几种特殊矩阵的生成
实验一矩阵
diag(A,2)
rot90plr(A)
flipud(A)
>> A=[1 2 -3;4 -6 6;3 -8 9];v=diag(A)
v=
1
>> rot90(A)
-6
ans =
9
-3 6 9
>> diag(A,2) ans =
2 -6 -8 143
-3
>> triu(A,2) ans =
5 7 6 6
（1）提取矩阵A全部奇数行，所有列；
（2）提取矩阵A的3,2,1行，2,3,4列；
（3）将矩阵A左右翻转，即最后一列排在最前面；
解： 分别输入命令
A=[1 4 3 6;2 7 9 5;5 7 6 6]; B1=A(1:2:end,:)
B2=A([3,2,1],[2,3,4]) B3=A(:,end:-1:1)
例8：试探不同的步距，从 t [0, ] 区间取出
一些点构成向量 解： (1) 步距为：0.2
v1=0:0.2:pi v1 =
0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 2.2000
2.4000 2.6000 2.8000 3.0000
B A(v1,v2 )
其中向量 v1 表示子矩阵要包含的行号构成的向 量， v2 表示子矩阵要包含的列号构成的向量。 若v1为：，则表示要提取所有的行， v2 亦有相 应的处理结果。关键词end表示最后一行（或列， 取决于其位置）。
例9： 设
1 4 3 6 A 2 7 9 5
0
生成的伴随矩阵的Matlat调用格式为: A=compan(P)
matlab单元矩阵
MATLAB单元矩阵在MATLAB中，单元矩阵是一种特殊的矩阵，其中所有对角线上的元素都为1，而其余元素都为0。
它在数值计算和图像处理等领域中有广泛的应用。
本文将介绍单元矩阵的定义、性质、生成方法以及在MATLAB中的应用。
定义和性质单元矩阵（Unit Matrix），又称为单位矩阵或恒等矩阵，是一个n阶方阵，其中所有对角线上的元素都为1，而其余元素都为0。
以符号表示为I或者E(n)，其中I表示Identity Matrix（单位矩阵），E(n)表示n维单位矩阵。
单元矩阵具有以下几个重要性质：1.单位性质：任何一个与单元矩阵相乘的方阵结果都是其本身，即 A * I = I* A = A。
2.封闭性质：两个单元矩阵相加或相乘仍然得到一个单元矩阵。
3.幂运算：单元矩阵的幂运算结果仍然是它本身。
生成方法在MATLAB中，可以使用以下几种方法生成一个单元矩阵：方法一：使用eye函数MATLAB中的eye函数可以生成一个指定大小的单元矩阵。
语法格式为：I = eye(n)其中，n表示生成的单元矩阵的大小。
方法二：使用ones和diag函数MATLAB中的ones函数可以生成一个全为1的矩阵，而diag函数可以将一个向量的元素设置为对角线上的值。
通过结合这两个函数，可以生成一个单元矩阵。
语法格式为：I = diag(ones(n, 1))其中，n表示生成的单元矩阵的大小。
方法三：使用spdiags函数MATLAB中的spdiags函数可以在指定位置生成一个带有指定值的对角线矩阵。
通过设置对角线位置和对应值，可以生成一个单元矩阵。
语法格式为：I = spdiags(ones(n, 1), 0, n, n)其中，n表示生成的单元矩阵的大小。
MATLAB中的应用在MATLAB中，单元矩阵常用于以下几个方面：线性代数运算在线性代数运算中，单元矩阵常作为单位元素参与计算。
例如，在求解线性方程组时，常常需要用到逆矩阵来消去系数矩阵，并且逆矩阵与系数矩阵相乘的结果应为单元矩阵。
matlab程序设计矩阵及其运算
矩阵及其运算
1、特征值分解 由以前学过的知识，我们已经了解到在MATLAB是 应用函数eig来解决的。但是应用到特征值分解的部分， 需要在形式上作一定的变化，其使用的格式如下： [V,D]＝eig（X）命令生成两个矩阵V和D，其中V是以 矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵，D是由矩阵X 的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵，使得满足 关系式X*V=V*D。
矩阵及其运算
randn（M,N）：表示生成M×N阶随机矩阵，生成 的矩阵的元素值在服从正态分布N（0,1）。 例十五 随机矩阵的生成
矩阵及其运算
4 魔术矩阵的生成 魔术矩阵是一个经常遇到的矩阵，它是一个方阵，特 点是每一行、每一列以及每一主对角线元素之和都同。 在MATLAB中，用函数magic来生成。其格式如下： magic（N）：表示生成N×N阶的魔术矩阵，使矩 阵的每一行、每一列以及每一主对角线元素之和都同。 其中N>0,N=2除外。 例十五 魔术矩阵的生成。
矩阵及其运算
四 矩阵的分解运算 MATLAB的数学处理能力之所以强大，很大一部分 的原因就是它的矩阵函数功能的扩展。矩阵分解在数值 分析和科学研究中有着重要的地位。常用的分解方法有 以下几种：三角分解（lu）、正交分解（qr）、特征值 分解（eig）和奇异值分解（svd）。我们这里主要介绍特 征值分解。
矩阵及其运算
reshape（X,[M,N,p,…]）：该命令与上个 reshape（X,M,N,p,…）命令的效果一致。 例十一：
矩阵及其运算
2 矩阵的变向 矩阵的变向包括对矩阵进行旋转、上下翻转、左右翻 转以及对指定的维进行翻转。分别由函数rot90、 flipud、fliplr和flipdim来实现。具体用法如下： rot90（A）：命令返回矩阵A按逆时钟方向旋转90度 所得的矩阵。 rot90（A，K）：命令返回矩阵A按逆时针方向旋转 90×K度所得的矩阵。（K=±1, ±2,…）。 flipud（X）：命令将矩阵X上下翻转。
几种特殊的矩阵
a11 a12 a13 ... a1n b11 b12 b13 ... a1n
0
a22
a23
...
a2n
0
b22
b23
...
b2n
0 0 a33 ... a3n 0 0 b33 ... b3n
0 0 0 ... ann 0 0 0 ... bnn
c11
0
0
0
c12 c13 c22 c24 0 c33
a11
0
a12 a22
a13 a23
... ...
a1n
a2
n
ka11
0
ka12 ka22
ka13 ka23
... ka1n
...
ka2n
k 0 0 a33 ... a3n 0
0 ka33 ... ka3n
0
0
0
...
ann
0
0
0 ... kann
即 数k乘n阶上三角矩阵后 还是n 阶上三角矩阵.
0 a33
... ...
0 0
0
0
0
... ann
a1n a2n a3n ... ann
同理, 所有n 阶下三角 矩 阵关于加法、数乘、
乘法封闭.下三角矩阵的转置矩阵 为上三角矩阵。
a11 0 ...
对角矩阵 0 a22 ...
0 0
既可看成上三角矩阵 也可看成下三角矩阵.
0
0
...
在矩阵的乘法中 数量矩阵 起着“数”的作用。
3.三角形矩阵
如果n阶方阵A=(aij)中 的元素满足条件：i j时,
aij 0 即
a11 a12 a13 ... a1n
各类矩阵三角矩阵正定矩阵正交矩阵伴随矩阵
三对角矩阵在中，一个三对角矩阵是的一种，它“几乎”是一个。
准确来讲：一个三对角矩阵的在上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。
例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是。
尽管一样的三对角矩阵不必然是或，许多解线性代数问题时显现的矩阵却往往有这些性质。
进一步若是一个实三对角矩阵A 知足a k,k+1 a k+1,k > 0，因此它元素的符号都为正，从而于一个埃尔米特矩阵，如此都是实数。
后一个推论若是咱们将条件a k,k+1 a k+1,k > 0 换为a k,k+1 a k+1,k≥0，结论仍然成立。
所有n×n三对角矩阵的组成一个3n-2维。
许多线性代数应用于对角矩阵时所需专门少，这种改良也常常被三对角矩阵继承。
譬如，一个n 阶三对角矩阵A的能用（）的公式计算：那个地址是第k个主，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。
用此方式计算三对角矩阵所需计算量是线性n，但是关于一样的矩阵复杂度是n 的3 次方。
计算程序一个将一样矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。
从而，许多运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。
一个三对角矩阵利用特定的比一样矩阵所用的存储空间也少得多。
例如，包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个1-维数列，其中一个长n包括对角元素，其它两个长为n−1 包括下对角线和上对角线元素。
三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的解出来（Golub and Van Loan）。
正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的，因此老是。
尽管咱们在那个地址只考虑实数矩阵，那个概念可用于其元素来自任何的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，关于复数的矩阵这致使了归一要求。
要看出与内积的联系，考虑在n维实数中的关于正交基写出的向量v。
v的长度的平方是v T v。
若是矩阵形式为Q v的线性变换维持了向量长度，那么。
因此有限维线性，比如、和它们的组合，都产生正交矩阵。
特殊矩阵总结
特殊矩阵总结
常用的产生通用特殊矩阵的函数有：
zeros:产生全0矩阵（零矩阵）
ones:产生全1矩阵（幺矩阵）
eye：产生单位矩阵
rand:产生0~1间均匀分布的随机矩阵
randn:产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵
zeros(m):产生m*m零矩阵
zeros(m,n):产生m*n零矩阵。
当m=n时，等同于zeros(m)
zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵
魔方矩阵：其每行、每列及两条对角线上的元素之和都相等。
函数为magic（n），功能是生成一个n阶魔方矩阵。
范德蒙德矩阵：其最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。
函数为vander(V)
希尔伯特矩阵：矩阵的每个元素hij=1/(i+j-1)。
函数为hilb（n），逆函数为invhilb（n）
format rat以有理数形式输出
特普利茨矩阵：第一行和第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。
生成特普茨矩阵的函数是toeplitz(x,y),它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵，x和y不必等长。
伴随矩阵：compan（p）高次幂系数排在前，低次幂排在后。
帕斯卡矩阵：pascal（n）。
各种矩阵 三角矩阵 正定矩阵 正交矩阵 伴随矩阵
三对角矩阵在线性代数中，一个三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。
准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。
例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是海森堡矩阵。
尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。
进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足a k,k+1 a k+1,k > 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。
后一个推论如果我们将条件a k,k+1 a k+1,k > 0 换为a k,k+1 a k+1,k≥ 0，结论仍然成立。
所有n×n三对角矩阵的集合组成一个3n-2维向量空间。
许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。
譬如，一个 n 阶三对角矩阵A的行列式能用continuant（Continuant）的递归公式计算：这里是第k个主子式，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。
用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。
计算程序一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。
从而，许多特征值算法运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。
一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。
例如，LAPACK Fortran包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长n包含对角元素，其它两个长为n− 1 包含下对角线和上对角线元素。
三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。
正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
《线性代数》2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
7. 单位矩阵 对角矩阵中的对角线元素都等于1的矩阵, 记作
1 1 E 1
三、同型矩阵及矩阵相等 定义2.1.2
B 有相同的行数和列数， 如果两个矩阵 A 、
则称A与B为同型矩阵.
若矩阵A aij 与 B bij 是同型矩阵，而且对应 位置上的元素均相等，即aij 记为 A B
线 性 代 数
(第二版)
第二章Байду номын сангаас
矩 阵
• 第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵 • 第二节 矩阵的运算 • 第三节 逆 矩 阵 • 第四节 分 块 矩 阵
第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵
一、矩阵的概念 产品 引例 某厂向三个商店发送四种产品的数量，如下表 1 2 3 4 数量
商店
1 2 3
a11
a12
字母 A , B , C 等来表示.
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 上述矩阵记作 A a a a mn m1 m 2
可以简写成
A (aij ) mn .
其中 aij 叫做矩阵的第i 行第 j 列的元素. 元素为实数的矩阵称为实矩阵， 元素为复数的矩阵称为复矩阵.
bij ，则称A与B相等.
2 4 2 c 例如 若要求下面等式成立 5 a d 7 b 1 3 1
必须 a 7, b 3, c 4, d 5
二、几种常见的特殊矩阵 1. 行矩阵 只有一行的矩阵，即1×n 矩阵
A (a11 ,a12 ,,a1n )
2. 列矩阵 只有一列的矩阵，即m×1矩阵
a11 a 21 a , a ,, a T A 11 12 1n a m1
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帕斯卡矩阵 二次项(x + y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉 三角形。 由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡（Pascal）矩阵。 函数pascal(n)可以生成一个n阶帕斯卡矩阵。 【例】求(x + y)4的展开式。 pascal(5) ans= 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 矩阵次对角线上的元素1，4，6，4，1即为展开式的系数，即 (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 与矩阵A同样大小的零矩阵。 （1）建立一个3 × 3的零矩阵。 zeros(3) ans= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （2）建立一个2 × 3的零矩阵。 zeros(2,3) （3）设A为2 × 3矩阵，则可以用zeros(size(A))建立一个与矩 阵A同样大小的零矩阵。 A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶矩阵A zeros(size(A)) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵
几个特殊矩阵的生成
● zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。 ● ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。 ● eye函数：产生单位矩阵，即对角线上的元素为1、其余元 素为0的矩阵。
zeros函数的调用格式如下。 ● zeros(m)：产生m × m零矩阵。 ● zeros(m,n)：产生m × n零矩阵。当m = n时，等同于 zeros(m)。 ● zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。