最新人教版初中初三九年级数学上册新人教版22.2二次函数与一元二次方程 (1)

4s
0m
t 1 = 0， t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程? 一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
我们学习了的“一元二次方程”
探究思考1
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
二次函数
2 y x 6x 9 y x x2
2
y x x 1
2
与x轴交点坐标 (-2,0),(1,0)
相应方程的根 x1=-2,x2=1
(3,0) x1=x2=3
无交点 无实根
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交 点的横坐标是方程ax2+bx+c =0 的根。
=0的 根是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交 点的横坐标。
解：（1）当 h = 15 时， 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 － 4 t ＋3 = 0 t 1 = 1， t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
15 m
1s 3s
20 m
2s （2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
o
y =a（x－x1）（x－ x 2）
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
o
x
（ 2x － 1） 2 = 0 1 x1=x2= 2 所以与 x 轴有一个交点。
y
（ 3） y = x2 – x+ 1
解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0 因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
（3）当 h = 20.5 时， 20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
0s （4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t 2－ 4 t = 0
22.2二次函数与一元二次方程
九年级数学
复习引入
二次函数的一般式：
y ax bx c （a≠0）
2
x 是自变量，____ y 是____ x 的函数。 ______
当 y = 0 时，
ax² + bx + c = 0
ax² + bx + c = 0
这是什么方程？ 一元二次方程与二 次函数有什么关系？
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
探究思考2
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 2 2 y x x 1 的图象如图所示。 y x 6x 9 y x2 x 2
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根 ? 验证一下一元二次方程 x2 – x+ 1 =0有根吗 ? 2.2个根,2个相等的根 , 无实数根 .
2 反之，方程ax +bx+c
探究思考3
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. y （1） y ห้องสมุดไป่ตู้ 2x2＋x－3 （2） y = 4x2 －4x +1
（ 3） y = x2 – x+ 1 o x
令 y= 0，解一元二次方程的根
y
（1） y = 2x2＋x－3 解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0 （2x＋3）（x－1） = 0 3 x 1 =－ ，x 2 = 1 2 x 所以与 x 轴有交点，有两个交点。 二次函数的两点式
o
x
所以与 x 轴没有交点。
有更快的方法知道二次 函数与x轴交点个数吗？
y=ax2+bx+c 的图象 与x轴交点情况
ax2+bx+c = 0 的根
有两个交点 有一个交点 没有交点
有两个根 b2 – 4ac > 0 有一个根 （两个相同的根） b2 – 4ac = 0 没有根 b2 – 4ac < 0
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标 与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
y x x2
2
y x2 6 x 9
y x2 x 1
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则 b2 – 4ac ≥ 0 ________________ 。
△ = b2 – 4ac
y △＜0 △=0
△＞0
o
x
归纳小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 一元二次方程 一元二次方程 2 2+bx+c= 0根的判 y=ax +bx+c的图 ax ax2+bx+c= 0的根 象和x轴交点 别式Δ=b2-4ac 有两个交点 只有一个交点 没有交点 有两个不相 等的实数根 有两个相等的 实数根
b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0
没有实数根
b2 – 4ac < 0
1.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10 与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿ (-2,0) (5/3,0).
2.抛物线y=2x2-3x-5 与x轴有无交点？若无说 出理由,若有求出交点坐标？ (2.5,0)， (1,0) 归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0) 有