基于马尔可夫链的动态故障树分析方法

法都可求解 。 对于状态较多的复杂系统 , 可以设想将状态转 移图分解成若干条状态转移链 ,根据不同的链长 ,分 别推导出计算公式 。在应用时只要套用这些公式 , 然后综合各条链的结果 , 便可得到整个系统的可靠 性指标 [ 1 ] 。设各状态转移服从指数分布 。下面给 出链长为 1 、 2 的状态转移链的转移概率求解公式及 通用公式 。
- (λ +λ
) t
- (λ
式中 :λ 0. i - 1 , i > 0 ,λ i - 1 , NF ≥
2 链长为 n 的状态转移过程 Tn 的证明
, ( 3)
若过程是随机连续的 , 则对任意的固定的状态 空间 i 与 j , 转移率为 [ 2 ] p ij (Δ t ) - p ij ( 0) qij = p′ = i j ( 0 ) = lim Δt →+ 0 Δt p ij (Δ t ) - δ ij lim . Δt →+ 0 Δt 式中 :δ ij = lim p ij ( t ) =
) ,男 ,高级工程师 。E2mail :zhuzf @sohu. com 作者简介 : 朱正福 (1965 —
第9期
基于马尔可夫链的动态故障树分析方法
1105
( HSP) 等 。
通过引入动态逻辑门就可以对动态系统的可靠 性与安全性进行建模 , 然后通过将动态逻辑门向马 尔可夫链转化实现顶事件失效概率的求解 。 下面给出两种动态逻辑门向马尔可夫链转化的 简图 。 图 1 和图 2 中 “0 ” 表示底事件正常 “ , 1” 表示底 事件失效 。 “Fa” 表示系统失效状态 “ ; N F” 表示系统 非失效状态 。圆圈表示系统所处的一种状态 。
Abstract : A dynamic fault t ree analysis ( DF TA ) met hod based on Markov chain was proposed. It s principle is disassembling t he state t ransform figures into several state t ransform chains firstly , and t he chain probability formula can be got according to t he lengt h of t he chains. Then t he dynamic fault t ree failure probability can be obtained by adding each chain probability. For t he given state t ransform fig2 ures , t he reliabilit y analytical formula of DF TA based on t he consecutive parameter Markov chain was proposed and verified. In comparison wit h t he conventional met hods , t his met hod needn ’ t solve t he differential equation , can be applied to engineering easily. Key words : probability t heory ; reliability ; safety ; dynamic fault t ree ; Markov chain
[2 ]
p 0NF ( t ) p 1NF ( t ) p NFNF ( t )
满足以下
微分方程组及初始条件
: ( 1)
( t) = P ( t) Q , P′ P ( 0) = E .
式中 : E 为与 P 同阶的单位矩阵 ; 转移率为
- (λ 0 ,1 +λ 0 , NF )
图3 处理器动态故障树
收稿日期 : 2007 - 10 - 08
率求解公式不正确 , 以至于计算结果与实际结果相 差较大 。本文修正了文献 [ 1 ] 中的 DF TA 的状态转 移图 ,给出了基于马尔可夫链的 DF TA 的失效概率 通用计算公式 , 并对其进行了证明 。最后利用该通 用计算公式进行了示例分析 。
第 29 卷第 9 期 2 0 0 8年9月
兵 工 学 报 ACTA ARMAMEN TARII
Vol. 29 No. 9 Sep . 2008
基于马尔可夫链的动态故障树分析方法
朱正福 , 李长福 , 何恩山 , 杨春华
( 华北系统工程研究所 , 北京 100089)
摘要 : 对于状态较多的动态故障树 ( DF TA) 转换为连续参数的马尔可夫链后 ,可以将状态转移 图分解成若干条状态转移链 ,根据不同的链长 ,分别推导出概率计算公式 。在应用时只要套用这些 公式 ,然后将各条链的概率相加 ,便可得到 DF TA 的失效概率 。对于给出的状态转移图 ,提出并证 明了基于连续参数的马尔可夫链的 DF TA 分析的可靠性计算 ( 解析求解 ) 公式 。与传统的方法相 比 ,该方法可以避免直接求解微分方程的复杂运算 ,便于工程实际应用 。 关键词 : 概率论 ; 可靠性 ; 安全性 ; 动态故障树 ; 马尔可夫链 中图分类号 : O21 文献标志码 : A 文章编号 : 100021093 ( 2008) 0921104204
1 DFTA 的分析方法
传统的故障树涉及到的逻辑门包括 “与门” “ 、或 门” “ 、非门” 等 , 这些逻辑门通常称为静态门 。为了 使故障树更好的处理特殊的复杂特性 , 需要引入动 态逻辑门及其相应的马尔可夫链 。动态逻辑门主要 有 [ 1 ] : 优先与门 ( PAND ) 、 功能相关门 ( FDEP ) 、 顺 ( ) ( ) 序相 关 门 SEQ 、 冷 备 件 门 CSP 和 热 备 件 门
系统可靠性与安全性分析方法有故障树分析 法、 二元决策图法 (BDD ) 和连续参数的马尔可夫链 ( 以下简称马尔可夫链 ) 。其中 ,BDD 仅适用于静态 故障树分析 ; 马尔可夫过程尽管能解决动态问题 ,但 即使对于简单的动态系统 , 马尔可夫链的建立和求 解也是非常繁琐的 。因此 , 有必要研究针对这些特 殊事件的动态特性的故障树 ,提供分析手段 。 动态故障树 ( DF TA ) 法综合了故障树分析和马 尔可夫链两者的优点 , 它通过引入表征动态特性的 新的逻辑门类型 ,并建立相应的 DF TA ,进行 DF TA 分析 ,是解决具有动态特性系统的可靠性与安全性 分析的有效途径 。文献 [ 1 ] 试图通过马尔可夫链进 行 DF TA 分析 ,但由于给出的状态转移图和通用概
Fig. 2 CSP to Markov chain
图5 中λ “0 ” 到状态 “ Fa ” 转移率 , 0 ,1 为 状 态 λ “0” 到状态 “N F” 转移率 0 , NF分别为状态
下 面 举 例 说 明 DF TA 如 何 转 化 为 马 尔 可 夫 链 。系统由两个处理器组成 , P1 和 P2 分别是其
λ 0 ,1 (1 - e λ 0 ,1 +λ 0 , NF
(λ
0 ,1
) t +λ 0 , NF
) =
1106
1 1 λ e 0 ,1 λ λ λ λ + + 0 ,1 0 , FN 0 ,1 0 , FN
(λ
兵 工 学 报
0 ,1
第 29 卷
) t +λ 0 , FN
. ( 2)
式中 :λ 0 ;λ 0. 0 , 1 > 0 ;λ 0 , FN ≥ 1 , 2 > 0 ;λ 1 , NF ≥
图5 一次转移过程图
Fig. 5 The first order transfer process
设 p ij ( t ) 为从状态 i 到 j 的转移概率 , 那么
p 00 ( t ) P ( t) = p 10 ( t ) p NF0 ( t ) p 01 ( t ) p 11 ( t ) p NF1 ( t )
+λ
) t
1
j = 1 , j ≠i
∏( - λ
i- 1, i
- λi - 1 ,NF + λj - 1 , j + λj - 1 ,NF) ( 4)
-
(λ 0 ,1 (λ 1 ,2
e 0 , 1 0 , FN +λ 0 , FN ) ( - λ 0 ,1 - λ 0 , FN + λ 1 ,2 +λ 1 , NF) e 1 , 2 1 , NF +λ 1 , NF) ( - λ 1 ,2 - λ 1 , NF + λ 0 ,1 +λ 0 , FN )
[1 ]
基本输入部件 ,且每一个都带有自己的备件分别为 S1 和 S2. 系统的失效机理是 : 当且仅当处理器 1 先 失效 ,然后处理器 2 也失效时 ,系统失效 。该系统的 DF TA 及相应的马尔可夫链由图 3 和图 4 所示 。 图 4 中相同状态号的状态在不同分支上由于输入的不 同 ,它们代表不同的马尔可夫状态 。
图1 优先与门转化为马尔可夫链
Fig. 1 PAND to Markov chain
图4 处理器动态故障树转化为马尔可夫链
Fig. 4 Processor dynamic fault tree to Markov chain
111 链长为 1 的状态转移过程 T1
图2 冷备件门转化为马尔可夫链
[4 ] Qt
… qNFNF qNFNF
[2 ]
0 0
0 0
The Dynamic Fault Tree Analysis Method Based on Markov Cha in
ZHU Zheng2f u , L I Chang2f u , HE En2shan , YAN G Chun2hua
( Nort h China System Engineering Institute , Beijing 100089 , China)
从 0 至 j 若存在链长为 2 的状态转移过程 T2 , 则 P ( t ) 在 T2 上的分量
P = p02 ( t ) = λ 0 , 1λ 1 ,2
T
2
i =1
∑
λ λ )t - ( + i- 1 , i i - 1 , NF
(λi - 1 , i + λi - 1 ,NF)
(λ 0 ,1 + λ 0 , FN) + (λ 1 ,2 + λ 1 , NF)
113 链长为 n 的状态转移过程 T n
T P ( t ) =ຫໍສະໝຸດ Baidup0 n ( t ) =
n
n
n
n
式中 :λ 0. 0 , 1 > 0 ,λ 0 , FN ≥
112 链长为 2 的状态转移过程 T2
i =1
∏λi - 1 , i
e
n
i =1
∏λ - 1
i
1 + ,i λ i - 1 , NF
t →+ 0
1,i = j, 0 , i ≠j .
图6 二次转移过程图
Fig. 6 The second order transfer process
则链长为 n 的状态转移过程 , 其转移率矩阵为
-λ 0 ,1 - λ 0 , FN 0
q00 q10 Q=
q01 q11
… … …
q0 n q1 n
Fig. 3 Processor dynamic fault tree
λ 0 ,1 λ 0 , NF
0 0 0 0
.
Q=
0 0
解 ( 1) 式 , 从 0 到 j 若存在链长为 1 的状态转移链
T1 , 则 P ( t ) 在 T1 上的分量
P T = p 01 ( t ) =
1
在应用中往往将 DF TA 模块化成独立的动态 子树和独立的静态子树 , 其中的动态子树转化成相 应的马尔可夫链进行求解 , 静态子树则采用很多方
q0NF q1NF
λ 0 ,1
-λ 1 ,2
0
0
…
0
0
0 0
λ 0 , FN λ 1 , NF
-λ 1 , NF λ 1 ,2
…
…
qn0 qNF0
…
qn1 qNF1
…
qnn
…
qnNF
=
…
0 0 0
…
0 0 0
…
0 0 0
Qt
…
0 0 0
… … … . λ λ λ λ … - n - 1 , n - n - 1 , NF n - 1 , n n - 1 , NF … …