3年高考2年模拟1年原创备战2019高考数学(文)专题7.1不等式关系与不等式解法基本不等式及应用(含解析)

3年高考2年模拟1年原创备战2019高考数学（文）第七章不等式专题1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用（文科）【三年高考精选】1. 【2018年文新课标I卷】2. 【2018年全国卷Ⅲ文】3.【2018年文数全国卷II】4.【2017课标1，文】5.【2017课标II，文】6．【2017课标3，文】7．【2016高考新课标1文数】8．【2016高考新课标2文数】9．【2016高考新课标3文数】【三年高考刨析】试题来源考查考点数学素养解题关键2018全国文科12018全国文科22018全国文科32017全国文科12017全国文科22017全国文科32016全国文科12016全国文科22016全国文科3命题规律对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式考查，个别省市总结在大题中考查不等式的应用．【2019年高考命题预测】预测2019年可能有一道选择或者填空出现，与集合结合考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，有可能与导数结合出一道解答题．【2019年一轮复习指引】不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.因此，在2019年复习备考中，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，对不等关系，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，对不等式解法主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解．不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的不等式，函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．【2019年高考考点定位】高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系．考点一、不等式性质典例1【2018届【衡水金卷】模拟试题】设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【备考知识梳理】1．不等式的基本性质：（1）a b b a >⇔< （2）,a b b c a c >>⇒> （3）a b c a c b +<⇔<-，a b a c b c >⇔+>+ （4）000c ac bca b c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪>=⇒=⎨⎪<⇒<⎩2．不等式的运算性质：（１）加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+（２）减法法则：,a b c d a d b c >>⇒->-，（３）乘法法则：0,00a b c d ac bd >>>>⇒>> （４）除法法则：0,00a b a b c d d c>>>>⇒>>，（５）乘方法则：00(,2)n na b a b n N n >>⇒>>∈≥ （６）开方法则：00(,2)nn a b a b n N n >>⇒>>∈≥【规律方法技巧】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质． 2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． 【考点针对训练】1. 【湖南省衡阳市2018届第一次联考】若a 、b 、c 为实数,且a <b <0,则下列命题正确的是 A ． ac 2<bc 2B ．C ．D ． a 2 >ab >b 2【答案】D2.已知下列四个关系：①22a b ac bc >⇔>；②11a b a b >⇒<；③0a b >>，0c d >>a bd c⇒>；④1a b >>，0c c c a b <⇒<．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】0c =时，①错误.0a b >>时②错误.根据不等式的性质知③正确.根据指数函数的单调性可知④正确.故有两个正确.【考点2】不等关系典例2【江西省南昌市2018届模拟】已知，则A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，，根据指数函数的单调性，所以，，同指数幂函数，所以，因为，所以，综上，所以选D【备考知识梳理】在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系. 【规律方法技巧】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号,><≠≥≤，,,表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用,a a b b b b b ><≠≥≤，a ,a ,a 等式子表示，不等关系是通过不等式表现． 【考点针对训练】1.若()7,340P a a Q a a a =++=+++≥，则,P Q 的大小关系为( ) A. . P Q > B. P Q = C. P Q < D. 由a 的取值确定 【答案】C【解析】假设P<Q ，∵要证P<Q ，只要证P 2<Q 2，只要证：2a ＋7＋2()7a a +<2a ＋7＋2()()34a a ++，只要证：a 2＋7a<a 2＋7a ＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q 成立．2. 【河南省郑州市2018届高三模拟】设25log 3log 4ln311,,333a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．a c b >> 【答案】C【考点3】一元二次不等式解法典例3【江西省景德镇市2018届第二次联考】已知函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】,函数为偶函数，，即，得，即，则，则，在单调递增，，由，得，即，得，得，即不等式的解集为，故选A. 【备考知识梳理】对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅【规律方法技巧】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【考点针对训练】1.已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为 . 【答案】11{|}32x x x <->或 【解析】根据题意可得51,6,5,30ba b a a=-=-∴=-=，所以250bx x a -+>可化为()()261031210x x x x -->⇔+->，所以不等式的解集为11{|}32x x x <->或．2. 【江苏省苏北三市2018届三模】已知对于任意的()(),15,x ∈-∞⋃+∞，都有()2220x a x a --+>，则实数a 的取值范围是____．【答案】(]1,5 (或15a <≤)【考点4】基本不等式及应用典例4【河南省信阳2018届模拟（二）】点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】A【解析】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，∴，当且仅当，且，即时等号成立．故选A．【备考知识梳理】1、如果,Ra b∈，那么222a b ab+≥（当且仅当a b=时取等号“=”）推论：22ab2a b+≤（,Ra b∈）2、如果0a>，0b>,则2a b ab+≥，（当且仅当a b=时取等号“=”）.推论：2ab()2a b+≤（0a>，0b>）；222()22a b a b++≥3、222(0,0)1122a b a bab a ba b++≤≤≤>>+【规律方法技巧】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.【考点针对训练】1. 【山西省晋中市2019届高三8月月考】已知函数，若，，且，则的最小值为__________．【答案】9【解析】由题意得，∴．∴当且仅当且，即时等号成立．∴的最小值为9．2. 【黑龙江省哈尔滨市2018届押题卷（二）】在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球面积的最小值为________________. 【答案】9【应试技巧点拨】1．使用均值不等式求最值时，注意在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.2．基本不等式及其变式中的条件要准确把握．如222a b ab +≥(,a b R ∈)，2a b ab +≥(,a b R +∈)等．3.利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值．即应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一. 3.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对∀x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )；第二关是求最值关，即求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题．4.应用导数证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法.5．对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．1. 【湖南省长沙市2018届第三次模拟】若，则下列不等式成立的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用特值法排除，当时：，排除；，排除；，排除，故选B.2. 【安徽省合肥市2018届三模】已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】A【解析】利用排除法：时，与都不成立，可排除选项；时，不成立，可排除选项，故选A.3. 【贵阳第一中学2018届高考适应性】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（）A． B． C． D．【答案】A4. 【北京市西城区2018届模拟考试】若，则下列不等式：①；②；③；④中正确的不等式有（）个.A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】故①错；故②对；，，当且仅当时等号成立，而，故，故③对；，故④对；综上，正确的不等式有3个.本题选择C选项.5．【河南省2018年一模】设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为A． B． C． D．【答案】D6．【2018届【衡水金卷】信息卷 （四）】设p ：3402x xx-≤， q ： ()22210x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ． []2,1-B ． []3,1-C ． [)(]2,00,1-⋃D ． [)(]2,10,1--⋃ 【答案】D【解析】设p ：3402x xx-≤的解集为A ，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},设q ： ()22210x m x m m -+++≤的解集为B ，所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p 是q 的必要不充分条件，即得B 是A 的真子集，所以有010{01{ 2 1.122m m m m m m >+<⇒<≤⇒-≤<-+≤≥-或综合得m∈[)(]2,10,1--⋃，故选D.7．【江西省南昌市2018届第二轮复习测试卷（三）】若正数满足，则的最大值为A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】因为，化简可得，左右两边同时除以xy 得 ，求的最大值，即求的最小值，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以选A8．【天津市十二校2018届第二次联考】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为__________．【答案】【解析】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，，且；再由，使成立，可得，，，令，则（当时，等号成立），所以，的最小值为，故的最小值为，故答案为. 9．【上海市黄浦区2018届4月模拟】已知函数对任意恒有成立，则代数式的最小值是___________．【答案】10． 【黑龙江省大庆2018届考前仿真模拟】对任意任意，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】任意x ∈[0，]，y ∈（0，+∞），不等式﹣2cos 2x ≥asinx ﹣恒成立⇔≥asinx+2﹣2sin 2x 恒成立，令f （y ）=，则asinx+2﹣2sin 2x ≤f （y ）min ，∵y ＞0，∴f （y ）=≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f （y ）min =3．∴asinx+2﹣2sin 2x ≤3，即asinx ﹣2sin 2x ≤1恒成立．∵x ∈[0，]，∴sinx ∈[0，]，当sinx=0时，对于任意实数a ，不等式asinx ﹣2sin 2x ≤1恒成立；当sinx ＞0时，不等式asinx ﹣2sin 2x ≤1化为a ≤2sinx+恒成立，令sinx=t ，则0＜t ≤，再令g （t ）=2t+（0＜t ≤），则a ≤g （t ）min ．由于g′（t ）=2﹣＜0，∴g （t ）=2t+在区间（0，]上单调递减，因此，g （t ）min =g （）=3，∴a ≤3．综上，a ≤3．故选：A ． 11.【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】已知110a b<<，给出下列四个结论：①a b <②a b ab +<③a b >④2ab b <其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 【答案】C【解析】21100||||,0,b b a a b a b ab ab a b<<⇒<<⇒<+<<>，因此选C. 12. 【贵州省遵义市第四中学2016届高三第四次月考】已知直线():10,0x yl a b a b+=>>在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ） A. 22 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】D13. 【湖南省岳阳2018届高三第一次月考】如右图所示，已知点()y f x =是)3,2m ⎡∈⎣的重心，过点6C π=作直线与31S ∆=+两边分别交于22223sin sin sin sin sin sin A B C A B C =+-两点，且22223sin ab C a b c =+-，则2ab 的最小值为（ ）A. 2B. 2223sin 2a b c C ab+-= C. 3sin cos C C = D. 3tan 3C =【答案】C14. 【陕西省黄陵中学2017届考前模拟】两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈， b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为( ) A.49 B. 109C. 1D. 3 【答案】C【解析】因为两圆的圆心和半径分别为()()1122,0,2,0,2,1C a r C b r -==，所以由题设可知两圆相外切，则1212C C r r =+，故2249a b +=，即224199a b +=，所以22222222221*********199999999a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选答案C 。