数列中的最大项或最小项问题的求解策略

数列中的最大项或最小项问题的求解策略在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，可以很好地考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、最值密切相关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一大亮点，本文试对求数列中的最值问题加以探讨.给出数列}{n a 的通项公式)(n f a n =的最大项或最小项，有以下解题策略： 策略一 利用差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则ΛΛ<<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则ΛΛ>>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =. 策略二 利用商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则ΛΛ<<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则ΛΛ>>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.策略三 利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则ΛΛ<<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则ΛΛ>>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =. 策略四 利用导数法为求出)(n f a n =的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数)1)((≥=x x f y 的导数，进而求出该函数的单调区间，从而可知数列}{n a 的单调性，最后求出数列}{n a 的最大项或最小项.策略五 先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.一、一题多解，殊途同归，培养学生思维广阔性例1 已知函数x x x f 63)(2+-= ，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c •=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n n S S a,69)]1(6)1(3[)63(22n•n n n n -=-+---+-=所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为•••n n b a •••c •n b n n n n n n ,)21)(23(6)21)(69(61,1)21(1-=-==-=- ①所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132•n T nn -++-+-+=Λ ②,)21)(23()21)(3()21()1()21(211432•n T n n +-++-++-+=Λ ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T Λ112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .整理得1)21)(12(-+=nn n T ， ④策略一 利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11•n n n ••••••••n n ••••••••n n T T n n nn n n n-=+-+=+-+=+-+=-++因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以ΛΛ>>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值.211•T = 策略二 利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+nn n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T nn n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1. 所以ΛΛ>>>>>>+1321n n T T T T T / 所以T n 存在最大值211=T . 策略三 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n 项和，所以n n n n T c T T <+<++11. 所以ΛΛ>>>>>>+1321n n T T T T T 所以T n 存在最大值211=T . 策略四 利用导数江考查函数)1(1)21)(12()(≥-+=x x x g x的单调性.,]21ln )12(2[)21(221ln)21)(12()21(2)(•x •••••x x g x x x ++=•++='因为1≥x ，所以312≥+x ，而021ln <，所以.21ln 321ln )12(•x ≤+ 又21ln 81ln )21ln(21ln323-=<==e， 所以221ln )12(-<+x ，所以021ln )12(2<++x .又0)21(>x ，所以0]21ln )12(2[)21(<++x x ，即0)(<'x g ，所以)(x g 在[)∞+••,1上是单调递减函数，所以当x =1时， 21121)12()1()(max =-•+==g x g . 因为)1(1)21)(12()(≥-+=x x x g x，所以1)21)(12()(-+==nn n n g T ， 所以n T 存在最大值211=T . 策略五 先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在. 下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且. 方法1 分析法因为1)21)(12(-+=nn n T ，所以只要证明211)21)(12(<-+nn . 即只要证明23)21)(12(<+nn . 只需要证明2423+>•n n. 即只要证明02423>--•n n由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn，所以.02)23)(1(225324223242322•n n ••••••••••••n n ••••••••••••n n n n n>--=+-=--++•≥--• 所以02423>--•n n成立. 所以)2(1≥<n T T n 成立.所以n T 存在最大值211=T . 方法2 利用数学归纳法（i ）当n =2时，因为1)21)(12(-+=nn n T ，所以12221411)21)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii ）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <.则当1+=k n 时，.1111•c T c T T k k k k ++++<+= 由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111•k k c k k k <-=+-=+++ 所以11T T k <+.这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i ）（ii ）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立. 所以n T 存在最大值211=T . 评注 本题（Ⅱ）的解答给出了求T n 最大值的多种方法，灵活多变，也是求数列最值问题的常规方法.二、尝试探究，选定方案，培养学生思维的深刻性例2 在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 解 （Ⅰ）由nn n n a a 2)2(11λλλ-++=++（∈n N *），0>λ，可得1)2()2(111+-=-+++n n n n n n a a λλλλ，所以})2({nnn a λλ-为等差数列，其公差为1，首项为0，故1)2(-=-n a n nnλλ， 所以数列}{n a 的通项公式为n n n n a 2)1(+-=λ.（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n nn T n n λλλλλ-=++++-+-L ， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-L ②当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n nn n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---L ，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由nn n n a 2)1(+-=λ，0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立． 评注 本题（Ⅲ）设计非常精彩. 为证明“存在k ∈N *，使得kk n n a a a a 11++≤对任意 n ∈N *均成立”，可以转化为思考 “存在k ∈N *，使得kk a a 1+是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1的最大项”问题. 本小题若用差值比较法转化为探究nn n n a a a a 112+++-差值与0的大小、用商值比较法转化为探究n n n n a a a a 112+++÷商值与1的大小、用单调性法把通项公式为nn n n n n n n n a a b 2)1(2111+-+==+++λλ的数列}{n b 的单调性问题转化为探究函数xx x x x x x f 2)1(2)(11+-+=++λλ的导数问题以及放缩法解决问题，都颇有难度. 虽然说上述方法都是解决数列最值问题的通性通法，碰壁后若不能及时调整解题策略，就会泥牛入海，不能自拨. 而使用策略五，先敏锐、大胆、果断猜出)2(242121≥+=<+n a a a a n n λ，再用分析法以及重要不等式证出这个结论，方法非常奏效. 命题高明之处就在于不是直接抛出了)2(242121≥+=<+n a a a a n n λ这个结论，让考生去证明；而是让考生先自己探究出结论再论证，富有挑战性. 这也是现在高考命题的一大亮点，要求学生学会先猜后证，能够很好地考查学生思维的深刻性.三、辨析模式，分类讨论，培养学生思维严谨性例3 在数列}{n a 中，nn k a •a k•a n n +-+=+=+2111,1（n *∈N ），其中k 是常数，且3625≤≤k .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n a 的最小项. 解 （Ⅰ）因为nn k a a n n +-+=+211（n *∈N ），所以)1(11+-=-+n n k a a nn ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+11111n n k a a n n .当2≥n 时，••••k a •a •k a a ,,31211,)211(12312Λ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---=- ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--n n k a a n n 11111.以上n -1个式子相加得)11(11n k n a a n ---=-，即)11(11n k n a a n ---+=.又k a +=11，所以)11(11n k n k a n ---++=，即),3,2(Λ••••n nkn a n =+=.当n =1时，上式也成立.所以数列}{n a 的通项公式为),3,2,1(Λ••••••n nkn a n ++=. （Ⅱ）为考查数列}{n a 的单调性，注意到),3,2,1(Λ••••••n nkn a n =+=，可设函数)1)()(≥+=x x k x x f ，则21)(x kx f -='，即22)(x k x x f -='. 可知[)k ••x ,1∈时，0)(<'x f ；k x =时，0)(='x f ；),(∞+∈••k x 时，0)(>'x f .所以函数xkx x f +=)(在[1，k ]上是减函数；在[)∞+••k ,上是增函数.因为3625≤≤k ，所以65≤≤k .（1）当5=k ，即k =25时，Λ<<<>>>>76554321,a a •a •a a a a a .所以数列}{n a 的最小项为1052555=+=a . （2）当6=k ，即k =36时，Λ<<>>>>>76654321,a •a •a a a a a a . 所以数列}{n a 的最小项为1263666=+=a . （3）当a 5=a 6，即6655kk +=+，即k =30时， Λ<<=>>>>76554321,a a •a •a a a a a . 所以数列}{n a 的最小项为11630665=+==a a . （4）当65a a <且5>k 时，6655kk +<+且25>k ，则3025<<k ， Λ<<>>>>>76554321,a a •a •a a a a a . 所以数列}{n a 的最小项为555ka +=. （5）当665<>k a a 且时，6655kk +>+且k <36，则3630<<k ， Λ<<>>>>>76654321,a •a •a a a a a a .所以数列}{n a 的最小项为666k a +=. 综上所述：当k =25时，数列}{n a 的最小项为a 5=10；当3025<<k 时，数列}{n a 的最小项为555ka +=；当k =30时，数列}{n a 的最小项为a 5=a 6=11；当30<k <36时，数列}{n a 的最小项为666ka +=；当k =36时，数列}{n a 的最小项为a 6=12.评注 由（Ⅰ）可知，)3,2,1(••••n n kn a n =+=，则（Ⅱ）中求数列}{n a 的最小项问题，易由均值不等式，得k nkn n k n a n 22=•≥+=，从而误认为k 2就是最小的项. 实际上这个符号是在nkn =，即k n =时才能取得. 但根据问题的实际背景，还应要求此时k n =∈N *，而由条件3625≤≤k 是不能推出一定有k ∈N *的. 解决此问题可以转化为“对勾”函数)3625()(≤≤+=k x kx x f 在[)∞+••,1上的单调性问题. 易求得当k x =时，函数x k x x f +=)(能取得最小值. 但当k n =时，),3,2,1(Λ••••••n nkn a n =+=未必能取得最小值. 应根据k 是否为自然数，并结合单调性进行分类讨论. 这也是本题难点所在.四、变换命题，意在化归，培养学生思维灵活性例4 在数列}{n a 中，)111(,111+-==+n •a •a n a n (n ∈N *)， （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对于一切n >1的自然数，不等式32)1log(121221+->+++++a a a a n n n Λ恒成立，试求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）因为•n a n )111(1+-=+，a n (n ∈N *)，a =1，所以a n >0. 所以11+=+n n a a n n . 所以11112211121121a na n n n n a a a a a a a a n n n n n =•--•-=••=---ΛΛ. 而a 1=1，所以na n 1=. （Ⅱ）设n n n n a a a b 221+++=++Λ(n ∈N *)，m 由（Ⅰ）知n a n 1=，所以nn n b n 212111+++++=Λ，所以 2211212131211+++++++++=+n n n n n b n Λ，所以 0)22)(12(1111211211>++=+-+++=-+n n n n n b b n n . 所以数列}{n b 是单调递增数列. 所以当2≥n 时，b n 的最小值为1272211212=+++=b . 所以要使对于一切n >1的自然数，不等式32)1(log 121221+->+++++a a a a a nn n Λ恒成立，则需且只需)1(log 121127->a a 32+，则1)1(log -<-a a . 所以aa 110<-<，解之得2511+<<a .故所求实数a 的取值范围为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<2511a a . 评注 本题（Ⅱ）中的恒成立问题的解决关键，是灵活化归为求数列}{n b 自第2项起的各项中最小项问题.体会 求数列中的最大项或最小项，有些题目有多种途径能够解决（如例1），一题多解可以开阔思路；有些题目，不是几种方案都能奏效，要有一个尝试判断的思维过程，要能够迅速调整策略（如例2）；有些题目，借助辅助函数的单调性加以解决，但要注意数列的自变量只有取正整数时才有意义（如例3）；有些与恒成立有关的参数取值范围问题，可以转化为求数列中的最大项或最小项问题加以处理（如例4）. 因为数列本身就是一种特殊函数，所以求数列中的最大项或最小项问题，与函数求最大值或最小值的方法有许多相通之外；但也要注意作为特殊函数数列，它的定义域具有鲜明的个性，是正整数集N *（或它的有限子集{1，2，…，n }），这就使得数列的图象是一群孤立的点，求数列中的最大项或最小项问题时，不要忽视这一点.。