2018-2019学年高二数学新人教A版选修1-1课件：第2章 2.1.1(二)
合集下载
2018-2019学年高二数学新人教A版选修1-1课件：第1章 章末复习
第一章 常用逻辑用语
章末复习
学习目标
1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系. 2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的 判定方法. 3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假. 4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题 的真假，会求含有一个量词的命题的否定.
跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是 A.a2>b2>0 B.
log 1 a log 1 b 0
2 2
√
C.ln a>ln b>0
D.xa>xb且x>0.5
解析
答案
命题角度2 充分条件与必要条件的应用 例3 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0
2.“所有奇数都是质数 ”的否定“至少有一个奇数不是质数 ”是真命
题.( √ )
3.命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致.( × )
4. 已知命题 p ： ∃x0∈R ， x0 － 2 ＞ 0 ，命题 q ： ∀x∈R ， x2 ＞ x ，则命题
p∨(綈q)是假命题.( × )
题型探究
3.简单的逻辑联结词 (1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得 p∧q ， p∨q， 綈p . ____ (2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断： 一真一假 p∧q 中 p ， q 有 一 假 即 为 假 ， p∨q 有 一 真 即 为 真 ， p 与 綈p必定 是 .
4.全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称命题： 全称量词用符号“ ∀ ”表示. 全称命题用符号简记为 ∀x∈M，p(x) . (2)存在量词与特称命题： 存在量词用符号“ ∃ ”表示. 特称命题用符号简记为 ∃x0∈M，p(x0) .
章末复习
学习目标
1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系. 2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的 判定方法. 3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假. 4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题 的真假，会求含有一个量词的命题的否定.
跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是 A.a2>b2>0 B.
log 1 a log 1 b 0
2 2
√
C.ln a>ln b>0
D.xa>xb且x>0.5
解析
答案
命题角度2 充分条件与必要条件的应用 例3 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0
2.“所有奇数都是质数 ”的否定“至少有一个奇数不是质数 ”是真命
题.( √ )
3.命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致.( × )
4. 已知命题 p ： ∃x0∈R ， x0 － 2 ＞ 0 ，命题 q ： ∀x∈R ， x2 ＞ x ，则命题
p∨(綈q)是假命题.( × )
题型探究
3.简单的逻辑联结词 (1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得 p∧q ， p∨q， 綈p . ____ (2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断： 一真一假 p∧q 中 p ， q 有 一 假 即 为 假 ， p∨q 有 一 真 即 为 真 ， p 与 綈p必定 是 .
4.全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称命题： 全称量词用符号“ ∀ ”表示. 全称命题用符号简记为 ∀x∈M，p(x) . (2)存在量词与特称命题： 存在量词用符号“ ∃ ”表示. 特称命题用符号简记为 ∃x0∈M，p(x0) .
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
合作探究 课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1课件：第2章 本章整合
在两个参数之间建立等量关系;
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值
范围;
④利用基本不等式求出参数的取值范围;
⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.
-15-
本章整合
专题1 专题2 专题3
知识建构
综合应用
真题放送
-16-
本章整合
专题1 专题2 专题3
知识建构
综合应用
真题放送
-17-
-3-
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
专题1 专题2 专题3
应用1已知直线y=ax-1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点. (1)当a为何值时,A,B分别在双曲线的两支上? (2)当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点? 提示将直线方程与双曲线方程联立,利用根与系数的关系来求解.
-4-
本章整合
-10-
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
专题1 专题2 专题3
注意:①如果问题中涉及平面向量的知识,那么应从已知向量的 特点出发,考虑选择向量的几何形式或代数形式进行“摘帽子或脱 靴子”转化.
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨 迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性” 的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合问题中,常借助“平面几何的相关性
质”数形结合(如角平分线的双重身份——对称性、利用到角两边 的距离相等公式)、方程与函数性质等化解析几何问题为代数问题 “分类讨论思想”化整为零来分化处理“求值构造等式、求变量范围 构造不等关系”等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应
答案:D
-20-
2018-2019学年高二数学新人教A版选修1-1课件：第2章 2.2.1
解析 答案
命题角度2 求双曲线标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)a＝4，经过点
4 A1，－
10 ； 3
解答
(2)经过点(3,0)，(－6，－3). 解 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
m＝1， 9 9m＋0＝1， ∴ 解得 1 36m＋9n＝1， n＝－3，
2－a2 2 c 的定形条件，注意这里的b ＝ 与椭圆中的b2＝
a2－c2 相区别.
[思考辨析 判断正误] 1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹 是双曲线.( × )
x2 y2 2.在双曲线标准方程 2－ 2 ＝1中，a>0，b>0且a≠b.( × ) a b
3.双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b.( × )
若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 √ D.焦点在x轴上的双曲线
y2 x2 解析 原方程化为 2 － ＝1， k －1 k＋1
∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
y2 x2 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b ____________________
图形
焦点坐标 a，b，c的关系式
F1(－c，0)，F2(c，0) ____________________
F1(0，－c)，F2(0，c) ____________________
a2＋b2＝c2 ___________
命题角度2 求双曲线标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)a＝4，经过点
4 A1，－
10 ； 3
解答
(2)经过点(3,0)，(－6，－3). 解 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
m＝1， 9 9m＋0＝1， ∴ 解得 1 36m＋9n＝1， n＝－3，
2－a2 2 c 的定形条件，注意这里的b ＝ 与椭圆中的b2＝
a2－c2 相区别.
[思考辨析 判断正误] 1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹 是双曲线.( × )
x2 y2 2.在双曲线标准方程 2－ 2 ＝1中，a>0，b>0且a≠b.( × ) a b
3.双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b.( × )
若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 √ D.焦点在x轴上的双曲线
y2 x2 解析 原方程化为 2 － ＝1， k －1 k＋1
∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
y2 x2 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b ____________________
图形
焦点坐标 a，b，c的关系式
F1(－c，0)，F2(c，0) ____________________
F1(0，－c)，F2(0，c) ____________________
a2＋b2＝c2 ___________
人教版A版高中数学选修1-1第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆 信息技术应用《几何画板》探究点的轨迹---椭圆教
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>b>0)
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
3.椭圆的几何性质：
e c (0 e 1) a
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
概念重温
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内 一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与 OM交于点P，则点P的轨迹是
课课件件名 名
用《几何画板》探用究《几点何画的板》轨探迹究点：的轨椭迹：圆椭圆
焦半径公式：
焦点在x轴：｜MF1| = a + ex , 左加右减
|MF2| = a - ex
焦点在y轴：｜MF1| = a + ey , 下加上减
|MF2| = a - ey
课课件件名 名
用《几何画板》探用究《几点何画的板》轨探迹究点：的轨椭迹：圆椭圆
椭圆的第二定义
1、定义：平面内到一个定点F和一条定直线 l
（F不在 l上） 的距离的比为常数e(0<e<1)的点
M的轨迹，叫椭圆。定点F叫焦点，定直线 l 叫准 线。
2、定义式：
_|_M___F__1_|_ d1
=e
_|_M___F__2_|_ d2
=e
左对左，右对右
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
椭圆的方程与准线方程
x2 a2
+
y2 b2
=1
左对左，右对右
右准线 方程：
x=
a2 c
左准线 方程：
x=-ac2
左准线 左准线 右准线
高二人教A版数学选修1-1同步课件2章末
第十页，编辑于星期一：点 四十七分。
[例2] 已知抛物线y2＝2x上两个动点A、B，且|AB|＝3， 求AB的中点P到y轴距离的最小值．
[解析] 如右图，分别过A、B、P作准线l的垂线，设 垂足为A1、B1、P1，PP1交y轴于Q点，连结AF、BF.
由抛物线定义可知 |AF|＝|A1A|， |BF|＝|B1B|， ∴|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|. 又四边形A1ABB1为梯形，P1P是中位线，
[点评] 圆锥曲线随着定义的不同，那么它们的几何 性质也不尽相同，这就需要结合相关圆锥曲线的定义和方 程，准确刻画它们的几何性质．通常由圆锥曲线方程研究 圆锥曲线的几何性质时，常把圆锥曲线方程化成标准方程， 再讨论曲线的顶点、焦点、准线、离心率、渐近线、对称 性等几何性质.
第二十三页，编辑于星期一：点 四十七分。
第十六页，编辑于星期一：点 四十七分。
当 m＝－2k 时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与 已知矛盾；
当 m＝－27k时，l：y＝k(x－27)，直线过定点27，0. 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
第十七页，编辑于星期一：点 四十七分。
[例 4] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分 别是 F1，F2，离心率为 e.直线 l：y＝ex＋a 与 x 轴、y 轴分别 交于点 A，B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设A→M＝λA→B.
轴的交点，所以 A，B 的坐标分别是－ae，0，(0，a)． 设 M 的 坐 标 是 (x0 ， y0) ， 由A→M ＝ λ A→B 得 x0＋ae，y0 ＝
λae，a，
第二十页，编辑于星期一：点 四十七分。
[例2] 已知抛物线y2＝2x上两个动点A、B，且|AB|＝3， 求AB的中点P到y轴距离的最小值．
[解析] 如右图，分别过A、B、P作准线l的垂线，设 垂足为A1、B1、P1，PP1交y轴于Q点，连结AF、BF.
由抛物线定义可知 |AF|＝|A1A|， |BF|＝|B1B|， ∴|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|. 又四边形A1ABB1为梯形，P1P是中位线，
[点评] 圆锥曲线随着定义的不同，那么它们的几何 性质也不尽相同，这就需要结合相关圆锥曲线的定义和方 程，准确刻画它们的几何性质．通常由圆锥曲线方程研究 圆锥曲线的几何性质时，常把圆锥曲线方程化成标准方程， 再讨论曲线的顶点、焦点、准线、离心率、渐近线、对称 性等几何性质.
第二十三页，编辑于星期一：点 四十七分。
第十六页，编辑于星期一：点 四十七分。
当 m＝－2k 时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与 已知矛盾；
当 m＝－27k时，l：y＝k(x－27)，直线过定点27，0. 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
第十七页，编辑于星期一：点 四十七分。
[例 4] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分 别是 F1，F2，离心率为 e.直线 l：y＝ex＋a 与 x 轴、y 轴分别 交于点 A，B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设A→M＝λA→B.
轴的交点，所以 A，B 的坐标分别是－ae，0，(0，a)． 设 M 的 坐 标 是 (x0 ， y0) ， 由A→M ＝ λ A→B 得 x0＋ae，y0 ＝
λae，a，
第二十页，编辑于星期一：点 四十七分。
高中数学人教A版选修1-2第二章 2.1 2.1.2 演绎推理课件
(2)特点：演绎推理是从 一般 到 特殊 的推理．
(3)模式：三段论．
2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[点睛] 用集合的观点理解三段论 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子 集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．1.2 演绎推理
预习课本 P30～33，思考并完成下列问题
(1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
(1)概念：从一般性的原理 出发，推出某个特殊情况 下的 结论 ，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求 证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论)
D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论： 无限不循环小数是无理数
解析：选 B 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不 符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段 论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演 绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不 符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在代数中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a＞1)，求证：函数 f(x)在 (－1，＋∞)上为增函数． [证明] 对于任意 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，若 f(x1) ＜f(x2)，则 y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
(3)模式：三段论．
2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[点睛] 用集合的观点理解三段论 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子 集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．1.2 演绎推理
预习课本 P30～33，思考并完成下列问题
(1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
(1)概念：从一般性的原理 出发，推出某个特殊情况 下的 结论 ，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求 证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论)
D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论： 无限不循环小数是无理数
解析：选 B 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不 符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段 论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演 绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不 符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在代数中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a＞1)，求证：函数 f(x)在 (－1，＋∞)上为增函数． [证明] 对于任意 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，若 f(x1) ＜f(x2)，则 y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x2 y2 即点 P 的轨迹 C 的方程是 4 ＋ 3 ＝1.
解答
达标检测
1.方程 x－2 ＋y ＋ x＋2 ＋y ＝10 化简结果是
2 2 2 2
x2 y2 A.25＋16＝1 x2 y2 C.25＋ 4 ＝1
√
2 2
x2 y2 B.25＋21＝1 y2 x2 D.25＋21＝1
2 2
解答
反思与感悟
当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相
关点的方法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为 (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1).
x1＝gx，y， (2)求关系式： 用点 P 的坐标表示出点 Q 的坐标， 即得关系式 y1＝hx，y.
点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c.
跟踪训练1
如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－
3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.
解
设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的
距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把
所得方程化简即可.
跟踪训练2
如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P 4 在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝ |PD|.当P在圆上 5 运动时，求点M的轨迹C的方程，并判断此曲线的类型. 解 设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，
3.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( × )
题型探究
类型一 例1 解
定义法求轨迹方程
如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为 ∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，
(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程.
∴|AQ|＝|PQ|，
(2)当a≠－1时，曲线表示椭圆，去掉两点(±2,0).
当－1<a<0时，椭圆焦点在x轴上；
当a<－1时，椭圆焦点在y轴上.
解答
反思与感悟
通过本例的学习，体会椭圆的另一种生成方法：一个动点到
两个定点连线的斜率之积是一个负常数(不等于－1)，轨迹即为椭圆，但要 注意除去不符合题意的点.
跟踪训练3 解
解析
答案
2.若△ABC的两个顶点坐标为A(－6,0)，B(6,0)，△ABC的周长为 32，则顶 点C的轨迹方程为
所以动圆圆心 P 的轨迹是以 A，B 为左、右焦点的椭圆，其中 c＝3，a
2 2 x y ＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为16＋ 7 ＝1.
解答
类型二
相关点法求轨迹方程
例2
x2 2 已知 x 轴上一定点 A(1,0)，Q 为椭圆 4 ＋y ＝1 上的动点，求线段
AQ 中点 M 的轨迹方程.
解析
方程 x－2 ＋y ＋ x＋2 ＋y ＝10 表示动点 M(x，y)到两个定点
(± 2,0)的距离之和为定值 10＝2a，且 10>2＋2，由题意可得，动点 M 的轨 迹是椭圆，
且b2＝a2－c2＝52－22＝21，
x2 y2 可得椭圆的方程为25＋21＝1，故选 B.
1 2 3 4 5
直接法 定义法 相关点法
[思考辨析 判断正误] 1. 已知 F1( － 4,0) ， F2(4,0) ，平面内到 F1 ， F2 两点的距离之和等于 8 的点
的轨迹是椭圆.( × )
2.平面内到点 F1( －4,0)， F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1， F2
的距离之和的点的轨迹是椭圆.( √ )
第二章 §2.1
椭
圆
2.1.1 椭圆及其标准方程(二)
学习目标
加深理解椭圆的定义及其标准方程，能பைடு நூலகம்练求解与椭圆有关的
轨迹问题.
内容索引
问题导学 题型探究
达标检测
问题导学
知识点
椭圆方程的求法
思考1
2 2 x y 用待定系数法求椭圆的标准方程 2＋ 2＝1，需要几个独立条件？ a b
答案 需要两个独立条件，因为方程中有两个独立参数a，b.
xP＝x， 由已知易得 5 yP＝ y， 4
∵P 在圆上，∴x
2
5 2 ＋4y ＝25，
x2 y2 即轨迹 C 的方程为25＋16＝1.该曲线表示焦点在 x 轴上的椭圆.
解答
类型三
直接法求轨迹方程
例3
如图，设点 A，B 的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，直线 AM，BM 相交
∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6>|AB|＝4，
∴点Q的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝6,2c＝4，
∴a＝3，c＝2，即b2＝a2－c2＝5，
x2 y2 ∴点 Q 的轨迹方程为 9 ＋ 5 ＝1.
解答
反思与感悟
用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目
条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原
3 于点 M，且它们的斜率之积是－4，求点 M 的轨迹方程.
解答
引申探究
3 若将本例中的－4改为a(a<0)，曲线形状如何？ y y 解 设点 M(x，y)，则 · ＝a(x≠± 2). x＋2 x－2
y2 x2 化简得 ＋ 4 ＝1(x≠± 2). －4 a
(1)当a＝－1时，曲线表示圆x2＋y2＝4(x≠±2)，去掉两点(±2,0).
→ → → 已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足 MN· MP＝6|PN|. 求动点P
的轨迹C的方程. 设动点P(x，y)，
→ → → 则MP＝(x－4，y)，MN＝(－3,0)，PN＝(1－x，－y)，
由已知得－3(x－4)＝6 1－x2＋－y2，
化简得3x2＋4y2＝12，
x2 y2 即 4 ＋ 3 ＝1.
思考2 椭圆方程的求法，除待定系数法外，还有哪些方法？
答案 定义法、直接法等.
梳理 方法名称 待定系数法 适用条件 已知是椭圆，且知椭圆长、短轴、焦点、焦距、或椭圆上
的点等条件中的某些条件 等量关系比较明确(推导椭圆标准方程采用的就是直接法) 能得出动点到两定点的距离之和为定值 所求动点与已知条件的另一动点存在坐标相关关系
解答
达标检测
1.方程 x－2 ＋y ＋ x＋2 ＋y ＝10 化简结果是
2 2 2 2
x2 y2 A.25＋16＝1 x2 y2 C.25＋ 4 ＝1
√
2 2
x2 y2 B.25＋21＝1 y2 x2 D.25＋21＝1
2 2
解答
反思与感悟
当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相
关点的方法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为 (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1).
x1＝gx，y， (2)求关系式： 用点 P 的坐标表示出点 Q 的坐标， 即得关系式 y1＝hx，y.
点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c.
跟踪训练1
如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－
3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.
解
设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的
距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把
所得方程化简即可.
跟踪训练2
如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P 4 在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝ |PD|.当P在圆上 5 运动时，求点M的轨迹C的方程，并判断此曲线的类型. 解 设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，
3.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( × )
题型探究
类型一 例1 解
定义法求轨迹方程
如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为 ∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，
(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程.
∴|AQ|＝|PQ|，
(2)当a≠－1时，曲线表示椭圆，去掉两点(±2,0).
当－1<a<0时，椭圆焦点在x轴上；
当a<－1时，椭圆焦点在y轴上.
解答
反思与感悟
通过本例的学习，体会椭圆的另一种生成方法：一个动点到
两个定点连线的斜率之积是一个负常数(不等于－1)，轨迹即为椭圆，但要 注意除去不符合题意的点.
跟踪训练3 解
解析
答案
2.若△ABC的两个顶点坐标为A(－6,0)，B(6,0)，△ABC的周长为 32，则顶 点C的轨迹方程为
所以动圆圆心 P 的轨迹是以 A，B 为左、右焦点的椭圆，其中 c＝3，a
2 2 x y ＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为16＋ 7 ＝1.
解答
类型二
相关点法求轨迹方程
例2
x2 2 已知 x 轴上一定点 A(1,0)，Q 为椭圆 4 ＋y ＝1 上的动点，求线段
AQ 中点 M 的轨迹方程.
解析
方程 x－2 ＋y ＋ x＋2 ＋y ＝10 表示动点 M(x，y)到两个定点
(± 2,0)的距离之和为定值 10＝2a，且 10>2＋2，由题意可得，动点 M 的轨 迹是椭圆，
且b2＝a2－c2＝52－22＝21，
x2 y2 可得椭圆的方程为25＋21＝1，故选 B.
1 2 3 4 5
直接法 定义法 相关点法
[思考辨析 判断正误] 1. 已知 F1( － 4,0) ， F2(4,0) ，平面内到 F1 ， F2 两点的距离之和等于 8 的点
的轨迹是椭圆.( × )
2.平面内到点 F1( －4,0)， F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1， F2
的距离之和的点的轨迹是椭圆.( √ )
第二章 §2.1
椭
圆
2.1.1 椭圆及其标准方程(二)
学习目标
加深理解椭圆的定义及其标准方程，能பைடு நூலகம்练求解与椭圆有关的
轨迹问题.
内容索引
问题导学 题型探究
达标检测
问题导学
知识点
椭圆方程的求法
思考1
2 2 x y 用待定系数法求椭圆的标准方程 2＋ 2＝1，需要几个独立条件？ a b
答案 需要两个独立条件，因为方程中有两个独立参数a，b.
xP＝x， 由已知易得 5 yP＝ y， 4
∵P 在圆上，∴x
2
5 2 ＋4y ＝25，
x2 y2 即轨迹 C 的方程为25＋16＝1.该曲线表示焦点在 x 轴上的椭圆.
解答
类型三
直接法求轨迹方程
例3
如图，设点 A，B 的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，直线 AM，BM 相交
∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6>|AB|＝4，
∴点Q的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝6,2c＝4，
∴a＝3，c＝2，即b2＝a2－c2＝5，
x2 y2 ∴点 Q 的轨迹方程为 9 ＋ 5 ＝1.
解答
反思与感悟
用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目
条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原
3 于点 M，且它们的斜率之积是－4，求点 M 的轨迹方程.
解答
引申探究
3 若将本例中的－4改为a(a<0)，曲线形状如何？ y y 解 设点 M(x，y)，则 · ＝a(x≠± 2). x＋2 x－2
y2 x2 化简得 ＋ 4 ＝1(x≠± 2). －4 a
(1)当a＝－1时，曲线表示圆x2＋y2＝4(x≠±2)，去掉两点(±2,0).
→ → → 已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足 MN· MP＝6|PN|. 求动点P
的轨迹C的方程. 设动点P(x，y)，
→ → → 则MP＝(x－4，y)，MN＝(－3,0)，PN＝(1－x，－y)，
由已知得－3(x－4)＝6 1－x2＋－y2，
化简得3x2＋4y2＝12，
x2 y2 即 4 ＋ 3 ＝1.
思考2 椭圆方程的求法，除待定系数法外，还有哪些方法？
答案 定义法、直接法等.
梳理 方法名称 待定系数法 适用条件 已知是椭圆，且知椭圆长、短轴、焦点、焦距、或椭圆上
的点等条件中的某些条件 等量关系比较明确(推导椭圆标准方程采用的就是直接法) 能得出动点到两定点的距离之和为定值 所求动点与已知条件的另一动点存在坐标相关关系