湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.1.3反证法练习 新人教B版选修2-2

湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.1.3反证法练习 新人教
B 版选修2-2
班级___________ 姓名___________学号___________
1．实数a ，b ，c 不全为0等价于( )．
A ．a ，b ，c 均不为0
B ．a ，b ，c 中至多有一个为0
C ．a ，b ，c 中至少有一个为0
D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0
2．下列命题错误的是( )．
A ．三角形中至少有一个内角不小于60°
B ．四面体的三组对棱都是异面直线
C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点
D ．设a 、b ∈Z ，若a 、b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数
3．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1
x
，则a ，b ，c 三个数( )．
A ．至少有一个不大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
4．已知α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 为异面直线，则( )．
A ．a ，b 都与l 相交
B ． a ，b 中至少有一条与l 相交
C ．a ，b 中至多有一条与l 相交
D ．a ，b 都不与l 相交
5．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．
6．用反证法证明命题“若a 2
＋b 2
＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．
7．设二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．
求证：f (x )＝0无整数根．
8．已知函数f(x)＝x2
2x－2
，如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，
求证：当n≥2时，恒有a n<3成立．
1．实数a，b，c不全为0等价于
( )．A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0
解析 不全为0即至少有一个不为0，故选D. 答案 D
2．下列命题错误的是
( )．
A ．三角形中至少有一个内角不小于60°
B ．四面体的三组对棱都是异面直线
C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点
D ．设a 、b ∈Z ，若a 、b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数
解析 a ＋b 为奇数⇔a 、b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故D 错误． 答案 D
3．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1
x
，则a ，b ，c 三个数
( )．
A ．至少有一个不大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
解析 若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6①， 而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1
z
≥6②，
显然①，②矛盾，所以C 正确． 答案 C
4．命题“△ABC 中，若A >B ，则a >b ”的结论的否定应该是________．
答案 a ≤b
5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________．
答案 至少有两个内角是直角
6．设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．
证明 假设AC ⊥平面SOB ，如图， ∵直线SO 在平面SOB 内， ∴SO ⊥AC .
∵SO ⊥底面圆O ，∴SO ⊥AB . ∴SO ⊥平面SAB . ∴平面SAB ∥底面圆O .
这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．
综合提高 限时25分钟
7．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则
( )．A．a，b都与l相交
B．a，b中至少有一条与l相交
C．a，b中至多有一条与l相交
D．a，b都不与l相交
解析逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B.
答案 B
8．以下各数不能构成等差数列的是
( )．A．3,4,5 B.2，3， 5
C．3,6,9 D.2，2， 2
解析假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．
答案 B
9．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．
解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
10．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．解析“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
答案a，b不全为0
11．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
证明设f(x)＝0有一个整数根k，则
ak2＋bk＝－c.①
又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，
∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．
12．(创新拓展)已知函数f(x)＝
x2
2x－2
，如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证：当n≥2
时，恒有a n<3成立．
证明 法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n
2a n －2
，
∴
1
a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2； (1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，
∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立； (2)若a n ＋1≥2，
则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n
2a n －2－a n ＝－a 2
n ＋2a n 2 a n －1 ＝－a n a n －2 2 a n －1
≤0，
∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；
由a 2＝a 21
2a 1－2＝168－2＝83
<3，
可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．
综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立． 法二 (用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，
则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n
2a n －2
，
∴当n ≥2时，
a n ＋1a n ＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34
<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ， ∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；
而当n ＝2时，a 2＝a 21
2a 1－2＝168－2＝83
<3，
∴当n ≥2时，a n <3；
这与假设矛盾，故假设不成立， ∴当n ≥2时，恒有a n <3成立．。