2-3几种特殊结构的矩阵
一些特殊结构的布尔矩阵行空间基数
[1 ,2 n ]. The re search of t he di st ribution of ca rdinalit y of row space of mat ri x A ∈ B n has a long ti me. In 1992 ,ref. [ 1 ] gave t he dist ribut io n of cardi nali t y of row space of mat rix A ∈B n i n interval ( 2 n - 1 , 2 n ] . Sim ult aneousl y ,he conject ured t hat t here exi st s A ∈B n wi t h | R ( A) | = m for any m ∈[ 1 , 2 n- 1 ] . In 1995 , ref . [2 - 6 ] showed some re sul t s on t he cardi nali ties of row space of Boolean mat rices . In t hi s paper ,by ) if A is t he st udyi ng some special Boolea n mat rices ,we obt ai n t hree res ul t s : ( 1 ) l et , A ∈B n ×n , Π m , ( ⅰ ) if A i s t he i nvol ut ory mat ri x ,i . e. , A2 = I , ide mpot ent mat ri x ,i . e . , A2 = A ,t hen | R ( Am ) | = R ( A) | ; ( ⅱ t hen | R ( Am ) | = | R ( A) | whe n m i s an odd numbe r or | R ( A) | = 2 n when m i s a n even number ; ( 2 ) let A ∈
快速傅里叶变换处理稀疏矩阵-概述说明以及解释
快速傅里叶变换处理稀疏矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种重要的信号处理技术，广泛应用于图像处理、语音识别、数据压缩等领域。
它通过将时域信号转换到频域来实现信号的分析和处理，具有高效、快速的特点。
稀疏矩阵是一种具有大部分元素为零的矩阵。
由于其特殊的结构，稀疏矩阵在存储和计算的效率上具有很大优势。
在实际应用中，大量的数据都可以表示为稀疏矩阵的形式，例如图像数据、网络数据等。
本文将探讨如何利用快速傅里叶变换处理稀疏矩阵。
首先，我们将介绍快速傅里叶变换的原理，包括离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和快速傅里叶变换的基本概念。
然后，我们将详细介绍稀疏矩阵的定义和特点，包括稀疏矩阵的存储方式以及如何对稀疏矩阵进行表示和计算。
接着，我们将探讨快速傅里叶变换在处理稀疏矩阵中的应用，包括如何利用快速傅里叶变换提高稀疏矩阵的计算效率和压缩存储等方面的优势。
通过本文的研究和分析，我们可以得出结论：快速傅里叶变换在处理稀疏矩阵中具有重要的应用价值。
它不仅可以提高稀疏矩阵的计算效率和存储效率，还可以在图像处理、语音识别等领域中发挥重要作用。
因此，在实际应用中，我们可以充分利用快速傅里叶变换的优势，更好地处理和分析稀疏矩阵的数据。
文章结构部分的内容可以参考以下例子：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论：引言、正文和结论。
在引言部分，我们将提供对快速傅里叶变换处理稀疏矩阵的概述，介绍本文的目的和重要性。
通过该部分，读者将对文章的主要内容有一个整体的了解。
正文部分包括两个小节：2.1 快速傅里叶变换的原理和2.2 稀疏矩阵的定义和特点。
在2.1小节中，我们将详细介绍快速傅里叶变换的原理和算法，以及其在信号处理领域的应用。
在2.2小节中，我们将定义稀疏矩阵，并讨论稀疏矩阵的特点和常见表示方法。
几类特殊分块矩阵及结构矩阵有关快速算法的研究
几类特殊分块矩阵及结构矩阵有关快速算法的研究作者：黄志君来源：《科教导刊》2013年第18期摘要本文结合矩阵的概念和性质，对分块矩阵的运算和求矩阵的逆方面作了分析，并对结构矩阵的快速运算法提出自己的建议。
希望本文能给矩阵的学习者带来帮助。
关键词分块矩阵特殊结构运算法则中图分类号：O241.6 文献标识码：A1 分块矩阵1.1 分块矩阵的概念通常情况下，我们在运算一个大矩阵时会将其看成多个小矩阵，就跟计算数字一样，将大数字分成几个小数字来运算，这就是通常所说的矩阵分块。
例如，现有一个€椎木卣螅绻煤芏嗪嵯咛踅浞殖煽椋谟煤芏嘧菹咛醢阉殖煽椋庋颐蔷偷玫揭桓隹榈姆挚榫卣蟆？1.2 分块矩阵的运算法则分块矩阵的运算和数字矩阵的运算在形式上是基本相同的，只要进行预算的矩阵分块合适，分块矩阵和普通矩阵的运算法则是相同的。
1.2.1 分块矩阵的加法运算特别要注意的是，利用分块法对两个同型矩阵进行加法运算时，必须要使用相同的分块法对这两个矩阵进行分块。
1.2.2 分块矩阵的乘法运算1.2.3 分块矩阵的除法2 特殊分块矩阵的解法2.1 追赶法求解分块循环三对角矩阵2.2 追赶法求分块三对角矩阵2.3 追赶法求解分块五对角矩阵3 有关结构矩阵的快速运算结构矩阵分为很多种，有Vandermonde矩阵、Hankel矩阵、Cauchy矩阵等。
在计算与这些结构矩阵有关的问题时，如果矩阵的阶数较小，那么一般解法是可以作答的。
但是，大多数的实际问题中，矩阵的阶数都很大，那么在用一般的解法求解就会很吃力了。
因为这些一般解法没有充分利用矩阵的结构，计算过程复杂、代价高。
因此，在这些结构矩阵的求解过程中寻求一些简单、高效、快速的方法是非常有必要的。
在这些方法中，以快速傅里叶变换（FFT）尤为著名。
也正是因为结构矩阵对于实际应用的巨大意义，吸引了国内外众多研究者的兴趣。
当前，世界上已经出现了很多研究群体代表，有牛顿结构迭代法的代表Victor Y.Pan，位移秩法的代表Thomas Kailath，有理插值和结构矩阵快速算法的代表Vandim Olshevsky等等。
矩阵压缩储存 三元组 带状矩阵
矩阵压缩储存三元组带状矩阵矩阵压缩储存是一种常用的数据结构，用于减少存储空间和提高数据处理效率。
在某些特殊类型的矩阵中，存在大量的零元素，这些零元素会占据大量的存储空间，并且对于计算和处理时也会造成浪费。
因此，为了更高效地存储和处理这些特殊类型的矩阵，我们可以使用三元组带状矩阵的方法。
三元组带状矩阵是一种压缩储存矩阵的方法，它通过记录矩阵中非零元素的值、所在行和列的信息，来表示整个矩阵。
与普通的矩阵相比，三元组带状矩阵可以大大减少存储空间的使用。
三元组带状矩阵的存储方式如下：首先，我们需要记录矩阵的行数和列数，以及非零元素的个数。
然后，我们使用一个数组来存储非零元素的值，另外还需要两个数组来存储非零元素所在的行和列的信息。
这样，我们就可以通过这三个数组来表示整个矩阵了。
举个例子来说明三元组带状矩阵的存储方式。
假设有一个5x5的矩阵，其中只有4个非零元素，分别是2、4、6和8。
那么我们可以使用如下的三个数组来表示这个矩阵：值数组：[2, 4, 6, 8]行数组：[1, 2, 3, 4]列数组：[1, 2, 3, 4]通过这三个数组，我们就可以还原出原始的矩阵。
在这个例子中，我们可以得到如下的矩阵：2 0 0 0 00 4 0 0 00 0 6 0 00 0 0 8 00 0 0 0 0可以看到，通过三元组带状矩阵的存储方式，我们只需要存储非零元素的信息，而零元素则可以省略不存储。
这样就大大减少了存储空间的使用。
而带状矩阵是指矩阵中非零元素所在的行和列的分布呈带状结构。
带状矩阵可以用来表示一些具有特定规律的矩阵，比如对角线元素较多的矩阵。
在带状矩阵中，非零元素分布在主对角线及其附近的带状区域内，其宽度可以根据实际情况确定。
通过使用带状矩阵的特性，我们可以进一步优化三元组带状矩阵的存储方式。
在存储非零元素的值、行和列的数组中，我们可以按照带状矩阵的分布规律来存储元素的信息，这样可以进一步减少存储空间的使用。
c语言托普利兹矩阵_概述及解释说明
c语言托普利兹矩阵概述及解释说明1. 引言1.1 概述在计算机科学中，托普利兹矩阵是一种特殊的方阵，它的每一行从左上到右下的对角线上的元素都相等。
这种特殊结构使得托普利兹矩阵在很多问题中有着重要的应用价值。
本文将详细介绍和解释C语言中托普利兹矩阵的概念、特点及其在实际应用中的方法和算法。
首先我们将介绍托普利兹矩阵的基本概念，并通过示例来解释其特点和应用领域。
然后我们将着重讨论C语言中实现托普利兹矩阵的方法，包括数组表示法、指针表示法和动态内存分配方法。
接下来我们会详细讲解托普利兹矩阵求解算法及其实例分析，其中包括线性递推算法原理、算法伪代码详解以及实例分析与结果展示。
最后，我们将总结托普利兹矩阵在C语言中的应用价值和局限性，并探讨相关领域的发展趋势和未来工作方向。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：- 引言：对文章的内容进行概述，并介绍各章节的主要内容。
- 托普利兹矩阵的基本概念：定义和特点、示例解释以及应用领域等方面的介绍。
- C语言中实现托普利兹矩阵的方法：包括数组表示方法、指针表示方法和动态内存分配方法等具体实现方式。
- 托普利兹矩阵求解算法及实例分析：讲解线性递推算法原理、算法伪代码详解以及实例分析与结果展示等内容。
- 结论与展望：总结托普利兹矩阵在C语言中的应用价值和局限性，并讨论相关领域的发展趋势和未来工作方向。
1.3 目的本文旨在全面系统地介绍托普利兹矩阵在C语言中的概念、实现方法和求解算法，以及其在不同领域的应用。
通过本文的学习，读者将能够理解和掌握C语言中处理托普利兹矩阵问题所需要的基础知识和技术。
希望通过这篇长文，读者能够对托普利兹矩阵有更加深入和全面的了解，并将其应用于实际项目中。
2. 托普利兹矩阵的基本概念2.1 定义和特点托普利兹矩阵是一种特殊类型的方阵，其主对角线元素上方和下方的元素值相等。
具体定义为：给定一个n×n矩阵A=(aij)，如果对于所有的i、j满足aij=Ai+j-1，则称该矩阵为托普利兹矩阵。
3_2特殊矩阵,方阵的行列式
特殊矩阵 方阵乘积的行列式
一.特殊矩阵及其运算性质 1. 单位矩阵
形如
1 0 L 0 0 1 L 0 M M 0 0 L 1
称为n阶单位 的n阶方阵称为 阶单位 阶方阵称为 矩阵.记为 简记为E. 记为En,简记为 矩阵 记为 简记为
该方阵的特点是主对角线上的元素都是1, 该方阵的特点是主对角线上的元素都是 主对角线上的元素都是 S 其他元素都是0. 其他元素都是 其第i行第 列的元素为 其第 行第j列的元素为 δ ij 行第
所以 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵
1 i = j S = 0 i ≠ j
易证
( 1) EA = AE = A, ( A为任意n阶方阵 )
( 2 ) Em Am×n = Am×n En = Am×n
3 ) E n = E , 其中n为正整数 (
单位矩阵在矩阵乘法运算中的作用与数1在 单位矩阵在矩阵乘法运算中的作用与数 在 数的乘法运算中的作用类似。 数的乘法运算中的作用类似。
上三角矩阵的特点是主对角线下方的元素全为0. 上三角矩阵的特点是主对角线下方的元素全为 三角矩阵的特点是主对角线上方的元素全为0. 下 三角矩阵的特点是主对角线上方的元素全为
可以验证： 可以验证： 为同阶同结构的三角矩阵, 若A，B为同阶同结构的三角矩阵,则 kA A + B AB 仍为同阶同结构的 三角矩阵.
a11 a12 0 a 4. 三角矩阵 22 上三角矩阵 L L 0 0 三角矩阵 a11 0 下三角矩阵 a a22 21 L L a n1 a n 2
L a1n L a2 n L L L ann 0 0 L L L ann L L
几类非负矩阵特征值反问题
The Inverse Eigenvalue Problem for Several Classes of Nonnegative MatricesA DissertationSubmitted for the Degree of MasterOn computational mathematicsby Tian YuUnder the Supervision ofProf. Wang Jinlin(College of Mathematics and Information Sciences)Nanchang Hangkong University, Nanchang, ChinaJune, 2011摘 要非负矩阵理论一直是矩阵理论中最活跃的研究领域之一，在数学、自然科学的其他分支以及社会科学中都广泛涉及到,例如博弈论、Markov链（随机矩阵）、概率论、概率算法、数值分析、离散分布、群论、matrix scaling、小振荡弹性系统（振荡矩阵）和经济学等等.近年来，特征值反问题是矩阵理论研究的热点，本文将就非负矩阵特征值反问题（NIEP）这一问题进行研究.文章主要研究几类特殊形式的非负矩阵特征值反问题，得到了相关问题的充分必要条件和一些充分条件，进而给出了这几类特殊形式的非负矩阵特征值反问题数值算法，并通过数值算例来验证相关定理的正确性以及算法的准确性.主要工作如下： 第一章是绪论部分，阐述了非负矩阵特征值反问题的重要意义和发展历程，介绍国内外研究现状.第二章，研究非负三对角矩阵特征值反问题.首先对三阶非负三对角矩阵特征值反问题，分几种情形进行讨论，解决了三阶非负三对角矩阵特征值反问题，得到了三阶非负三对角矩阵特征值反问题有解的充分必要条件.然后对n阶非负三对角矩阵特征值反问题，通过非负三对角矩阵截断矩阵特征多项式，并结合Jacobi 矩阵特征值的关系，得到了非负三对角矩阵的特征值的相关性质，并最终解决了非负三对角矩阵特征值反问题.第三章，研究非负五对角矩阵特征值反问题.三阶非负五对角矩阵，即是三阶非负矩阵，文中给出了其特征值反问题有解的充分必要条件，而对于n阶非负五对角矩阵特征值反问题，由于其复杂性，文中仅给出了它的一些充分条件.第四章，研究非负循环矩阵特征值反问题.首先总结了NIEP近些年来取得的研究成果，提出实循环矩阵特征值反问题，并成功解决了实循环矩阵特征值反问题，得到其充分必要条件.最后在实循环矩阵特征值反问题的基础上提出非负循环矩阵特征值反问题，得到了充分条件和相关推论.第五章，根据第二、三、四章的结论给出相关算法和实例.第六章，在总结全文的同时，提出了需要进一步研究的问题.关键词：特征值，反问题，非负三对角矩阵，非负五对角矩阵，非负循环矩阵AbstractThe theory of nonnegative matrices has always been one of the most active research areas in the matrix theory and has been widely applied in mathematics and other branches of natural and social sciences. There are, for example, game theory, Markov chains (stochastic martices), theory of probability, probabilistic algorithms, numerical analysis, discrete distribution, group theory, matrix scaling, theory of small osillations of elastic systems (oscillation marrices), economics and so on. In recent years, the inverse eigenvalue problem comes to be the focus of the matrix theory. This thesis will study the inverse eigenvalue problem for nonnegative matrices (NIEP). The major researches of this theisis focus on the inverse eigenvalue problem for several special classes of nonnegative matrices, the necessary and sufficient conditions and some sufficient conditions of which are derived. Moreover, the numerical algorithms of the inverse eigenvalue problem for these special classes of nonnegative matrices are given, the accuracy of which together with the correcteness of related theories is testified by several numerical examples. The main procedures of this theisis are as follows:In the first chapter, the significance and the development of the inverse eigenvalue problem for nonnegative matrices are addressed, and the research situation home and abroad is introduced.In the second chapter, the inverse eigenvalue problem for nonnegative tridiagonal matrices is studied. First, the inverse eigenvalue problem for 33⨯ nonnegative tridiagonal matrices is solved by discussion of a variety of situations. Moveover ，the necessary and sufficient conditions of the solutions of the inverse eigenvalue problem for 33⨯ nonnegative tridiagonal matrices are derived. Then, the properties of eigenvalue of n n ⨯ nonnegative tridiagonal matrices are derived by characteristic polynomial of truncated matrices of nonnegative tridiagonal matrices, with the combination of the relationship between eigenvalues of Jacobi matrix. Finally, the inverse eigenvalue problem for nonnegative tridiagonal matrices is solved.In the third chapter, the inverse eigenvalue problem for nonnegative five-diagonal matrices is studied. 33⨯ nonnegative five-diagonal matrices is also 33⨯ nonnegative matrices, the necessary and sufficient conditions of the solutions of the inverse eigenvalue problem for which are given in this thesis. For the inverseeigenvalue problem for n nnonnegative five-diagonal matrices, only some sufficient conditions are given because of its complexity.In the fourth chapter, the inverse eigenvalue problem for nonnegative circulant matrices is studied. First, some remarkable conclusions of the inverse eigenvalue problem for nonnegative matrices in recent years are summarized. Then, the inverse eigenvalue problem for real circulant matrices is advanced and successfully solved, the necessary and sufficient conditions of which are given also. Finally, the inverse eigenvalue problem for nonnegative circulant matrices is advanced based on the inverse eigenvalue problem for real circulant matrices, whose sufficient conditions and some relevant conclusions are given.In the fifth chapter, some algorithms and numerical examples are given based on the conclusions derived in the previous three chapters.In the sixth chapter, the summary of the paper is given and the future research work is put forward.Key words: eigenvalue, inverse problem, nonnegative tridiagonal matrices, nonnegative five-diagonal matrices, nonnegative circulant matrices目录第一章 绪论 (1)1.1选题的依据与意义 (1)1.2非负矩阵特征值反问题的研究现状 (2)1.3研究的主要内容 (3)第二章 非负三对角矩阵特征值反问题 (5)2.1引言 (5)2.2三阶非负三对角矩阵特征值反问题 (6)n阶非负三对角矩阵特征值反问题 (24)2.3第三章 非负五对角矩阵特征值反问题 (33)3.1引言 (33)3.2非负五对角矩阵特征值反问题相关结论 (33)第四章 非负循环矩阵特征值反问题 (38)4.1引言 (38)4.2一类特殊矩阵的特征值反问题 (40)4.3非负循环矩阵特征值反问题 (42)第五章 算法设计及实例 (45)5.1非负三对角矩阵特征值反问题算法 (45)5.2非负五对角矩阵特征值反问题算法 (47)5.3实循环矩阵特征值反问题算法 (49)5.4非负循环矩阵特征值反问题算法 (50)第六章 总结与展望 (53)6.1全文总结 (53)6.2工作展望 (53)参考文献 (54)攻读硕士学位期间发表的论文 (57)致 谢 (58)IV第一章 绪论1.1 选题的依据与意义反问题，顾名思义是相对于正问题而言的，它是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘.在数学中有着许多反问题，例如已知两个自然数的乘积，如何求这两个自然数；已知导数，如何求原函数；已知一个角的三角函数值，如何求这个角的度数，等等.近些年来，人们在生活、工业生产、科学探索中经常遇到反问题，对反问题的研究也越来越受到重视.事实上，对于一般问题来说，反问题要比正问题复杂.如前面提到的求角度数问题，已知一个角，求其三角函数值是唯一的，但如果只知道一个角的三角函数值而不对这个角加以约束，这样的角将会有无穷多个，因而反问题的解一般来说不唯一.另外，反问题的解也极不稳定.因此，对反问题的研究主要包括以下几个方面：存在性、唯一性、稳定性、数值方法和实际应用.矩阵特征值反问题（又称代数特征值反问题或逆特征值问题），就是根据已给定的特征值和/或特征向量等信息来确定一个矩阵，使得该矩阵满足所给的条件.矩阵特征值反问题的来源非常广泛.它不仅来自于数学物理反问题的离散化，而且来自固体力学、粒子物理、量子物理、结构设计、系统参数识别、自动控制等许多领域.由于矩阵特征值反问题的应用广泛性，因而自从此类问题被提出来的几十年里，受到了大量学者的深入研究，得到了一系列优秀成果.本文研究的非负矩阵特征值反问题正是在此期间提出来的，它作为矩阵特征值反问题的一个重要分支，尤其是在概率统计、随机分布、系统分析方面有着重要应用.所谓非负矩阵特征值反问题就是根据已给定的特征值信息来确定一个非负矩阵，使得该非负矩阵满足所给的条件.例如在概率统计中提出一类随机矩阵（矩阵的元素行和为1），这类矩阵在Markov链中有着重要应用，假如对矩阵的特征值有某些特殊要求，能否构造和如何构造出此类矩阵？非负矩阵特征值反问题从提出到现在的几十年间，虽然受到了大量学者的研究，但由于其复杂性，目前仍存在大量的疑难问题尚未解决，这也是它吸引众多学者研究的魅力所在.因而从以上可以看出对非负矩阵特征值的研究无论是对数学本身的发展还是对其它科学的发展都有着重要的意义及广阔的前景.1.2 非负矩阵特征值反问题的研究现状非负矩阵特征值反问题的提出始于上个世纪50年代，它是由矩阵特征值反问题抽离出来的一个子问题.1937年，Kolmogorov [1]首先提出了给定一个复数z 何时为某个非负矩阵特征值的问题.1949年，Suleimanova [2]扩展了Kolmogorov 提出的问题，称为非负矩阵特征值反问题（简称NIEP），即寻找以一组复数12{,,,}n σλλλ= 为特征值的n 阶非负矩阵A ，并且假若能够找到这样一个矩阵A ，就说矩阵A 实现了σ.Kolmogorov 问题显然很容易回答，Minc [3]给出了解答，即对于33⨯阶正循环矩阵，总可以找到一个这样的矩阵使得给定的复数z 作为它的特征值.然而NIEP 从提出至今仍未得到很好地解决，为此一些学者首先从NIEP 的必要条件开始研究.Loewy 和Londow [4]、Johnson [5]给出文献[6]中NIEP 的四个必要条件，其中最后一个条件称为JLL 条件.1998年，Laffey 和Meehan [7]又对奇数阶非负矩阵进行了讨论，给出了奇数阶非负矩阵迹为零的JLL 条件.由于一般的n 阶NIEP 无法直接解答，一批学者考虑了低阶矩阵的情形.1978年，Loewy 和Londow [4]完全解决3n =时的NIEP，给出了四个充分必要条件.45n =、时的NIEP，目前只解决了迹为零的情形.1996年，Reams [8]解决了4n =时迹为零的情形，即：令1234{,,,}σλλλλ=为一组复数，假若120,0,S S =≥30S ≥和2244S S ≤(这里的41k k i i S λ==∑)，则必存在一个4阶非负矩阵能够实现σ.1999年，Laffey 和Meehan [9]解决了5n =时迹为零的情形.上面介绍了6n <的情形，然而当6n ≥时，NIEP 却是一个极大地挑战，到目前为止，未见任何形式的解答.虽然NIEP 未曾从正面给出很好的解答，但却吸引大批学者对12{,,}n σλλλ= ，的特殊形式作出深入探讨，这其中包括H.Suleimanova、H.Perfect、R.Kellogg、Salzman、Guo Wuwen 等等.Suleimanova [2]证明0(2,3,,)i i n λ≤= 的σ可被实现的充分必要条件是10ni i λ=≥∑.Kellogg [10]对σ的序列进行分块研究，给出了某些符合要求的分块可被实现.Guo Wuwen [11-12]对已可实现的σ修正做了研究，其中修正后可被实现与σ中最大的数有着密切关系，文献[12]定理3.1的结论尤为重要，它在研究扩展σ可被实现中被广泛引用.另外值得一提的是Ricardo.Soto、Alberto.Borobia、Julio.Moro 三位近十年来在非负矩阵特征值反问题上做了大量深入的研究，文献[13-18]集中反映了他们在这一块的研究成果.上面介绍了NIEP，如果把上面的非负矩阵换成非负对称矩阵，则称为非负对称矩阵特征值反问题（简称SNIEP）；如果把上面的一组复数12{,,}n σλλλ= ，换成一组实数，则称为非负矩阵实特征值反问题（简称RNIEP）.SNIEP和RNIEP都是NIEP的子问题，它们是研究NIEP的重要组成部分，虽然两者研究的都是实特征值，但它们并不完全等价.一般地，当5n≥时，这是两个完全不同的问题.目前，当4n≤时，SNIEP已被完全解决，当5n=时，R.Loewy和J.J.Mcdonald在文献[9]中做了详细的讨论.而当6n≥时，尚无人解决.文献[19-21]给出了SNIEP的相关结论.4n=时的RNIEP已被解决，事实上，Loewy和Londow在文献[4]中给出的NIEP四个必要条件也是4阶RNIEP的充分条件.当5n≥时，目前尚未有所突破.另外，文献[2,10,22,23,24,25]给出了RNIEP的相关结论.随机矩阵和双随机矩阵作为非负矩阵的两种特殊形式，在研究NIEP中有着极为重要的应用，这里把它们归为一类问题，即随机和双随机矩阵特征值反问题.Johnson[26]证明了如果一个非负矩阵A有正Perron根ρ，则存在一个随机矩阵与1Aρ同谱.1981年，Soules[27]给出了一种构造对称双随机矩阵的方法并得到构造对称双随机矩阵的充分条件.以上是NIEP的主要研究的方向，由于NIEP的复杂性和作者的水平限度，可能衍生出更多的小问题，本文没有一一涉及到，在此后面将不再叙述.此外，由于NIEP研究不够成熟，关于它的数值计算目前研究的不多.Robert.Orsi[28]利用交错射影的思想构造出一种迭代方法来计算非负矩阵特征值反问题，但需指出的是这种迭代并不一定会能得出好的结果，仍需要找到好的判定条件.O.Rojo等在文献[29-30]中通过快速Fourier变化巧妙地得到一种构造对称非负矩阵的方法，大大节省计算时间，这种方法通过在Matlab上实现，证明效率是非常高的.目前，国内尚无对此方面的研究的相关文献.从以上可以看出，虽然非负矩阵特征值反问题的研究得到了一定的成果，但仍有大量的问题需要解决，本文将从几类特殊矩阵来探讨此类问题，进一步促进此方向的研究.例如：能否给出非负（对称）三对角矩阵的特征值反问题的充要条件以及如何实现？如何实现非负循环矩阵的特征值反问题？等等.1.3 研究的主要内容本文研究几类特殊形式的非负矩阵特征值反问题，得到了相关问题的充分必要条件和一些充分条件，进而给出这几种特殊形式的非负矩阵特征值反问题算法，并通过数值算例来验证相关定理的正确性以及算法的准确性.主要工作如下：第一章是绪论部分，阐述了非负矩阵特征值反问题的重要意义和发展历程，介绍国内外研究现状.第二章，研究非负三对角矩阵特征值反问题.首先对三阶非负三对角矩阵特征值反问题，分几种情形进行讨论，解决了三阶非负三对角矩阵特征值反问题，得到了三阶非负三对角矩阵特征值反问题有解的充分必要条件.然后对n阶非负三对角矩阵特征值反问题，通过非负三对角矩阵截断矩阵特征多项式，并结合Jacobi矩阵特征值的关系，得到了非负三对角矩阵的特征值的相关性质，并最终解决了非负三对角矩阵特征值反问题.第三章，研究非负五对角矩阵特征值反问题.三阶非负五对角矩阵，即是三阶非负矩阵，文中给出了其特征值反问题有解的充分必要条件，而对于n阶非负五对角矩阵特征值反问题，由于其复杂性，文中仅给出了它的一些充分条件.第四章，研究非负循环矩阵特征值反问题.首先总结了NIEP近些年来取得的研究成果，提出实循环矩阵特征值反问题，并成功解决了实循环矩阵特征值反问题，得到其充分必要条件.最后在实循环矩阵特征值反问题的基础上提出非负循环矩阵特征值反问题，得到了充分条件和相关推论.第五章，根据第二、三、四章的结论给出相关算法和实例.第六章，在总结全文的同时，提出了需要进一步研究的问题.南昌航空大学硕士学位论文 第二章 非负矩阵特征值反问题第二章 非负三对角矩阵特征值反问题2.1 引言在控制论、振动理论、结构设计中经常要求根据已给的特征值/或特征向量来构造矩阵，即是特征值反问题（或特征值逆问题）.三对角矩阵作为一类特殊矩阵，在实际问题中常出现，是研究矩阵理论的一个重要方面，因而有必要对其特征值反问题进行研究.文章的引言部分已给出了非负矩阵特征值反问题的研究现状，可以看出对于非负三对角矩阵的特征值反问题一直缺乏研究，本章将对这一问题进行研究.首先给出如下定义.定义 2.1.1 设n 阶实三对角矩阵形式如下：11112211100n n n n n n x y z x y T z x y z x ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （1）若0(1,2,,)i i y z i n =>= ，则称n T 为Jacobi 矩阵；（2）若0,0,0i i i x y z ≥≥≥，则称n T 为非负三对角矩阵；（3）若0,0i i i x y z ≥=≥，则称n T 为非负对称三对角矩阵；若0,0i i i x y z ≥=>，则称n T 为非负Jacobi 矩阵.非负三对角矩阵特征值反问题：给定一组复数12{,,,}n σλλλ= ，寻找非负三对角矩阵A 以σ为特征值，并且假设能够找到这样一个矩阵，就说矩阵A 实现了σ.下面再给出两个引理.引理 2.1.1[31](广义Perron 定理) 设A 是一个n n ⨯阶非负矩阵.定义Perron 根如下：()max{:()}A A ρλλσ=∈.则()A ρ为A 的特征值，并且其相应的特征向量0x ≥（即向量x 的每个元素均大于等于零）.引理 2.1.2[4] 设123{,,}σλλλ=是一个由复数构成的序列，并且假设σ满足如下条件： （i）13max{:}i i i λλσσ≤≤∈∈； （ii）σσ=；（iii）11230s λλλ=++≥； （iv）2123s s ≤.则σ能被一个非负矩阵A 实现.2.2 三阶非负三对角矩阵特征值反问题设12{,,,}n σλλλ= 是一个由n 个复数构成的序列，文献[6]给出由Loewy 和Londow [4]、Johnson [5]得到的NIEP 四个必要条件，显然这四个条件对非负三对角矩阵特征值反问题也适用，即（i）Perron 根max{:}i i ρλλσσ=∈∈； （ii）σσ=；（iii）定义1(1,2,)nk k i i s k λ===∑ ，则有0k s ≥；（iv）（JLL 条件）1(,1,2,)m m kk m s n s k m -≤= .二阶非负矩阵特征值反问题有如下结论.引理2.2.1 给定两个数12,λλ，则12{,}σλλ=可以被非负矩阵实现的充分必要条件是12,λλ均为实数（不妨设12λλ≥）并且12λλ≥.证明 首先可以证明这两个数是实数.实矩阵的特征值如果是复数（虚部不为零），则会以共轭对的形式出现，不妨将12,λλ设为,(x yi x yi i +-=.假设σ可以被实现，则存在一个非负矩阵A 以12,λλ为特征值.令非负矩阵a c A d b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（,,,a b c d 均大于等于零），则2()acI A a b ab cd d bλλλλλ---==-++---. （2-1） 由式（2-1）知，有1220a b x λλ+=+=≥， （2-2） 2212ab cd x y λλ=-=+. （2-3）由式（2-2）中20a b x +=≥，根据均值不等式的关系知ab 的最大值为2x .而由式（2-3）有222ab x y cd x =++≥，显然当12,λλ是复数时，20,y ab x ≠>，矛盾.故12,λλ不可能是复数.充分性.当12λλ≥时，可以分为两种情形讨论即20λ≥和20λ<.而120λλ==时，显然可以被零矩阵实现.当20λ≥时，σ可以被1200λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦实现.当20λ≤时，可以取定,a b 均大于等于零使得式（2-2）成立，这时120ab cd λλ=-≤，显然可以取无数个均大于等于零,c d 使得式（2-3）成立.这样就存在一个矩阵a c d b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦实现σ. 必要性.由于12λλ≥，故只需证12λλ<时，σ不能被现实即可.当12λλ<时，由式（2-2）有120a b λλ+=+<，而,a b 均大于等于零，矛盾.证毕.引理 2.2.2 给定三个实数123,,λλλ，如果123(2,3),i i λλλλ≥=≥和1230λλλ++≥，则123{,,}σλλλ=可被非负矩阵A 实现.证明 分三种情形讨论.当0(1,2,3)i i λ≥=时，令123000000A λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 可实现σ.当1230λλλ≥≥≥时，令13131313202202200A λλλλλλλλλ+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 可实现σ. 当1230λλλ≥≥≥时，令1231231231230A λλλλλλλλλλλλ⎡+++-⎢=+-++⎢⎢⎢⎥⎣⎦，则A 可实现σ.证毕.定理 2.2.3 给定一组实数12{,,,}n σλλλ= 12()n λλλ≥≥≥ ，1n 表示其中0(1,2,,)i i n λ>= 的个数，2n 表示0(1,2,,)i i n λ<= 的个数.如果12n n ≥且120(1,2,,)i n i i n λλ+-+≥= ，则12{,,,}n σλλλ= 可以被非负三对角矩阵实现.证明 由引理2.2.1知120(1,2,,)i n i i n λλ+-+≥= 时，1{,}(1,2,,i n i i σλλ+-==2)n 可以被一个二阶非负矩阵2(1,2,,)i A i n = 实现，而2210(1,2,,i i n n n λ≥=++)，则22112{,,,}n n n σλλλ++= 可以被非负三对角矩阵22112{,,,}n n n diag λλλ++ 实现.因而12{,,}n σλλλ= ，可以被非负三对角矩阵22211212{,,,,,,,,n n n n diag A A A λλλ++ 12}n n n --0实现，其中12n n n --0表示12n n n --阶零矩阵.证毕.推论 2.2.4 给定一组实数12{,,,}n σλλλ= 12()n λλλ≥≥≥ ，1n 表示其中0(1,2,,)i i n λ>= 的个数，2n 表示0(1,2,,)i i n λ<= 的个数，11{1,2,,}n Γ= 对应的正特征值112222,,,,{1,2,,}n n n n n n λλλΓ=-+-+ 对应的负特征值2212,,,n n n n n λλλ-+-+ .如果12n n ≥，对于2Γ中的每个数j 都能在1Γ中找到一个数i 使得1220(1,2,,,1,2,,)i j i n j n n n n n λλ+≥==-+-+ 且每个i 对应一个j ，则12{,,,}n σλλλ= 可以被非负三对角矩阵实现.推论 2.2.5 给定一组实数12{,,,}n σλλλ= 12()n λλλ≥≥≥ ，1n 表示其中0(1,2,,)i i n λ>= 的个数，2n 表示0(1,2,,)i i n λ<= 的个数，11{1,2,,}n Γ= 对应的正特征值112,,,n λλλ ，222{1,2,,}n n n n n Γ=-+-+ 对应的负特征值2212,,,n n n n n λλλ-+-+ .如果12n n ≥，对于2Γ中的每个数j 都能在1Γ中找到一个数i 使得1220(1,2,,,1,2,,)i j i n j n n n n n λλ+≥==-+-+ 且每个i 对应一个j ，则12{,,,}n σλλλ= 可以被非负对称三对角矩阵实现.定理2.2.6 给定一组实数123123{,,}()σλλλλλλ=≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>，假若123{,,}σλλλ=能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现，则A 中的13,a a 均不能为零.证明 设非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.首先给出矩阵A 的特征多项式.11122231232211133212312132312322111332123121323112212312231100()()()()()()()()()()()a b I A c a b c a a a a b c a b c a a a a a a a a a a a a a b c a b c a a a a a a a a a a b c b c a a a a b c a b c λλλλλλλλλλλλλλλλλ---=-----=-------=-+++++-----=-+++++---++.由根与系数的关系知，有下列成立，123123a a a λλλ++=++， （2-4） 1213231213231122a a a a a a b c b c λλλλλλ++=++--， （2-5）123123122311a a a a b c a b c λλλ=--. （2-6）令123112132321233111,,,d d d b c t λλλλλλλλλλλλ++=++===和222b c t =，显然由3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>知10,0(2,3),0(1,2)i i d d i t i ><=≥=，则式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）可改写成如下：1123d a a a =++， （2-7） 212132312d a a a a a a t t =++--， （2-8） 31231231d a a a a t a t =--. （2-9） 下面用反证法证明13,a a 均不能为零.显然13,a a 不能同时为零，否则式（2-9）不成立.由于式（2-7）、式（2-8）和式（2-9）中的13,a a 是一个对称的关系，故不妨假设10a =.当130,0a a =≠时，有12322312331d a a d a a t t d a t=+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩.（2-10） 由式（2-10）可得133223233//t d a t a a d d a =-⎧⎨=-+⎩. （2-11） 再来分析22313,,,,a a d d λ之间的关系.3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>，由123λλλ≥≥可知20λ>且1232λλλλ++≤.由式（2-10）有23120,a a d λ≤≤<和332d λ>.将213a d a =-带入式（2-11），有2133233()/t d a a d d a =--+. （2-12）将式（2-12）可以看做成2t 关于3a 的函数，对2t 关于3a 进行求导，可得'2213332/t d a d a =--. （2-13）显然'2t 在31(0,]a d ∈上有'20t >，而2t 又是关于31(0,]a d ∈上的连续函数，故2t在31a d =时取得最大值，这时3221d t d d =-+. （2-14） 将12311213232,d d λλλλλλλλλ++=++=和1233d λλλ=带入式（2-14）中，可得32211231213231231213231231231232221232133121231232212123123121232123312()()()()()()2()()()[(d t d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=-+=-+++++-+++++=++-+-+-+-=++-+-+-+=++-+++=1212312332312123132312123)]()[()()]()()()().λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+++-++++=++-+++=++ （2-15）由式（2-15）可知，当130,0a a =≠时，20t <.因为123{,,}σλλλ=能被非负三对角矩阵111222300a b c a b c a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现时，总有11122200t b c t b c =≥⎧⎨=≥⎩，矛盾.因而13,a a 均不能为零.证毕.定理 2.2.7 给定一组全不为零的实数123{,,}σλλλ=123()λλλ≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++=，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现.证明 设非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.同定理2.2.7的证明类似，可以给出矩阵A 的特征多项式，并由根与系数的关系可以得到式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）.对于式（2-4），当1230λλλ++=时，由于0,1,2,3i a i ≥=，可知123a a a ==0=.而123,,λλλ全不为零和3(1,2)i i λλ≥=可知0(1,2)i i λ>=和30λ<.对于式（2-6）左边=1230λλλ<，右边=1231223110a a a a b c a b c --=，左右不相等，矛盾.故123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现.证毕. 定理2.2.8 给定一组实数123123{,,}()σλλλλλλ=≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222000a b A c b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现. 证明 设非负三对角矩阵矩阵111222000a b A c b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.首先给出矩阵A 的特征多项式.11122212221112321212221112321212112212221100()()()()()()()()().a b I A c b c a a a b c a b c a a a a a b c a b c a a a a a b c b c a b c a b c λλλλλλλλλλλλλλλλλ---=----=------=-++----=-++--++由根与系数的关系知，有下列成立：12312a a λλλ++=+， （2-16） 121323121122a a b c b c λλλλλλ++=--， （2-17） 123122211a b c a b c λλλ=--. （2-18）令123112132321233111,,,d d d b c t λλλλλλλλλλλλ++=++===和222b c t =，显然由3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>知10,0(2,3),0(1,2)i i d d i t i ><=≥=，则式（2-16） 、式（2-17）和式（2-18）可改写成如下：112d a a =+， （2-19） 21212d a a t t =--， （2-20） 31221d a t a t =--. （2-21）先讨论12a a =的情形.当12a a =时，由式（2-19）可知1122da a ==，则式（2-20）和式（2-21）可化为：21212/4t t d d +=-， （2-22）1123()2dt t d +=-. （2-23）这里式（2-22）和式（2-23）两式中的12t t +必须相等，因而有231212/4d d d d -=-. （2-24） 将123112132321233,,d d d λλλλλλλλλλλλ++=++==代入式（2-24）中可得到只关于123,,λλλ的方程，即2123123121323123312312132312312333322222123123123123233222221231231232332()/4(),()4()()80,3()3()143()4(()(3)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-++-++=++++-+++++=+++++++++-++++++22333222212312312323322222211232322331232222112323123)0,()()()0,(())()()0,(())()(())0.λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=++-+---+=--++-+--=---+--=上式最终可化为22123123()(())0λλλλλλ----=. （2-25）由式（2-25）知要使得式（2-22）和式（2-23）两式中的12t t +相等，就必须满足1230λλλ--=或22123()0λλλ--=，故可得123λλλ=+或123()λλλ=±-.已知1233,(1,2)i i λλλλλ≥≥≥=和1230λλλ++>，显然无论是123λλλ=+还是123()λλλ=±-均不满足已知条件，因而12a a ≠.下面讨论12a a ≠的情形.结合式（2-19）、式（2-20）和式（2-21）联解，可得 2111312111()2a d a d a d t a d -+-=-， （2-26）21113122111211()()2a d a d a d t a d a d a d -+-=----. （2-27）对于式（2-26）和式（2-27）可以看成12,t t 关于1111(0,)(,)22d da d ∈ 的函数，下面把式（2-26）和式（2-27）分在两个区间上讨论.（i）当11(0,2da ∈时，先讨论1t ，令21111312()H a d a d a d =-+-，实际上1H 就是1t 的分子部分.因为20d <，所以有21211113()2d dH a d a d <-+-.由式（2-14）3210d d d -+<知312d d d <，这样2121111()2d d H a d a <-+.令2122111()2d dH a d a =-+,则在11(0,]2d a ∈上有12H H <.对2H 关于1a 求导，可得'2211111123(23)H a d a a d a =-=-，显然在112(0,)3d a ∈上有'20H >，故在11(0,2d a ∈上有'20H >，因而2H 在11(0,2d a ∈上单调递增，又因2H 在112d a =处有定义，则当112da =时，2H 取得最大值，且22111212112(((4)2228d d d d dH d d d =-+=+. （2-28）由1233,(1,2)i i λλλλλ≥≥≥=和1230λλλ++>可知1232λλλλ++≤，则12d λ≤.将1231d λλλ++=和1213232d λλλλλλ++= 代入式（2-28）中，可得21212222121323222312312132321223121323(4)8[4()]8[()()3()]8[()()3()]80.d H d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=+≤+++=++++++=+++++< 这样，在11(0,)2d a ∈上就有20H <，故1H 在11(0,2da ∈上同样也有10H <.因为在11(0,)2d a ∈上1120a d -<，则有10t >. 下面再来讨论2t .将2t 通分化简，得3221111121232112()2a a d a d d d d d t a d -+-++-=-. （2-29）令32231111121232()H a a d a d d d d d =-+-++-，对3H 关于1a 进行求导，得到'2231111234H a a d d d =-+--.显然在11(0,2d a ∈上，'3H 单调递增，且当10a =时，'3H 取得最小值212d d --.将1231d λλλ++=和1213232d λλλλλλ++=代入212d d --中，前面已说明12d λ≤，因而可得到2212123121323221213232231231223()()()()()()()0.d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--=-++-++>--++=-+-+=-++>由上面可以看到'3H 在11(0,)2d a ∈上有'30H >.因此3H 在11(0,)2da ∈上单调递增，又3H 在10a =处有定义，3123(0)0H d d d =->，故3H 在11(0,2da ∈上有30H >，则2t 在区间11(0,2da ∈有20t <.（ii）当111(,)2da d ∈时，同样先分析1t ，直接对1H 求导可得，'21111223H a d a d =--2111122()()a d a a d =--+. （2-30） 对于式（2-30）中右边第二项有221222221213231223()()()()()0.a d d λλλλλλλλλλλλ-+>-+=-+++=-++>因而在111(,)2d a d ∈上有'10H >,故1H 在此区间上单调递增，又1H 在11a d =处有定义，则在11a d =处取得最大值，即11312()0H d d d d =-<.因此，在区间111(,)2d a d ∈上，有10H <，又1120a d ->，则10t <. 下面再来分析2t .对3H 求导，可得 '2231111234()H a a d d d =-+-+211111123()()a d a a d d d =-+-+. （2-31） 对于式（2-31）中右边第三项有221222()()0d d d λ-+>-+>.因而在111(,)2d a d ∈上有'30H >，故3H 在此区间上单调递增，又3H 在112d a =处取得最小值，即322111*********1121232112123()(2(()2222()24()20.d d d dH d d d d d d d d d d d d da d d d d =-+-++-=-++->-+++-> 因此，在区间111(,)2d a d ∈上，有30H >，又1120a d ->，则20t >. 通过对式（2-26）和式（2-27）在1111(0,)(,)22d da d ∈ 上的分析，可以得出当11(0,)2d a ∈时，120,0t t ><；当111(,)2da d ∈时，120,0t t <>.因而当12a a ≠时，12,t t 无法满足同时大于等于零.这样，以上的推导就证明了不存在非负三对角矩阵111222000a b A c b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=.证毕.定理2.2.9 给定一组实数123123{,,}()σλλλλλλ=≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现，其中123,,a a a 全不为零.证明 设非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，其中123,,a a a 均不为零，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.首先给出矩阵A 的特征多项式.11122231232211133212312132312322111332123121323112212312231100()()()()()()()()()()()a b I A c a b c a a a a b c a b c a a a a a a a a a a a a a b c a b c a a a a a a a a a a b c b c a a a a b c a b c λλλλλλλλλλλλλλλλλ---=-----=-------=-+++++-----=-+++++---++.由根与系数的关系知，有式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）成立.令123112132321233111,,,d d d b c t λλλλλλλλλλλλ++=++===和222b c t =，由3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>知10,0(2,3),0(1,2)i i d d i t i ><=≥=，则式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）可改写成式（2-7）、式（2-8）和式（2-9）.下面分两种情形讨论：13a a =和13a a ≠.（i）当13a a =时.由式（2-8）和（2-9）式分别得到212121323212122t t a a a a a a d a a a d +=++-=+-， （2-32） 2123121a a d t t a -+=. （2-33）显然式（2-32）和式（2-33）都有120t t +>，下面证明两式不可能相等.令23221231111231121211()2a a d a a d a d d f a a a a d a a --+-=+--=-.对于上式中的分子部分，令3241111123()H a a a d a d d =-+-.对4H 求导可得'24111232H a a d d =-+.令'40H =得1a =4H 的两个极值点分别在(,0)-∞和12(,)3d+∞上，因而4H 在区间1(0,2d 单调.因为1212a a d +=，则显然112d a <.当10a =时，43(0)0H d =->.当112d a =时，333111211243(0)()024282d d d d d d d H d =-+->-->.因此在区间1(0,)2d 内无法找到1a 满足41()0H a =，即找不到1a 使得1()0f a =，则式（2-32）和式（2-33）不相等.故当13a a =时，无法找到非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦满足条件. （ii）当13a a ≠时.由式（2-7）、式（2-8）和式（2-9）联解，得 21233231121323231()a a a d d a t a a a a a a d a a ++-=++---， （2-34） 2123323231()a a a d d a t a a ++-=-. （2-35） 将式（2-34）通分可得：2121323*********131()()()a a a a a a d a a a a a d d a t a a ++---+-+=-212332131()a a a d d a a a -+-+=-. （2-36） ①当13a a <时.由式（2-36）可知21233211312121131321121123131()2(2)422.a a a d d a t a a d d a d a a d d d d d d a a a a -+-+=--->----+>=--因为221221213231223222()()()0d d d λλλλλλλλλλλ+<+++=+++<，则10t >. 由式（2-35）有212332323121113231321121123131()42(2)4240.a a a d d a t a a d d d d d a a d d d d d d a a a a ++-=-+-<-++<=<--②当13a a >时.对于式（2-36）分子部分有2221121123321112()(2)0424d d d da a a d d a d d d -+-+>--=-+>.因而10t <.对于式（2-33）分子部分有322112112332312()(2)0424d d d d a a a d d a d d ++-<+=+<.因而20t >.由以上的分析可以得出无论123,,a a a 如何取值均不能满足12,t t 均大于等于零.这样，就证明了找不到一个非负三对角矩阵能够实现123{,,}σλλλ=.证毕.由定理2.2.6、定理2.2.7、定理2.2.8和定理2.2.9可以得出下面的结论. 推论2.2.10 给定一组实数123123{,,}()σλλλλλλ=≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++≥，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现. 推论2.2.11 推论2.2.3、定理2.2.6、定理2.2.7、定理2.2.8、定理2.2.9和推论2.2.10的结论中非负三对角矩阵均可改为非负对称三对角矩阵，结论依然成立.注：推论2.2.10和2.2.11实际上也是对广义Perron 定理[31]一种验证. 定理 2.2.12 给定三个实数123,,λλλ，如果132(2,3),0i i λλλλ≥=≤<，和1230λλλ++≥，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现. 证明 设非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.首先给出矩阵A 的特征多项式.11122231232211133212312132312322111332123121323112212312231100()()()()()()()()()()()a b I A c a b c a a a a b c a b c a a a a a a a a a a a a a b c a b c a a a a a a a a a a b c b c a a a a b c a b c λλλλλλλλλλλλλλλλλ---=-----=-------=-+++++-----=-+++++---++.由根与系数的关系知，有式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）成立.。
数据结构——特殊矩阵
数据结构——特殊矩阵数据结构，特殊矩阵特殊矩阵是一种在计算机科学中常见的数据结构，它是由一组元素组成的二维数组。
特殊矩阵具有特定的属性，使得它们在特定的问题领域中非常有用。
在这篇文章中，我们将介绍几种常见的特殊矩阵，并讨论它们的应用。
首先，我们来讨论对角矩阵。
对角矩阵是指只有主对角线上有非零元素的矩阵。
其他位置上的元素都是零。
对角矩阵可以用于多种计算问题，如线性方程组的求解和矩阵乘法。
由于对角矩阵的特殊结构，它的存储和运算都可以更高效地执行。
其次，我们来讨论上三角矩阵和下三角矩阵。
上三角矩阵是指只有主对角线及其以上的元素都不为零的矩阵，而下三角矩阵则是指只有主对角线及其以下的元素都不为零的矩阵。
这两种特殊矩阵也常用于矩阵运算中，因为它们具有更高效的存储和计算方式。
另一个常见的特殊矩阵是稀疏矩阵。
稀疏矩阵是指其中大部分元素都为零的矩阵。
在很多应用中，矩阵的元素并不是均匀分布的，而是集中在一些特定的位置。
因此，使用传统的二维数组来存储这种矩阵会浪费很多的空间。
稀疏矩阵的一个常见的存储方法是压缩矩阵，只存储非零元素的值和其对应的位置。
最后，我们来讨论特殊矩阵的应用。
特殊矩阵广泛应用于图论、网络分析和科学计算等领域。
在图论中，邻接矩阵是一种常见的特殊矩阵，用于表示图的连接关系。
在网络分析中，PageRank算法使用了特殊矩阵的运算方法，用于计算网页的重要性。
在科学计算中，特殊矩阵的高效存储和计算方式可以大大提高计算效率。
总结起来，特殊矩阵是一种重要的数据结构，它具有特定的结构和属性，使得它们在特定的问题领域中非常有用。
了解特殊矩阵的类型和应用可以帮助我们更好地理解和应用数据结构。
希望本文对读者对特殊矩阵有更深入的了解，并能在实际问题中灵活应用。
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一、对角矩阵 对角矩阵 定义3.8 所有非主对角线元素全等于零的 阶矩阵称为 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为 定义 对角矩阵(diagonal matrix). 对角矩阵
1 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 9 0 0 0 9
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3
a1 0 b1 0 设 A= O O B= an bn 0 0 a1b1 0 则AB = BA = O anbn 0
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二、数量矩阵 数量矩阵 定义3.9 如果 阶对角矩阵所有主对角线元素都相等， 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等 阶对角矩阵所有主对角线元素都相等， 定义 则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵 或标量矩阵(scalar matrix). 则称此矩阵为 阶数量矩阵 或标量矩阵 a 设数量矩阵 a O An= n × O O a 1 当a=1时, 时 对角元全为 1 的对 1 O 角阵称为单位矩阵 角阵称为单位矩阵. E = n O O 1
aij = −a ji ( i , j = 1, 2,L n)
则称矩阵A为反对称矩阵 则称矩阵 为反对称矩阵.
1 0 0 − 0 0 3 例 B= ： 1 − 3 0 2 4 5 − − − 2 4 5 0
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13
而对主对角线上的元素aii = −aii (i = 1, 2,L n) 所以aii = 0(i = 1, 2,L n) 即反对称矩阵的主对角线上的元素都为零
T T T
即A + B是对称阵
与对称矩阵A的乘积 仍为对称矩阵. （2）数k与对称矩阵 的乘积 仍为对称矩阵 ） 与对称矩阵 的乘积kA仍为对称矩阵
T 证明 因为AT = A， 所以（kA） = kAT = kA
即kA是对称阵
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注意 两个同阶对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵. 两个同阶对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵 如
1 3 1 3 − 7 0 − − B= A = , , − − A =− B 2 − 3 2 1 2 7
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12
如果n阶矩阵 满足A 阶矩阵A满足 定义 如果 阶矩阵 满足 T =-A ，即
是一个四阶对角矩阵。 是一个四阶对角矩阵。
a1 1 O a2 2 n阶对角矩阵常记为 阶对角矩阵常记为 O O an n
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1
显然,由主对角元就足以确定对角阵本身 故对角阵常 显然 由主对角元就足以确定对角阵本身,故对角阵常 由主对角元就足以确定对角阵本身 简记为
an a1 a2L1 1 1 an 0 a2L2 2 A = LLL LL 0 0L an n b1 0 1 0 L b1 2 0 2 b2 L B= LLL LL b1 b2 L n b n n n
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例10 设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵。证明： AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB = BA
证明 已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，
⇒
则AT = A，BT = − B
T 因为AB是反对称矩阵，所以（AB） = − AB
而（AB） = B A = − BA
练习2 根据所讨论的特殊形式的矩阵的概念， 指出其有从属关系者.
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四、对称矩阵和反对称矩阵 阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，如果满足A = AT，即
定义
a ij = a ji (i , j = 1 ,2 ,L , n )
称为对称阵 对称阵. 那么 A 称为对称阵
T T T
即kA是反对称阵
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注意:两个同阶反对称矩阵的乘积不一定仍是 注意 两个同阶反对称矩阵的乘积不一定仍是 反对称矩阵.如 反对称矩阵 如
0 1 A = , 1 − 0
0 2 B= , 2 − 0 2 0 − A = B . 2 0 −
例如 0 2 1 -2 0 -1 是一个三阶反对称矩阵 A= -1 1 0
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性质（ ） 对称矩阵A与 的和 的和(差 也是反对称矩阵 性质（1）反对称矩阵 与B的和 差)也是反对称矩阵
证明 因为A = − A， = − B，所以 B
T T T
⇐
那么AB = BA
T （AB） = BT AT = − BA，而AB = BA T 则（AB） = − AB
所以AB是反对称矩阵
例11 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 与反对称阵之和 证明
T
设C = A + A
T T
T
则C = ( A + A
设B = A − A ,
性质
(1)两个同阶对角矩阵的和 或)差仍为对角矩阵 两个同阶对角矩阵的和(或 差仍为对角矩阵 两个同阶对角矩阵的和
(2)数k与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵 数 与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵 (3)两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵 并且 两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵,并且 两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵 他们是可交换的
T T
（A + B） = A + B = − A − B = − A + B） （
T T T
即A + B是反对称阵
（2）数k与反对称矩阵 的乘积 仍为反对称矩阵 与反对称矩阵A的乘积 仍为反对称矩阵. ） 与反对称矩阵 的乘积kA仍为反对称矩阵
证明 由A = − A， 则（kA） = kA = （ − A） −kA k =
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三、三角形矩阵 定义3.10 如果 阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零 阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 定义 则称此矩阵为上三角矩阵 上三角矩阵. 则称此矩阵为上三角矩阵 如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零 阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 如果 阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 则称此矩阵为下三角矩阵 下三角矩阵. 则称此矩阵为下三角矩阵
12 6 1 例如 A = 6 8 0 为对称阵 . 1 0 6
说明 对称阵的元素关于主对角线对称
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性质（ ）对称矩阵A与 的和也是对称矩阵 性质（1）对称矩阵 与B的和也是对称矩阵
证明 因为AT = A， T = B，所以 B （A + B） = A + B = A + B
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显然，A = aEn .当a = 1时，A就是单位矩阵，并且 对任一矩阵B m×n , 有
B aEn ) = a ( BEn ) = aB, （ (aEm ) B = a ( Em B) = aB.
用数量矩阵aE左乘或右乘矩阵Bm×n , 相当于 用数a乘矩阵B
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练习1
1 1 2 − 试 矩 A= 3 0 1 将阵 − 2 3 2 表成称阵反称阵和 式对矩与对矩之.
答: 案 1 1 A (A A )+ (A A ) = + T − T. 2 2
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T
)=A
T
+ A = C,
T T
所以C为对称矩阵 所以 为对称矩阵. 为对称矩阵
则B = ( A − A
T
)
ห้องสมุดไป่ตู้= AT − A = − B ,
所以B为反对称矩阵 所以 为反对称矩阵. 为反对称矩阵
A + AT A − AT C B A= + = + , 2 2 2 2
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命题得证. 命题得证
,a D=diag( a1,a 2,L nn) 1 2
a1 1 详细写出就是 O a2 2 da (a1,a 2,L nn) = ig 1 2 ,a O O an n
这里当然允许对角元等于零. 这里当然允许对角元等于零
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对角矩阵既是上三 角阵又是下三角阵. 角阵又是下三角阵.
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A为n阶上三角矩阵；B为 为 阶上三角矩阵 阶上三角矩阵； 为 n阶下三角矩阵 阶下三角矩阵. 阶下三角矩阵
如果A,B是同阶的上(下)三角形矩阵,则 A+B, AB仍是上(下)三角形矩阵 数k与A的乘积kA仍是上(下)三角形矩阵
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练习1
在下列矩阵中,指出三角阵、对角阵、 数量阵、单位阵：
1 0 0 5 2 A = B=2 3 0 , , 0 4 0 4 1 1 0 0 0 3 0 0 C=0 1 0 0 , D 0 3 0 . = 0 0 1 0 0 0 3