两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题-2教学文案
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
(完整版)两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习试题
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础训练 一、选择题 1．已知α为锐角,55cos ,=α则=+)24tan(απ( ) A ．－3 B ．－17 C ．－43 D ．－72.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标为)54,53(和)53,54(-，则cos(α＋β)的值为( ) A ．－2425 B ．－725C ．0 D.2425 3．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1D ．2π，2 4．(2015·嘉兴模拟)2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32C. 3D. 2 5．若,33)24cos(,31)4cos(,02,20=-=+<<-<<βπαπβππα则=+)2cos(βα( ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69 6．已知,534sin )3sin(-=++απα则=+)32cos(πα( ) A ．－45 B ．－35 C.35D.45 7．(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则=+)4(cos 2πα( ) A.16 B.13 C.12 D.23二、填空题8．已知,2)4tan(=+πx 则tan x tan2x 的值为________． 9．已知,31)6sin(=-απ则=+)232cos(απ_______. 10．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2的值为________． 11．设当θ=x 时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.三、解答题12．(2014·广东卷)已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且23)125(=πf . (1)求A 的值；(2)若),2,0(,23)()(πθθθ∈=-+f f 求)43(θπ-f . 13．(2014·四川卷)已知函数)43sin()(π+=x x f .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，,2cos )4cos(54)3(απαα+=f 求cos α－sin α的值． 巩固训练1．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则=-+)4cos(2sin sin 22πααα( ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010D.255 2．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( ) A ．4 3 B.654 C ．4 D.2334．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或525 5．若),2,0(πα∈且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 6． sin 250°1＋sin 10°＝________. 7．已知),2,0(,πβα∈满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是________．8．(2014·江西卷)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，)2,2(ππθ-∈. (1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若,0)2(=πf f (π)＝1，求a ，θ的值． 9．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)． (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 32. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a2 ■ 2 2 ■ 2cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a3. 有关公式的逆用、变形等(1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3.4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2sin(a+ ©，其中 tan一、选择题1.给出如下四个命题②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cossin sin 能成立；③公式tan()tan an成立的条件是k—(k Z)且 k —(k Z)；1 tan tan22④不存在无穷多个 a 和3,使 sin()sin cosco s，sin ；其中假命题是( )A.①②B.②③C. ③④D. ②③④2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是( )A. 1 . 2B. .. 2 1C.、2D. 2①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立； tan 2 2ta n a1 tan 2a 2(2)cos a=1 + cos 2a2 sin 2a= 1 — COS2a2 -2(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2, sin a±cos a= 2sin a±4t .当 x [ — ^]时，函数 f(x) sinx .. 3cosx 的 ( )A •最大值为4,最小值为—1B 最大值为1最小值为土C •最大值为2,最小值为—2D.最大值为2,最小值为—1已知tan( ) 7,ta n tan2则cos()的值( )八1 D、、2c 2D.A.—B.C. -2222已知一3,cos()123,si n( )，则 sin 2( )2413 5A565665 D.65 A.B.———C.—65655656sin15 sin30 sin 75 的值等于( )八＜3c 1 D.1A.DB.C.-4884函数 f (x) tan(x)g (x )1tanx ,h(x) cot( x)其中为相同函数的是 4 丿，g (x)41tanx( )A. f (x)与 g(x)B. g(x)与 h(x)C. h(x)与f (x)D. f (x)与g(x)及h(x)1a 、B 、 都是锐角，tan—2 ,tan 1,ta n 贝U等于 ( )小 55A.—B.-C.-D.3 464设 tan 和 tan(— 4 )是方程x 2 px q 0的两个根，则 P 、q 之间的关系是()A. p+q+1=OB. p — q+仁C. p+q —仁0D. p — q —1=0已知 cosa,sin 4sin( ),则 tan( )的值是 ( )13.已知 sin( )4分，共16分，将答案填在横线上)sin( ) m ,则 cos 2cos 2 的值为A1 a 2B. —V 1 2aC.a 4D.1 a 2a 4a 4 1 a 2a 4.在厶 ABC 中, C 90o ，则tan A tanB 与1的关系为( : )A. tanA tanB 1B. tan A tanB 1C. tanA tanB 1D. 不能确定.sin 20 cos70 sin10sin50的值是( : )A.—B.3C. —D.34224、填空题(每小题3.4.5. 6.7.8.9.10111215 .若sin( 24 ) cos(24 ),则tan( 60)= _____________ . ____16. 若sinx si ny -,则cosx cosy的取值范围是2 ---------------------------------------三、解答题（本大题共74分，17— 21题每题12分，22题14分）17. 化简求值：sinq 3x） cosq 3x） cos（石 3x） sin3x）.求tan( 2 )的值.19.求证：tan (x y) tan (x y)18.已知0 90 ,且cos , cos 是方程 x2, 2sin50 x sin250 0的两根,20.已知a,p€( 0,n )且 tan( )1,tan 1弓，求2的值.21.证明：tan|x眄2sin xcosx cos2x22.已知△ ABC的三个内角满足: A+C=2B1cos A1cosC2求cos^cosBsin 2x 2 ~2~cos x sin y11. 1. C 2 B 12 . 两角和差的正弦余弦正切公式练习题 .A 3 . D 4 . D A 参考答案 .C 8 . B 9 . B 10 . D 18. 19. 20. 21. 22. 13. m 14 . - 15 . 32 .3 16 .[ 帀 J i?】17.原式円叫3x)cos(3 3x) si n( 3x) cos(- 3 4 2 3x)t 6 岳i ns 。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一 两角和与差的正切公式思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 答案 tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到.思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？ 答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到. 梳理名称简记符号公式 使用条件 两角和的正切 T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β均不等于k π＋π2(k ∈Z )两角差的正切 T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z )知识点二 两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.类型一 正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 .答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝ .答案 π4解析 因为tan α＝12，tan β＝13，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.因为α，β均为锐角， 所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值.②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ . 答案 －43解析 由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－43.类型二 正切公式的逆用 例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ ；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝ .答案 (1)3 (2)－1解析 (1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.跟踪训练2 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°. 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝1tan (27°＋33°)＝1tan 60°＝33.类型三 正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值. 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°.反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1).① 若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －sin A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾.∴由①得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3. 又∵0<C <π，∴C ＝π3.1.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B.－13 C.3 D.－3 答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2.已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.－17 B.－7 C.17 D.7答案 D解析 由cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝35， 所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－341－34＝7. 故选D.3.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A.1 B.2 C.－2 D.不确定 答案 B解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.4.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ .答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .答案 43解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路. 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.课时作业一、选择题1.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17 B.16 C.57 D.56答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.2.3tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( ) A.2 B.23 C. 3 D.0答案 C解析 ∵tan(23°＋97°)＝tan 23°＋tan 97°1－tan 23°tan 97°＝tan 120°＝－3，∴tan 23°＋tan 97°＝－3＋3tan 23°tan 97°， ∴原式＝3tan 23°tan 97°－(－3＋3tan 23°tan 97°) ＝ 3.3.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A.322B.2213 C.1318 D.16答案 A解析 因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.4.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形.5.若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1) D.3(a ＋1) 答案 B解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a ).6.设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A.－13B.13C.－3D.3答案 B解析 由a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2. tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝2－11＋2＝13. 7.在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B 等于( ) A.30° B.45° C.120° D.60°答案 D解析 由公式变形得tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B ) ＝－tan C (1－tan A tan B ) ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . ∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝3 3. 又∵tan 2B ＝tan A tan C ， ∴tan 3B ＝33， ∴tan B ＝3，∴B ＝60°. 二、填空题8.已知tan α＝12，则tan (π4＋α)－11＋tan (π4＋α)的值是 .答案 129.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝ .答案3解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.10.已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ .答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α，∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α， ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.11.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝ .答案 17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6， ∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12，tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD ) ＝tan ∠CAD －tan ∠BAD 1＋tan ∠CAD tan ∠BAD ＝12－131＋12×13 ＝17. 12.若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为 . 答案3π4三、解答题13.已知tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝22，求：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4的值； (2)tan(α＋β)的值. 解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝2＋221－2×22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11＋2×1＝22－3. 四、探究与拓展14.如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝ . 答案 －32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1. 又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
最新两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．3πB ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α，22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA故222cos =-C A ．。
两角和与差的正弦+余弦和正切公式 习题训练与答案解析
62
6
66
6
值-1.
5
5
5
7.已知
为第三象限的角,cos
2
3 5
求tan
(
4
2 ) 的值.
分析:本题主要考查了角的象限的判断及三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、两角和
的正切公式.
解:∵ 为第三象限的角,2k + 2k 3 k Z, 2
∴4k +2 2 4k +3 (k Z).
又cos 2 3 ∴sin 2 4 tan 2 4 .
4
24
方法二:y= g(x) f (2x) 1 cos (4x ) x [0 ] .g′(x)=-2sin (4x )
2
3
4
3
令g′
(
x)
0
x
[0
4
]
解得
x
12
g(0) 1 g( ) 1 g( ) 1 4 12 2 4 4
故函数g(x)在区间
[0
4
]
上的最大值和最小值分别为
强化训练
1.tan20 +tan40 3 tan20 tan40 等于( )
A.1
B.
3 3
C. 3
答案:D
解析:∵tan60
=tan(20
+40
)
tan20 tan40 1 tan20 tan40
∴tan20 +tan40 3 3 tan20 tan40 ,
即tan20 +tan40 3 tan20 tan40 3 .
3 5
则tan
2
.
答案: 24 7
解析:∵
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、两角和与差的余弦
cos( ) cos
cos sin sin cos( ) cos cos
sin sin
1、求值:
(1) cos 15 (2) cos 80 cos 20 sin 80 sin 20
4.已知sin
2 , ，cos
3 ，求 cos( )的值 3 2 5 ，2 (3) cos 130 cos 10 sin 130 sin 10 (4) cos105 (5) sin75 (6)求 cos75 ° cos105 ° + sin75 ° sin 105 (7) cos (A + B ) cosB + sin (A + B ) sinB . (8) cos 91 cos 29 sin 91 sin 29 (2)已知 sin 0= 15，且B 为第二象限角， 17 cos (0— 一)的值.
3
(3)已知 sin (30°+a)
VaV 150°, 求 cos a. 3.化简 cos (36°+a) cos (a — 54
+ sin (36 +a) sin (a — 54 °) 5.已知cos 12 ，求 cos( _)的值。
6.已知，都是锐角， —，求cos 的值。
7.在厶ABC 中，已知si 门心3, cos B = 5，求 cos C 的值
5
13
二、两角和与差的正弦
sin(
) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
1利用和差角公式计算下列各式的值 (1) sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 (2) !cosx 二 sinx
2 2 (3) .3sinx cosx
(4) 2 cos 2x 42 i 2 ——sin 2x
2 2
3 ,
是第四象限角，求sin(— )的值。
5 4
5 4
) —,cos -,, 均为锐角，求 sin 的值 13 5
二、两角和与差的正切
5、求下列各式的值:
1 tan 75 1 tan 75
家庭作业
1、sin 163 sin 223 sin 253 sin313 3 (1)已知 sin (2)已知 cos( tan( tan tan
1 tan tan
tan( tan tan 1 tan tan 1、求 tan 105 , tan 15 的值: 2. 求值：(1) tan 丄；(2) tan 285 12 3: tan15° 值。
tan15o
:求 tan700 tan500 ,3ta n70o ta n50o 值。
tan17 +tan28 +tan17 tan28
1 2 已知sin ,cos
,、 均在第二象限，则 sin( )= 。
3 3 2cos10 sin20 _
sin 70 。
sin( 3x) cos( 3x) cos( 3x) sin( 3x)= ________________________________ 4
3 6
4 1 3 若 cos( ) , cos(
) ,贝V tan tan = _____________ 。
5 5
sin 50 (1 , 3tan10 ) = ________________ 。
若sin ,sin ' 且、均为锐角，则
= 。
5 10 ta n22.5
1 tan
2 22.5
cos105 =
5刀，则sin( 、如果等腰三角形的周长是底边长的 满足(1 . 3 tan )(1 . 3 tan ) 4,则 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 11
12 13
14 、已知cos( 6)sin
6 )= -------------------- 5倍，那么它的顶角的余弦值为 、已知sin x f,则 sin 4x 4 cos 、若 si nA —,sin B 5 谱且A 、B 均为钝角’求
A B - 、若锐角。