四川省成都市龙泉驿区2018届高三数学9月月考试题 理

四川省成都市龙泉驿区2018届高三数学9月月考试题 理注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}21=-<M x x ，{==N x y ，则=I M NA ．()1,2B ．(]1,2C ．()2,3D ．[)2,3 2．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，638a a =，则24S S 的值为 A.21 B. 45C. 2D.5 3. 使（x 2+）n （n∈N）展开式中含有常数项的n 的最小值是A ．3B ．4C ．5D ．64．已知x ，y 满足2≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩y x x y x a ，且2=+z x y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是A ．34 B ．14 C ．211D ．4 5.阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为 A.12 B.316 C.116 D.186.过曲线322+-=x x y 上一点P 作曲线的切线，若切点P 的横坐标的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1，则切线的倾斜角的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πB ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π C ．[)π,0 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,437．已知a=（﹣cosx）dx ，则（ax+）9展开式中，x 3项的系数为A ．B ．C ．﹣84 D ．﹣8.已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5.现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上：再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果.经随机模拟试验产生了如下20组随机数.101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为 A.0.30B.0.35C.0.40D.0.659.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.13＋2π B.5π2C.7π3D.13π610.函数f (x )＝lg(||x －1)的大致图象是11.甲、乙两人在一次射击测试中各射靶10次，如图分别是这两人命中环数的直方图，若他们的成绩平均数分别为x 1和x 2，成绩的标准差分别为s 1和s 2，则A.x 1＝x 2，s 1>s 2B.x 1＝x 2，s 1<s 2C.x 1>x 2，s 1＝s 2D.x 1<x 2，s 1＝s 212.在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y kx =（0k >)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为 A.13B.23C.12D.34第Ⅱ卷 非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13. 用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值，设{}x x x f x-+=10,2,2m in )( )0(≥x ，则)(x f 的最大值为______．14.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241，360]内的人数是________.15．已知()122=-⎰a x dx ，在二项式52⎛⎫- ⎪⎝⎭a x x 的展开式中，含x 的项的系数为 ．16．已知f(x)= ，且g(x)= f(x)+2x有三个零点，则实数a 的取值范围为_________．三、解答题:（本题包括6小题，共70分。

要求写出证明过程或演算步骤） 17.如图，在ABC ∆中，M 是边BC 上的点，且1tan 3BAM ∠=，1tan 2AMC ∠=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设B αβ+=（0α>，0β>sin αβ-的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点．将△AED，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于P ． （1）求证：平面PBD⊥平面BFDE ； （2）求二面角P ﹣DE ﹣F 的余弦值．19.（本小题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.20．（本小题满分12分）已知动圆M 恒过()1,0F 且与直线1=-x 相切，动圆圆心M 的轨迹记为C ；直线1=-x 与x 轴的交点为N ，过点N 且斜率为k 的直线l 与轨迹C 有两个不同的公共点A ，B ，O 为坐标原点.（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程，并求直线l 的斜率k 的取值范围；（2）点D 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，直线DA ，DB 分别与过()1,0F 且垂直于x 轴的直线交于P ，Q ，证明：⋅uu u r uuu rOP OQ 为定值，并求出该定值；（3）对于（2）给出一般结论：若点,02⎛⎫⎪⎝⎭p F ，直线2=-p x ，其它条件不变，求⋅uu u r uuu r OP OQ的值（可以直接写出结果）.21.（本小题满分12分）设函数x a bx x x f ln )(2-+=（Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是)(x f 的两个不同零点，且0(,1)x n n ∈+ 且n N ∈，求n 的值；（Ⅱ）若对任意[]1,2--∈b , 都存在(1,)x e ∈（e 为自然对数的底数），使得0)(<x f 成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号，本小题满分10分。

22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程(Ⅰ)若圆x 2＋y 2＝4在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxy ′＝3y (λ>0)的作用下变成一个焦点在x 轴上，且离心率为45的椭圆，求λ的值；(Ⅱ)在极坐标系中，已知点A (2，0)，点P 在曲线C ：ρ＝2＋2cos θsin 2θ 上运动，求P 、A 两点间的距离的最小值．23．(本小题满分10分)已知函数()1f x x =-. （1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，且0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭.成都龙泉中学2015级9月月考试题数 学(理工类)参考答案1—5 BBCBC 6—10 BCBDA 11—12 AA13.6 14. 6 15．10- 16．(,+∞)17.解：（Ⅰ）1123tan tan()1111()23B AMC BAM --=∠-∠==-+-⋅，∵0B π<<，∴34B π=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知34B π=，∵B αβ+=，∴34B πβαα=-=-，3sin sin()4παβαα-=--cos 22αα=-sin()4πα=-， ∵304πα<<，∴442πππα-<-<，∴2sin()124πα-<-<，sin αβ-的取值范围是(． 18.【解答】证明：（1）由正方形ABCD 知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD， ∵点E ，F 分别是AB ，BC 的中点．将△AED，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于P ．∴PD⊥PF，PD⊥PE，∵PE∩PF=P，PE 、PF ⊆平面PEF ． ∴PD⊥平面PEF ． 又∵EF ⊂平面PEF ， ∴PD⊥EF，又BD∩PD=D， ∴EF⊥平面PBD ，又EF ⊂平面BFDE ，∴平面PBD⊥平面BFDE ．（2）连结BD 、EF ，交于点O ，以O 为原点，OF 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设在正方形ABCD 的边长为2，则DO=， =，PE=PF=1，PO==，∴P（0，0，），D （0，，0），E （﹣，0，0），F （，0，0），=（﹣，﹣，0），=（0，﹣，），=（，﹣，0），设平面PDE 的法向量=（x ，y ，z ），则，取y=1，则=（﹣3，，3），平面DEF 的法向量=（0，0，1）， 设二面角P ﹣DE ﹣F 的平面角为θ，则cos θ===．∴二面角P ﹣DE ﹣F 的余弦值为．19.解：法一 (1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2，从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个.其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，共9个. 所以所求的概率P ＝910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4.5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.法二 (1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2，从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个.其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B 1，B 2}，共1个. 所以所求的概率P ＝1－110＝910. (2)同法一.20．解：（1）由动圆M 恒过()1,0F 且与直线1=-x 相切得，点M 到()1,0F 与到直线1=-x 距离相等，所以圆心M 的轨迹C 的方程为：24=y x联立()241⎧=⎪⎨=+⎪⎩y x y k x 得，()2222240+-+=k x k x k ，()21212241⎧+=--⎪⎨=⎪⎩x x k x x当0=k 时，一次方程只有一个根，所以不成立.所以00≠⎧⎨∆>⎩k 解得()()1,00,1∈-⋃k总之，直线l 的斜率k 的取值范围为()()1,00,1∈-⋃k （2）设()00,D x y ，()11,A x y ，()22,B x y ， 直线DA l ：()00014-=-+y y x x y y ，即DA l ：()01014+=+y y y x y y其与1=x 的交点010141,⎛⎫+ ⎪+⎝⎭y y P y y ，同理DB l 与1=x 的交点020241,⎛⎫+ ⎪+⎝⎭y y Q y y所以1⋅=+uu u r uuu r OP OQ 01020102441⎛⎫⎛⎫++⋅=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭y y y y y y y y ()()20120122001212416++++++y y y y y y y y y y y y 由（1）中的121=x x得，124==y y 代入上式得()()2001220012441644+++=+++y y y y y y y y 故⋅uu u r uuu rOP OQ 145=+=（3）略证：不作要求只给结论分.（联立222⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩y pxp y k x 得， ()2222+-k x pk p x 2204+=k p 所以2124=p x x，得12=y y 2=p直线DA l ：()00012-=-+p y y x x y y ，即DA l ：()01012+=+y y y px y y 20101,2⎛⎫+ ⎪+⎝⎭y y p p P y y ，20202,2⎛⎫+ ⎪+⎝⎭y y p p Q y y 所以24⋅=+uu u r uuu r p OP OQ ()()2220120122001212++++++y y y p y y y p y y y y y y 222544=+=p p p ， 254⋅=uu u r uuu r p OP OQ 21. （满分12分） 解：（Ⅰ）()2a f x x b x '=+-，∵2x =是函数()f x 的极值点，∴(2)42a f b '=+-. ∵1是函数()f x 的零点，得(1)10f b =+=， 由40210a b b ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1a b ==-. ……………………2分 ∴2()6ln f x x x x =--,6()21f x x x'=--， 令2626()210,02x x f x x x x x x--'=--=>>∴>， 令()0f x '<得02x <<，所以()f x 在(0,2)上单调递减；在(2,)+∞上单调递增.……4分故函数()f x 至多有两个零点，其中01(0,2),(2,)x ∈∈+∞，因为(2)(1)0f f <<，(3)6(1ln 3)0f =-<,2(4)6(2ln 4)6ln 04e f =-=>， 所以0(3,4)x ∈，故3n =． ………………………………………6分（Ⅱ）令2()ln g b xb x a x =+-，[2,1]b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立，则 2max ()(1)ln 0g b g x x a x =-=--<在(1,)x e ∈有解，令2()ln h x x x a x =--，只需存在0(1,)x e ∈使得0()0h x <即可，由于22()21a x x a h x x x x--'=--=， 令2()2,(1,)x x x a x e ϕ=--∈，()410x x ϕ'=->， ∴()x ϕ在(1，e )上单调递增，()(1)1x a ϕϕ>=-，…………………9分①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e )上单调递增，∴()(1)0h x h >=，不符合题意.② 当10a -<，即1a >时，(1)10.a ϕ=-<2()2e e e a ϕ=--若221a e e ≥->，则()0e ϕ<，所以在(1，e )上()0e ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在0(1,)x e ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意. 若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1， e )上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在0(1,)x m ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意.综上，当1a >时，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立....12分22.【解析】(Ⅰ)依题意变换后椭圆y 轴正半轴顶点为(0，6)，所以短半轴长b ＝6，再由离心率为45可得长半轴长为10，所以λ的值为5.5分(Ⅱ)曲线C 的极坐标方程可化为ρ＝21－cos θ，即ρ－ρcos θ＝2.化为直角坐标方程，得x 2＋y 2－x ＝2，即y 2＝4(x ＋1)．设点P (x ，y )(x ≥－1)，则|PA |＝（x －2）2＋y 2＝x 2＋8≥22，当且仅当x ＝0时取等号．故|PA |min ＝2 2.10分23.1）{}|53x x x ≤-≥或；（2）证明见解析. 【解析】（1）22,3,()(4)134,31,22, 1.x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩当3x <-时，则228x --≥，解得5x ≤-；当31x -≤≤时，则()8f x ≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥.所以原不等式的解集为{}|53x x x ≤-≥或. ..．．．．．．．．．．5分（2）()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭即1ab a b ->-. 因为1a <,1b <, 所以()()()()222222*********ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->, 所以1ab a b ->-.故所证不等式成立. ..．．．．．．．．．．10分。