高等数学 第八章 多元函数微分学

令
f (x , y ) A， xx 0 0
f (x , y ) B， xy 0 0
f (x , y ) C， yy 0 0
则
f
(x,
y ) 在点
(x , 0
y 0 ) 处是否取得极值的条件如下：
（ 1 ） AC B 2 0 时具有极值，
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值；
y 0 ) 具有偏导数，且
在点
(x , 0
y 0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必
然为零：
f (x , x0
y) 0
0，
f (x , y0
y) 0
0.
证 不妨设
z
f
(
x
,
y
) 在点
(
x
0
,
y 0
) 处有极大值,
则对于
(
x 0
,
y 0
) 的某邻域内任意
( x, y) ( x0 , y0 )
都有
f (x,
x0
x0
x2
k2x2
1 k2
,
y kx 0
随着
k
的取值不同，
1
k k
2
的值也不同,
故极限
lim g( x, y) 不存在.
x0
y0
三、二元函数的连续性
定义 3 设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0) 的 某一邻域内有定义， 如果当点 P(x , y) 趋向于点
P0(x0 , y0) 时，函数 z = f(x , y) 的极限存在， 且等 于它在点 P0 处的函数值，即
时，有
lim g( x, y) lim g(0, y) lim0 0 .
x0
y0
y0
y0
但是，当点( x , y )沿着直线 y = k x ( k 0 )趋向于点
(0, 0) 时，即当 y = k x ，而 x 0 时,
kx2
k
lim
x0
g( x,
y) lim g( x, kx) lim
x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 ) 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
这就是二元隐函数的求导公式.
第三节 全微分及应用
一、全微分的概念 二、全微分的应用
一、全微分的概念
定义 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点P( x , y )
处的全增量
可表示成
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数 f ( x, y ) 在点P( x, y) 可微，Ax By 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作
（ 2 ） AC B 2 0 时没有极值； （ 3 ） AC B 2 0 时可能有极值,
还需另作讨论．
也可能没有极值，
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
(x, y) 1 x2 y2 4
闭区域
y
y
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o 1 2x
（二） 二元函数的定义
多变量之间依赖关系举例： • 圆柱体的体积
• 定量理想气体的压强
• 三角形面积的海伦公式
r h
ba c
定义1 设非空
映射
点集 的 n 元函数 ,记作
称为定义在 D 上
点集 D 称为函数的定义域 ;数集
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F(x, y,z) 0
在曲面上任取一条通 过点M的曲线
n
T
M
x x(t)
:
y
y(t
)
,
z z(t)
曲线在M处的切向量 T {x(t0), y(t0), z(t0)},
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
二、全微分的应用
第四节 多元函数微分学的应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
一、空间曲线的切线与法平面
x x(t)
设空间曲线的方程
y
y (t )
z z(t)
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
(z ) x
其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定义 更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数
例如，z f ( x, y) 关于 x 的三阶偏导数为
z f ( x, y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导
数为
三、复合函数与隐函数的求导法则
（一） 复合函数的求导法则
的函数值z 趋近于一个确定的常数A， 则称 A
为函数 z = f (x , y) 当( x, y)( x0 , y0 )时的极
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
若满足不等式 f ( x , y )
f
(x , 0
y) 0
，则称函数在
(Leabharlann x 0,y 0
)
有极大值；若满足不等式f
(
x
,
y
)
f (x , y ) 00
则称函数在
(
x
0
,
y 0
)
有极小值；
极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点
定理1 （必要条件）
设函数
z
f
(x,
y ) 在点
(x , 0
例如, 点 ( 0 ,0 ) 是函数 z xy 的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的某邻域内连续，
00
有一阶及二阶连续偏导数，
又
f (x , x0
y) 0
0,
f (x , y0
y) 0
0，
M( x0 x, y0 y, z0 z)
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 MM 的方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
•M
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
当M M ,即t 0时 , 曲线在M处的切线方程
曲则线n，它T,们在由M于曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量n的垂任直意，一故条 曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一 平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
若函数f(x, y)在点 P0(x0, y0) 处不连续，则称P0
为函数f(x, y)的间断点
两个结论
（1）若函数 f（x，y）在有界闭区域 D 上连 续，则 f（x，y）在 D 内必有最大值和最小值
（2）若函数 f（x，y）在有界闭区域 D 上连
续，则 C 是介于最大值和最小值之间的实数，则 在 D 内至少存在一点（x0，y0），使得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
第五节 二元函数的极值与最值
一、二元函数的极值 二、二元函数的最值 三、条件极值
一、二元函数的极值
设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的某邻域 00
内有定义，对于该邻域内异于 ( x , y ) 的点 ( x , y ) 00
若 Fy 0, 则
Fx
Fy
dy dx
0
,
这就是一元 隐函数的求导公式.
设方程 F (x , y , z) = 0 确定了隐函数 z = z (x , y),
若 Fx，Fy，Fz 连续， 且 Fz 0, 两边分别对 x ，y 求 导， 得
Fx
Fz
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为Fz 0, 所以
有界区域 区域是有限的，如圆形区域，矩 形区域等
无界区域 区域能够延伸到无穷远处 区域的边界 围成区域的曲线 闭区域 所考虑的区域包含区域的全部边界 开区域 所考虑的区域不包括区域的边界
例如，在平面上
(x, y) x y 0