第八章多元函数微分法及其应用
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1第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的 条件。
条件。
2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。
7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
的偏导数。
10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。
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第八章 多元函数微分法及其应用Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application 8.1多元函数的基本概念（The Basic Concepts of Functions of Several Variables ）定义1 设D 是2R 的一个非空子集，称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数，通常记为()(),,,z f x y x y D =∈或(),z f P P D =∈。
其中点集D 称为该函数的定义域，x 、y 称为自变量，z 称为因变量。
Definition 1 Let D be a nonempty subset of 2R ,we call the mapping :f D R → the function of two variables defined on ,usually denoted by ()(),,,z f x y x y D =∈,or (),z f P P D =∈.The set D is called the domain of the function .We call x and y the independent variables and z the dependent variable.定义2 设二元函数()(),f P f x y =的定义域为D ，()000,P x y 是D 的聚点。
如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点()()00,,P x y D U P δ∈⋂，都有 ()(),f P A f x y A ε-=-<成立，那么就称常数A 为函数(),f x y 当()()00,,x y x y →时的极限，记作()()()00,,lim,x y x y f x y A →=或()()()()00,,,f x y A x y x y →→，也记作()0lim P P f P A →=或()()0f P A P P →→。
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第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (9)
1 1 1 , y = , z = − , 代入式(8)解得 λ λ 2λ
λ=
当λ =
3 3 或λ = − , 2 2
3 1 2 2 时, 可得 x = − , y = , z = − , 2 3 3 3
3 1 2 2 当 λ = − 时, 可得 x = , y = − , z = . 2 3 3 3
第九节
多元函数的极值与最优化问题
习题 8-9
1. (1) 解
求下列函数的极值: f ( x, y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) ; (1) 先求函数的驻点. (2) f ( x, y ) = e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) .
2 ⎧ ⎪ f x = (6 − 2 x)(4 y − y ) = 0, 求得五组解 解方程组 ⎨ 2 f = (6 x − x )(4 − 2 y ) = 0, ⎪ y ⎩
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 (1 ≤ y ≤ 2) ,
由 f ′( x, y ) = −2 + 6 y = 0 , 得 y =
1 (舍去). 3
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 对应于 y = 1, y = 2 处的值分别为 2,9.
因此通过比较可知, f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值为 11, 最小值为 2. 注意 如果二元函数在有界闭区域 D 上连续, 在 D 内可微分, 且只有有限个驻 点, 那么求二元函数在 D 上的最值的一般方法是, 先求函数在 D 内的所有驻点处的 函数值, 再考虑函数在 D 的边界上的最大值和最小值, 把它们加以比较, 其中最大 的就是最大值, 最小的就是最小值.
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8 (1)
如图 8.3 阴影部分所示.
(4) 或
函数的定义域为
⎧⎪−1 ⎨
≤
z ≤ 1, x2 + y2
⎪ ⎩
x2 + y2 ≠ 0,
即
⎧⎪ ⎨
z
≤
x2 + y2 ,
⎪⎩ x2 + y2 ≠ 0,
{(x, y, z) z ≤ x2 + y2 且 x2 + y2 ≠ 0} .
此定义域的图形如图 8.4 阴影部分所示.
4
(2) f (tx,ty,tz) = (tx)3 + (ty)3 + (tz)3 + (tx)(ty)(tz)
3
= t 2 x3 + y3 + z3 + t3 (xyz) ≠ tk f (x, y, z) ,
所以此函数不是 k 次齐次函数. 8. 求下列极限:
1 − xy
(1) lim
;
(x, y)→(1,0) x2 + y2
arcsin(x2 + y2 )
(2) lim
;
(x, y)→(0,0)
x2 + y2
xy + 1 −1
(3) lim
;
(x, y)→(0,0)
xy
sin(xy)
(4) lim
;
(x, y)→(2,0) y
x3 + y3
(5) lim
;
(x, y)→(0,0) x2 + y2
(6)
lim (x2 + y2 )sin 1 .
分所示.
(2)
函数的定义域为
⎧⎪ x 2 ⎨
+
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第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限✧00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。
✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y →+=+例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数222222()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。
例3 设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 是否存在？例5．求222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1． 讨论函数33222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。
第八章多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1．填空。
（1）设()y x y x f 23,+=，则()()y x f xy f ,,=________________；(2) 设,),(2y x xyx y f +=+则()y x f , =_________________； (3) 设),1(-+=x f y z若当1=y 时x z =，则函数()x f =________________；(4) 函数)1ln(2)(x y x z -+=的定义域是_________________________；(5) 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是，此定义域可用平面图形表示为_____________________________________。
2．求极限。
（1）)()cos(1lim22222200y x y x y x y x ++-→→ （2）yx x a y x x +→+∞→+2)11(lim4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,242424y x y x y x xy z 的连续性。
第二节 偏导数1．填空。
（1）,tan ln y x z=则______________=∂∂xz ，___________=∂∂y z；（2）,)1(y xy z +=则______________=∂∂xz，___________=∂∂y z ； (3) 设222),,(zx yz xy z y x f ++=，则),,(z y x f z =__________,),,(z y x f zz =__________, ),,(z y x f zzx =__________,)3,5,2(zzx f =__ ________；（4）设 ⎰--Φ=at x atx du u t x f )(),(，（Φ为连续函数），则x f ∂∂=__ ________, tf∂∂=__ ________。
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第八章多元函数微分法及其应用一、本章教学目标：1.使学生掌握多元函数的基本概念2.使学生掌握多元函数的微分求解关系3.使学生掌握多元函数各知识点之间的联系二、本章基本要求：1.使学生掌握多元函数连续的计算2.使学生掌握多元函数微分的计算三、本章各节的教学内容：第一节多元函数的基本概念教学内容：①平面点集，n维空间②多元函数的概念③多元函数的极限④多元函数的连续性第二节偏导数教学内容：①偏导数的定义及计算法②高阶偏导数第三节全微分教学内容：①全微分的定义②全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则教学内容：①多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导法则教学内容：①一个方程的情形②方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用教学内容：①空间曲线的切线与法平面②曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度教学内容：①方向导数②梯度第八节多元函数的极值及其求法教学内容：①多元函数极值、最大值和最小值②条件极值，拉格朗日乘数法四、本章教学重点：1.使学生掌握多元函数的连续2.使学生掌握多元函数的微分3.使学生掌握多元函数微分学的应用五、本章教学内容的深化和拓宽：使学生深化对多元函数知识点间的联系六、本章教学方式：多媒体七、本章教学过程中应注意的问题：培养学生用发展变化的观点看待问题八、本章主要参考书目：1.同济大学数学教研室主编.1996年.北京：高等教育出版社2.华东师范大学数学系主编.1990年.北京：高等教育出版社3.惠淑荣主编.2002年.北京：中国农业出版社4.李喜霞主编.2003年.北京：中国农业出版社九、本章思考题：1.多元函数极限，连续，可微之间的关系2.多元函数求导的法则及应用3.多元函数微分学及应用§8-1多元函数的基本概念一、区域 1.邻域设0P 是XOY 平面上的一点，δ是一个正数，与点0P 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域。
记作()0,U P δ，即(){}00,U PP PP δδ=<，也就是 ()({}0,,U P x y δδ=<。
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第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1、 平面点集、n 维空间、多元函数的概念，这些你如果不知道就看看。
我下面的资料是从P7开始的。
2、 在数轴上（一维空间），当0x x →时，只有两种趋近方式：一是x 从左边趋近于0x ，即0x x -→；二是x 从右边趋近于0x ，即0x x +→。
在平面直角坐标系中（二维空间），点(,)x y 趋近于点00(,)x y 时，即00(,)(,)x y x y →的方式有无穷多种，例如，当(,)(0,0)x y →时，点(,)x y 既可以沿x 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim(,)x y f x y →便可写成0lim (,0)x f x +→，也可以沿x 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim(,)x y f x y →便可写成0lim (,0)x f x -→；点(,)x y 既可以沿y 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim(,)x y f x y →便可写成0lim (0,)y f y +→，也可以沿y 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim(,)x y f x y →便可写成0lim (0,)y f y -→；同时点(,)x y 也可以沿直线3y x =趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim (,)x y f x y →便可以写成0lim (,3)x f x x →；也可以沿正弦函数图象sin y x =趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim (,)x y f x y →便可以写成0lim (,sin )x f x x →。
我们应该意识到，点(,)x y 还可以沿着一些不规则的路径趋于点(0,0)。
这里说了这么多，就是要让你明白P7第二段中的“这里0P P →表示点P 以任何方式趋于点0P ”这句话的涵义。
3、 对于多元函数的极限，特别是二元函数的极限，只需要了解它的定义，并且会求简单的二元函数的极限，如本节例5、7、8这些题型。
考研中，二元函数的极限的计算应该不会考到，重点是一元函数的极限的计算题。
但是要会判断(,)(0,0)lim (,)x y f x y A →≠这类题型，就是通过找一条特殊路径求出它的极限不等于A 。
如P8页给出的那个例题：222222,00,0(,){xyx y x yx y f x y +≠++==4、 了解多元函数（二元函数）连续性的定义，后面的间断点、最大值最小值定理、介值定理看看就行了。
5、 习题8——1第6、7题，结合答案看看就行了。
第二节 偏导数1、 本节都是重点。
2、 由偏导数的定义，我们在求二元函数(,)f x y 在某一点00(,)x y 处对x 的偏导数时，可以先令二元函数中的0y y =，则二元函数(,)f x y 则变为一元函数0(,)f x y ，再求该一元函数在点0x x =处的导数值，那么就有000000|(,)(,)|x x x x x y y f d f x y f x y x dx===∂'==∂。
当然也可以先求出偏导（函）数(,)x ff x y x ∂'=∂，再把00x x y y ==带到该偏导函数中去，这种方法相对于上面那种来说，有点复杂。
3、 教科书上把偏导数写为(,)x f x y ，复习全书上是写为(,)x f x y '，这两种写法都可以，你不要纠结于这种无关紧要的细节问题。
4、 偏导数的几何意义：对于二元函数(,)z f x y =，偏导数00(,)x f x y '就是一元函数0(,)z f x y =，在点0x x =处的导数，也就是该点处的斜率。
（该一元函数0(,)z f x y =中x 为自变量，z 为因变量，这里强调这一点是因为教科书上P15倒数第二段中的“切线0x M T 对x 轴的斜率”就是表达这个意思）。
同理00(,)y f x y '也有相同的性质，我在这里不说了。
5、 强调偏导数的几何意义，主要是为了让你明确：对于二元函数(,)z f x y =来说，该函数在点00(,)x y 处的连续性，与该点处偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '的存在与否，没有联系。
回顾一下一元函数，函数()y f x =在点0x x =的导数0()f x '如果存在，那么函数()y f x =在点0x x =处必然连续；反之，如果函数()y f x =在点0x x =处连续，那么0()f x '不一定存在。
即00()()f x y f x x x '⇒==存在在点处必然连续。
对于二元函数的这种特殊性质的原因，书上解释的有，它是从几何角度解释的，我在这里严格清晰地解释一遍，下面只是对00(,)x f x y '为例解释偏导存在性与函数连续性的关系，对00(,)y f x y '来说是一样的，我不再赘述。
因为00000000000(,)(,)(,)(,)(,)limlim x x x x f x x y f x y f x y f x y f x y x x x ∆→→+∆--'==∆-，所以当偏导数00(,)x f x y '存在时，极限00000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--必然存在，又由于当0x x →时，该极限的分子趋于0，而该极限存在，那么当0x x →时，该极限的分母也必然趋于0，即000000lim (,)(,)0lim (,)(,)x x x x f x y f x y f x y f x y →→-=⇔=，注意：00lim (,)x x f x y →就表示点(,)x y 沿直线0y y =趋于点00(,)x y 时函数(,)f x y 的极限，即当点(,)x y 沿直线0y y =趋于点00(,)x y 时000000(,)(,)lim (,)lim(,)(,)x x x y x y f x y f x y f x y →→==。
故有当00(,)x f x y '存在时，点(,)x y 沿直线0y y =趋于点00(,)x y 时，0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=。
二元函数的连续性要求0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，这里00(,)(,)x y x y →的趋近方式是任意的，00(,)x f x y '存在时，只能保证点(,)x y 沿直线0y y =趋于点00(,)x y 时，0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，所以，由00(,)x f x y '存在不能得出函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续。
6、 本节所有例题、习题（除第5题）都要看，为了提高效率，加快进度，你结合答案看懂就行了，没必要自己一个一个做完，再对答案。
第三节 全微分1、 牢记全微分的定义，()ορ表示当0ρ→时的高阶无穷小，即0()lim lim 0x y ρορρ→∆→∆→==。
注意：对如下式子进行变形可得0000(,)(,)z f x x y y f x y A x B y ο∆=+∆+∆-=∆+∆+①等价于0000(,)(,)()()f x y f x y A x x B y y ο-=-+-+②等价于0000(,)(,)()()f x y f x y A x x B y y ο-----=③等价于00limlim0x x x x y y y y →→→→==④等价于000limlim0x x x x y y y y →→→→==⑤，注意到0000(,)Ax By f x y +-是一个定值，用C表示，那么⑤式又可以等价于000limlim0x x x x y y y y →→→→==⑥以上的00(,)x A f x y '=，00(,)y B f x y '=某年的一道考研真题是这样出的：已知函数(,)z f x y =在点(2,0)处可微分，且20x y →→=，那么(2,0)?f =，?dz =明显，220x x y y →→→→==，根据第⑥个等式我们可得(2,0)5f =，(2,0)1x f '=，(2,0)3y f '=，故(2,0)(2,0)3x y dz f dx f dy dx dy ''=+=+ 2、 偏导的连续性、函数的可微性、可偏导性与函数的连续性之间的关系：3、全微分在近似中的应用不用看，习题8——3第1、2题。
第四节 多元复合函数的求导法则1、 先给出一个原则——单程全导，岔路偏导，该原则的运用我给你手写算了，因为word 不好录入。
2、 P30页有一个非常重要的性质——全微分形式不变性，该性质的具体内容我在这里不多说了，我这里重点强调该性质的运用。
设(,)z f u v =，(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=，在运用中，首先直接写出f fdz du dv u v∂∂=+∂∂，然后再计算出du 和dv 的表达式，注意：du 、dv分别表示函数⇓⇓⇓左右两者之间没有关系(,)u x y ϕ=、(,)v x y ψ=的全微分，把du 和dv 的表达式带入f fdz du dv u v∂∂=+∂∂，经过整理，在所得式中dx 的系数就是z x∂∂，dy 的系数就是z y ∂∂。
例如：若(,)z f u v ==xu y =，ln v xy =，求z x ∂∂及zy ∂∂。
首先写出f f dz du dv u v ∂∂=+=+∂∂，而1ln x x du y ydx xy dy -=+，11dv dx dy x y=+，把du 、dv 带入dz，并整理得：1122111ln ))x x x x x x dz y ydx xy dy dx dy xy dx dydx dy---=+++=++=++所以，2x z x ∂=∂，21x z y -∂=∂ 3、 本节例题例5不用看，例6重点掌握，上面给出的例题是我自己想的，可能有点复杂，书上的例6题很好，要掌握利用全微分形式不变性解题的方法。
习题8——4你自己都看看嘛，没必要每道题都认认真真的做完，结合答案看完就行了。
第五节 隐函数的求导公式1、 本节只需掌握“一个方程的情形”，习题自己看着做，总之懂了就行了，没必要花太多时间在上面。
2、 第六节、第七节、第九节、第十节均不考，不用看。
第八节 多元函数的极值及其求法1、 本节很重要，特别是用拉格朗日乘数法求条件极值，条件极值部分只需掌握二元函数在一个条件下的极值问题的求法就行了，三元函数在两个条件下的极值问题不需要掌握，数三是不会考到的。