论与数理统计》习题及答案第四章
·34·《概率论与数理统计》习题及答案第四章1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y的分布列为12311106121112666113126其中(1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X (1,2)(1)(2|P XYP X P Y X 121436余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。
解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32kP Xk C k，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为XY·35·012333610088811230088813318888jip p 其中(0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X ，13313(1,1)(1)(1|1)()128P XYP XP YXC ，余者类推。
3．设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)8,.x y x y f x y 其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y；（2）{(,)|3}Dx y xy。
求{(,)}P X Y D 解（1）1321{(,)}(6)8P x y D xy d xd x y1194368228；（2）1321{(,)}(6)8xP X Y D x y d x d y112113(1)[(3)4]82x x d xx d x524.4．设(,)X Y 的概率密度为22222(),,(,),.C Rxy xyR f x y 其他求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()xyr rR 内的概率.解（1）22222232001()RxyRCRxy d xd y C R Cr d rdYX xx+y=3422y·36·333233R R C RC，33CR.（2）设222{(,)|}Dx y x yr ，所求概率为2222233{(,)}()xyrP X Y D R xy d x d yR322323232133r r r R rRRR.5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,1,01(,)0,.x y xyf x y 其它求X 和Y 的联合分布函数.解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)(,)xyF x y f u v d u d v01001000,00,4,1,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.xyxyxy uv du d v xyu yd u d y x y xvd xd v x y xy 或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1,1.x yx y x y x xy yx y xy或解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为2,1,()0,;X x xf x 其他2,01,()0,.Y y yf y 其它边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则·37·20,0,()(),01,1, 1.xX X x F x f u d u x x x 20,0,()(),01,1,1.yY Xy F y fv d v y y y设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1,1.X Y x y x y x y F x y F x F y x xy y x y x y或6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:01D x，||y x 内服从均匀分布，求边缘概率密度。
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1.设随机变量X 的分布列如下：则=)(X E DA. 0.96B. 0.3C. 1.4D. 2.6 2.的概率密度为设随机变量X ⎩⎨⎧≤≤=其它102)(x x x f ,=)(X E 则 C2.A 1.B 32.C 3.D 3.设随机变量X ，其概率密度为 ()1101010x x f x xx +-≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它，求()E X . 解()()()()01111E X x f x dx x x dx x x dx+∞-∞-==++-⎰⎰⎰=04. 设连续型随机变量X 的分布函数为30,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求()E X解()23010x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它()130334E X x dx ==⎰ 5.设随机变量X 的分布列为（1） 试计算常数a ； （2）求随机变量()21-=X Y 的期望.解、（1）由14126131=++++a a ，得121=a（2）随机变量Y 的所有可能取值4,1,41,0，Y 的分布律为所以()=Y E 2441方差部分1.方差的计算公式为CA.22)(EX EX DX -=B. 22)(EX EX DX -=C. 2)(EX EX DX -=D. EX EX DX -=22.某牌号手表日走时误差()()X E X ,D X ，求.解 010*******=⨯+⨯+⨯-=...)()(X E201018001012222....)()(=⨯+⨯+⨯-=X E 20.)(=x D3. 设随机变量)(~x f X =⎩⎨⎧≤≤其它0102x Ax ，求： )(),(X D X E . 解⎰==101,12A Axdx 3221=⋅=⎰xdx x EX2121022=⋅=⎰xdx x EX181)(22=-=EX EX DX4. 设随机变量)(~x f X =⎩⎨⎧≤≤其它020x kx ，求： )(),(X D X E . 解2/1,12⎰==k kxdx342120=⋅=⎰xdx x EX2212022=⋅=⎰xdx x EX9/2)(22=-=EX EX DX5.设随机变量X f(x)x x ≤≤⎧=⎨⎩201的概率密度为0其它，求E(X)，D(X).解()E X x dx =⎰1202= 32 ()E X x dx ==⎰1230122, D(X )=1186.设随机变量X 的概率密度为,,020,121)(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-=其它x x x f求),(X E 数学期望)(X D 方差.解:,32)21()(202=+-=⎰dx x x X E,32)21()(20332=+-=⎰dx x x X E 92)()()(22=-=X E X E X D7.设相互独立的随机变量X 和Y ，方差分别为4和2，则)(Y X D +=BA ．2 B. 6 C. 1 D. 128.两个相互独立的随机变量X 和Y,D(X)=4,D(Y)=2，则D(3X+2Y)=DA ．8 B. 16 C. 28 D. 449.=+==)2(,3)(,6)(,Y X D Y D X D Y X 则独立与设随机变量 C9.A 15.B 27.C 21.D10.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差各为4和2,则3X-2Y 的方差为DA. 8B. 16C. 28D. 4411.=+==)34(,100)5(,4)2(2X D X E X E 则已知____________. 256, 12.=+==)13(,8)4(,20)2(2X D X E X E 求设__________________54 常见分布1.某电话交换台在时间[0，t]内接到的电话呼唤次数服从参数为5的泊松分布， 则在[0，t]内接到的平均呼唤次数为 A A. 5 B. 25 C. 0.2 D. 0.252.设随机变量X 服从泊松分布()P λ，则()D X =BA. 2λB.λC.12λ D.1λ3.设随机变量X 服从泊松分布(3)P ，则()D X =BA. 6B. 3C. 1D. 134.设随机变量X 服从参数为λ 的泊松分布，则(12)D X +=B A ．2λ B ．4λ C ．12λ+ D ．14λ+5.设随机变量X ～(,)B n p ，且().,().,E X D X ==04032则,n p 的值为AA. n ,p .==202B. n ,p .==401C. n ,p .==40001D. n ,p .==200026.设随机变量X ～(,)B n p ，且().,().,E X D X ==24144则,n p 的值为A A. n ,p .==604 B. n ,p .==406 C. n ,p .==803 D. n ,p .==4067．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，试验成功的次数为X ，(1)求D(X). (2)p 为多大时，D(X)最大. 解 (1)() D X 100p(1-p)X =服从二项分布，(2)()()()122211100120022p dD X d D X p p p dpdp ==-==<=时方差最大8.设X 是一个随机变量，其概率密度为()1,;0,.a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪ ⎩其他则()E X =2ba + 9.=-)34(),9,3(~,]6,2[Y X E N Y X 则上的均匀分布服从区间设随机变量7,11.=+)32(,]2,0[Y X E Y X 则上的均匀分布均服从区间与设随机变量__512.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分为单位）服从参数为1/5 指数分布，则顾客等待服务的平均时间 DA. 0.25B. 25C. 0.2D. 513.设23),(~-=X Z e X λ，则=)(Z E 231--λ14.已知随机变量X 的数学期望为E(X)，标准差为σ(X)>0，设随机变量()()X X E X X *σ-=，则E(*X )=__________ 0 15.设随机变量X ～N(-1，5)，Y ～N(1，2)，且X 与Y 相互独立，则D(X ＋Y)＝ D A. 2 B. 5 C. 3 D. 716.设X 服从正态分布，其密度函数为()()21x f x--=，则()D X =______1/217.设随机变量X ～()2,1σN ，若EX 2=1，则σ=C A. 1 B. 2 C. 0 D. 318.设随机变量()~0,1X N ，则()2E X =___________ 1 19.已知连续随机变量X 的概率密度为()()2112x x ϕ--=，则D （X ）为A A ．1 B. 2 C. 0.5 D. 0.2520.设随机变量X ～N(-1，4)，Y ～N(2，6)，且X 与Y 相互独立，则D(X ＋Y)＝ A A.10 B. 4 C. 6 D. 021.设随机变量(1,2),(0,3)X N Y N ～～，,X Y 相互独立，则X Y + ～CA. (),N 111B. (),N 11C. (),N 15D. (),N 111 22.设随机变量X ～()2,1σN ，若()2X E =2，则σ=__________ 123. 设()22,2~N X ，12--=X Y ，则 Y 服从的分布为AA. )16,5(-NB. )15,5(-NC. )16,4(-ND. )15,4(-N24.设随机变量(0,2),(1,3)X N Y N ～～，,X Y 相互独立，则2X Y + ～CA. (),N 15B. (),N 11C. (),N 111D. (),N 111 25.=-)34(),9,3(~,]6,2[Y X E N Y X 则上的均匀分布服从区间设随机变量7 26.设~(5,9)X N ， 则 =)(X D _______ 9 27.设()22,2~N X ，121-=X Y ，则 Y 服从的分布为 C A. )2,1(N B. )4,2(NC. )1,0(ND. )2,0(N28.=+)32(,]2,0[Y X E Y X 则上的均匀分布均服从区间与设随机变量_____.5 29.设随机变量Y X ,相互独立,)1,0(~),2,1(~N Y N X求随机变量Y X Z -=概率密度函数. 解、由题意， 服从正态分布Y X Z -=,3)()(;1)()(=-==-=Y X D Z D Y X E Z E 又6)1(261)(--=z ez f Z π的概率密度函数所以30.设随机变量Y X ,相互独立,)1,0(~),1,0(~N Y N X求随机变量Y X Z +=概率密度函数. 解: 由题意， 服从正态分布Y X Z +=2)()(,0)()(=+==+=Y X D Z D Y X E Z E 又4221)(z ez f Z -=π的概率密度函数所以。