课时跟踪检测(三十) 数列的概念与简单表示法

课时跟踪检测(三十) 数列的概念与简单表示法

1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1

D ．－2

2．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－8

9，…的第10项是( )

A ．－16

17

B ．－18

19

C ．－2021

D ．－22

23

3．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2

D.n 2

(n －1)2

4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．(2012·北京高考)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

6．(2013·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )

A ．2 018×2 012

B ．2 018×2 011

C ．1 009×2 012

D ．1 009×2 011

7．已知数列{a n}满足a st＝a s a t(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________.

8．(2012·潮州质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且a n＝a n－1

a n－2

(n≥3)，则a2 012＝

________.

9．已知{a n}的前n项和为S n，且满足log2(S n＋1)＝n＋1，则a n＝________.

10．数列{a n}的通项公式是a n＝n2－7n＋6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

11．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.求数列{a n}与{b n}的通项公式．

12．(2012·东莞质检)数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列．

(1)求c的值；

(2)求数列{a n}的通项公式．

1．(2013·珠海质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1a n＝2n(n∈N*)，则a10＝()

A．64B．32

C．16 D．8

2．数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，n (a n ＋1－a n )＝a n (n ∈N *)，且a 3＝π，则tan S 4等于

( )

A ．－

33

B. 3 C ．－ 3

D.

33

3．(2012·广东清远调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，且满足递推关系a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋m

a n ＋1(n

∈N *)．

(1)当m ＝1时，求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)当n ∈N *时，数列{a n }满足不等式a n ＋1≥a n 恒成立，求m 的取值范围．

答 案 课时跟踪检测(三十)

A 级

1．选A 由题可知S n ＝2(a n －1)， 所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.

又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4.

2．选C 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1

2n

2n ＋1

，故a 10＝－20

21

.

3．选D 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，

当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2

(n －1)2

.

4．选B 当a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2>|a 1|不成立，即知a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．

5．选C 依题意S n

n 表示图象上的点(n ，S n )与原点连线的斜率，由图象可知，当n ＝9时，

S n

n

最大，故m ＝9. 6．选D 因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)， 所以a n ＝5＋(n ＋6)(n －1)

2，

所以a 2 012－5＝1 009×2 011.

7．解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4， 令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：8

8．解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2

得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝1

2，

a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期数列，周期为6，故a 2 012＝a 335×6＋2＝a 2＝2.

答案：2

9．解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋

1. 则S n ＝2n ＋

1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2

n ＋1

－1－2n

＋1＝2n

，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝?

????

3，n ＝1，

2n ，n ≥2.

答案：?

????

3，n ＝1，

2n ，n ≥2.

10．解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0， 解得n >6或n <1(舍)． 故从第7项起各项都是正数．

11．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．

∵T n ＝2－b n ，

∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.

当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.

∴数列{b n }是公比为1

2，首项为1的等比数列．

∴b n ＝????12n －1

.

12．解：(1)由题知，a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， 因为a 1，a 2，a 3成等比数列，所以(2＋c )2＝2(2＋3c )， 解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2. (2)当n ≥2时，由a n ＋1＝a n ＋cn 得 a 2－a 1＝c ， a 3－a 2＝2c ， …

a n －a n －1＝(n －1)c ，

以上各式相加，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c ，

又a 1＝2，c ＝2，故a n ＝n 2－n ＋2(n ≥2)， 当n ＝1时，上式也成立，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋2(n ∈N *)．

B 级

1．选B 因为a n ＋1a n ＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋

1，两式相除得a n ＋2a n

＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，

所以a 2＝2，

则

a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4

a 2

＝24，即a 10＝25. 2．选B 法一：由n (a n ＋1－a n )＝a n 得 na n ＋1＝(n ＋1)a n ，

可得3a 4＝4a 3，已知a 3＝π，则a 4＝4

3π.

又由2a 3＝3a 2，得a 2＝2

3

π，

由a 2＝2a 1，得a 1＝π3，故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10

3π，

tan S 4＝tan 10

3

π＝ 3.

法二：∵由n (a n ＋1－a n )＝a n ，

得na n ＋1＝(n ＋1)a n 即a n ＋1n ＋1＝a n

n ，

∴a n n ＝a n －1n －1＝a n －2n －2＝…＝a 33＝π3. ∴a n ＝π3

n ，

∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝π3(1＋2＋3＋4)＝103π，tan S 4＝tan 10

3π＝ 3.

3．解：(1)∵m ＝1，由a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋1

a n ＋1(n ∈N *)，得

a n ＋1＝(2a n ＋1)(a n ＋1)a n ＋1＝2a n ＋1，

∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，

∴数列{a n ＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列． 于是a n ＋1＝2·2n －

1，∴a n ＝2n －1. (2)∵a n ＋1≥a n ，而a 1＝1，知a n ≥1， ∴2a 2n ＋3a n ＋m a n ＋1≥a n ，即m ≥－a 2n －2a n ， 依题意，有m ≥－(a n ＋1)2＋1恒成立．

∵a n ≥1，∴m ≥－22＋1＝－3，即满足题意的m 的取值范围是[－3，＋∞)．