第八章 多元函数的积分学

O D x d y z z f ( x, y )
图9-1
由于柱体的高 f ( x, y ) 是变动的， 且在区域D 上是连 续的，所以在小范围内它的变动不大，可以近似地看 成不变.依此，就可用类似于求曲边梯形面积的方法， 即采取分割、取近似、求和、取极限的方法（以后简 称四步求积法）来求的曲顶柱体的体积 V.
S ( x0 )
2 ( x0 ) 1 ( x0 )
f ( x0 , y )dy ，对于区间 a, b 上的任何点 x，对应
2 ( x )
的截面面积为
S ( x)
b
1 ( x )
f ( x, y )dy
于是得曲顶柱体的体积 V 为
V S ( x )dx
D
f ( x, y ) 0 时， f ( x, y )d 表示曲顶柱体的体积的负值；
D
当 f ( x, y ) 在 D 的若干部分区域上是正的，而在其他部分 区域上是负的，这时，二重积分的值就等于各个部分区 域上的曲顶柱体体积的代数和.
二、 二重积分的性质
二重积分有着与定积分相类似的性质.现将这些 性质叙述如下,其中 D 是 xOy 面上的有界闭区域.
性质 １ 号外面,即
D
被积函数中的常数因子可以提到积分
kf ( x, y )d k f ( x, y )d ( k 为常数)
D
性质 ２ 有限个函数的代数和的二重积分等于各函 数的二重积分的代数和,例如
f ( x, y ) g ( x, y ) d f ( x, y )d g ( x, y )d
解
因为在 D 上有 7 x 3 y 7 14 ，而 D 的面积为 2
14 ( x 3 y 14)d 18
D
由性质 6 可得
作业：
习题 9 1
2, 4, 5
第二节 二重积分的计算法
在实际应用中，直接通过二重积分的定义与性质来计算 二重积分一般是困难的.下面， 我们从计算曲顶柱体的体积出 发来给出二重积分的计算方法.这种方法是把二重积分化为 二次积分来计算.
例 2
比较二重积分 ln( x y )d 与 ln( x y ) d
2
D
D
的大小，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为 (1, 0), (1,1), (2, 0) .
解 则
如图 9 2 在D 上1 x y 2
y 2
0 ln( x y ) ln 2 ln e 1.所以
n
i (i 1, 2, , n, i同时又表示其面积) . 在 每 个 小 区 域
i 上任取一点(i ,i ) ，作和式 f (i ,i ) i .若当各 i 的直径中的最大值 趋于零时， 这个和式的极限存在， 则 称 为 函 数 f ( x, y ) 在 闭 区 域 D 上 的 二 重 积 分 ， 记 作
D D D
性质 ３
如果将积分区域 D 分为两个区域 D1 和
D2 ,则在 D 上的二重积分等在 D1 和 D2 上二重积分的和,
即
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D D1 D2
这一性质表示二重积分对于积分区域的可加性.
性质 4 如果在区域D 上, f ( x, y ) 1 ,则二重积分在
ln( x y ) ln( x y )]2
1
由性质 5 得
ln( x y)d ln( x y) d .
2 D D
O
1 图9-2
2
x
例 3
估 计 二 重 积 分 ( x 3 y 7)dx 的 值 ， 其 中
D
0 x 1， 0 y 2
在今后的讨论中，我们总假设 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上 连续,故二重积分 f ( x, y )d 存在.因此，在直角坐标系中，
D
可用轴向矩形网（即平行于 x 轴和 y 轴的直线网）去分割区域
D ,这时除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域
都是矩形闭区域， i 的边长为 x j 和 yk ， i x j yk . 设 则 故在直角坐标系中有时也把面积元素 d 记作 dxdy ， 而把二重 积分记作
第九章
多元函数积分学
第一节 第二节
二重积分 二重积分的计算法
第三节
二重积分应用举例
第一节 二重积分
一、 二重积分的概念
１. 实例分析 例 1 （曲顶柱体的体积）
设函数 z f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续，且 f ( x, y ) 0 .以函数 z f ( x, y ) 所表示的曲面为顶， 以区域 D 为底，且以D 的边界曲 z 线为准线而母线平行于 轴的柱 面为侧面的立体叫做曲顶柱体 （图 9-1）.现在我们讨论如何计 算它的体积 V.
在推导中，借助几何直观，设 f ( x, y ) 0 ，事实上，这 个公式的成立并不受此条件限制.类似地，如果积分区域 D 可用不等式 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d
（图9-5） 表示 ，其中1 ( y ), 2 ( y ) 在区间 c, d 上连续，这样的
为此，我们用一组曲线网把D 分割成 n 个小区域
1 , 2 , , n , i (i 1, 2, n) 同时又表示它们的面
积.以每个小区域 i 为底作 n 个母线平行于 z 轴的小柱 体，又在小区域 i 上任取一点( i ,i )(i 1, 2, , n) ，以
a D
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y )dy
这个公式表明，二重积分可以化为先对 y，后对 x 的 二次积分来计算.先对 y 积分时，应把 f ( x, y ) 中的 x 看作常 数，只看作 y 的函数，计算从1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分.然后 把算得的结果（不含 y 是 x 的函数）再对 x 计算从 a 到 b 的定积分.
一、 利用直角坐标计算二重积分
设 函 数 z f ( x, y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续 且
f ( x, y ) 0 ，并设积分区域 D 可用不等式
来表示(图9 3) ，其中函数1 ( x), 2 ( x) 区间 a, b 上连续，这 样的区域称为 X-型区域，其特点是：穿过内部 D 且平行 y 轴的直线与 D 的边界相交不多于两点.
i 1
f ( x, y)d ，即
D
f ( x, y)d lim f ( , )
D 0 i 1 i i
n
i
，
(1)
其中 f ( x, y ) 称为被积函数， f ( x, y )d 称为被积表达 式， d 称为面积元素， x 和 称为积分变量，D 称为积 y 分区域， f (i ,i ) i 称为积分和式.
f ( x, y)dxdy
D
其中 dxdy 称为直角坐标系中的面积元素.
根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是曲顶柱 体的变高 f ( x, y ) 在区域 D 上的二重积分
V f ( x, y )d
D
二重积分的几何意义是明显的，当被积函数
f ( x, y ) 0 时， f ( x, y )d 表示曲顶柱体 的体积；当
有界闭区域 D 上连续， 是 D 的面积，则在 D 上至少存在 一点 ( , ) ，使得
f ( x, y )d f ( , ) .
D
证
显然 0 ，把性质 6 中不等式各除以 ，有
m
f ( x, y)d M ，
D
1
这就是说，确定的数值
f ( x, y)d
f ( i ,i ) 为高， i 为底的小平顶柱体体积 f ( i ,i ) i 作
为相应小曲顶柱体体积的近似值，
于是n 个平顶柱体的体积的和
f ( , )
i 1 i i
n
i
就是所求曲顶柱体体积的一个近似值， n 个小闭区 令 域 i 的直径（一个闭区域的直径是指区域是任意两 点间距离的最大者）中的最大值（记作 ）趋于零， 取上述和式的极限便得所求曲顶柱体的体积，即
V lim f (i ,i ) i
0
i 1 n
上面问题把所求量归结为和式的极限，由于在物 理、力学、几何和工程技术中，许多物理量与几何量 都可归结为这种和式的极限，所以有必要一般地研究 这种和式极限，并抽象出下述二重积分的定义.
2. 二重积分定义
定义 将 D 设 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上有定义且有界， 任 意 地 分 割 为 n 个 小 闭 区 域
a b a
2 ( x ) f ( x, y )dy dx 1 ( x )
从而有
D
2 ( x ) f ( x, y )dy dx f ( x, y )d a 1 ( x )
b
b
(1) (1')
或写成 f ( x, y )d dx
z
z f (x, y)
O x0 b x a
y 1 ( x ) y 2 ( x)
y
图 9—4
先求截面面积S ( x ) ， 为此， 在区间 a, b 上任意选定一点
x0 ，过这点作垂直于 x 轴的平面 x x0 .此平面截曲顶柱体所
得截面是一个以区间1 ( x0 ), 2 ( x0 ) 为底， 以曲线z f ( x0 , y ) 为曲边的曲边梯形(图9-4) .由定积分的几何意义知其面积
i 1 n
应当指出， （1）的极限存在时，二重积分才存在， 这时也称 f ( x, y ) 在 D 上是可积的.与定积分的存在定理 类似， 可以证明： 当被积函数 f ( x, y ) 在区域 D 上连续时， （1）的极限必存在，即在区域 D 上连续的函数是可积 的.当然，这个极限的存在与区域 D 的分割方法以及点 (i ,i ) 的取法无关.