数学基本方法之配方法
配方法求最值
配方法求最值在数学中，我们经常会遇到求解函数最值的问题。
而配方法是一种常用的方法之一，用来求解函数的最值。
本文将介绍配方法的基本概念和应用，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
首先，让我们来了解一下什么是配方法。
配方法，顾名思义，就是通过配对的方式来对函数进行变形，从而更容易求解最值。
通常情况下，我们会将函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
这样就可以通过对函数进行变形，使得求解最值的过程更加简单。
接下来，我们来看一个具体的例子，以便更好地理解配方法的应用。
假设我们要求解函数f(x)=x^2e^x的最值。
首先，我们可以通过配方法将函数进行变形，将x^2和e^x进行配对。
我们可以将函数f(x)写成f(x)=x^2e^x=x^2e^x。
然后，我们可以对这个函数进行变形，使得其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
在这个例子中，我们可以通过配方法将x^2和e^x进行配对，然后对函数进行变形，从而更容易求解最值。
通过上面的例子，我们可以看到配方法的基本思想。
通过对函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
这样就可以通过对函数进行变形，使得求解最值的过程更加简单。
除了上面的例子之外，配方法还可以应用于其他类型的函数。
无论是多项式函数、指数函数、对数函数还是三角函数，都可以通过配方法进行变形，从而更容易求解最值。
因此，配方法是一种非常实用的方法，可以帮助我们更好地求解函数的最值。
在实际应用中，我们可以通过配方法来求解各种类型的函数的最值。
无论是在求解数学问题、物理问题还是工程问题中，配方法都可以发挥重要作用。
因此，掌握配方法是非常重要的，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
总之，配方法是一种常用的方法，用来求解函数的最值。
通过对函数进行配对，使得原函数可以被分解为两个部分，其中一个部分容易求导，另一个部分容易求积分。
8常用数学方法-配方法、待定系数法、换元法
第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A )32(B )14(C )5(D )6分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得：2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C .例2．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ).(A )1(B )25 (C )2 (D )5分析及解：欲求||||212121PF PF S F PF ⋅=∆ (1),而由已知能得到什么呢？由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF(2),又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即16||||2||||||||||212221221=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF ,故2421)16|||(|21||||222121=⨯=-+=⋅PF PF PF PF ∴1||||212121=⋅=∆PF PF S F PF ,∴ 选(A ). 注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为12222=-bx a y ,∵25=e ,∴a =2b ,因此所求双曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=222)5(44-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有45)4(45||222a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ).二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与a >4分类讨论.(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值,∴令4452=-a ,得a 2=4 ∴所求双曲线方程为1422=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值,∴令445)4(4522=-+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为14944922=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([11-=--x x f f ,试求f (x )的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),可知 )(1)(1b x ax f -=-,∴124)(11])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab ax a b b x a a x f f .比较系数可知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>=)2(12)(1)1()0(4122b ab a a a且解此方程组,得 21=a ,b =2,∴所求f (x )=221+x . 例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标.分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y ) (1)此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2) 这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy .因此,只需设t =x +y ,则xy =292-t ,代入(2)式得S =16-4t +27)4(212922+-=-t t (3)S 表示为变量t 的二次函数, ∵0<x <3,0<y <3,∴3<t <23,∴当t =4时,S ABCD 的最小值为27. 此时⎪⎩⎪⎨⎧==+,27,4xy y x )222,222()222,222(-++-或的坐标为得A 注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误. 例6．设方程x 2+2kx +4=0的两实根为x 1,x 2,若212221)()(x xx x +≥3,求k 的取值范围.解：∵2]2)([2)()()(22122121221212221--+=-+=+x x x x x x x x x x x x ≥3, 以k x x 221-=+,421=x x 代入整理得(k 2-2)2≥5,又∵Δ=4k 2-16≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-045|2|22k k 解得k ∈(-52,+-∞)∪[52+,+∞].例7．点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动时,求函数u =x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值.解：∵点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动, ∴可设⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x 于是 y x y xy x u 24222++++==θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++ =]1sin cos )sin [(cos 22++++θθθθ令t =+θθsin cos , ∵)4sin(2cos sin πθθθ+=+,∴|t |≤2. 于是u =23)21(2)1(222++=++t t t ,(|t |≤2).当t =2,即1)4sin(=+πθ时,u 有最大值.∴θ=2k π+4π(k ∈Z )时,226max +=u . 例8．过坐标原点的直线l 与椭圆126)3(22=+-y x 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F ,求直线l 的倾斜角.解：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)直线l 的方程为y =kx ,将它代入椭圆方程整理得 036)31(22=+-+x x k (*) 由韦达定理,221316k x x +=+(1),221313k x x +=(2) 又F (1,0)且AF ⊥BF ,∴1-=⋅BF AF k k , 即1112211-=-⋅-x yx y , 将11kx y =,22kx y =代入上式整理得 1)1(21212-+=⋅+x x x x k,将(1)式,(2)式代入,解得 312=k . 故直线l 的倾斜角为6π或65π. 注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k 的方程求解.例9．设集合A ={R x a x x x ∈=+-+,024|1}(1)若A 中有且只有一个元素,求实数a 的取值集合B ；(2)当a ∈B 时,不等式x 2-5x -6<a (x -4)恒成立,求x 的取值范围.解：(1)令t =2x ,则t >0且方程0241=+-+a x x 化为t 2-2t +a =0 (*),A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f (t )=t 2-2t +a ,则Δ=0 或⎩⎨⎧≤>∆0)0(0f 即a =1或a ≤0,从而B =(-∞,0]∪{1}.(2)当a =1时,113-<x <3+11,当a ≤0,令g (a )=a (x -4)-(x 2-5x -6),则当a ≤0时不等式 )4(652-<+-x a x x 恒成立,即当a ≤0时,g (a )>0恒成立,故 x x g <-⇒⎩⎨⎧≤->1040)0(≤4. 综上讨论,x 的取值范围是(113-,4).。
用配方法解方程
用配方法解方程
方程是数学中的一个重要内容，它记录了几个未知量之间的关系，可以帮助我们更深入地了解物体之间的相互作用和关系，因此解方程是学习数学的基本要求。
解方程有多种方法，其中配方法是最常见的。
配方法是一种极其有用的解方程方法，它可以有效解决一般方程，为数学计算提供便利。
在解决一元多项式的方程问题时，可以使用配方法。
这种方法的原理是通过把变量代入到一元多项式中，从而确定该多项式恒为零，从而得出方程的结果。
要使用配方法解方程，首先要将方程转换为标准化配方，也就是将方程中的变量都放到左边，将等式右边的常数放到右边，将左边变量和右边常数相除，从而得到方程的解。
必须注意，在转换为标准化配方时，要使方程有解，必须保证变量的系数不能为零。
例如，3x-2y=9，可以将其转换为标准化配方，即：
x = 2/3y + 9/3
显然，y的系数在这里不为零，所以该方程有解。
可以根据以上配方求出y的值：y=3。
用配方法解方程的实用性在于，无论是一元方程还是多元方程，只要系数不能等于零，都可以正确用配方法解决。
当然，可能有一些复杂的方程，只能通过其他方法来解决。
不过，用配方法解方程有一定的局限性，就是不能解决无穷多个解的方程，因为这类方程没有具体解决方案，也就不能用配方法来解决。
总之，配方法是一种有效的解决方程问题的方法，在解决一般方程时，可以大大简化工作量，有效提高解决效率。
不仅如此，配方法还可以扩大学生的思维范围，培养其从实际问题出发，加深对数学理论的认识，提高其数学语言表达能力，从而赋予学生全新的知识和思维视野。
初中数学方法篇一：配方法
数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。
例2、化简526-的结果是___________________.点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。
3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。
4．配方法在解某些二元二次方程中的应用解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。
例4、解方程052422=+-++y x y x 。
点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组⎩⎨⎧=-=+0102y x 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。
5．配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。
可以使我们求出所要求的最值。
例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________.点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。
配方法例题
配方法例题嘿，咱今儿个就来讲讲配方法例题！配方法啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！比如说有这么个式子 x²+6x+8，咱要怎么用配方法来搞定它呢？那就得想法子把它变成一个完全平方式。
先把 x²和 6x 挑出来，6x 不正好是 2 倍的 x 乘以 3 嘛，那咱就给它配上一个 3²，也就是 9，不过多出来的 9 得减掉，这样式子就变成了 x²+6x+9-9+8，整理一下就是(x+3)²-1。
咋样，是不是挺有意思的？再看这个例子，4x²-12x+7，还是用配方法，先把 4x²和-12x 拎出来，4x²可以看成是(2x)²，-12x 是 2 乘以 2x 乘以-3，那配上(-3)²也就是 9 啦，不过得乘以 4 呢，因为前面有个 4，那就是 36，多出来的 36 得减掉，式子就变成了 4x²-12x+9+7-36，进一步整理就是 4(x-3/2)²-22。
你想想，配方法就像是给式子做了个整形手术，把它变得规规矩矩的，好让我们一眼就能看穿它的秘密呀！就像我们走路，有时候遇到一条崎岖的小路，走起来很费劲，但要是给它铺上石板，修成平坦的大道，那走起来不就轻松多了嘛！配方法就是这样的石板呀，让我们在数学的道路上走得更顺畅。
还有啊，配方法可不只是在解方程的时候有用哦，在好多数学问题里都能派上大用场呢！它就像一个万能工具，啥时候需要就啥时候拿出来用。
你说，要是没有配方法，我们遇到那些复杂的式子该咋办呀？是不是会像无头苍蝇一样乱撞呢？所以说呀，配方法可真是我们数学学习中的好帮手呢！咱再来看个稍微有点难度的，x²+4xy+3y²。
哎呀，这可有点复杂了呢，但咱不怕呀！先把 x²和 4xy 挑出来，4xy 可以看成是 2x 乘以 2y，那配上(2y)²也就是 4y²，式子就变成了 x²+4xy+4y²-y²，整理一下就是(x+2y)²-y²。
高中数学常用解题方法配方法代换法与完全平方公式
高中数学常用解题方法配方法代换法与完全平方公式高中数学常用解题方法：配方法代换法与完全平方公式数学作为一门学科，常常需要我们运用不同的解题方法来解决各种问题。
在高中数学中，有一些常用的解题方法，其中包括配方法代换法与完全平方公式。
本文将介绍这两种常用的解题方法，并通过例题来展示它们的应用。
一、配方法代换法配方法代换法主要用于解决一些包含有代数表达式的方程或方程组。
其基本思想是将原方程通过代换的方式转化为一个易于解决的形式。
具体操作如下：1. 对于形如ax^2 + bx + c = 0（其中a≠0）的二次方程，可以采用配方法代换法。
我们可以通过配方将其转化为一个完全平方形式，进而解出方程。
例如，考虑方程2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以通过配方将其转化为(x + m)^2 + n = 0的形式。
具体步骤如下：(1) 将二次项系数a分解为两个因数的乘积：2 = m^2；(2) 将常数项c分解为两个因数的乘积：-5 = 2mn；(3) 根据上述两个分解式，求得m和n的值；(4) 根据转化后的形式(x + m)^2 + n = 0，解出方程。
通过以上步骤，我们可以得到方程2x^2 + 3x - 5 = 0的解。
2. 对于一些复杂的方程或方程组，我们也可以通过代换的方法进行求解。
例如，考虑方程组：{2x + 3y = 7{3x - 4y = 1我们可以通过代换的方式将其中一个变量表示为关于另一个变量的函数，再将其代入另一个方程中。
通过求解得到一个变量的解，再将其代入另一个方程中，最终求得方程组的解。
二、完全平方公式完全平方公式是解决一些二次型方程的常用方法，尤其适用于解决求最值等优化问题。
其基本思想是将二次型方程转化为平方的形式，便于解决最值问题。
具体操作如下：1. 对于形如x^2 + bx的二次型，可以通过添加一个适当的常数c，使其成为一个完全平方形式(x + m)^2。
例如，考虑二次型x^2 + 6x，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + m)^2的形式，从而求得最值。
初中数学配方法公式
初中数学配方法公式及其应用一、常规配方法公式常规配方法是指将一个数平方根分解成两个数的平方根，即: a2 = b2 + c2其中，a、b、c 分别为不等式两侧的数值。
常规配方法的公式如下:若 a > b > c，则 a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc若 a < b < c，则 a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc若 a = b = c，则 a2 = b2 + c2 = 2bc二、逆配方法公式逆配方法是指将一个数开方分解成两个数的开方，即:x = √c2 + √d2其中，x 为不等式两侧的数值，c、d 分别为不等式两侧的数值。
逆配方法的公式如下:若 c > d，则 x = √(c2 + d2) = √cd + √cd = 2√cd若 c < d，则 x = √(c2 + d2) = √cd - √cd = -2√cd若 c = d，则 x = √(c2 + d2) = √cd = 0三、配方法的应用配方法在初中数学中是非常重要的一部分，可以用于解决求平方根和开方的问题。
以下是一些配方法的应用案例:1. 求解方程√x2 + √y2 = 2。
解：将方程两边同时平方，得到 x2 + y2 = 4。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
2. 求解方程 (√x + √y)2 = 4x + 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x + y)2 = 16x + 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
3. 求解方程 (√x - √y)2 = 4x - 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x - y)2 = 16x - 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
配方法是初中数学中非常重要的一个知识点，可以用于解决很多数学问题。
通过本文的介绍，我们可以了解到常规配方法和逆配方法两种公式，以及它们的应用。
人教版数学九年级上册22.2.1《配方法》教学设计1
人教版数学九年级上册22.2.1《配方法》教学设计1一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第22.2.1节的内容，主要介绍了配方法的概念、意义和应用。
配方法是一种解决二次方程问题的方法，通过将二次方程转化为完全平方形式，使问题更易于解决。
这一节内容是学生学习二次方程解决实际问题的基础，对于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于解决一些简单的数学问题已经有了一定的方法。
但是在解决复杂的二次方程问题时，还需要进一步引导和培养。
在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对不同学生的特点进行有针对性的教学，帮助学生理解和掌握配方法。
三. 教学目标1.理解配方法的概念和意义，掌握配方法的基本步骤。
2.能够运用配方法解决一些简单的二次方程问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.配方法的概念和意义的理解。
2.配方法的基本步骤的掌握。
3.运用配方法解决实际问题的能力的培养。
五. 教学方法1.讲解法：教师通过讲解配方法的概念、意义和步骤，帮助学生理解和掌握。
2.案例教学法：教师通过举例讲解，引导学生运用配方法解决实际问题。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：教师准备相关的教学课件，帮助学生直观地理解和掌握配方法。
2.练习题：教师准备一些相关的练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入配方法的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2.呈现（10分钟）教师讲解配方法的概念、意义和步骤，通过举例讲解，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决问题，教师巡回指导，帮助学生巩固学习效果。
4.巩固（10分钟）教师出示一些相关的练习题，学生独立完成，教师点评和讲解。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用配方法解决一些实际问题，培养学生的解决问题的能力。
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数学基本方法之配方法
作者：胡大波
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2014年第07期
一、配方法解读
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方.
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于已知或者未知中
含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题.
求该简单组合体的体积的最大值.
点评：通过本题看与空间几何相关问题关键是构造目标函数，再利用解决最值问题的策略求解，本题求最值可以利用二次函数也可以利用基本不等式求解，两种方法殊途同归.。