高等数学-平面与直线
直线与平面垂直判定定理新证
直线与平面垂直判定定理新证作者：池志阳来源：《数理化学习·高一二版》2013年第01期立体几何中线面垂直的判定定理有多种证法，本文从高等数学中解析几何关于平面的定义出发，利用集合证明了直线与平面垂直判定定理.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理2推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.公理3：如果不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线.解析几何中平面的定义：在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面.引理：若直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l与α相交.证明：不妨设α内的两条相交直线a，b都与l垂直.假设l与α不相交，则lα或l∥α.显然lα是不可能的，于是l∥α.在α内任取一点A，由公理2推论1，设过l和点A的平面为β，由公理3，设β∩α=c.由l∥α知l∥c.因为l⊥a且l⊥b，所以c⊥a且c⊥b，又a，b，c同在α内，因为a∥b或a，b重合，这与a，b相交矛盾. 因为l与a相交.证毕.直线和平面垂直的判定定理：已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.中学数学课程中的一般证法：由已知及引理，不失一般性设l∩α=B（若l∩α=B′，在α内过B′作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′）.任取一条直线gα（g≠m，g≠n），不失一般性设g∩α=B.任取l上一点A，再取一点A′，使AB=A′B.任取一条直线h，使h交m于C点，交n于D点，交g于E点.因为l⊥m，l⊥n，AB=A′B，BC=BC，BD=D，所以△ABC≌△A′BC，△ABD≌△A′BD，所以AC=A′C，AD=A′D.又因为CD=CD，所以△ACD≌△A′CD，所以∠ACE=∠A′CE.因为∠ACE=∠A′CE，CE=CE，AC=A′C，所以△ACE≌△A′CE，所以AE=A′E.因为AE=A′E，BE=BE，AB=A′B，所以△AEB≌△A′EB，所以∠ABE=∠A′BE=90°.所以l⊥g.证毕.这种一般证法将空间几何的知识转化为平面几何的内容，从而进行处理.其过程方便简洁，并且符合高中生的知识储备和学习状况.新证：由已知及引理，不失一般性设l∩α=B（若l∩α=B′，在α内过B′作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′）.不妨构造一个集合O={过B点且垂直于直线l的所有直线}.下面证明集合O的所有元素构成一个平面.取l上到点B距离相等的两个点K，K′.h∈O，任取h上一点H，则l′O（l′为一过点B且垂直于l的直线），H∈l′，易得l′为线段KK′的中垂线，故|KH|=|K′H|，故O包含于一个由点K和点K′生成的平面O′.（由解析几何中平面的定义得）H′∈O′，有|KH′|=|K′H′|，故H′包含于一条线段KK′的中垂线l″.又易得l″∈O，故O′O，因此O′=O.因为mO，nO，所以O=α （两条相交直线确定一个平面）.任取α内一条直线g，若g过B点，则因为gO，所以g⊥l.若g不过B点，则过B点做一条直线g′∥g，易知g′O，故g′⊥l，故g⊥l.所以l⊥α.证毕.这种方法利用了高等数学里解析几何中关于平面的定义，并且结合了集合的内容，巧妙地证明了直线与平面的垂直定理.当然，这种证明方法可能不太适合高中教学，仅供参考.华南师范大学数学科学学院（510000）● 刘岩平面向量问题错解辨析摘要：平面向量已成为高中数学的主干知识，同时也是高考、竞赛、高校自主招生考试命题的热点内容.在学习本部分知识时，倘若对基础知识和基本技能掌握得不好，就很可能导致解题的失误，下面举例加以辨析，以期能对同学们的学习有所启发和帮助.关键词：数学教学；高中数学；平面向量一、基本概念不清例1 将向量a=（1，2）按向量m=（2，3）平移后所得到的向量的坐标为（）（A）（3，5）（B）（-1，-1）（C）（1，2）（D）（3，-1）错解：由平移公式x′=x+hy′=y+k知向量a按向量m=（2，3）平移后得到的向量的坐标为（3，5）. 选（A）.辨析：向量又称自由向量，即只要长度相等，且方向相同的向量就是同一向量，故任一向量平移后得到的向量仍是其本身，坐标也不发生变化. 选（C）.二、忽视定理前提例2 已知直线l上有不重合三点A、B、C，P是任意一点，且向量PA=αPB+βPC，则α+β的值为（）（A） 1 （B） -1 （C） 0 （D）不能确定错解：因为A、B、C不重合，所以CB≠0，由向量共线定理知：存在唯一的实数λ使得BA=λCB成立，即PA-PB=λ（PB-PC），整理得PA=（1+λ）PB-λPC，又因为PA=αPB+βPC，所以α=1+λ，β=-λ，所以α+β=1. 选（A）.辨析：由平面向量基本定理知：只有当向量PB、PC不共线，即Pl时，才可作为平面向量的一个基底，此时PA=αPB+βPC中的α、β是唯一的！即有α=1+λ，β=-λ；而当图1P∈l时α、β却不是唯一的.如图1所示，设B、C是有向线段AP的两个三等分点，显然有PA=0PB+3PC=PB+PC=-PB+5PC=…，因此对任意的点P，α+β的值是不确定的. 选（D）.三、混淆运算法则图2例3 如图2，在平行四边形ABCD中，若AC2·BD2=AB4+AD4 ，则∠DAB的大小为（）（A） 90°（B） 45°（C） 135°（D） 45°或135°错解：设AB=a，AD=b，则AC=a+b，BD=b-a，由已知可得（a+b）2·（b-a）2=（b2-a2）2=a4+b4-2（a·b）2=a4+b4，所以a·b=0，故∠DAB=90°. 选（A）.辨析：上述解题过程两次用到公式x2·y2=（x·y）2，误将向量运算当成实数运算. 事实上，x2·y2=|a|2|y|2，而（x·y）2=|x|2|y|2cos2θ，其中θ为向量x、y的夹角，因此只有当θ=0或θ=π时才有x2·y2=（x·y）2.正解：由已知可得（a+b）2（b-a）2=（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab）=（a2+b2）2-（2ab）2=a4+b4+2a2b2-4（a·b）2=a4+b4，所以a2b2=2（ab）2，所以a·b|a||b|=±22，故∠DAB=45°或135°. 选（D）.四、不是等价转化例4 在平面直角坐标系内，已知点A（0，0）、B（3，-3）、C（n2+1，-2）、D（n，1），若四边形ABCD是平行四边形（A、B、C、D四点按逆时针排列），则实数n的值为（）（A） -1 （B） 2 （C） -1或2 （D）不能确定错解：依题意有AB=DC，即（3，3）=（n2+1-n，-3），故n2+1-n=3，解得n=-1或n=2. 选（C）.辨析：四边形ABCD是平行四边形可推出AB=DC，但AB=DC却不能推出四边形ABCD 是平行四边形，还可能出现 A、B、C、D四点共线的情形.因此，上述解法的转化是不等价的！事实上，当n=-1时， A、B、C、D四点就共线. 选（B）.五、遗漏特殊情形例5 已知向量a=（λ，2），b=（-3，5），若向量a、b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）（A）λ>103 （B）λ（C）λ错解：向量a、b的夹角为锐角a·b>0，即-3λ+10>0，解得λ辨析：非0向量m、n的夹角θ为锐角与m·n>0是不等价的，上述解题过程遗漏了两个向量a、b同向共线的情形.正解：接上，设a=kb（k>0得λ=-3k2=5k，解得k=25λ=-65，所以当λ=-65时，向量a、b 的夹角为0，不是锐角，故λ六、审题不够细致例6 设e1和e2是夹角为60°的两个单位向量，且a=e1+2e2，b=2e1+e2，则|a+b|的值为（）（A） 3 （B） 32 （C） 33 （D）非上述答案错解：因为a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2.所以a+b=（3，3），所以|a+b|=32. 选（B）.辨析：上述解法，由于审题不细误把夹角为60°的两个单位向量e1和e2当成了正交的单位向量，进而得出了a+b的坐标为（3，3）的错误结果，导致解题失误.正解：因为a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2，所以|a+b|=3|e1+e2|=3（e1+e2）2=3e21+2e1e2+e22=3|e1|2+2|e1||e2|cos60°+|e2|2=333 . 选（C）.七、方法选择不当例7 设a、 b不共线，则关于x的方程ax2+b x+c =0解的情况是（）（A）至少有一个实数解（B）至多有一个实数解（C）至多有两个实数解（D）可能有无数个实数解错解：在方程两边同乘a得a2x2+a·bx+a·c=0，Δ=（a·b）2-4a2（a·c），当Δ>0时，方程有两个不等实数解；当Δ=0时，方程有一个实数解；当Δ辨析：在方程两边同乘a得到方程a2x2+a·bx+a·c=0时会出现ax2+bx+c≠0 ，但向量a与向量ax2+bx+c垂直，仍有a2x2+a·bx+a·c=0的情况，进而产生了增解.正解：因为a、b不共线，由平面向量基本定理知：存在唯一的有序实数对（α，β）使得-c=αa+βb成立，又-c=ax2+bx，故若方程有解，则必有α=x2β=x，即β=α2.因此，若β=α2，则方程有一个实数解x=β；若β≠α2，则方程无实数解. 选（B）.对一些常见的典型易错题进行归纳、积累和总结，不但可以降低解题的失误率，更有利于形成缜密的、善于批判的思维品质.黑龙江省鸡西市一中（158100）。
高数点到直线距离公式和平面束方程
1
L
: x 2 y z 0 上的投影直线的方程.
分析：过直线L作垂直于平面π的平面π1 , 则π与π1 的交线即为 投影直线. 关键是求出平面π1 (即投影平面)的方程. 解： 设过直线L的平面束方程为：
(2 x y z 1) ( x y z 1) 0 ,
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3平面与空间直线的方程
例7.3.9 求点 M0 (0,1,2) 到直线
解:
的距离.
直线 L的方向向量 s (1,2,2) , 点 M (1,2,1) 1
i
为直线 L上一点， 则
s M1M 0 1
j 2
k 2 ( 4 , 1 , 1) , 3
A1 x B1 y C1 z D1 0, 设直线 L的方程为： A2 x B2 y C2 z D2 0 (1) (2)
过直线 L的平面束方程为：
A1 x B1 y C1 z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
即
3x y z 1 0 ,
3 x y z 1 0 , 故投影直线的方程为： x 2y z 0 .
(2 ) x (1 ) y (1 )z (1 ) 0 (1)
(其中λ为待定常数)
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3平面与空间直线的方程
平面(1)垂直于平面π , 故有 (2 , 1 ,1 ) (1, 2, 1) 0 ,
(3)
(λ为任意实数) 它表示(除平面(2)外的)所有过直线 L的平面. 易知(3)式中x, y, z的系数不全为零， 事实上， 从而它表示平面. 直线 L上的点都满足方程(3)， 于是当 λ 不同时， 方程(3)就表示过直线 L的不同平面.
高等数学 向量代数与空间解析几何 (7.4.2)--空间的平面和直线
习题7.41. 判断下列四点是否共面:(1) (1,0,1),(2,4,6),(3,1,2),(6,2,8)A B C D -;(2) (1,2,1),(2,2,3),(1,1,2),(4,5,6)A B C D --.2. 设≠0a ,(1) 若⋅=⋅a b a c , 则是否必有=b c ?(2) 若⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?(3) 若⋅=⋅a b a c ,且⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?3. 指出下列平面对于坐标轴或坐标面的相对位置：(1) 3210x y -+=; (2) 250x +=； (3) 0x y -=； (4)0Ax Cz +=.4. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点0(1,2,3)M -, 法向量为(2,1,5)=--n ;(2) 在x 轴,y 轴和z 轴上的截距分别为2,3,1-;(3) 过点(5,7,4)-且在x y z 、、轴上截距相等；(4) 过点(3,6,2)P -，且垂直于OP (O 为原点)；(5) 过点1(2,1,3)M -,2(5,1,4)M -和3(2,2,4)M -；(6) 过Ox 轴和点(4,3,1)--；(7) 平行于Oy 轴，且通过点(1,5,1)-和(3,2,2)-；(8) 平行于xOz 平面，且通过点(3,2,7)-；(9) 过点(1,3,2)-，且平行于平面520x y z +--=；(10) 过两点(8,3,1),(4,7,2)-，且垂直于平面35210x y z +--=；(11) 平行于平面2250x y z +++=而与三坐标面所构成的四面体的体积为１5. 指出下列直线的位置性态：(1) 123102x y z -++==- (2)113100x y z +-+==; (3) 6,5,3x t y t z t =-==-;(4) 12,23,0x t y t z =-=-+=. 6. 求满足下列条件的直线的对称式方程，并将其中(1)~(4)化为参数方程和一般式方程：(1) 过点0(1,2,3)M , 方向向量为(2,1,1)=-s ;(2) 过点0(1,2,0)M -, 方向向量为3-s =i k ;(3) 过点(2,3,8)-，且平行于y 轴;(4) 过点(2,3,8)-，且平行于直线243325x y z --+==-; (5) 过点(1,3,2)-，且垂直于平面520x y z +--=；(6) 过点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -；(7) 过点(1,3,2)-，且与z 轴垂直相交；(8) 过点(1,2,1)-，且平行于直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩(9) 垂直于三点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -和3(0,1,5)M 所在平面，且过点1M ；(10) 过点(3,4,4)-，且与坐标轴夹角分别为π3,π4,2π3的直线方程.7. 求平面4210x y z -+-=与三个坐标面的交线方程.8. 将下列直线方程化为标准式方程：(1)240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩ (2)35,28.x z y z =-⎧⎨=-⎩9. (1) 求点(1,3,2)-到平面32610x y z +--=的距离；(2) 求两平行平面326350,326560x y z x y z +--=+--=间的距离;(3) 求平行于平面221x y z +-=且与其距离为2的平面；(4) 证明：两平行平面120,0Ax By Cz D Ax By Cz D +++=+++=之间的距离是d =10. 求下面各组平面的夹角, 并判断它们是否平行或垂直？(1) 1x z +=,1y z -=;(2) 86210x y z --+-=,430x y z +-=;(3) 26310x y z -+-=,3450x y z --+=;(4) 236120x y z -+-=,2270x y z ++-=.11. 求下面各组直线的夹角，并判断它们是否平行？相交？或异面？在相交情况下求出它们的交点：(1) 1451:243x y z L -+-==-，221:132x y z L -+==； (2) 111:214x y z L --==，222:123x y z L ++==； (3) 1:6,19,3L x t y t z t =-=+=-，2:12,43,L x s y s z s =+=-=；(4) 1:1,2,3L x t y t z t =+=-=，2:2,12,4L x s y s z s =-=+=+.12. 求下面各组直线与平面的夹角，并判断它们是否平行？垂直？相交？在相交情况下求出它们的交点：(1) 34:273x y z L ++==--, :42230x y z ∏---=; (2) :327x y z L ==-, :32731x y z ∏-+=; (3) 223:314x y z L -+-==-, :3x y z ∏++=; (4) 221:312x y z L +-+==,:23380x y z ∏++-=. 13. (1) 求过点(3,2,1)--且垂直于直线11413x y z -+==-的平面; (2) 求点(1,0,1)-到直线51132x y z --==-的距离；(3) 求点(2,3,1)在直线722123x y z +++==上的投影. (4) 求点(3,1,1)--在平面23300x y z ++-=上的投影.14. 证明两直线11112x y z +-==和12134x y z +-==是异面直线，并求它们之间的距离,公垂线方程,及公垂线与两直线的交点.15. 求直线1010x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面0x y z ++=上的投影直线方程. 16. 求过两平面0,20x y z x y z +-=++=的交线l 的两个互相垂直的平面，其中一个平面过点(0,1,1)A -.17. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点(3,2,1)--和直线31212x y z --==. (2) 过点(1,2,3)--，且和两直线25346x y z --==-及21122x y z +-==平行; (3) 过两平行直线31212x y z --==，11212x y z +-==; (4) 包含直线10230x z y z --=⎧⎨+-=⎩且与平面21x y z +-=垂直; (5) 过Ox 轴，且与平面y x =成π3的角度; (6) 过两平面50,40x y z x z ++=-+=的交线，且与平面48120x y z --+=的夹角为π4. 18. 求满足下列条件的直线方程：(1) 在平面1x y z ++=上, 且与直线1,1y z ==-垂直相交;(2) 过点(1,0,4)-,且平行于平面34100x y z -+-=，又与直线13312x y z +-==相交; (3) 过点(1,2,1)，且与直线2x y z ==-相交，又垂直于直线11321x y z -+==； 19. 一动点与两定点(2,2,1)，(1,3,4)等距离，求此动点轨迹的方程.。
空间平面与直线方程教学设计
《空间平面与直线方程》教学设计公共教学部数学教研室余黎1.教材内容分析：本教学设计所使用的教材是《高等数学应用教程》许艾珍、黄丽萍、李明主编，航空工业出版社2010年8月第一版。
本节是第七章空间解析几何与向量代数中的第三节内容。
前面已经学习了向量的相关知识并已经建立了空间直角坐标系，本节内容是向量和立体几何的第一次“结合”，同时也为下面继续学习曲面曲线方程等打下基础。
因此，本节的学习有着极其重要的地位。
2. 学情分析：目前数学都是大班上课，相对小班上课学生注意力不容易集中，需要教学更加“跌宕起伏”来吸引学生的注意力。
目前教材内容多课时少，每节课的容量巨大，而本校的学生学习的自觉性较差，很少有学生会课后预习或复习，甚至不能独立完成作业。
这就要求教师充分利用好课堂45分钟，合理安排每个环节，增加学生课堂练习巩固的时间。
3. 设计思想结合学生学情和本教材的特点使用情景教学的方法。
首先构造数学思维活动的情节，以探索启发为主，运用合理的推理和拟真推理进行教学；设计教学活动过程联系学生的情感、意志、水平，使学生在兴奋状态下经历潜伏——存疑——豁然开朗的过程，也就是提出问题——试一试——不断尝试中增强信心——下决心证明——得到正确结果的过程。
在新课一开始就提出了富有挑战性的问题，激发学生的浓厚兴趣和积极的求知态度。
但情景只是手段、不是目的，是开端、不是终点；良好的开端是成功的一半，情景的创设不应只在课的开始阶段，而是存在于整个知识的发生、发展、规律的揭示、形成和应用过程中，也就是说在整个课堂教学过程中，都根据具体情况创设合理的情景来进一步激发学生的参与热情。
4. 教学目标：我确定教学目标的依据有以下三条：（1）教学大纲、考试大纲的要求（2）教材的特点：例题简单，练习有一定难度（3）所教学生的实际情况已有的认知结构及心理特征：学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性。
高等数学平面和直线
解: 设所求平面的法向量为
则所求平面
方程为 A(x 1) B( y 1) C(z 1) 0
n M1M 2
A 0 B 2C 0, 即
n 的法向量 A B C 0 , 故
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0 (C 0)
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
2011年2月
7-5平面,6直线
n1
n2
1
总51页 第10页
1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
cos
n1 n2 n1 n2
①
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
2011年2月
7-5平面,6直线
总51页 第3页
例1.求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
解
3
1
设所求平面的法向量为
n
由题设知点 M (2,1,2) 为直线L上一点
其方向向量
s
3i
j
k
由于所求平面通过 点A及L n AM i 3 j 4k n s AM
2011年2月
7-5平面,6直线
总51页 第26页
ijk
3 1 1 i 13 j 10k
高等数学平面与直线
注意事项：在使用点斜式方程时，需要确保已知点和斜率是正确的， 否则可能会得到错误的结果。
直线方程的应用
解析几何：用 于研究几何图 形的形状、大 小和位置关系
物理学应用：在 物理中，直线方 程可以用来描述 力、速度、加速 度等物理量的变
化规律
经济学应用：在 经济学中，直线 方程可以用来描 述成本、收益、 效用等经济变量
垂直关系
平面与直线垂直的定义： 直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则该直 线与该平面垂直。
垂直关系的判定定理： 如果一个平面内的两条 相交直线与另一个平面 垂直，则这两个平面垂 直。
垂直关系的性质：如 果两个平面垂直，则 其中一个平面内的直 线与另一个平面垂直。
垂直关系的ห้องสมุดไป่ตู้用：在几 何学、物理学和工程学 等领域中，垂直关系都 有着广泛的应用。
直线方程的表示： 点斜式、两点式和 截距式
直线方程的求解： 通过已知点坐标和 斜率求解直线方程
直线方程的应用： 求解交点、距离和 角度等问题
平面与直线的度量关系
距离公式
平面与直线之间的距离公式 公式推导过程 公式应用场景 公式注意事项
角度公式
平面与直线之间的夹角公式 直线与直线之间的夹角公式 平面与平面的夹角公式 直线与平面的夹角公式
面积公式
平面面积公式：A=πr²，其中r为圆的半径
直线长度公式：L=|x1-x2|，其中x1、x2为直线上两点的横坐标
平面方程的应用
描述几何图形
计算距离和角 度
解决实际问题
辅助设计
直线方程
一般式方程
定义：一般式方程是直线方程的一种形式，表示直线上任意一点的坐标都满足该方程。 形式：一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为零。 特点：一般式方程包含了所有斜截式、点斜式和两点式方程的特殊情况，可以表示任意直线。 应用：在几何学、物理学、工程学等领域中，一般式方程被广泛应用于描述直线的位置关系和性质。
第七章第三节空间平面与直线及其方程
A 4C 0 , 即 A 4C ,
代入所设方程并消去C (C 0) , 得所求的平面方程为
4x z 0 .
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
三、空间直线的方程
1.空间直线的点向式方程与参数方程 (1) 直线的方向向量的定义 与直线平行的非零向量， 称为这条直线的一个方向向量． 直线的方向向量有无数多个.
i 1 0 j 1 1 k 0 1
n
M1
M3 M2
(1 , 1 , 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程为：
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.1 求过三点
的平面 的方程.
解: 平面 的法向量垂直于该平面内任一向量， 于是可取平面 的法向量为：
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.2 设一平面与
轴的交点分别为
R(0,0, c ) （其中 a 0，b 0，c 0 )， 求该平面的方程.
分析： 可用平面的一般方程做 或平面的点法式方程做. 解： 设平面的方程为
Ax By Cz D 0,
x x0 y y0 n m 得 y y0 z z0 p n
法2： 先找直线上两点A, B; AB 就是直线的方向向量.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.5 用点向式方程及参数方程表示直线
分析： 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 解: 先在直线上找一点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) . y0 z 0 1 0 , 令 x0 0 , 代入原方程组得 2 y0 z 0 1 0 ,
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0 代入已知点 (4 , 3, 1)得
化简,得所求平面方程
例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.
8
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.
(abc 0)
三点式
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
14
2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1 y C 1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 )
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
则所求平面
方程为 A(x 1) B( y 1) C(z 1) 0
n M1M 2
A 0 B 2C 0, 即
n 的法向量 A B C 0 , 故
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0
x0 y0 z0 1 12 12 12
x0
y0
z0 R(半径)
z
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故 因此所求球面方程为
O M0 y
x
13
内容小结
1.平面基本方程:
一般式 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0 )
点法式
截距式
x y z 1 abc
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B, C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
6
Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
此式称为平面的截距式方程.
分析:
xa y z
利用三点式 a b 0 0
a 0 c 按第一行展开得 (x a)bc y(a)c zab 0
即 bcx acy abz abc
5
二、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0) ② 任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
z
M
O x
n
M0
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
2
例1.求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M 3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14 , 9 , 1)
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.
P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
12
例6. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成
四面体的球面方程.
解: 设球心为 M 0 (x0, y0, z0 ), 则它位于第一卦限,且
第4节 平面与直线
第七章
一、平面及其方程 二、直线及其方程 三、两直线及两平面的夹角
1
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C) , 求该平面的方程.
任取点 M (x, y, z) , 则有M0Fra bibliotek n故
M0M n 0
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即
3
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x2 y 1 z 4
3 4 6 0 2 3 1
一般情况 : 过三点 M k (xk , yk , zk ) (k 1, 2 , 3)
的平面方程为
4
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时, 平面方程为
x y z 1 (a ,b ,c 0) abc
垂直:
A1A2 B1B2 C1C2 0
平行: n1 n2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cos n1 n2
n1 n2
15
cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
n2
(1) 1 2
n1 n2
1
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
n1
2
(2) 1 // 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
10
例4. 一平面通过两点 M1( 1, 1, 1 )和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
即
2x y z 0
(C 0)
11
例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A, B , C) , 在平面上取一点
P1(x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为
d Prj n P1P0
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1)
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
9
1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )