概率论第一章小节
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
概率论第四讲--第一章小结
验 击毁.问: (1)火炮与坦克被击毁的概率分别为多
概 少?
型 (2)火炮与坦克都不被击毁的概率为多 少?
独 (二)独立试验概型
立 1.定义
性 (1)独立试验概型
与
将试验E独立重复进行n次,则称这n次
独 试验为n次独立重复试验概型,简称独立试
立 验概型.
独
第一章小结
立
基本概念：事件、概率、事件的独立性、独立重
试
复试验;
验 基本运算：等可能概型;
概
常用公式：条件概率公式，全概率公式,Bayes 公 式。
型
独
例3：有战士20名进行射击，其中15名优秀射手，
其命中概率为0.9，其余战士命中概率为0.7。今任抽
立 一名射手后命中，问该射手属于优秀射手的概率。
k
P( X k ) Pn (m) Cnm pmqnm
试
m0
m0
验 而事件A出现次数不少于k次的概率为
n
n
概
P( X k ) Pn (m) Cnm pmqnm
型
mk
mk
推论3 在k次独立重复试验中，事
件A至少出现一次的概率为
P( X 1) 1 (1 p)n
例4 某种产品的废品率为0.05,今抽
独 取10件检验.求:其中恰有4件废品的概 率.
立 例5 有100件产品,其中有5件废品,今
试 抽取10件检验.求:其中恰有4件废品的 概率.
验 例6 火炮对暴露的火力点射击,每次
概 射击的命中率p=0.1,设摧毁目标仅需
型
命中一发.为使摧毁目标的概率不小于 0.8.问:至少需要进行几次独立射击.
概率论和数理统计知识总结之第一章
第一章 概率论的基本概念确定性现象：在一定条件下必然发生的现象随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性，在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象随机实验：具有下述三个特点的实验：1.可以在相同的条件下重复地进行2.每次实验的可能结果不止一个，且能事先明确实验的所有可能结果3.进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现样本空间：将随机实验E 的所有可能出现的结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本点：样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点 样本空间的元素是由实验的目的所确定的。
随机事件：一般，我们称实验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件在每次实验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。
基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
必然事件：样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次实验中它总是发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次实验中，称为不可能事件。
事件间的关系与运算：设实验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。
1.若B A ⊂，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。
若B A ⊂且A B ⊂,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。
2.事件{x B A =⋃｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。
当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生。
类似地，称nk U 1=k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞=1为可列个事件,,21A A …的和事件。
3.事件B A ⋂=x {｜A x ∈且}B x ∈称为事件A 与事件B 的积事件。
当且仅当A,B同时发生时，事件B A ⋂发生。
B A ⋂记作AB 。
类似地，称I nk k A 1=为n 个事件,,21A A …n A ,的积事件；称I ∞=1k k A 为可列个事件,,21A A …的积事件。
概率论与数理统计教程第1章
则事件A的概率为: P(A)= SA /S
27 January 2020
第一章 随机事件与概率
第5页
几何方法的例子
例1.2.3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线， 向平面任意投掷一枚长为l 的针， 求针与平行线相交的概率.
p0=1p1p2p3p4p5p6 p7 6499350 0.966515.
6724520
27 January 2020
第一章 随机事件与概率
生日问题
第14页
求n 个人（n小于等于365）中至少有两人生日相同
的概率. 看成 n 个球放入 N=365个盒子中. P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同) 用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同)=
27 January 2020
第一章 随机事件与概率
1.4.4 贝叶斯公式
第23页
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率；
贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
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第一章 随机事件与概率
第24页
已知“结果” ，求“原因”
第30页
第一章 随机事件与概率
第31页
例1.5.1 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.
解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)
= 0.9+0.80.90.8 = 0.98.
《概率论与数理统计》第一章知识小结
附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理1.加法原理：分类计数。
2.乘法原理：分步计数。
二、排列组合1.排列数（与顺序有关）：)(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---= !n A nn =，n A A n n==10,1 如：25203456757=⨯⨯⨯⨯=A ，12012345!5=⨯⨯⨯⨯= 2.组合数(与顺序无关)：!m A C mn m n=，mn n m n C C -=如：3512344567!44747=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==A C ，2112672757757=⨯⨯===-C C C3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=⨯⨯=A ____种取法。
（2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___483442414=⨯⨯=A A ____种取法。
（3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=⨯⨯⨯⨯=A _种排法。
（4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有_48)1234()12(4422=⨯⨯⨯⨯⨯=A A ___种排法。
（5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。
（6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。
从中任意取出3个，取到2个白球1个红球的方法有___1325C C ____种。
3887656321C ⨯⨯==⨯⨯第一章、基础知识小结一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ⊂。
2.和事件事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A 或B A +。
性质：（1）B A B B A A ⊂⊂, ；（2）若B A ⊂，则B B A =3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A 或AB 。
概率论章节总结
第一章考核内容小结种类相加，步骤相乘排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。
排列数的计算公式为：例如：（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。
例如：=45组合数有性质（1），（2），（3）例如：（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生-------（2）A，B，C三事件都发生-------ABC（3）A，B，C三事件都不发生--------（4）A，B，C三事件不全发生---------（5）A，B，C三事件只有一个发生--------（6）A，B，C三事件中至少有一个发生-------A+B+C（1）A，B都发生且C不发生（2）A与B至少有一个发生而且C不发生（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生）（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生）简记AB+AC+BC（7）A，B，C中最多有两个发生简记（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式计算简单的古典概型的概率（二）知道事件的四种关系（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生（2）相等：（3）互斥：与B互斥（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω（三）知道事件的四种运算（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生性质：（1）若，则A+B=A（2）且（2）事件积（交）AB表示A与B都发生性质：（1）若，则AB=B∴ΩB=B且（2）（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生∴，且A-B=A-AB（4）表示A不发生性质（四）运算关系的规律（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC（4）叫对偶律（五）掌握概率的计算公式（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）③推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）（2）推广：因为，而，而BA 与明显不相容。
概率论第一章总结
第一章随机事件及其概率一、内容提要 （一）．随机事件的概率1.随机试验：（i ）在相同的条件下可以重复进行；（ii ）试验有多种可能结果（iii ）所有可能结果可以明确，但试验前不能事先预知哪个结果出现。
记为E2.随机事件:与随机试验结果有关的命题, 简称事件.记为A,B,C……不可能事件和必然事件也视为为随机事件分别记为 φ和Ω.3.基本事件:按照试验的目的和要求所确定的随机试验E 的一个直接可能结果ω称为基本事件或样本点.4.样本空间(基本事件集):试验E 的所有样本点ω构成的集合称为E 的样本空间或基本事件集,记为Ω.即 Ω.={ω}（二）．随机事件的关系和运算1.事件的包含: 若事件A 发生必然导致B 发生.则称A 包含于B 记作 A ⊂B.2.事件的相等:对两个事件A,B.若A ⊂B.且B ⊂A.则称A 与B 相等.记作A=B3.事件的并：“事件A 与B 中至少有一个发生”的事件称为A 与B 的并（或和），记作A B 。
“n 个事件中至少有一个发生”的事件称为这个事件的并(或和).记作12....n A A A 简记为1n i i A =4.事件的差: “事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差记作A-B5.事件的交(积): “事件A 与B 都发生” 的事件称为A 与B 的交(积).记作A Bn 个事件12,...n AA A 都发生”的事件称为这个事件的交(或积).记作12...n A A A .6. 事件的互斥(互不相容):事件A 与事件B 不能同时发生,则称互斥.即AB φ=7. 事件的互逆(对立): 事件A 与事件B 必有一个发生,但不能同时发生,则称A 与B 互逆,记作A B =或B A = 即满足A B =Ω AB φ=8.完备事件组:若事件12,,,n A A A 必有一个发生,且12,,,n A A A 两两互不相容,即 12,n A A A =Ω ,且(, 1.2...,,)i j A A i j n i j φ==≠（三）．概率的概念1.概率的古典定义:设E 为古典概型,其样本空间Ω包含n 样本点,事件A 含k 样本点,则称k/n 为 事件A 的概率,记作()/P A k n =2.概率的统计定义设在相同条件下重复进行同一试验,n 次试验中事件A 发生的次数为μ,如果随着试验次数的增大,事件A 发生的频率/n μ 仅在某个常数(01)p p << 附近有 微小变化,则称数p 是事件A 的概率, 即()P A p =.3.概率的公理化定义设A 为随机事件, ()P A 为定义在所有随机事件组成的集合上的实函数且满足下列三条公理:公理1 对任一事件A,有0()1P A ≤≤公理2 ()1P Ω= ()0P φ=公理3.对于两两互斥的可数个随机事件12,,,n A A A ..., 有1212(......)()()...()...n n P A A A P A P A P A =++++ 则()P A 称为事件A 的概率.（四）．概率的性质1. ()1P Ω= ()0P φ=2. 对任意两个事件A ，B.有()()()()P A B P A P B P AB =+-若AB φ=,则()()()P A B P A P B =+3.对任意事件A,有()1(P A P A =-)4.对任意个事件12,,...,n A A A .有12(...)n P A A A 11()()n i i j i i j n P A P A A =≤<≤=-∑∑+1()i j k i j k n P A A A ≤<<≤∑-...+12(1)(...)n n P A A A -(-1)若i j A A φ= (,1,2...,)i j n i j =≠ 则121(...)()n n i i P A A A P A ==∑5.若B A ⊂,则()()()P A B P A P B -=-,且()()P A P B ≥（五）．条件概率、 乘法公式1.条件概率 设A ，B 为随机试验E 的两个事件。
概率论与数理统计第一章小结
1第一章随机事件及其概率一、几种概率1、统计概率2、古典概率NM A P =)(3、几何概率试验的总的几何度量所占的几何度量随机事件）（A A P =4、条件概率)()()|(B P AB P B A P =5、贝努利概率),1,0( )(n m q p C m P m n m mn n ==−2二、事件的关系及其概率)()( .1B P A P B A ≤⊂112. ()()()() ()i i i i AB P A B P A P B P A P A ϕ∞∞====+=∑∑∪（概率的可加性）3. ()()1AB A B P A B ϕ==Ω+=∪)()()(B P A P AB P =⇔4、事件A 与B 是相互独立3三、概率的公式1、加法公式)()()()(AB P B P A P B A P −+=∪2、乘法公式)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==3、全概率公式∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(4、贝叶斯公式∑==n i ii i i B A P B P B A P B P 1)|()()|()()()()|(A P AB P A B P i i =4从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A ={抽到K }, B ={抽到的牌是黑色的}可见, P (AB )=P (A )P (B )P (A )=4/52=1/13,说明事件A 、B 独立.问事件A 、B 是否独立？解：P (AB )=2/52=1/26P (B )=26/52=1/2)()()(B P A P AB P =⇔一、事件A 与B 是相互独立5请问：如图的两个事件是独立的吗？即: 若A 、B 互斥，且P (A )>0, P (B )>0,则A 与B 不独立.反之，若A 与B 独立，且P (A )>0,P (B )>0,则A 、B 不互斥.而P (A ) ≠0, P (B ) ≠0故A 、B 不独立P (AB )=0P (AB ) ≠P (A )P (B )即A B 二、独立与互斥的关系6Ω问：能否在样本空间中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是A 和φP ( A) =P ( )P (A)=0φφ与A 独立且互斥φA φφ=不难发现，与任何事件都独立.φΩ前面我们看到独立与互斥的区别和联系.设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)>02. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=04. P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)>02. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=04. P(AB)=P(A)P(B)7三、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A)P(B) 四个等式同时P(AC)= P(A)P(C) 成立,则称事件P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 独立.89推广到n 个事件的独立性定义,可类似写出：包含等式总数为：1201)11(32−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n ≤≤≤设A 1,A 2, …,A n 是n 个事件，如果对任意k(1<k n ),任意1i 1<i 2< …<i k n ,具有等式则称A 1,A 2, …,A n 为相互独立的事件.)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =10例：同时抛掷两个均匀的正四面体，每一面标有号码1，2，3，4。
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( x μ )2 2σ 2
1 F ( x) e 2πσ
( t μ )2 x 2σ 2
dt
(3)标准正态分布
当正态分布 N ( μ, σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时, 这样 的正态分布称为标准正 态分布, 记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
0
d μ c μ P {c X d } . σ σ
30 ( x ) 1 ( x ).
40
(0) 0.5
随机变量的函数的分布 (1)离散型随机变量的函数的分布 (2)连续型随机变量的函数的分布 “三步走” 第一步 确定Y 的可能取值范围 第二步 （分情况）计算Y 的分布函数 FY ( y ). 第三步 计算Y 的概率密度函数 fY 分 布
指 数 分 布
正 态 分 布
随机变量 的函数的 分 布
定 义
两 点 分 布
二 项 分 布
泊 松 分 布
离散型随机变量的分布律
(1)定义 设离散型随机变量 X所有可能取的值为xk
( k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为 P { X xk } pk , k 1, 2,. 称此为离散型随机变量X 的分布律.
则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.
二项分布
X 的分布律为
X pk 0 qn 1 1 Cn pq n1 k k Cn p k q nk n pn
( k 0,1,2,, n, 0 p 1)
k k P{X k} Cn p (1 p)nk , k 0,1, , n
X
pk
x1 p1
x2 xn p2 pn
(2)性质
1 pk 0, k 1,2,;
0
20
pk 1; k 1
两点分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X pk
0 1 p
k
1 p
1k
P{X k} p (1 p) , k 0,1
连续型随机变量的概率密度
(1)定义
如果对于随机变量 X 的分布函数 F ( x ), 存在 非负函数, 使对于任意实数 x 有 F ( x)
f (t ) d t ,
x
则称 X 为连续型随机变量 , 其中 f ( x ) 称为 X的概 率密度函数, 简称概率密度.
(2)性质
1
2
o
f ( x ) 0;
30 F () lim F ( x) 0, F () lim F ( x ) 1;
x
x
4 P{a X b} F (b) F (a ),
0
50 lim F ( x ) F ( x0 ), ( x0 );
x x0
即任一分布函数处处右连续.
第二章
总结
一、重点与难点
二、主要内容
三、典型例题
一、重点与难点
1.重点
二项分布和泊松分布的分布律 正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率的计算
2.难点
连续型随机变量的概率密度函数的理解和计算
二、主要内容
密 度 函 数 连 续 型 随机变量 分 布 函 数 分 布 律 离 散 型 随机变量
o
f ( x ) d x 1 .
x2 x1
3 P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
o o
f ( x ) d x.
4 若 f ( x ) 在点 x 处连续, 则有 F ( x ) f ( x ) .
均匀分布
(1)定义
设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 其它, 0, 则称 X 在区间 (a , b) 区间上服从均匀分布, 记为 X ~ U (a , b).
1 ( x) e , x , 2π 标准正态分布的分布函数表示为 ( x )
x
x2 2
1 e 2π
t2 2
d t , x .
(4)重要公式
1
0
Xμ 若 X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ
2
2
1 x θ 1 e , x 0, 分布函数 F ( x ) θ x 0. 0,
正态分布(或高斯分布)
设连续型随机变量X 的概率密度为 (1)定义 1 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称X服从参数为 μ, σ 的 正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
随机变量的分布函数 (1)定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数
F ( x ) P{ X x} 称为 X 的分布函数.
(2)说明
分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数 .
(3)性质
10 0 F ( x ) 1, (, ); 20 F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b( n, p). 二项分布
n1
两点分布
泊松分布
设随机变量所有可能取 的值为0,1,2,, 而取 各个值的概率为 k! 其中 0 是常数.则称 X 服从参数为 的泊松分 布, 记为 X ~ π( ). P{ X k }
k e
, k 0,1,2,,
三、典型例题
求分布律、分布函数、概率密度
分布律分布函数 分布函数概率密度 概率密度分布函数
根据性质求分布中的未知参数
分布包括分布律、分布函数、概率密度
求随机变量函数的分布 熟练利用几种常用分布(包括离散5种、连续3种) 解决问题
(2)分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
F ( x)
1
a o
b
x
指数分布
设连续型随机变量X 的概率密度为 1 e x θ , x 0, f ( x ) θ x 0. 0, 其中 θ 0 为常数, 则称 X 服从参数为 的指数 分布.