广东省广州市高三12月模拟考试文科数学试卷

广东省广州市2017届高三12月模拟考试文科数学试卷
本试卷共4页,23小题,满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．全集{0,1,2,3,4}U =,集合{0,1,3}A =,集合{2,3}B =,则()U A B =ð（ ）
A ．{4}
B ．
{}0,1,2,3
C ．
{}3
D ．
{}0,1,2,4
2．设(1i)(i)x y ++2=,其中,x y 是实数,则2i x y +=（ ）
A ．1
B
C
D
3．已知双曲线C ：22
221x y a b -=（0,0a b >>）的渐近线方程为2y x =±,则双曲线C 的离心率为（ ）
A
B
C
D
4．袋中有大小,形状相同的红球,黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸出一个球,若摸到红球得2分,摸到黑球得1分,则3次摸球所得总分为5分的概率是( )
A ．13
B ．38
C ．
12 D ．58
5．已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴正半轴重合,终边过点()1,2P ,则tan2θ=( )
A ．
4
3
B ．
45
C ．45-
D ．43
-
6．已知菱形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒,则BD CD =( )
A ．6-
B ．3-
C ．3
D ．6
7．已知函数2,0,()1
,0,x x f x x x
⎧≥⎪=⎨<⎪⎩()()g x f x =--则函数()g x 的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．曲线2x y =上存在点(),x y 满足约束条件30230x y x y x m +-⎧⎪
--⎨⎪⎩
≤≤≥,则实数m 的最大值为( )
A ．2
B ．
C ．1
D ．1-
9．阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )
A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
10．若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是( )．
A ．
π8 B ．
π4 C ．3π
8
D ．
3π4
11．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥
的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是( ) A ．25π B ．
25π4 C ．29π
D ．29π4
12．若函数()e (sin cos )x f x x a x =+在ππ(,)42
上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1]-∞
B ．(),1-∞
C ．[1,)+∞
D ．()1,+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题,每个考生都必须作答．第22～23题为选考题,考生根据要求作答．
二、填空题:本小题共4题,每小题5分．
13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若230a S +=,则公比q =_________． 14．已知函数2
2(1)
()log 1
x f x x +=-,若()2f a =,则_________． 15．设,P Q 分别是圆2
2
(1)3x y +-=和椭圆2
214
x y +=上的点,则,P Q 两点间的最大距离是_________．
16．已知锐角ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1a =,2cos 2C c b +=,则ABC △的周长的取值范围是_________．
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中,3412a a +=,749S =．
2
3
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）记[]x 表示不超过x 的最大整数,如[0.9]0=,[2.6]2=，令[lg ]n n b a =,求数列{}n b 的前2 000项和． 18．（本小题满分12分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级;在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲,乙两座城市2016年的空气质量情况,从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本,监测值如以下茎叶图所示（十位为茎,个位为叶）．
（Ⅰ）从甲,乙两城市共采集的40个数据样本中,
从PM2.5日均值在[]60,80范围内随机取2天 数据,求取到2天的PM2.5均超标的概率; （Ⅱ）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年 的空气质量情况,则甲,乙两城市一年（按365天计算） 中分别约有多少天空气质量达到一级或二级． 19．（本小题满分12分）
在三棱锥P ABC -中,△PAB 是等边三角形,60APC BPC ∠=∠=︒． （Ⅰ）求证:AB PC ⊥;
（Ⅱ）若4PB =,BE PC ⊥,求三棱锥B PAE -的体积 20．（本小题满分12分）
已知点()()1122,,,A x y B x y 是抛物线2
8y x =上相异两点,且满足124x x +=．
（Ⅰ）若直线AB 经过点()2,0F ,求AB 的值;
（Ⅱ）是否存在直线AB ,使得线段AB 的中垂线交x 轴于点M ,且||MA =,求直线AB 的方程;若不存在,说明理由． 21．（本小题满分12分）
设函数()()ln f x mx n x =+．若曲线()y f x =在点e,(e))P f （处的切线方程为2e y x =-（e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）若,a b +∈R ,试比较
()()2f a f b +与()2
a b
f +的大小并予以证明．
请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方
程为sin ,
(1cos x t t y t ϕϕ
=⎧⎨
=+⎩为参数,0π)ϕ＜＜,曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,当ϕ变化时,求AB 的最小值． 23．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知()|1|f x ax =-,不等式()3f x ≤的解集是{|12}x x -≤≤． （Ⅰ）求a 的值; （Ⅱ）若
()()
||3
f x f x k +-＜存在实数解,求实数k 的取值范围．。