(学生版)正弦定理1
第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师
第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师一、正弦定理正弦定理是三角形中一个非常重要的定理，它表达了三角形中各边与其对应角的正弦值之间的关系。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别是三角形ABC的边长，A、B、C分别是与这些边对应的角。
二、余弦定理余弦定理是另一个关于三角形的定理，它表达了三角形中各边与其对应角的余弦值之间的关系。
余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 2abcosC其中，a、b、c分别是三角形ABC的边长，C是与边c对应的角。
三、面积公式三角形的面积可以通过多种方式计算，其中一种常用的方法是利用海伦公式。
海伦公式可以表示为：Area = √[s(sa)(sb)(sc)]其中，s是三角形的半周长，s = (a + b + c) / 2。
四、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的基本概念和公式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 让学生了解三角形面积的计算方法，并能够灵活运用。
五、教学方法1. 讲授法：通过讲解正弦定理、余弦定理和面积公式的概念和推导过程，帮助学生理解这些定理和公式的原理。
2. 示例法：通过列举具体的例子，展示如何运用正弦定理、余弦定理和面积公式解决实际问题。
3. 练习法：布置相关的练习题，让学生独立思考和解决问题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂提问：通过提问的方式，检查学生对正弦定理、余弦定理和面积公式的理解和掌握程度。
2. 练习题：通过批改练习题，了解学生对这些定理和公式的应用能力。
3. 测试：通过进行测试，全面评估学生对正弦定理、余弦定理和面积公式的掌握情况。
第8讲正弦定理余弦定理面积公式教师七、教学资源1. 教学PPT：制作包含正弦定理、余弦定理和面积公式概念、公式推导及应用例题的PPT，以便于课堂讲解和学生课后复习。
2. 教学视频：录制正弦定理、余弦定理和面积公式的讲解视频，帮助学生更好地理解这些定理和公式的原理。
正弦定理数学教案优秀5篇
正弦定理数学教案优秀5篇《正弦定理》教案篇一《正弦定理》教案一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学情分析对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力；但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，探索和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性。
正弦定理1
班级：___________小组：___________姓名:______________
学习目标
1.学生通过阅读课本直角、锐角三角形中的边角关系，能正确推导钝角三角形也符合此关系；2.学生通过阅读课本2-3页，能正确的说出正弦定理的内容以及解三角形的概念；
3.学生通过阅读利用外接圆法证明正弦定理，能准确说出外接圆半径与三角形的边角关系；
那么，在钝角三角形中 是否仍成立呢？完成下面思考：
当 ABC是钝角三角形时，过C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据三角函数的定义，有 ,
由此，得 同理可得：
故有 从而这个结论在钝角三角形中成立。
赏析下面关于正弦定理外接圆的证明方法，并从中ห้องสมุดไป่ตู้握正弦定理的内容与外接圆半径的关系：
证明一：（外接圆法）如图所示，作三角形的外接圆圆心为O连接CO延长交圆于D点，连接BD，由同弧所对圆周角相等得：∠A＝_____，∴ ，
同理 = ＝2R
可得正弦定理内容： = = =2R。
二、深入学习
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.认真阅读课本例1、例2解决下列问题：
例1在 中，已知 ， ，c= ，求a,b及cosB。
例2在 中，已知，c= , ，a=2求C,B,b。
4.学生通过阅读课本例1，能类比例1的方法解决知两角一边求解三角形的问题；
5.学生通过阅读课本的例2，能正确知两边一角解三角形，并探究解取舍问题。
重点、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用；
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
导学流程：
1、基础感知
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
四、正弦定理和余弦定理专题——学生版
:正弦定理和余弦定理设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ． 1．角与角关系：A+B+C = π，2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b <c ，b －c < a ，c －a > b ．3．边与角关系：1）正弦定理 .；（R 为外接圆半径） 变式1：a = ，b= ，c=2）余弦定理 c 2 = ，b 2 = ，a 2 = ． 变式1：cosA= ；=C cos .；=B cos .4. 三角形面积公式： .； 5、关于三角形内角的常用三角恒等式：三角形内角定理的变形 ①由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sinA ＝sin （B ＋C ），cosA ＝－cos （B ＋C ）．②而222C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．考点分析：①知两角及一边、解三角形. ②知两边及一边对角、解三角形.方法点拨：针对考法②涉及到三角形解的判定、一般有三种情况：无解、一解、两解；判定方法：方法1【代数法】：大边对大角、内角和为0180、三角函数值不能大于1；方法2【几何法】：当A 为锐角时、①A b a sin =或b a >时、一解；②b a A b <<sin 时、两解；③A b a sin <时、无解.当A 为直角或钝角时、①b a >时、一解；②b a <时、无解.ABC ∆中、,,,243ππ===B A a 求其余的边和角.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c .变式训练1：(2009·广东高考)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝ ( ) A ．2 B ．4＋2 3 C ．4－2 3 D.6－ 2 变式训练2：在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcosA的值等于______，AC 的取值范围为________．. ②知两边及夹角、解三角形.（1）在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ ）A ．23πB ．56π C ．34π D ．3π（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ==︒则A ＝ . 变式训练：△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc =0.（1）求角A 的大小；（2）若a =3，求bc 的最大值；方法点拨：①知识要求：灵活应用正、余弦定理及和、差、半角公式；②能力要求：统一成边的思想、或统一成角的思想和方程组思想.在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A -B ）=（a 2-b 2）sin （A +B ），判断三角形的形状.变式训练：在△ABC 中, c b a cos =，则这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2009·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ·AC＝3.(1) 求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值．变式训练：.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π6，则△ABC 的面积等于 ( )A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34（1）锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ab的取值范围是 ( )A ．(1,2)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(2，3) (2) 在△ABC 中，10,sin 43==c c ，则边b 的取值范围是 （ ） A ．),(215+∞ B ．),10(+∞ C ．)10,0( D ．]340,0( 变式训练8： 在△ABC 中, 045,2==A a ,若三角形有两解，则边b 的范围是（ ） 若三角形有一解，则边b 的范围是（ ）A ．2 bB ．2220=≤b b 或C ．222 bD ．222 b变式训练9： 在△ABC 中，2,1==b a ①则角A 的取值范围是 （ ） ；② =∆max )(ABC S -------.1.（2010上海）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2.（2010湖南）6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，c =,则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定3．（2010广东理）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若则sinC= .4 、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且8sin 2.72cos 22=-+A CB (I)求角A 的大小； (II) 若a=3，b+c=3，求b 和c 的值5． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2.（1）求角B 的大小； （2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.6、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（1）若ABC △a b ，；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．正弦定理和余弦定理专项练习1．(2010·湖北)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63D.632．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．(2010·江西)E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.344．(2011·青岛模拟)△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 36．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a7.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．8.（15北京文科）在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ．9.（15年广东理科）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b =10.（15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．311．(2010·江苏)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是________．12．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．13．(2010·新课标全国)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ，则BD ＝________.14．(2010·新课标全国)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC ＝________.15.（15年安徽文科）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ，45=∠B ，则=AC 。
初中正弦定理
初中正弦定理正弦定理是一个有用的数学定理，它源自三角学。
它可以被用来解决各种三角形的问题，也可以被用来推广这个定理。
正弦定理是初中学生学习数学的必备知识。
根据正弦定理，三角形中任意角的正弦等于其他两边的比例乘以最长边的正弦。
这是一个非常有用的定理，可以用来解决许多三角形的问题。
正弦定理的推广也是初中数学学习的重要知识。
比如可以用正弦定理来求解多边形的角度，并应用它来求解多边形内部夹角和外部夹角。
有了正弦定理，我们可以解决各种多边形的问题，而不用考虑其他复杂的处理。
正弦定理也可以用来求解结合型三角形的面积。
它可以让我们清楚地了解三角形的面积是如何通过两边的比例以及最长边的正弦计算出来的。
因此，我们可以使用正弦定理计算任意结合型三角形的面积。
正弦定理还可以用来求解包含角的度数的三角形的实际度数。
这是因为正弦定理可以用来计算不同角度的正弦，因此可以得出实际度数。
正弦定理也可以用来计算多边形的实际角度，这对于初中学生学习数学非常重要。
通过对多边形的角度进行求解，可以解决许多复杂的三角形问题。
最后，由于正弦定理可以用来解决复杂的三角形和多边形问题，因此它是初中学生学习数学的重要基础知识。
他们在学习三角函数时，应该把正弦定理当做一个基础知识，并理解正弦定理是怎样应用在实际问题中的。
如此，只有在理解正弦定理的基础上，他们才能更好地理解三角函数。
总之，正弦定理是初中数学学习的重要基础知识，可以被用来解决各种三角形和多边形的问题，无论是角度的求解，还是面积的求解，或是实际度数的求解，都可以通过正弦定理来解决。
学生们应该把正弦定理作为三角函数学习的基础，好好理解它，以便更好地学习三角函数。
高中物理课件动态平衡(正弦定理)-2024鲜版
2024/3/28
1
目录
2024/3/28
• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾 • 动态平衡问题分析方法 • 正弦定理在动态平衡中应用举例 • 学生实验操作与探究 • 课程总结与拓展延伸
2
01
课程介绍与目标
2024/3/28
3
动态平衡概念引入
平衡状态与动态平衡
数值法
借助计算机进行数值计算，模拟系统平衡过程。 适用于大型复杂系统，能够得到数值解。
2024/3/28
24
正弦定理在物理中其他应用
力学
用于解决共点力平衡问 题，如三力平衡、多力 平衡等。
2024/3/28
电磁学
用于计算交流电路中的 电流、电压和功率等参 数。
光学
用于分析光的干涉、衍 射和偏振等现象，以及 计算光程差和光强分布 等。
连接体动态平衡
研究连接体在动态过程中的平衡条件，结合正弦定理求解相关物 理量。
典型例题解析
通过具体例题，讲解如何利用正弦定理解决连接体动态平衡问题 。
18
05
学生实验操作与探究
2024/3/28
19
实验器材准备和检查
2024/3/28
准备实验器材
滑轮、细绳、质量块、测力计、 量角器等。
检查实验器材
解释平衡状态的概念，引入动态平衡作为特 殊类型的平衡，其中物体在受到外力作用时 仍能保持平衡。
动态平衡的条件
阐述动态平衡的条件，即物体所受合外力为 零，但各分力可能随时间变化。
实例分析
通过具体实例，如悬挂的物体在风中的摆动 ，帮助学生理解动态平衡的概念。
2024/3/28
4
正弦定理
正弦定理(第一课时)教学设计一、教学内容分析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章1.1.1正弦定理。
本章“解三角形”内容既是必修4中三角函数与向量内容的延续，又包含求解三角形的重要数量关系，蕴含较强的理论性和应用性。
解三角形作为几何度量问题，突出了几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。
本节课作为本单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对一般三角形边角关系的量化探究，发现并初步掌握正弦定理，解决简单的两类解三角形问题，并为后续余弦定理等相关内容作知识和方法上的准备。
教学过程中，可发挥学生的主动性，通过试验猜测、探究发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思维能力和推理水平。
二、学生学情分析对刚刚升入高中不久的学生来说，虽已具备一定的平面几何、解直角三角形、三角函数及向量等知识，也具有一定观察、分析、解决问题的能力，但对知识间的联系与综合有一定难度，思维灵活性受到制约；尤其是本课中涉及到推理证明的复杂性、多样性和从特殊到一般的思维方式等，对学生学习会形成较大障碍。
因此，教学中教师应适时引导，降低各环节之间的联系难度，多带动前后知识间的联想，引领学生直接参与分析问题、解决问题并体验获得成果的喜悦。
若能注意与生活实际相结合，注重知识的发生、发展过程，就更能激发学生学习兴趣和参与探索的积极性。
三、教学任务分析1、通过对特殊三角形边角数量关系的试验结论归纳，猜测出正弦定理；2、尝试从各种途径证明正弦定理；3、初步应用正弦定理求解三角形（两种基本情形）；4、自行归纳表述本课收获；四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
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a b c 同样可证得： 同样可证得： A= sin = sin sin B C
j A C
a b = =c sin A sin B
sin C = 1
a b c = = sin A sin B sin C
即正弦定理，定理对任意三角形均成立． 即正弦定理，定理对任意三角形均成立． 利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？ 利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？
5.9 正弦定理、余弦定理 正弦定理、
正弦定理、 5.9 正弦定理、余弦定理
5.9 正弦定理、余弦定理 正弦定理、
回忆一下直角三角形的边角关系? 回忆一下直角三角形的边角关系 a 2 2 2 a +b = c = tan A A + B = 90° b A c a b C
a = c sin A b = c sin B 两等式间有联系吗？ 两等式间有联系吗？ B
j ⋅ ( AC + CB) = j ⋅ AB 怎样建立三角形中边和角间的关系？ 怎样建立三角形中边和 cos 90° + j CB cos(90° − C ) = j AB cos(90° − A) a c ∴ a sin C = c sin A 即 sin A = sin C b c 同理，过C作单位向量 垂直于CB ，可得 sin B = sin C 同理， 作单位向量j 作单位向量
5.9 正弦定理、余弦定理 正弦定理、
a b c ∴ = = sin A sin B sin C
在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？ 在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引 入单位向量？怎样取数量积？ 入单位向量？怎样取数量积？ 在钝角 ∆ABC 中，过A作单位向量 垂直于 AC ， 作单位向量j 作单位向量 则有j 则有 与 AB 的夹角为 A − 90o ， j 与CB B 的夹角为 90o − C . 等式 AC + CB = AB .