3.3轴对称与坐标变化
北师大版八年级数学上册3.3轴对称与坐标变化
4 3 2
y
1
0 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
探索坐标变化引起的图形变化
y
(0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)并用 线段依次连接， 得到“一条鱼”.
–1
5
4 3 2
1
0 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
探索坐标变化引起的图形变化
（1）将所得图案的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标 分别乘-1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？观察 坐标系中的两条鱼的位置关系？
(x , y) 关于y轴对称的两个点的坐标特征：
(-x , y)
（2）将所得图案的各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分 别乘-1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？观察坐标 系中的两条鱼的位置关系？
第一象限（ + ，+ ） 第二象限（ - ，+ ）
第三象限（ - ， -） 第四象限 （ + ， - ）
知识回顾：
1.在平面直角坐标系内有一点 A(a，b) ，若 ab 0 ，则 点A的位置在（ A、原点 ） B、x轴上
C、y轴上
D、坐标轴上
知识回顾：
1.在平面直角坐标系内有一点A(a,b)，若 ab=0，
知识回顾：
3.在同一平面直角坐标系中，过x轴上坐标是（-3,0）的
点作x轴的垂线，过y轴上坐标是（0，-3）的点作y轴的
垂线，两垂线交点为A，则点A的坐标是 。
知识回顾：
3.在同一平面直角坐标系中，过x轴上坐标是（-3,0）的
点作x轴的垂线，过y轴上坐标是（0，-3）的点作y轴的
3.3轴对称与坐标变化(定稿)
练习
1).点A在轴上，距离原点4个单位长度，则A点的坐标是
。
2).点A（1-a，5），B（3 ,b）关于y轴对称，则 a + b = ______。
3). 在平面直角坐标系内,已知点P ( a , b ), 且a b < 0 , 则点P的位置 在________。
4).如图，△AOB是边长为5的等边三角形,则A，B两点的坐标分别
关于y轴对称的两点的坐标, 横坐标 互为相反数， 纵坐标 相同
小试牛刀
1.已知点P(-3，4)，则 （1）点P关于x轴对称的点的坐标是 (-3，-4) ；
（2）点P关于y轴对称的点的坐标是 (3，4) ； 2.已知点P(a，b)，则
（1）点P关于x轴对称的点的坐标是 (a，-b) ； （2）点P关于y轴对称的点的坐标是 (-a，b) ；
A.- 2 B.2 C.1 D.- 1
5.(1)若 mn = 0，则点 P（m，n）必定在 坐标轴 上. (2)已知点 P（ a，b），Q（3，6），且 PQ ∥ x轴， 则b的值为 6 .
6. 已知A、B两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3）， 则下面四个结论： ①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关 于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有 (B ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A1(2，6) B1(5，4) C1(2，4) D1(2，0)
探究
如右图所示的平面直角坐标系中， 第一、二象限内各有一面小旗.
(-2，6)
(1)两面小旗之间有怎样的位置关系？
关于y轴成轴对称
对应点 A与A1 的坐标又有什么特点？
纵坐标相等，横坐标互为相反数
3.3轴对称与坐标变化
P2
1、说出图中各点的坐标
y
P1
P 1 (3, 4)
P2 (3, 4)
1
P3 (3, 4) P4 (3, 4)
O
1
x
P3
P4
2、在以上各点中，哪些点关于y轴对称，哪些点关于x轴对称 ,哪些点关于原点对称？ 3、若点M(x,4)到y轴的距离是3，则x= 若点N(-3,y)到x轴的距离是4，则y=
利用本节课的知识设 计完成下列两幅作品
y
O 1
x
必做题：课本P69 习题3.5 1 ，2,3 选作题：4 拓展题： 1. 已知A、B两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3），则下 面四个结论： ①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原 点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 *2.一束光线从点A（3，3）出发，经过ｙ轴上点C反射后经 过点Ｂ（1，0）则光线从A点到B点经过的路线长是 （ ）。 Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7
(x,y) (-x,y)
(0,0)
(5,4)
–5
(0,0) (-5,4)
y
5
4
3 2 1 0 –1 –2 –3 1 2 3 4 5 6 7 8
与 原 图 形 关 于 轴 对 称
3、如果图案的各 个顶点的横坐标保 持不变，纵坐标分 别变为原来的-1倍， 顺次连接所得的点， 你会得到怎样的图 案？ 这个图案与原图 x 案有怎样的位置关 系呢？
3、尝试归纳： 关于y轴对称的两点，他们横坐标 ______, 相反 纵坐标_____ 相同
p,
p
p ( x, y) 即点 p ( x, y )关于y轴的对称点_____
北师大版八年级数学上册：3.3《轴对称与坐标变化》教案
北师大版八年级数学上册：3.3《轴对称与坐标变化》教案一. 教材分析《轴对称与坐标变化》这一节的内容，主要让学生了解轴对称的概念，以及如何利用坐标来表示轴对称图形。
通过学习，学生能理解轴对称图形的性质，并能够运用坐标变化来解决一些实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的性质和坐标系有一定的了解。
但是，对于轴对称的概念和坐标变化的应用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考，自主探索轴对称的性质和坐标变化的应用。
三. 教学目标1.了解轴对称的概念，理解轴对称图形的性质。
2.学会利用坐标来表示轴对称图形，并能够运用坐标变化解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和思维能力。
四. 教学重难点1.轴对称的概念和性质。
2.坐标变化的应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考，自主探索轴对称的性质和坐标变化的应用。
同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备一些轴对称的图形，如正方形、矩形、三角形等。
2.准备坐标纸，以便学生进行坐标操作。
3.准备一些实际问题，如寻找平面直角坐标系中的对称点等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些轴对称的图形，如剪刀、飞机等，引导学生观察这些图形的特点，引出轴对称的概念。
2.呈现（10分钟）让学生拿出准备好的轴对称图形，观察并描述它们的特点。
引导学生发现轴对称图形的性质，如对称轴两侧的图形完全相同，对称轴是图形的中心线等。
3.操练（10分钟）让学生在坐标纸上画出一些轴对称图形，并标出对称轴。
然后，让学生将对称轴沿坐标轴移动，观察图形的变化。
通过操作，让学生理解坐标变化对轴对称图形的影响。
4.巩固（10分钟）让学生解决一些实际问题，如寻找平面直角坐标系中的对称点等。
通过解决问题，巩固学生对轴对称和坐标变化的理解。
5.拓展（10分钟）让学生思考：轴对称图形在现实生活中的应用。
3.3轴对称与坐标变化+课件+2023-2024学年北师大版数学八年级上册
6．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一 点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余 三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是( B ) A．点A B．点B C．点C D．点D
7．若点A(1＋m，1－n)与点B(－3，2)关于y轴对称，则m＋n的值 是( D ) A．－5 B．－3 C．3 D．1
即 22＋52＝ 29.
巩固提升
1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，2)．作点A关于x轴的对称 点，得到点A′，则点A′所在的象限是( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放 在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为(－5，3)，则其关于y轴 对称的点B的坐标为( A ) A．(5，3) B．(5，－3) C．(－5，－3) D．(3，5)
5．如图所示的点A，B，C，D，E中，哪两个点关于x轴对称？哪两个 点关于y轴对称？点C和点E关于x轴对称吗？为什么？ 解：因为点A(－3，2)，B(－3，－2)，E(3，－2)， 所以点A，B关于x轴对称，点B，E关于y轴对称． 因为点C(3，3)，E(3，－2)， 所以点C，E不关于x轴对称．
7．【空间观念、几何直观】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图 所示．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分别为A，B， C的对应点)； 解：如图所示，△A′B′C′即为所求．
(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标； 解：A′，B′，C′三点的坐标分别为(2，3)，(3，1)，(－1，－2)． (3)在y轴上找一点P，使得PA＋PB最小，画出点P所在的位置(保留作 图痕迹，不写作法)，并求出PA＋PB的最小值． 解：如图所示，点 P 即为所求，PA＋PB 的最小值为线段 A′B 的长，
3.3轴对称与坐标变化课件 2024-2025学年北师大版八年级数学上册
(3)在这个坐标系里画出小旗ABCD关于x
(2，6)
轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标
与原来的点的坐标有什么关系？
先做出对称图形：
对应点横坐标相同，
纵坐标互为相反数.
步骤：①找各对应点位置；②连线
A (2,6)
A2 ( 2 , -6 )
B (5,4)
C (2,4)
B2 ( 5 , -4 ) C2 ( 2 , -4 )
2.各顶点关于原点对称，则构成的图形关于原点对称
课堂小结
点P（a，b）
(2，6)
点P（a，b）
关于y轴对称
关于x轴对称
点P（a，b） 关于原点对称
点坐标(-a，b)
点坐标(a，-b)
点坐标(-a，-b)
关于y轴对称的图形：各顶点关于y轴对称；
关于x轴对称的图形：各顶点关于x轴对称
B3
C3
A3
C2
A2
D. (3，－4)
12.如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点
(0，1)，△ABC关于直线l对称，点B的坐标为(－1，－1)，则点C的坐标为
(－1，3)
.
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线l∥y轴且过点(1，0)，依次作
△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，作△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2，
2.各顶点关于x轴对称，则构成的图形关于x轴对称
(3)将各坐标的横，纵坐标都乘以
-1，那么图形会怎么变化呢？
坐标变化为：
(x,y)
(5,4)
(3,0)
(5,1)
(x,-y) (-5,-4) (-3,0) (-5,-1)
北师大数学八年级上册第二章3.3轴对称与坐标变化
3.3轴对称与坐标变化知识精讲图形的平移1．在平面直角坐标系中，图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别加上（或减去）一个正数a，则图形沿水平方向向右（或向左）平移a个单位长度，图形形状、大小不变．2．在平面直角坐标系中，图形上各点的横坐标不变，纵坐标分别加上（或减去）一个正数b，则图形向上（或向下）平移b个单位长度，图形形状、大小不变．横坐标（x）纵坐标（y）左右向左移动n个单位长度（n>0），横坐标变为x n-不变向右移动n个单位长度（n>0），横坐标变为x n+上下不变向上移动n个单位长度（n>0），纵坐标变为x n+向下移动n个单位长度（n>0），纵坐标变为x n-割分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可．补补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分．三点剖析一．考点：用坐标表示地理位置，坐标系内图形的变换，计算坐标系内图形的面积，坐标找规律．二．重难点：坐标系内图形的变换，计算坐标系内图形的面积，坐标找规律．三．易错点：1．平行移动最关键的是掌握平移的方向与坐标变化之间的关系，可以用口诀形式表示：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减；2．求面积时，优先考虑补的方法，通常补成一个长方形或者梯形，之后再相减求解即可；3．计算坐标系内图形的面积时，平行或垂直于坐标轴直线上的两个点之间的距离，用横坐标之差的绝对值或者纵坐标之差的绝对值表示．用坐标表示地理位置例题1、多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了动物园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道马场的坐标为（－1，－2），你能帮她建立平面直角坐标系并求出其他各景点的坐标？（图中每个小正方形的边长为1）【答案】两栖动物（6，2）；狮子（－2，6）；飞禽（5，5）【解析】如图所示：南门（2，1），两栖动物（6，2），狮子（－2，6），飞禽（5，5）．随练1、如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（－6，－3）时，表示左安门的点的坐标为（5，－6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（－12，－6）时，表示左安门的点的坐标为（10，－12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（－11，－5）时，表示左安门的点的坐标为（11，－11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（－16.5，－7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，－16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②③B.②③④C.①④D.①②③④【答案】D【解析】①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（－6，－3）时，表示左安门的点的坐标为（5，－6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（－12，－6）时，表示左安门的点的坐标为（10，－12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（－5，－2）时，表示左安门的点的坐标为（11，－11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（－16.5，－7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，－16.5），此结论正确．坐标系内图形的变换例题1、把点P（1，1）向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的坐标为________。
3.3轴对称与坐标变化
（5，-1）
（ 3， 0） （4，-2） （ 0， 0）
（ 5， 2）
（ 3， 3） （ 4， 1） （ 0， 3）
y
8 7
（x，y）→(x,y+3)
原来的“鱼”被纵向 （向上）平移3个单位
6 5 4 3 2 1
O-1
-2 -3 -4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
问题（4）将上面“鱼”的“顶点”的横坐标 保持不变，纵坐标分别加－2呢？所得的“鱼” 与原来的“鱼”相比有什么变化？
2.松树沿x轴方向，向右平移2个单位长度。 Y Y
1 O1
X X x+2 , ____ y )? (x, y)( ____
1 O
3
作业：
1、复习题第1、3题； 2、相关资料书的习题。
（ 0， 0） （ 5， 4） （0， -2 ） （ 5 ， 2） （3， -2 ） （5， -1）
（ 3， 0）
（ 5， 1） （5，-1） （ 3， 0） （4，-2）
（5， -3 ）
（3， -2 ） （4， -4） （0， -2 ）
（ 0， 0）
y
8 7 6
（x，y）→(x, y－2)
原来的“鱼”被纵向 （向下）平移2个单位
Y 8 如图6所示,所得 7 的图案与原图案 6 相比,形状不变, 5 图案放大了. 4 3 2 1
O -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
归纳：
（x，y）→(ax, by)
原来的“鱼”被横向拉长或压缩为原来 的a倍；被纵向拉长或压缩为原来的b倍。
练一练
将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
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学习目标
1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化 与图形的轴对称变换之间的关系． 2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索 过程，发展形象思维能力和数形结合意识．
一 探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗．两面 小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么特点？其它对应 的点也有这个特点吗？
例2 在平面直角坐标系中，点P(-3,m2+1)关于原点的对称 点在第______象限.
三 探索平面上两点关于角平分线对称的坐标关系
如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线, 直线l1是第二、四象限的角平分线。
实验与探究： 由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点 A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明 B(5,3)、C(−2,5)关于直线l的对称点B′、 C′的位置,并写出它们的坐标：B′___、 C′___；
横坐标相同、纵坐标相反的两点关于_____对称； 横坐标相反、纵坐标相同的两点关于_____对称．
例1 点A(-3，1)关于x轴对称的点的坐标为________，关于y 轴对称的点的坐标为___________．
即学即练 五个点的坐标如下：A(-1，2)，B(1，2)，C(2，-1)， D(-1，-2)，E(2，1)，其中关于x轴对称的点有____________ ， 关于y轴对称的有 ________________．
二 探索平面上两点关于原点对称的坐标关系
1.点A(3，-2)关于x轴对称的点B的坐标为_____，点B关于y轴 对称的点C的坐标为_____． 点A与点C的位置有什么关系？它们的坐标有什么关系？
关于坐标原点对称的两点，它们的横坐标____， 纵坐标 _____ ． 反过来，横、纵坐标相反的两点关于 _____对称
例2 如图，与①中的三角形相比，②中的三角形发生的变化是（ ）
A. 向左平移3个单位
B. 向左平移1个单位
C. 向上平移3个单位
D. 向下平移1个单位
即学即练
将点M（a，b）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长 度后，其坐标变为（1，-6），则a=________，b=_________．
融合应用
自我提升
一、反思总结 1．你学到了什么知识和思想方法？ 2．学到了哪些题型及其基本解法？ 3．你还有哪些困惑？
二、检测拓展 1.将点P(a+b，a-b)向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得 到的点的坐标是(3，3)，则点（a，b）在第________象限. 2.点P（2，-3）关于第一、三象限角平分线的对称点的坐标 _________；关于第二、四象限角平分线的对称点的坐标_______ 3.己知两点A（0，4），B（8，2），点P是轴上的一点，求PA+PB 的最小值.
2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关 于y轴对称的点，看看两个点的坐标有什么关系， 说说其中的道理． 3.如果关于x轴对称呢？在这个坐标系里作出小旗 ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与 原来的点的坐标有什么关系？
归纳总结 关于x轴对称的两点，它们的横坐标_____，纵坐标_____； 关于y轴对称的两点，它们的横坐标_____，纵坐标_____． 反过来，坐标具有上述关系的点，一定关于坐标轴对称吗？
四 探索图形的平移变换
1.将点（2，3）的横坐标不变，纵坐标增加2，点的坐标变为 ________，若纵坐标不变，横坐标增加2，点的坐标变为 ________，若横、纵坐标都增加2，点的坐标变为________． 2.将点（2，3）向下平移1个单位得到的点的坐标为________， 将点（2，3）向左平移1个单位得到的点的坐标为________， 将点（2，3）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的 点的坐标为________．
A(0,2)关于直线l1的对称点A1(-2,0),请 在图中分别标明B(5,3)、C(−2,5)关于 直线l的对称点B1、C1的位置,并写出它 们的坐标：B1___、C1 ___；
归纳与发现： 结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现：坐标平面内任 一点P(m,n)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的 坐标为________；关于二、四象限的角平分线的对称点P1 的坐标为__________
1．在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于x轴对称，则 点B的坐标为________． 2.已知点P(2a，3)，点A(-1，3b+2)． （1）如果点P与点A关于x轴对称，那么a+b= ________； （2）如果点P与点A关于y轴对称，那么a+b= ________； （3）如果点P与点A关于O点对称，那么a+b=________ ． 3.一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B （1，0）则光线从A点到B点经过的路线长是________ ．