1-3 常见特殊矩阵
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果 TQ=QQT=I，则称 为正交 ∈ × 如果Q ，则称Q为 (orthogonal)矩阵。 矩阵。 矩阵 正交矩阵一定可逆， 正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 是正交矩阵， 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 也 都是正交矩阵。 都是正交矩阵。 1. Givens变换： 变换： 变换 A = c s , c 2 + s 2 = 1, A = cosθ sinθ . s c sinθ cosθ 可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变 可以通过一系列的 变换把任意非零向量变 的倍数。 成e1的倍数。
把正定矩阵定义中的x 改成x 把正定矩阵定义中的 TAx>0改成 TAx<0，则称 改成 ，则称A 矩阵。 是负定 (negative definite)矩阵。记做 矩阵 记做A<0。 。 负定矩阵的特征值都是负数 负数。 负定矩阵的特征值都是负数。
× 如果对任意x∈ 设A∈SRn×n，如果对任意 ∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 ∈ ， 称A为半正 负)定 (semi positive/negative definite) 为半正(负 定 矩阵，记做A≥(≤)0。 矩阵，记做 。
2. 初等变换矩阵
第一类： 第一类：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)； ； 第二类： 第二类：A2=I+beiejT； 第三类： 第三类：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]； ； 左行右列 A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)； ； A2-1=I-beiejT； A3-1=A3。 分块形式初等变换矩阵。 分块形式初等变换矩阵。 证明： 和 的非 例1 设A∈Cm×n，B∈Cn×m ，证明：AB和BA的非 ∈ × ∈ × 零特征值完全相同，而且重数也相同。 零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有 det(Im+AB)=det(In+BA)。 。
3. 对称矩阵
(a) 实对称矩阵和复 实对称矩阵和复Hermite矩阵 矩阵 则称A为 设A∈Rn×n，如果满足 ∈ × 如果满足A=AT，则称 为对称矩阵 × (symmetric matrix)。记做 ∈SRn×n。 。记做A∈ 对称矩阵的特征值都是实数 实数。 对称矩阵的特征值都是实数。 则称A为 设A∈Rn×n，如果满足 ∈ × 如果满足A=-AT，则称 为反对称矩 阵(skew-symmetric matrix)。 。 反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或 纯虚数或0。 反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或 。 则称 为 设A∈Cn×n，如果满足A=A*，则称A为Hermite 矩 ∈ × 如果满足 阵(Hermitian matrix)；如果满足 ；如果满足A=-A*，则称A为 则称 为 矩阵(skew-Hermitian matrix)。 反Hermite 矩阵 。
1. 上三角矩阵
In表示 阶单位矩阵 表示n阶单位矩阵(identity matrix of order n)； ； ei表示 n的第 列； 表示I 的第i列 对角矩阵(diagonal matrix)：A=diag(a11,a22,…,ann) 对角矩阵 ： 上三角矩阵(upper 上三角矩阵(upper triangular matrix) 下三角矩阵(lower triangular matrix) 下三角矩阵 三角矩阵的特征值就是对角元； 上(下)三角矩阵的特征值就是对角元； 下 三角矩阵的特征值就是对角元 三角矩阵的逆矩阵仍然是上(下 三角矩阵 三角矩阵； 上(下)三角矩阵的逆矩阵仍然是上 下)三角矩阵； 下 三角矩阵的逆矩阵仍然是上 分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,…,Akk)； 对角矩阵： 分块 对角矩阵 ； 分块(block)上(下)三角矩阵； 三角矩阵； 分块 上 下 三角矩阵 分块上(下 三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征 分块上 下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征 值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下 三角矩阵 三角矩阵。 值的并集，其逆矩阵仍然是分块上 下)三角矩阵。
Hale Waihona Puke 2. Householder变换： 变换： 变换 任给单位向量u，定义 任给单位向量 ，定义H=I-2uuT，则H被称为 被称为 Householder矩阵。 矩阵。 矩阵 H满足：HT=H，H2=I，det(H)=-1。 满足： ， ， 。 满足 对任意非零向量x，y， 对任意非零向量x，y，总可以找到一个 Householder矩阵 ，使得 矩阵H，使得Hx=αy。 矩阵 。 特别的可以取y=e 特别的可以取 1。 ，则称 为 设U∈Cn×n，如果满足U*U=UU*=I，则称U为酉 ∈ × 如果满足 (unitary)矩阵。 矩阵。 矩阵 酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。 酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。
5. 内积空间 欧式空间 内积空间(欧式空间 欧式空间)
是实数域R上的线性空间 设V是实数域 上的线性空间。如果对于 中任意 是实数域 上的线性空间。如果对于V中任意 两个向量x,y，可以定义一个二元运算<x,y>，并且 两个向量 ，可以定义一个二元运算 ， 满足： 满足： 1. 交换性 <x,y>=<y,x>； ； 2. 分配律 <x,y+z>=<x,y>+<x,z>； ； 3. 齐次性 <kx,y>=k<x,y>，k∈R； ， ∈ ； 4. 非负性 <x,x>≥0，且等号只有当 时才成立。 ，且等号只有当x=0时才成立。 时才成立 则称这个二元运算是内积 内积， 称为 称为Euclid空间，或 空间， 则称这个二元运算是内积，V称为 空间 欧式空间，或内积空间。 欧式空间，或内积空间。 上述定义可以推广到复数域C上。 上述定义可以推广到复数域 上
对称半正定矩阵的特征值都大于等于 大于等于0。 对称半正定矩阵的特征值都大于等于 。 下列条件都等价： 下列条件都等价： 1. A是半正定矩阵； 是半正定矩阵； 是半正定矩阵 2. A的所有顺序主子式都大于等于 ； 的所有顺序主子式都大于等于0； 的所有顺序主子式都大于等于 3. 存在矩阵 ，使得 存在矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都非负。 对称， 对称 且所有特征值都非负。 是复Hermite矩阵，如果对任意 ∈Cn都有 矩阵， 设A是复 是复 矩阵 如果对任意x∈ 负定， x*Ax>(<,≥,≤)0，则称 为正定 负定，半正定，半 ，则称A为正定(负定 半正定， 负定)矩阵 矩阵。 负定 矩阵。
(b) 正定矩阵
× 如果对任意非零x∈ 都有x 设A∈SRn×n，如果对任意非零 ∈Rn都有 TAx>0， ∈ ， 则称A为 矩阵。 则称 为对称正定 (symmetric positive definite)矩阵。 矩阵 记做A>0。 记做 。 对称正定矩阵的特征值都是正数 正数。 对称正定矩阵的特征值都是正数。 下列条件都等价： 下列条件都等价： 1. A是正定矩阵； 是正定矩阵； 是正定矩阵 2. A的所有顺序主子式都大于 ； 的所有顺序主子式都大于0； 的所有顺序主子式都大于 3. 存在非奇异矩阵 ，使得 存在非奇异矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都是正数。 对称， 对称 且所有特征值都是正数。
1. V=Rn，<x,y>=xTy； ； 2. V=Cn，<x,y>=x*y； ； 3. V=Cn，<x,y>=xTy； 不是内积 ； × 4. V=Rn×n，<A,B>=tr(ABT)； ； b < 5. V=C[a,b]， f ( x ), g ( x ) >= ∫a f ( x ) g ( x )dx ； ， 6. V=Rn，A>0， <x,y>=xTAy； ， ； 在欧式空间中， 在欧式空间中，称非负实数 < x , x > 为x的长度 的 (模、范数 ，记为 。 模 范数)，记为||x||。 1. ||kx||=|k| ||x||； ； 2. ||x+y||=||x||+||y||； ； 3. ||<x,y>||≤||x|| ||y||。 。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号： 我们尽量采用如下记号： 用大写英文字母表示矩阵， 用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素， a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量， 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,… 用小写希腊字母表示标量， 用小写希腊字母表示标量，如α,β,λ,,…
特殊矩阵
性质： ） 性质：（1）A 是对称阵 ⇔ AT = A ⇔ AT = − A A是反对称阵 是反对称阵 2）A,B是n阶对称阵 （2）A,B是n阶对称阵 ⇒ A + B 是对称阵 A,B是n阶对称阵 是 阶对称阵 是对称阵（例见P.71） ⇒ AB 是对称阵（例见 ）
但有： 但有： （P.71例） 例 A,B是n阶对称阵，则 是 阶对称阵 阶对称阵， 证 “⇐”
（四） 三角矩阵
a11 0 ⋮ 0 a12 ⋯ a1n a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ a nn
a11 a 21 ⋮ a n1 0 0 0 a 22 0 0 ⋮ ⋱ 0 a n 2 ⋯ a nn
1 0 0 0 0 2 0 0 不是对角阵 0 0 3 0
阶对角阵， 为常数 性质 （1）A,B为n阶对角阵，k为常数 ） 为 阶对角阵
仍为对角阵， ⇒ kA, A + B , AB , BA仍为对角阵，且 AB = BA.
因
a11 b11 a11b11 a22 b22 a22b22 AB = = ⋱ ⋱ ⋱ annbnn ann bnn
+B ) I
n −1
常用的矩阵
常用的矩阵一、单位矩阵单位矩阵是一个方阵，它的对角线上的元素都是1，其他位置的元素都是0。
单位矩阵在矩阵运算中起到了重要的作用，它可以保持矩阵的性质不变。
在线性代数中，单位矩阵是一个非常常用的概念，它用于表示单位向量和标准坐标系。
二、对角矩阵对角矩阵是一个只有主对角线上有非零元素的方阵。
对角矩阵有很多重要的性质，例如它们的转置矩阵和逆矩阵也是对角矩阵。
在物理学、工程学和经济学等领域中，对角矩阵常常用来表示系统的特征值和特征向量。
三、零矩阵零矩阵是一个所有元素都是0的矩阵。
零矩阵在矩阵运算中起到了很重要的作用，它是加法和乘法运算的单位元。
在线性代数中，零矩阵是一个非常基本的概念，它用于表示没有任何信息或没有任何变化的矩阵。
四、方阵方阵是一个行数和列数相等的矩阵。
方阵在很多领域中都有应用，例如在线性代数中，方阵用于表示线性变换；在图论中，方阵用于表示图的邻接矩阵；在计算机科学中，方阵用于表示图像的像素矩阵。
方阵具有很多重要的性质和特征，在矩阵的理论中占据了重要的地位。
五、转置矩阵转置矩阵是将一个矩阵的行和列互换得到的矩阵。
转置矩阵在矩阵运算中有很多重要的应用，例如它可以用来求解线性方程组的解、计算矩阵的秩和求解最小二乘问题。
转置矩阵也可以用于表示向量的转置。
六、逆矩阵逆矩阵是一个矩阵和它的逆矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。
逆矩阵在线性代数中起到了重要的作用，它可以用来求解线性方程组的解、计算矩阵的秩和求解最小二乘问题。
逆矩阵的存在和唯一性是很重要的性质，在矩阵的理论中有着重要的应用。
以上介绍了几种常见的矩阵及其应用。
矩阵在各个领域中都有重要的作用，它们不仅是数学理论的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习和理解矩阵的性质和特征，我们可以更好地应用矩阵来解决实际问题。
希望本文对读者能够有所启发，增加对矩阵的认识和理解。
特殊矩阵对称矩阵三角矩阵稀疏矩阵的特点
特殊矩阵对称矩阵三角矩阵稀疏矩阵的特点特殊矩阵是指具有特殊性质或特定结构的矩阵。
下面将分别介绍对称矩阵、三角矩阵和稀疏矩阵的特点。
1.对称矩阵：对称矩阵是指满足a_ij = a_ji（其中a_ij表示矩阵的第i行第j列元素，a_ji表示矩阵的第j行第i列元素）的矩阵。
对称矩阵的特点有：(1) 对角线元素对称：对称矩阵的主对角线上的元素不变，即a_ii=a_ii。
(2)上下三角元素对称：对称矩阵的上半三角元素与下半三角元素互为转置关系。
(3)对角线元素可以重复：对称矩阵的对角线元素可以相等，也可以是不同的值。
(4)对称矩阵的特征值为实数：对称矩阵的特征值都是实数。
(5)对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件：如果对称矩阵的所有特征值都大于0，则该对称矩阵是正定矩阵。
2.三角矩阵：三角矩阵是指矩阵中除去一些对角线以下或以上的元素均为0的矩阵。
根据对角线的位置，三角矩阵分为上三角矩阵和下三角矩阵。
三角矩阵的特点有：(1)上(下)三角矩阵的主对角线元素均不为0。
(2)上(下)三角矩阵的主对角线以下(以上)的元素为0。
(3)三角矩阵的乘法可以简化：对于两个n阶三角矩阵A和B，它们的乘积AB也是一个n阶三角矩阵。
(4)三角矩阵的特征值可直接求得：三角矩阵的特征值等于其主对角线上的元素。
3.稀疏矩阵：稀疏矩阵指的是矩阵中大部分元素为0的矩阵。
稀疏矩阵的特点有：(1)矩阵中非零元素的数量远小于矩阵的总元素数量。
因此，稀疏矩阵在存储和计算上具有较高的效率。
(3)稀疏矩阵通常出现在大规模问题中，例如网络图、推荐系统、自然语言处理等领域。
(4)稀疏矩阵的运算需要特殊算法来处理，例如稀疏矩阵的乘法可以使用CSR和CSC格式的矩阵相乘算法。
综上所述，特殊矩阵包括对称矩阵、三角矩阵和稀疏矩阵，它们具有不同的特点和应用场景。
了解这些特殊矩阵的特点有助于我们在处理各种问题时选择适合的矩阵表示和算法，并提高计算效率。
1-3 常见特殊矩阵讲解学习
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 称A为半正(负)定 (semi positive/negative definite) 矩阵，记做A≥(≤)0。
分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,…,Akk)； 分块(block)上(下)三角矩阵； 分块上(下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征 值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下)三角矩阵。
2. 初等变换矩阵
第一类：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)； 第二类：A2=I+beiejT； 第三类：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]； 左行右列
对称半正定矩阵的特征值都大于等于0。
下列条件都等价：
1. A是半正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于等于0； 3. 存在矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都非负。
设A是复Hermite矩阵，如果对任意x∈Cn都有 x*Ax>(<,≥,≤)0，则称A为正定(负定，半正定，半 负定)矩阵。
6. V=Rn，A>0， <x,y>=xTAy；a
在欧式空间中，称非负实数 x, x 为x的长度 (模、范数)，记为||x||。
1. ||kx||=|k| ||x||； 2. ||x+y||=||x||+||y||； 3. ||<x,y>||≤||x|| ||y||。
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几种特殊的矩阵
a11 a12 a13 ... a1n b11 b12 b13 ... a1n
0
a22
a23
...
a2n
0
b22
b23
...
b2n
0 0 a33 ... a3n 0 0 b33 ... b3n
0 0 0 ... ann 0 0 0 ... bnn
c11
0
0
0
c12 c13 c22 c24 0 c33
a11
0
a12 a22
a13 a23
... ...
a1n
a2
n
ka11
0
ka12 ka22
ka13 ka23
... ka1n
...
ka2n
k 0 0 a33 ... a3n 0
0 ka33 ... ka3n
0
0
0
...
ann
0
0
0 ... kann
即 数k乘n阶上三角矩阵后 还是n 阶上三角矩阵.
0 a33
... ...
0 0
0
0
0
... ann
a1n a2n a3n ... ann
同理, 所有n 阶下三角 矩 阵关于加法、数乘、
乘法封闭.下三角矩阵的转置矩阵 为上三角矩阵。
a11 0 ...
对角矩阵 0 a22 ...
0 0
既可看成上三角矩阵 也可看成下三角矩阵.
0
0
...
在矩阵的乘法中 数量矩阵 起着“数”的作用。
3.三角形矩阵
如果n阶方阵A=(aij)中 的元素满足条件：i j时,
aij 0 即
a11 a12 a13 ... a1n
常见的可逆矩阵
常见的可逆矩阵
常见的可逆矩阵包括：
1. 单位矩阵：所有对角线上的元素都是1，其余元素都是0。
例如：
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2. 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其余元素都是0。
例如：
2 0 0
0 3 0
0 0 4
3. 上三角矩阵：除了对角线及其以下的元素外，其余元素都是0。
例如：
2 1 3
0 3 4
0 0 2
4. 下三角矩阵：除了对角线及其以上的元素外，其余元素都是0。
例如：
2 0 0
1 3 0
3 4 2
5. 块对角矩阵：由多个对角块组成的矩阵，每个对角块都是可逆矩阵。
例如：
2 3 0 0
1 4 0 0
0 0 2 3
0 0 1 4
6. 正交矩阵：满足乘积等于单位矩阵的矩阵。
例如：
0.8 0.6
-0.6 0.8
7. 特殊线性群矩阵：满足行列式等于1的矩阵。
例如：
1 2
3 4
以上是一些常见的可逆矩阵，但并不是全部家族。
各种特殊矩阵总结
各种特殊矩阵总结⼀般在实际运⽤中，矩阵本⾝或者都需要化成特殊的形式。
列出⼀些常⽤的矩阵形式。
reference: 1. Toeplitz matrix，形如2. Hankel matix，形如刚好和就是toeplitz的transpose3. Degree matrix，这个和拓扑学有关了，此矩阵只有main diagonal上有⾮零值，代表的是对应edge(node)所连接的vetices的数量（如果⾃循环则算两个），对该图形⽽⾔，这个E对应的位置就应该填上n。
每个E都算完后，其余位置均为0。
4. Adjacency matrix，也和拓扑学有关，为仅有1或者0的矩阵。
如果两个edge之间有vertex相连，则对应位置填1。
因为这个性质，此矩阵为symmetric的，main diagonal上的1表⽰⾃循环。
5. Laplacian matix。
由上⾯两位计算得到L=D-A6. Circulant matrix, T的变种，如下7. Symplectic matrix指满⾜这个条件的M（2n*2n）矩阵：其中，另⼀个矩阵必须是nonsingular, skew-symmetric matrix.，例如选 是⼀个block matrix，I是单位矩阵(identity matix)。
8. Vandermonde matrix，形如9. Hessenberg matrixHessenberg matrix is a special kind of square matrix, one that is "almost" triangular. To be exact, an upper Hessenberg matrix has zero entries below the first subdiagonal, and a lower Hessenberg matrix has zero entries above the first superdiagonal例如：upper Hessenberg matrix10. Hessian matrix对于实数函数求⼆阶偏导（second-order partial derivatives），如下。
线性代数-特殊矩阵
例3 设 A2 A, E 是单位矩阵，证明：
( A E )m E (2m1 1) A
其中, m是正整数. 证 A,E相乘可以交换，由二项式定理有：
( A E )m
0 1 2 m 1 m Cm Am Cm Am 1 Cm Am 2 Cm A Cm E
2.2
几种特殊的矩阵
• 对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵 • 上(下)三角形矩阵 • 对称矩阵和反对称矩阵 • 幂等矩阵，幂幺矩阵和幂零矩阵
一、对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵
1.对角矩阵 形如
a1 a2 的方阵称为对角矩阵． an nn
【注】 1o A ( aij )nn 为对角矩阵 aij=0(i≠j，i,j=1,2,…,n)
1 0 0 1 例2 设 A 0 0 0 , B 3 1 1 1 , 0 0 1 1
验证A,B都是幂等矩阵． 解
1 0 0 1 0 0 1 2 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 B 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 B 1 0 0 0 0 A 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1
0 a22 an 2 0 0 的方阵称为下三角矩阵． ann
2.下三角形矩阵
【注】A为上三角阵
aij=0, i＞j ( i, j=1,2,…,n)； A为下三角阵 aij=0, i＜j ( i, j=1,2,…,n)．
三、对称矩阵和反对称矩阵
0 1 2 m 1 m Cm A Cm A Cm A Cm A Cm E
2.2几种特殊矩阵
例2
已知Ann 满足例3
b c a b a d 已知 A c d a d c b
d c ,求 A b a
四、对称与反对称矩阵
• 定义6. T 设矩阵 An , 若 A A, 则称 An 为对称矩阵, 即
若A, B为同阶上（下）三角矩阵， k R，l Z ，则A B，kA，AB， A 均为上（下）三角矩阵。
l
二、对角矩阵
定义2. 主对角线以外元素全为0的方阵称为 对角矩阵。
在 A (aij )nn 中, 若 aij 0 (i j ), 则称 An 为对角矩阵, 记
a11 0 0 a22 A diag(a11 , a22 ,, ann ) 0 0
三、单位矩阵
• 定义4. 主对角线上元素全为1，其他元素全 为0的方阵称为单位矩阵。
Em Amn Amn En ( EA AE ) 若A aE , 有AB aEB aB aBE BA
• 定义5. 若AB=BA，则称A、B是可交换的。
2 1 4 1 1 2 1 4 1 1 5 8 0 2 5 8 0 2 1 1 1 3 7 33 34 1 1 3 7 34
ka11 ka22 kA kann
a11l Al
a22 l
l ann
a11b11 a b 22 22 AB ann bnn
定义3. 若对角矩阵中主对角线上元素都相等， 则称之为数量矩阵。
性质. 对称、反对称矩阵的和、数乘仍为 对称、反对称矩阵。
例4
特殊矩阵的压缩存储
特殊矩阵的压缩存储简介矩阵是数学和计算机科学中的基本数据结构之一，广泛应用于各个领域。
在某些情况下，矩阵的数据量十分庞大，导致存储和处理的效率低下。
为解决这一问题，特殊矩阵的压缩存储方法应运而生。
什么是特殊矩阵特殊矩阵是指具有一定特征或性质的矩阵。
常见的特殊矩阵包括对角矩阵、三角矩阵、稀疏矩阵等。
这些矩阵在实际应用中具有普遍性和重要性，因为它们往往可以提供更高效的存储和运算方式。
1. 对角矩阵对角矩阵是指所有的非对角元素都为零的矩阵。
由于对角矩阵的特殊属性，可以使用一维数组来存储矩阵的主对角线元素，从而减少存储空间的占用。
2. 三角矩阵三角矩阵是指所有主对角线以下或以上的元素都为零的矩阵。
同样地，三角矩阵可以使用一维数组来压缩存储，只存储非零元素即可。
3. 稀疏矩阵稀疏矩阵是指元素中绝大多数为零的矩阵。
对于稀疏矩阵，传统的二维数组存储方式存在很大的空间浪费。
因此，压缩存储方法可以大幅减少稀疏矩阵的存储空间。
压缩存储方法特殊矩阵的压缩存储方法旨在减少存储空间的占用，并提高对矩阵的操作效率。
常见的压缩存储方法包括对角线压缩法、三角矩阵压缩法和行逻辑链接法等。
1. 对角线压缩法对于对角矩阵和三角矩阵，可以使用对角线压缩法来进行存储。
对角线压缩法是指只存储矩阵的主对角线元素或其他非零对角线元素，并用一维数组来表示。
通过这种方式，可以大幅减少矩阵的存储空间，并方便对矩阵进行操作。
对角矩阵的压缩存储对角矩阵的对角线元素存储在一维数组中，数组的长度等于矩阵的行数或列数。
例如，对于一个3x3的对角矩阵：1 0 00 2 00 0 3可以使用一维数组[1, 2, 3]来表示。
三角矩阵的压缩存储三角矩阵的非零元素存储在一维数组中，数组的长度等于矩阵的行数或列数。
对于下三角矩阵，可以使用一维数组来存储矩阵的下三角部分（不包含主对角线），而上三角矩阵可以使用一维数组来存储矩阵的上三角部分。
例如，对于一个3x3的下三角矩阵：1 0 02 3 04 5 6可以使用一维数组[2, 4, 5]来表示。