集合的概念及运算-高考领航2016年高考理数大一轮复
《高考导航》2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第一章第1讲集合的概念与运算
2016高考导航第1讲 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(1)真子集AB(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D 答案：B 2．(2014·高考北京卷)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0，1，2} 答案：C 3．(2014·高考浙江卷)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2，5} 解析：选B.因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}， 所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}，故∁U A ＝{2}．1．辨明五个易误点(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．(3)易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． (4)运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．(5)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．2．巧用两种数学思想 (1)数形结合思想数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．(2)转化与化归思想在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．[做一做]4．由a 2，2－a ，4组成一个三元素集合A ，则实数a 的值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．6 D ．2 答案：C5．已知集合A ＝{－1，0，4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是________．解析：∵B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．答案：{－1，4},[学生用书P 2～P 3])考点一__集合的基本概念______________________(1)(2013·高考山东卷)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 015＝________． [解析] (1)当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1； 当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时，x －y ＝1； 当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0；当x ＝1，y ＝2时，x －y ＝－1； 当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；当x ＝2，y ＝1时，x －y ＝1；当x ＝2，y ＝2时，x －y ＝0.根据集合中元素的互异性知，B 中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．(2)由M ＝N 知， ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝2， 故(m －n )2 015＝－1或0. [答案] (1)C (2)－1或0若将本例(1)中的集合B 更换为B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则集合B中有________个元素．解析：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2.故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素． 答案：6[规律方法] 解决集合的概念问题应关注两点1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为()A．1或－1 B．1或3C．－1或3 D．1，－1或3解析：选B.∵5∈{1，m＋2，m2＋4}，∴m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，M＝{1，1，5}不满足互异性．∴m的值为3或1.考点二__集合间的基本关系__________________(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A ⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是()A．(0，1] B．[1，＋∞)C．(0，1) D．(1，＋∞)[解析](1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．(2)法一：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1，即实数c的取值范围是[1，＋∞)．法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，取c＝1，则B＝(0，1)，所以A⊆B成立，故可排除C，D；取c＝2，则B＝(0，2)，所以A⊆B成立，故可排除A.[答案](1)D(2)B[规律方法](1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．(2)子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.[注意]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．2.(1)(2013·高考福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}，若B A，则实数a的取值范围是________．解析：(1)∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．(2)当B＝∅时，有a＋1≥2a－1，则a≤2.当B≠∅时，若B A，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－22a －1≤7a ＋1<2a －1，解得2<a ≤4. 综上，a 的取值范围为a ≤4. 答案：(1)A (2)(－∞，4]考点三__集合的基本运算(高频考点)____________集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求集合间的交、并、补运算； (2)已知集合的运算结果求集合；(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)．(1)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤32}，则A ∪B ＝( )A ．∅B ．(0，13]C ．[13，1] D ．(－∞，1](2)(2014·高考重庆卷)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________．(3)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(∁U B )＝________．(4)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．[解析] (1)由题意知，A ＝(0，1]，B ＝(－∞，13]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D.(2)U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A )∩B ＝{7，9}．(3)∵U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1，2，3}．又∵B ＝{1，2}，∴{3}⊆A ⊆{1，2，3}． 又∁U B ＝{3，4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．(4)A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，由B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.[答案] (1)D (2){7，9} (3){3} (4)－1 1[规律方法] (1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2)在解决有关A ∩B ＝∅时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．3.(1)已知集合A ＝{x |y ＝x }，B ＝{x |12<2x <4}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |x <1}D ．{x |－2<x <0}(2)(2015·河北唐山模拟)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0，1，2} B ．{0，1，3} C ．{0，2，3} D ．{1，2，3} (3)(2015·新乡市一中月考)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}解析：(1)选B.因为A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，所以∁R A ＝{x |x <0}．又B ＝{x |12<2x <4}＝{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．(2)选D.因为M ∩N ＝{1}，所以log 3a ＝1，即a ＝3，所以b ＝1，即M ＝{2，1}，N ＝{3，1}，所以M ∪N ＝{1，2，3}，故选D.(3)选C.|x －a |<1⇔－1<x －a <1⇔a －1<x <a ＋1，又B ＝{x |1<x <5}，A ∩B ＝∅，故a ＋1≤1或a －1≥5，即a ≤0或a ≥6.,[学生用书P 4])交汇创新——集合中的创新问题以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．(1)如图所示的V enn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A #B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}(2)如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．[解析] (1)因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A #B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.(2)由题意可知－2x ＝x 2＋x ，∴x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．[答案] (1)D (2){0，6}[名师点评] 解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．1.(2015·安徽安庆一中、安师大附中联考)设集合S ＝{A 0，A 1，A 2}，在S 上定义运算⊕：A i ⊕A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被3除的余数，i ，j ∈{1，2，3}，则使关系式(A i ⊕A j )⊕A i ＝A 0成立的有序数对(i ，j )总共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解析：选C.i ＝1时，j ＝1符合要求；i ＝2时，j ＝2符合要求；i ＝3时，j ＝3符合要求，所以使关系式(A i ⊕A j )⊕A i ＝A 0成立的有序数对(i ，j )有(1，1)，(2，2)，(3，3)，共3对．2．(2015·广东揭阳模拟)对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2，4，6，8，10}，B ＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．解析：要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1，6，10，12}，所以A △B ＝{1，6，10，12}．答案：{1，6，10，12}1．(2015·河南省洛阳市统一考试)已知集合A ＝{1，2，4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D.集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．2．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A ．AB B ．B AC ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选B.由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B.3．(2014·高考江西卷)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－3，0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3，3)解析：选C.由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 4．(2015·福建南安一中期末)全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.阴影部分表示的集合是A ∩B .依题意知，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |－1≤y ≤1}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}，故选D.5．(2015·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：选D.∵x 2－3x ＋2>0，∴x >2或x <1. ∴A ＝{x |x >2或x <1}，∵B ＝{x |x ≤a }， ∴∁U B ＝{x |x >a }．∵∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.6．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 答案：(－∞，1]7．(2015·江西八校联考)已知R 是实数集，集合M ＝{x |3x<1}，N ＝{y |y ＝t －2t －3，t ≥3}，则N ∩∁R M ＝________．解析：解不等式3x<1，得x <0或x >3，所以∁R M ＝[0，3]．令t －3＝x ，x ≥0，则t ＝x 2＋3，所以y ＝x 2－2x ＋3≥2，即N ＝[2，＋∞)．所以N ∩∁R M ＝[2，3]．答案：[2，3]8．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2，2，1，－1}，又U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}9．已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3. 当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}， 所以a ＝5或a ＝－3.(2)由(1)可知，当a ＝5时， A ∩B ＝{－4，9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3. 10．(2015·河北衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1＞5－a ，得a ＞3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．1．(2015·河南郑州模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.法一：(解方程组)集合A ∩B 的元素个数即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝1解的个数，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，有两组解，故选C.法二：(数形结合)在同一坐标系下画出直线x ＋y －1＝0和圆x 2＋y 2＝1的图象，如图，直线与圆有两个交点．即A ∩B 的元素个数是2，故选C.2．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1，3，4}为“权集”B ．{1，2，3，6}为“权集”C ．“权集”中可以有元素0D ．“权集”中一定有元素1解析：选B.由于3×4与43均不属于数集{1，3，4}，故A 不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1，2，3，6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a ja i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，故选B.3．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2，4]，则实数m ＝________．解析：由题知A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]，因为A ∩B ＝[2，4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2m ≥4，则m ＝5.答案：54．某校田径队共30人，主要专练100 m ，200 m 与400 m ．其中练100 m 的有12人，练200 m 的有15人，只练400 m 的有8人．则参加100 m 的专练人数为________．解析：用Venn 图表示A 代表练100 m 的人员集合，B 代表练200 m 的人员集合，C 代表练400 m 的人员集合， U 代表田径队共30人的集合，设既练100 m 又练200 m 的人数为x ，则专练100 m 的人数为12－x . ∴12－x ＋15＋8＝30， 解得x ＝5.所以专练100 m 的人数为12－5＝7. 答案：7 5．(2015·福建三明模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．6．(选做题)(2015·浙江金丽衢十二校第一次联考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．判断下列四个集合是否为“垂直对点集”．①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y ＝1x ；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}； ③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}．解：依题意， 要使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，只需过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交，再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交即可．对于①，取l 1：y ＝x ，则l 2：y ＝－x 与函数y ＝1x图象没有交点，①中M 不是“垂直对点集”；③中取l 1：y ＝0，则l 2：x ＝0与函数y ＝log 2x 图象没有交点，③中M 不是“垂直对点集”；如图所示，作出②④中两个函数的图象知：过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交，再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交．故②④中的集合M 是“垂直对点集”．。
高考数学一轮复习课件11集合的概念与运算
>0,得
x>1 或 x<0.
集合 A 中的元素不属于集合 B 的有 0,1,故选 A.
3
(2)由题意得 m+2=3 或 2m2+m=3,解得 m=1 或 m=- .当 m=1
2
时,m+2=3,且 2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;
3
1
3
当 m=-2时,m+2=2,而 2m2+m=3,故 m=-2.
A.{-1,0,1} B.{0,1}
C.{-1,1}
D.{0,1,2}
解析:A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.
3.(2019北京海淀一模,1)已知集合P={x|0<x<4},且M⊆P,则M可以
是( A )
A.{1,2}
B.{2,4}
C.{-1,2}
当x=0时,y=-1,0,1;
当x=1时,y=-1,0,1;所以共有9个,选A.
(2)由题意,得A={-2,-1,0,1,2,3,4},对于集合B,因为x∈Z,2x∈A,所
以B={0,1,2},故选D.
-9-
考点1
考点2
考点3
思考求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应注意什么?
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:
中至少有一个元素不在集合 A 中,则 (或B⫌A)
集合 A 是集合 B 的真子集
若集合 A,B 中的元素相同或集合 A,B
互为子集,则集合 A 等于集合 B
A=B
-3-
知识梳理
考点自诊
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
高中一轮复习1集合的概念及其运算
第1讲集合的概念及其运算一、教学目标1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.二、知识点梳理1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}1．元素与集合的辨别(1)若{,2x 1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( )(2)含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2.( )(3)若A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B ＝{x |x ∈R }．( )2．对集合基本运算的辨别(4)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )总成立．( )(5)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝{x |－4≤x ≤1}．( )(6)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M ＝{x |x ＞1，或x ＜－1}．( ) 感悟·提升1．一点提醒 求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．如第(3)题就是混淆了数集与点集．2．两个防范 一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6)．3．集合的运算性质：①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；③A ∪(∁U A )＝U ；④A ∩(∁U A )＝∅.三、典型例题讲解考点一 集合的基本概念【例1】(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )．A ．4B ．2C ．0D ．0或4(2)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )．A ．1B ．3C ．5D ．9解析 (1)由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解；当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4(a ＝0不合题意舍去)．(2)x －y ∈{－2，－1,0,1,2}．答案 (1)A (2)C规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【训练1】已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值．审题路线 (1)分B ＝∅和B ≠∅两种情况求解，当B ≠∅时，应注意端点的取值．(2)先求A ，再利用(∁U A )∩B ＝∅⇔B ⊆A ，应对B 分三种情况讨论．解 (1)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}．①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2. 规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．【训练2】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )．A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}考点三 集合的基本运算【例3】(1)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2，或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2，或x ≥4}(2)若集合M ＝{y |y ＝3x }，集合S ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则下列各式正确的是( )．A ．M ∪S ＝MB ．M ∪S ＝SC ．M ＝SD ．M ∩S ＝∅解析 (1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x ＜2，或x ＞4}，此时A ∩∁R B ＝{x |0≤x ＜2，或x ＞4}．(2)M ＝{y |y ＞0}，S ＝{x |x ＞1}，故选A.答案 (1)C (2)A规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn 图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．【训练3】(1)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )．A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)＜1}，则A ∩(∁U B )＝________.课堂小结数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．四、课后作业基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()．A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B2．设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝()．A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()．A．2个B．4个C．6个D．8个4．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()．A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为()．A．{x|x≥1} B．{x|－4＜x＜2}C．{x|－8＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}二、填空题6．集合{－1,0,1}共有________个子集．7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．8．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．三、解答题9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B. 10．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，(1)若B⊆A，求a的值；(2)若A⊆B，求a的值．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()．A．5 B．4 C．3 D．22．设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg(x2－1)}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩(∁U M)＝()．A．{x|－2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|－1≤x≤1} D．{x|x＜1}二、填空题3．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m ＝________，n＝________.三、解答题4．已知集合A＝{y|y＝2x－1,0＜x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围．(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠∅.。
高考数学一轮总复习 第一章 1.1集合的概念及运算
A.A∩B＝∅
B.A⊆B
C.B⊆A
√D.A∪B＝R
解析 ∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.
命题点2 利用集合的运算求参数
例3 (1)(2018·惠州模拟)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3
＝B，则实数a的取值范围是
A.a<1
B.a≤1
C.a>2
√D.a≥2
解析 集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}， 由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图.
因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}， 所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋
(2)设数集 M＝xm≤x≤m＋43
，N＝x n－13≤x≤n
，且 M
{x|0≤x≤1}的子集，定义 b－a 为集合{x|a≤x≤b}的“长度” 1
解析 由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 则 m＝1 或 m＝－32， 当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3， 根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当 m＝－32时，m＋2＝21，而 2m2＋m＝3，
思维升华
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义 限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的 (2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集 满足元素的互异性.
圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝x 相交于两点 22， 22，－ 22，－ 2 则A∩B中有两个元素.
题组三 易错自纠
4.(2018·湖南长郡中学月考)已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，
的是
A.0∉A
B.1⊆A
C. 2 ⊆A
高考数学回归基础知识：1、集合的基本概念与运算
集合与函数概念一、集合的根本概念与运算(一)元素与集合一般地,我们把研究对象统称为元素.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) .通常用大写字母A ,B ,C ,D ,…表示集合,用小写拉丁字母a ,b ,c ,…表示元素.(1)确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如, "中国的直辖市〞构成一个集合,北京、上海、天津、重庆在这个集合中,杭州、南京、广州……不在这个集合中. "身材较高的人〞不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的.(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的) ,也就是说,集合中的元素是不重复出现的.相同元素、重复元素,不管多少,只能算作该集合的一个元素.(3)无序性：在一个集合中,不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同,就认为是同一个集合.3、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.4、元素与集合的关系如果a是集合A的元素,就是说a属于集合A ,记作a∈A；如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A ,记作a A .5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集 (或自然数集 ) ,记作N ； 所有正整数组成的集合称为正整数集 (在自然数集中排除0的集合 ) ,记作N *或N +；全体整数组成的集合称为整数集 ,记作Z ；全体有理数组成的集合称为有理数集 ,记作Q ；全体实数组成的集合称为实数集 ,记作R .例 {}{}的值求 且y x Q P x xy x Q y x P ,,,,,,1,,2===解析 ⎩⎨⎧==,1,2xy x y 由① 2,1,y xy x =⎧⎨=⎩或 ②解①得x =y =1这与集合中元素的互异性相矛盾 .解②得x = -1或1(舍去)这时y =0∴x = -1 ,y =06、集合的表示方法(1)列举法：把集合中的所有元素一一列举出来 ,并用花括号 "{}〞括起来表示集合的方法叫做列举法 .适用条件：有限集或有规律的无限集形式：{}n a a a a ，⋯,,,321拓展与提示： (1 )无序性常常作为计算时验证的重要依据 .(2 )注意N 与N *的区别 .N *为正整数集 ,而N 为非负整数集 ,即0∈N 但0∉ N * . (3 )集合的分类 按元素个数⎩⎨⎧素的集合叫做无限集无限集：含有无限个元素的集合叫做有限集有限集：含有有限个元 按元素的特征可分为：数集 ,点集 ,形集等等 .特别地 ,至|少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集 (φ ) ,只含有一个元素的集合叫做单元素集 .(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法 ,具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 . 适用条件：一般适合于无限集 ,有时也可以是有限集 . 形式：{})(x p D x ∈ ,其中x 为元素 ,p(x)表示特征 .(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内 . 例 用适当的方法表示以下集合 ,并指出它是有限集还是无限集： (1)由所有非负奇数组成的集合；(2)由所有小于10既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；(4)方程x 2 +x +1 =0的实数根组成的集合 .解析 (1)由所有非负奇数组成的集合可表示为：{}N n n x x A ∈+==,12 ,A 是无限集 .(2)满足条件的数有3 ,5 ,7 ,所以所求集合为：{}7,5,3=B ,集合 B 是有限集 .(3)所求集合可表示为：{}00),(<<=y x y x C 且 ,集合C 是无限集 .(4)因为方程x 2 +x +1 =0的判别式的Δ<0 ,故无实数 ,所以方程x 2 +x +1 =0的实根组成的集合是空集φ .(二)集合的根本关系1、子集：一般地 ,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个无素都是集拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确 ,那么x ∈D 可以省略 ,只写其元素x ,如{}10<∈x R x 可以表示为{}10<x x .合B 中的元素 ,我们就说这两个集合有包含关系 ,称集合A 为集合B 的子集 ,记作)(A B B A ⊇⊆或 ,读作 "A 含于B 〞(或 "B 包含A 〞) .数学表述法可简述为：假设B x A x ∈⇒∈ ,那么集合A 是集合B 的子集 .(如图)2、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集)(B A ⊆ ,且集合B 是集合A 的子集)(A B ⊆ ,此时 ,集合A 与集合B 中的元素是一样的 ,因此 ,集合A 与集合B 相等 ,记作A =B .数学表述法可描述为：对于集合A 、B ,假设B A ⊆ ,且B A ⊆ ,那么集合A 、B 相等 .3、真子集：假设集合B A ⊆ ,且A ≠B ,那么集合A 是集合B 的真子集 .4、空集：不含任何元素的集合叫做空集 ,记为φ ,并规定：空集是任何集合(三 )集合间的根本运算1、并集一般地 ,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合 ,称为集合A 与B 的并集 ,记作A B (读作 "A 并B 〞) ,即{}B x A x x B A ∈∈=⋃或,(1) A A A ⊆⊆,φ .(2) φ B(其中B 为非空集合) .(3)对于集合 A ,B ,C ,假设C A C B B A ⊆⊆⊆则,, .(4)对于集合A ,B ,假设B A A B B A =⊆⊆则且, .(6)含n 元素的集合的全部子集个数为2n 个 ,真子集有2n -1个 ,非空子集有2n -1个 ,非空真子集有2n-2个 .(7){}A a A a ∈⊆与是不同的 ,前者为包含关系 ,后者为属于关系 .可用Venn 图表示为2、交集一般地 ,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合 ,称为集合A 与B 的交集 ,记作B A ⋂(读作 "A 交B 〞) ,即{}B x A x x B A ∈∈=⋂且, .可用Venn 图表示为3、全集与补集(1)全集：一般地 ,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素 ,那么就称这个集合为全集 ,通常记作U .(2)补集：对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集 ,简称为集合A 的补集 ,记作{},uA x x U x A =∈∉且 .例 设集合{}{}9,1,5,4,12,2x x B x x A --=--= ,假设A ∩B ={}9 ,求A ∪B .解析 由A ∩B ={}9得 ,9∈A .拓展与提示：对于任意集合A 、B ,有(1);,A A A A A =⋃=⋃φ(2)A B B A ⋃=⋃;(3))(),(B A B B A A⋃⊆⋃⊆;(4)B A A B A ⊇⇔=⋃ . 拓展与提示：对于任意集合A 、B ,有(1);,φφ=⋂=⋂A A A A (2)A B B A ⋂=⋂；(3)B B A A B A ⊆⋂⊆⋂)(,)(；(4)B A A B A ⊆⇔=⋂；(5))()(B A B A ⋃⊆⋂ .拓展与提示：(1)A ∩()uA =φ ,A ∪()uA , =U ； (2 )()u uA =A ,uU =φ ,u φ =U ；(3) ()u A B =()()uA uB ,()u A B =()()uA uB .(4)以下图中的①~④分别表示为 ()uB ()uA ()()uA uB∴x2 =9或2x -1 =9①由x2 =9得,x =±3 .当x =3时,{}{}9,2,2-==BA,与元素的互异性-,4,5,9-矛盾.当x = -3时,{}{}9,4,8-A,此时,{}.9,4,4,7,8-=A=B⋃B-,9-,7=-,4-②由2x -1 =9得x =5.当x =5时,{}{}9,4,0A,此时,{}9,4-=⋃BA,与题设矛盾.=B25--,9,,4=综上所述,{}.9,4,4,7,8-⋃B=A--4、集合中元素的个数：(不做要求)在研究集合时,经常遇到有关集合元素的个数问题,我们把含有限个元素的集合A叫做有限集,用card来表示有限集合A中元素的个数.例如：{}3cardcbaA则.,==A(),,一般地,对任意两个有限集A ,B ,有card(A∪B) =card(A) +card(B) -card(A∩B).当时仅当A∩B =φ时,card(A∪B) =card(A) +card(B).解与集合中元素个数有关的问题时,常用venn图.例学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参赛,两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛?解析设{}B,那么=球类运动会参赛的学生=A,{}田径运动会参赛的学生{}{}ABA ,=B所有参赛的学生⋃，两次运动会都参赛学生=Card(A∪B) =card(A) +card(B) -card(A∩B)=8 +12 -3 =17答：两次运动会中,这个班共有17名同学参赛。
高考数学一轮 集合的概念与运算
第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算[最新考纲]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.()(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________.{x|x≤2，或x≥10}[∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．]3．(2016·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________.{－1,2}[在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．]4．集合{－1,0,1}共有________个子集．8[由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．]5．(2017·盐城期中模拟)若集合A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2<x≤2}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．[2，＋∞)[∵A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2<x≤2}，且B⊆A，∴2≤m，即实数m的取值范围是[2，＋∞)．](1)，y∈A}中元素有________个．(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【导学号：62172000】(1)5(2)0或98[(1)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝9 8，所以a的取值为0或9 8.][规律方法] 1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题(1)．2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2)．[变式训练1](1)(2017·启东中学高三第一次月考)已知x2∈{0,1，x}，则实数x的值是________．(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．(1)－1 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98 [(1)由集合中元素的互异性可知x ≠0且x ≠1. 又x 2∈{0,1，x }，所以只能x 2＝1，解得x ＝－1或x ＝1(舍去)． (2)∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意；当a ≠0时，Δ＝9＋8a ＜0，∴a ＜－98.](1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(1)4 (2)(－∞，4] [(1)∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{1,2}， B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．∴由A ⊆C ⊆B 可知C 中至少含有1,2两个元素，故满足条件的集合C 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.][规律方法] 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解，如题(2)．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解．[变式训练2] (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，则b －a ＝________.(2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．(1)2 (2)(－∞，－1]∪{1} [(1)由题意可知a ，b ≠0，由集合相等的定义可知，a ＋b ＝0，∴a ＝－b ，即ba ＝－1，∴b ＝1，故b －a ＝2b ＝2.(2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且BA 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.]☞角度1 求集合的交集或并集(1)(2017·南京二模)设集合A ＝{x |－2<x <0}，B ＝{x |－1<x <1}，则A∪B ＝________.(2)(2017·如皋市高三调研一)设集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }，则P ∩Q ＝________.(1){x |－2<x <1} (2){1,2} [(1)∵A ＝{x |－2<x <0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |－2<x <1}．(2)∵P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }， ∴P ∩Q ＝{1,2}．]☞角度2 交、并、补的混合运算(1)(2017·苏锡常镇二调)已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________.(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是________．图1-1(1){1,2,5} (2)(－3，－1) [(1)由题意可知∁U B ＝{1,5}，又A ＝{1,2}，∴A ∪(∁U B )＝{1,2,5}．(2)由题意可知，M ＝(－3,1)，N ＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝(－3，－1)．]☞角度3 利用集合的运算求参数(1)(2017·南通二调)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B＝{0}，则实数a 的值为________. 【导学号：62172001】(2)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________. (3)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．(1)1 (2)0或3 (3)[1，＋∞) [(1)∵A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B＝{0}，∴a －1＝0或a ＋1a ＝0(舍去)，∴a ＝1.(2)由A ∪B ＝A 可知B ⊆A ， 又A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，所以m ＝3或m ＝m ，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1(舍去)． (3)由A ∩B ＝∅可知，a ≥1.][规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．易错警示：在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．[思想与方法]1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．(2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．[易错与防范]1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．课时分层训练(一)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·苏州期中)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0}，则A∪B＝________.{－1,0,1}[A∪B＝{0,1}∪{－1,0}＝{－1,0,1}．]2．(2017·南京模拟)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝________. 【导学号：62172002】{x|0≤x≤2}[A∩B＝{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2}．]3．(2017·南通第一次学情检测)已知集合A ＝{x |0<x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈R }，则A ∪B ＝________.{x |－1≤x ≤3，x ∈R } [∵A ＝{x |0<x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈R }， ∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．]4．(2017·如皋中学高三第一次月考)已知集合A ＝{1，cosθ}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，若A ＝B ，则锐角θ＝________.π3 [由A ＝B 可知cos θ＝12，又θ为锐角，∴θ＝π3.]5．(2017·盐城三模)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5,7,9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集的个数为________．8 [由题意可知A ∩B ＝{1,3,5}，∴C ＝{1,3,5}，∴集合C 的子集共有23＝8个．]6．(2017·南京三模)已知全集U ＝{－1,2,3，a }，集合M ＝{－1,3}．若∁U M ＝{2,5}，则实数a 的值为________．5 [∵M ∪∁U M ＝U ，∴U ＝{－1,2,3,5}，∴a ＝5.]7．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝________.{1,2} [A ∩B ＝{x |x >0}∩{－1,0,1,2}＝{1,2}．]8．设全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,3}，B ＝{2,3}，则B ∩(∁U A )＝________.【导学号：62172003】{2} [∵A ＝{1,3}，∴∁U A ＝{2,4}，∴B ∩(∁U A )＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．]9．设集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A }，则集合B 中的元素个数为________．6 [∵A ＝{1,2,4}，B ＝{2,3,4,5,6,8}，∴集合B 中共有6个元素．]10．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．2[集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．]11．(2017·无锡模拟)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________. 【导学号：62172004】0[∵1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，∴1＝a＋2，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1.①当a＋2＝1，即a＝－1时，此时a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；②当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2，又当a＝－2时，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；③当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或－2，由①②可知，均不满足题意．综上可知，a＝0.]12．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)＝________.{3}[∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}，又∁U B＝{3,4}，∴A∩(∁U B)＝{3}．]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅱ改编)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝________.{0,1,2,3} [B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0,1}．又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．]2．(2016·天津高考改编)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.{1,4} [因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．]3．(2017·盐城模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，集合B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩B ＝________.[2，＋∞) [∵A ＝{x |y ＝lg(x －1)}＝{x |x －1>0}＝{x |x >1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}＝{y |y ≥2}，∴A ∩B ＝{x |x ≥2}．]4．(2017·南通中学月考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为________．4 [由题意可知P ＝{3,4}，故集合P 的子集共有22＝4个．]5．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值为________. 【导学号：62172005】0,1,2 [∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}．由A ∩B ＝B 可知B ⊆A .①当a ＝0时，B ＝∅，满足A ∩B ＝B ；②当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，由B ⊆A 可知，2a ＝1或2a ＝2，即a ＝1或a ＝2.综上可知a 的值为0,1,2.]6．若x ∈A ，且1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为________．3 [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.]。
2016届新课标数学一轮复习课件 第一章 第1讲 集合的概念与运算
Z
Q
R
栏目 导引 第七页，编辑于星期五：十九点 一分。
第一章 集合与常用逻辑用语
2．集合间的基本关系
(1)集合关系图解
关系
韦恩(Venn)图表示
符号表示
子集
A⊆B
真子集A B 集合相等A＝B
栏目 导引 第八页，编辑于星期五：十九点 一分。
真子集
3．集合的基本运算 集合的并集
图形 语言
符号 语言
A∪B＝ _{_x_|x_∈__A_，___ _或__x_∈__B_}___
第一章 集合与常用逻辑用语
第一页，编辑于星期五：十九点 一分。
2016高考导航
第一章 集合与常用逻辑用语
知识点 集合
考纲下载
1．集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合 的子集． (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简 单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求 给定子集的补集． (3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．
第二页，编辑于星期五：十九点 一分。
第一章 集合与常用逻辑用语
知识点
考纲下载
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
简单不等 式的解法
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的函 数、方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等
式，会设计求解的程序框图．
命题及其 1．了解命题的概念． 关系、充 2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命 分条件与 题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 必要条件 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
高考数学一轮复习第章集合与常用逻辑用语第讲集合的概念与运算
所以∁UB＝{x|x>a}． 因为∁UB⊆A，借助数轴可知 a≥2，故选 D.
{ | })π
9．设全集 U＝R，A＝{y|y＝tan x，x∈B}，B＝ x |x| ≤ 4 ，则图中阴影部分表示的集合
是( )
A．[－1，1]
[ ] π π
B. － ， 44
[ ) ( ] π π
C. －1，－ ∪ ，1 44
A．{－1，2，3，5}
B．{－1，2，3}
C．{5，－1，2}
D．{2，3，5}
解析：选 A.由 A∩B＝{2，－1}，
b
b
{ ) { ) 可得 a＝2， 或 a＝－1， a－b＝－1 a－b＝2.
b
b
{ ) { ) { ) 当
＝2， a
时，
a＝1， b＝2.
此时
B＝{2，3，－1}，所以
A∪B＝{－1，2，3，5}；当
所以∁RA＝{x|x<－4 或 x>2}，∁RB＝{y|y>2 或 y<0}，所以(∁RA)⊆(∁RB)，故选 D.
4．设集合 A＝{－1，0，2}，集合 B＝{－x|x∈A 且 2－x∉A}，则 B＝( )
A．{1}
B．{－2}
C．{－1，－2}
D．{－1，0}
解析：选 A.当 x＝－1 时，2－x＝3∉A，此时－x＝1∈B，当 x＝0 时，2－0＝2∈A，当 x＝2
1，－1，故集合 A 中的元素个数为 4.
3．(2016·潍坊模拟)集合 A＝{x||x＋1|≤3}，B＝{y|y＝ x，0≤x≤4}，则下列关系正确
的是( )
A．A∪B＝R
B．A⊆(∁RB)
C．B⊆(∁RA)