【成才之路】高中数学 3-2-1第1课时 直线的方向向量和平面的法向量同步检测 新人教A版选修2-1

3.2第1课时 直线的方向向量和平面的法向量一、选择题1．若平面α、β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1，2,6)，则( ) A ．α∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥βD ．α∥β或α与β重合[答案] D[解析] ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ， ∴α∥β或α与β重合．2．直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，3,2)，则( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1与l 2相交，但不垂直 C ．l 1⊥l 2D ．不能确定[答案] C[解析] ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.3．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)． ②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)． ③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)． ④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] C[解析] DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．4．已知空间四边形ABCD 中，AC ＝BD ，顺次连结各边中点P 、Q 、R 、S ，如图，所得图形是( )A ．长方形B ．正方形C ．梯形D ．菱形[答案] D[解析] ∵PQ →＝BQ →－BP →＝12BC →－12BA →＝12AC →.同理SR →＝12AC →，∴PQ →＝SR →，∴四边形PQRS 为平行四边形， 又∵PS →＝AS →－AP →＝12AD →－12AB →＝12BD →，∴|PS →|＝12|BD →|，即PS ＝12BD ，又|PQ →|＝12|AC →|，∴PQ ＝12AC ，∵AC ＝BD ，∴PS ＝PQ ，∴四边形ABCD 为菱形．5．若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)，则( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定[答案] D[解析] ∵a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)， ∴b ＝－3a ，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合，故选D.6．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)[答案] B[解析] 因为(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a ，即向量(3,6,9)与a 平行，故(3,6,9)能作为平面γ的法向量．7．如果一条直线l 与平面α内的两条直线垂直，那么l 与α的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．l ⊂αD ．不确定[答案] D[解析] 直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D. 8．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是( ) A ．0°<θ<180° B ．0°≤θ≤90° C ．0°<θ≤90°D ．0°<θ<90°[答案] D[解析] 由斜线和平面所成的角定义知选D. 二、填空题9．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,2)，C (a,3，b ＋2)在同一直线上，那么a ＝________，b ＝________.[答案] 3 210．平面α的法向量u ＝(x,1，－2)，平面β的法向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，已知α∥β，则x ＋y ＝________.[答案]154[解析] ∵α∥β，∴u ∥v ，∴x－1＝1y ＝－212， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－14，∴x ＋y ＝154.11．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，则平面α的一个法向量是________(写出一个即可)．[答案] 形如(2k ，k,0) (k ≠0)的都可以[解析] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 依题意，应有n ·AB →＝0且n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0且x ＝2y .令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．(答案不唯一)12．已知空间直角坐标系O －xyz 中的点A (1,1,1)，平面α过点A 并且与直线OA 垂直，动点P (x ，y ，z )是平面α内的任一点，则点P 的坐标满足的条件为________．[答案] x ＋y ＋z ＝3[解析] 由题意知，OA ⊥α，直线OA 的方向向量OA →＝(1,1,1)， 因为P ∈α，∴OA →⊥AP →，∴(1,1,1)·(x －1，y －1，z －1)＝0， ∴x ＋y ＋z ＝3. 三、解答题13．如图所示，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由．[解析] 以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，设|AD |＝2a ，|AB |＝2b ，∠PDA ＝θ，则A (0,0,0)、B (0,2b,0)、C (2a,2b,0)、D (2a,0,0)、P (0,0,2a tan θ)、M (0，b,0)、N (a ，b ，a tan θ)．∴AB →＝(0,2b,0)，PC →＝(2a,2b,2a tan θ)，MN →＝(a,0，a tan θ)． ∵AB →·MN →＝(0,2b,0)·(a,0，a tan θ)＝0， ∴AB →⊥MN →，即AB ⊥MN . 若MN ⊥PC ，即MN →·PC →＝(a,0，a tan θ)·(2a,2b,2a tan θ) ＝2a 2－2a 2tan 2θ＝0，则tan 2θ＝1， 而θ是锐角， ∴tan θ＝1，θ＝45°.即当θ＝45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线．14．在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，E 是PC 中点，求证：PA ∥平面EDB .[证明] 设DA →＝a ，DC →＝b ，DP →＝c ，则DE →＝12(b ＋c )，DB →＝12(a ＋b )，PA →＝a －c ，∵PA →＝2DB →－2DE →， ∴PA →与DB →、DE →共面，∵DB →、DE →不共线，PA ⊄平面BDE . ∴PA ∥平面BDE .15．已知A (－1,2,4)，B (2,3,5)，以AB →的方向为正向，如图在直线AB 上建立一条数轴，M 、N 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AM MB ＝，(2)AN NB ＝－3.求点M 和点N的坐标．[解析] 由(1)由已知得AM →＝2MB →， 即OM →－OA →＝2(OB →－OM →)，OM →＝23OB →＋13OA →.设M (x ，y ，z )，则(x ，y ，z )＝23(2,3,5)＋13(－1,2,4)，所以x ＝43－13＝1，y ＝23×3＋23＝83，z ＝23×5＋43＝143，因此点M 的坐标为(1，83，143)． (2)因为AN NB ＝－3，所以AN →＝－3NB →，即ON →－OA →＝－3(OB →－ON →),2ON →＝3OB →－OA →，设N (x ，y ，z )，则(x ，y ，z )＝32(2,3,5)－12(－1,2,4)，所以x ＝3＋12＝72，y ＝92－1＝72，z ＝152－2＝112，因此点N 的坐标为(72，72，112)． 16．如图， 正四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD ＝G .求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.[解析] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，B 1E →＝(0，－2，－4)，EF →＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·B 1F →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0. 解得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－24)， 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0) 而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0即n ⊥AC →.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.。