矩阵的概念及几种特殊矩阵
各种矩阵的概念
各种矩阵的概念矩阵是现代数学的一个基本概念，广泛应用于线性代数、微积分、概率论、统计学等领域。
它是由若干行和列组成的一个矩形阵列。
在这篇文章中，我将介绍矩阵的基本概念和一些常见的矩阵类型。
一、基本概念1.1 元素：矩阵中每个所在行列交叉点上的数称为元素。
常用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。
1.2 阶数：矩阵的行数和列数称为矩阵的阶数。
如果一个矩阵有m行n列，记作m×n的矩阵，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。
1.3 主对角线：一个方阵从左上角到右下角的斜线称为主对角线。
1.4 零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
二、特殊类矩阵2.1 方阵：行数和列数相同的矩阵称为方阵。
它可以表示线性变换、线性方程组等。
2.2 对称矩阵：主对角线两侧的元素相等的方阵称为对称矩阵。
如果一个矩阵A 满足A_ij=A_ji，其中A_ij表示第i行第j列的元素，A_ji表示第j行第i列的元素，则称矩阵A为对称矩阵。
2.3 反对称矩阵：主对角线上的元素为零，且A_ij=-A_ji的方阵称为反对称矩阵。
2.4 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为零的方阵称为单位矩阵，用I表示。
例如，3×3的单位矩阵是[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]。
2.5 对角矩阵：主对角线以外的元素全部为零的方阵称为对角矩阵。
例如，一个对角矩阵可以表示特定向量的缩放因子。
2.6 上三角矩阵：主对角线以下的元素全部为零的方阵称为上三角矩阵。
例如，一个上三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线上方。
2.7 下三角矩阵：主对角线以上的元素全部为零的方阵称为下三角矩阵。
例如，一个下三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线下方。
三、矩阵运算3.1 矩阵的加法：相同阶数的两个矩阵相加，只需将对应位置上的元素相加。
3.2 矩阵的数乘：一个矩阵中的每个元素都乘以一个常数，结果仍然是一个矩阵。
矩阵的基本概念
矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。
本文将介绍矩阵的基本概念，包括定义、表示、运算以及特殊类型的矩阵。
一、定义矩阵是一个二维数组，由m行n列的元素构成，示例如下： [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ][a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ][ ... , ... , ..., ... ][aₙ₁, aₙ₂, ..., aₙₙ]其中aₙₙ表示矩阵中第k行第l列的元素。
二、表示矩阵可以用多种方式进行表示，常见的有行向量、列向量、分块矩阵和矩阵方程。
1. 行向量：将矩阵的一行元素写成一个行向量，示例如下：[a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ]2. 列向量：将矩阵的一列元素写成一个列向量，示例如下：[a₁₁][a₂₁][ ... ][aₙ₁]3. 分块矩阵：将一个大矩阵划分为多个小矩阵组成的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂; A₂₁, A₂₂]4. 矩阵方程：将矩阵和向量之间的关系表示为矩阵方程，示例如下：AX = B三、运算矩阵有多种运算，包括加法、数乘、乘法和转置等。
1. 加法：两个矩阵的对应元素相加得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂] [B₁₁, B₁₂] [A₁₁ + B₁₁, A₁₂ + B₁₂][A₂₁, A₂₂] + [B₂₁, B₂₂] = [A₂₁ + B₂₁, A₂₂ + B₂₂]2. 数乘：将矩阵中的每个元素乘以一个常数，示例如下：c * [A₁₁, A₁₂] = [cA₁₁, cA₁₂][A₂₁, A₂₂] [cA₂₁, cA₂₂]3. 乘法：两个矩阵的对应元素相乘然后相加得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂] [B₁₁, B₁₂] [A₁₁B₁₁ + A₁₂B₂₁,A₁₁B₁₂ + A₁₂B₂₂][A₂₁, A₂₂] * [B₂₁, B₂₂] = [A₂₁B₁₁ + A₂₂B₂₁,A₂₁B₁₂ + A₂₂B₂₂]4. 转置：将矩阵的行和列互换得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂, A₁₃] [A₁₁, A₂₁][A₂₁, A₂₂, A₂₃] -> [A₁₂, A₂₂][A₃₁, A₃₂, A₃₃] [A₁₃, A₂₃]四、特殊类型的矩阵矩阵还有一些特殊类型，包括零矩阵、单位矩阵、对角矩阵和方阵等。
关于矩阵的定义和概念教案
关于矩阵的定义和概念教案教案：关于矩阵的定义和概念目标：1. 掌握矩阵的定义和基本概念。
2. 理解矩阵的运算法则和特殊类型的矩阵。
3. 能够应用矩阵进行问题求解和数学模型建立。
教学步骤：1. 引入矩阵的定义和概念（5分钟）- 提问：你们知道什么是矩阵吗？矩阵有什么特点？有哪些概念？- 解释：矩阵是由若干个数按照一定方式排列成的一个矩形数表。
矩阵由行和列组成，按照m行n列的格式表示为m×n矩阵，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。
2. 矩阵的基本概念（10分钟）- 行矩阵：只有一行的矩阵，例如[1, 2, 3]。
- 列矩阵：只有一列的矩阵，例如[1; 2; 3]。
- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作0。
- 方阵：行数和列数相等的矩阵。
- 对角矩阵：非对角元素都为0的方阵。
- 单位矩阵：对角元素都为1，其余元素都为0的方阵，记作I。
3. 矩阵的运算法则（15分钟）- 矩阵的加法：两个矩阵对应元素相加，结果为一个新的矩阵。
- 矩阵的减法：两个矩阵对应元素相减，结果为一个新的矩阵。
- 矩阵的数乘：用一个数乘以矩阵的每一个元素，结果为一个新的矩阵。
- 矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘得到一个新的矩阵C，C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
4. 特殊类型的矩阵（10分钟）- 转置矩阵：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
- 逆矩阵：满足A乘以它的逆矩阵等于单位矩阵的方阵A的逆矩阵。
- 行列式：方阵A的行列式用det(A)表示，用于求解方程组和计算矩阵的逆矩阵。
5. 应用矩阵进行问题求解和数学模型建立（20分钟）- 实际问题：用矩阵表示线性方程组，利用矩阵的运算法则求解方程组的解。
- 数学模型：利用矩阵表示线性变换，通过矩阵的乘法和逆矩阵求解线性变换的特征和性质。
6. 小结与练习（10分钟）- 小结：总结矩阵的定义和基本概念，矩阵的运算法则和特殊类型的矩阵。
- 练习：通过练习题加强对矩阵的理解和应用能力。
2.1 矩阵的概念
与另外 m 个变量
P29 例3
之间存在如下的线性关系：
线性变换的系数可构成矩阵
A ( a ij ) m n .
线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系.
16
§2.1 矩阵的概念 第 附：图像举例 二 章 矩 阵
30 33 37 40 48 58 53 52 65 64 71 69 62 68 76 67 74 86 88 70 58 48 37 33
a a 0 (?) aI a n n
0
11
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵
1
2
0
0
记为 Λ diag ( 1 , 2 , , n ) . n n n
a11 a12 a 21 a 22 (A b) am1 am 2 a1 n a2 n am n b1 b2 bm
称为方程组的增广矩阵. 15
§2.1 矩阵的概念 第 例 二 章 矩 阵 线性变换是指 n 个变量
数表内部 进行操作
4
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 定义 由 m×n 个数 ai j 排成的 m 行 n 列的数表 矩 阵 P26
定义 2.1 记为
A 或者
Am n
称为 m×n 阶矩阵，简记为 A
(a i j )mn
或
(a i j ) .
5
补
数表
第2章 矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n n n ≠≠=得不到由,.............. (2122221)11211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵，记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵 、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵 1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nn n n n n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算1.矩阵的加法CB A B A b a cC n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设 ，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A k kA 111))(3(---=AB AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律 A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T A B AB =))(3(T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n A A n )2())(3(2≥=-**n A A A n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T T T T D BC AD C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O BC O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A EBA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵的初等变换及相关概念1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去（4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）（5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位鞠振宁经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P )()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E k E k E E E ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A E A B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~r E PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A六、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关矩阵的概念及运算题型二、求方阵的幂n A数学归纳法思路，可用相似对角化来求个线性无关的特征向量有，当思路可用二项式定理展开则且，能分解成两个矩阵的和，若思路律就可很方便地求出个矩阵的乘积，用结合能分解为一列与一行两则，若思路,43)(,2,1)(1nn n nA n A CB A CB BC C B A A A A A r +==+== 题型三、求与已知矩阵可交换的矩阵题型四、有关初等变换的问题题型五、关于伴随矩阵的命题题型六、矩阵可逆的计算与证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B A E E A A E E A A AA EBA E AB B 111-1-1-1-1114)()();()(3121，，分块矩阵法思路，初等变换法思路，伴随矩阵法思路或使，定义法，找出思路 题型七、求解矩阵方程为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A B A r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===。
矩阵知识点
矩阵知识点(总10页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--矩阵定义 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。
简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。
记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E ) 3．正交矩阵定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。
定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则(1)或(2)(3) 也是正交矩阵 (4)也是正交矩阵。
定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。
注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
E A A T=A 1=A 1-=A TA A =-1)(1TA A 即-AB ⇔1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。
特殊矩阵知识点总结归纳
特殊矩阵知识点总结归纳一、特殊矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，它是一个按照矩形排列的数的集合。
特殊矩阵是指具有特殊性质的矩阵，这些特性可以是对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、正交矩阵等。
1. 对角矩阵对角矩阵是一种形式特殊的矩阵，它的非对角元素都是零。
具体来说，一个n×n的矩阵A 是对角矩阵，当且仅当a_ij=0，i≠j。
对角矩阵的特点是计算简单，特殊类型的特殊矩阵可以大大简化计算过程。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊矩阵的一种。
上三角矩阵是指所有主对角线以下的元素都为零的矩阵，而下三角矩阵是指所有主对角线以上的元素都为零的矩阵。
这两种矩阵的特点是对称性很强，可以简化矩阵的运算过程。
3. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它满足a_ij=a_ji。
也就是说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵具有许多特殊的性质，比如它的特征值都是实数，对应不同的特征值的特征向量是正交的等。
4. 正交矩阵正交矩阵是指满足Q^T·Q=I的方阵Q，其中Q^T表示Q的转置矩阵，I表示单位矩阵。
正交矩阵的特点是它的列向量是正交的，也就是说，Q^T·Q=I意味着Q的列向量正交。
正交矩阵在旋转、变换等领域有着广泛的应用。
二、特殊矩阵的性质特殊矩阵具有许多特殊的性质，这些性质使得它们在科学计算、工程学和物理学等领域中有着广泛的应用。
1. 对角矩阵的性质对角矩阵的特点是它的非对角元素都是零，这使得它的计算非常简单。
对角矩阵的特征值就是它的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
此外，对角矩阵具有可逆性，只要对角线上的元素不全为零，对角矩阵就是可逆的。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的性质上三角矩阵和下三角矩阵都具有可逆性，只有主对角线上的元素不为零，它们就是可逆的。
此外，上三角矩阵和下三角矩阵的特征值就是它们的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
矩阵(Matrix)的定义
a11 a12
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
amn
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
第二节 矩阵的运算
主要内容
矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 方阵的幂
矩阵乘积的意义 矩阵的转置 方阵的行列式
一、矩阵的加法
1.定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩 阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
2.矩阵加法的运算规律
a, b, c R
设 A、B、C 是同型矩阵
交 换 abba 律
A(B C) AB AC (B C)A BA CA
(iv) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即
Em Amn Amn En A
推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何
同阶方阵都是可交换的.
(l En ) An l An An (l En )
纯量阵不同 于对角阵
1 2 4 3 9 8 5 2 , 4 2 1 0
1 2 3 0
9
8
.
5 1
3
5
行列式
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为
零矩阵, m n 零矩阵记为 Ｏm n , 在不会引起
混淆的情况下, 也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用：类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
2.对角矩阵
3 0 0
diag(132,), 0 1 0 .
0
0
2
对角矩阵
3.数量矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
a 0 0 A 0 a 0 。
0 0 a
数量矩阵是特殊的对角矩阵： a11a22anna。
下页
4.单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或 I,
或 En 或 E。
1 0 0 0 1 0 I 。 0 0 1
单位矩阵是特殊的数量矩阵： a单1位1矩a2阵2的作用an：n类a似1于。数字“1”的运算。
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5.对称矩阵
如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵，即n 。
a1n a2n ann
在对称矩阵中，有aijaji。
例如，矩阵
1 1 1 0
和
都是对称矩阵。
103 0 2 1 3 1 3
一、基本概念
定义 由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am 2 amn
称为m行n 列矩阵，简称m n 矩阵. 记作
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).
如
a 11
B
a 21
.
a m 1
3 .同型矩阵
矩阵 A = ( aij )m×n 与 B = ( bij )p×q ,如果满足m = p 且 n = q , 即这两个矩阵行数相等，列数也相等, 则称这两个矩阵为同型矩阵.
4 .两个矩阵相等 定义 两个同型矩阵 A = ( aij )m×n 与B = ( bij )m×n ,
关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同;
行列式是一个 数值. 例 如
5×2
1 2 4 3
1 2 3 0
矩阵
9 8 5 2 9 8
4
2
1
0
5 1
3 5
３×４矩阵
二、几个常用概念
1.n阶方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵． 例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
.
an1 an2 ann
n×n 矩阵
A 称为 n n 方阵, 常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵,
简记为 A= ( aij )n 或 An
2 .行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如
A = ( a11 , a12 , … , a1n ).
(1)
am1 am2 amn
这 m n 个数叫做矩阵的元素, 数aij 位于矩阵 A 的
第 i 行第 j 列, 称为矩阵A的(i ,j)元.
以数aij 为 (i ,j) 元的矩阵简记为( a ij ) 或 (aij )mn ,
mn 矩阵A也记作 Amn .
（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) .
如果对应元素相等, 即 aij = bij , i = 1,2, … , m , j = 1, 2, … , n ,
则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 记为 A = B .
例如
3 1
4
2
与
5 6
a b c d e f
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
主对角线上的元素不全为零, 其余的元素全为零 的方阵称为对角矩阵. 如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即
aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 Λ= diag( a11 , a22 , … , ann ).例如