高考数学1几种特殊的矩阵变换专题1

高考数学1几种特殊的矩阵变换专题12020.031,圆221x y +=在矩阵10102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下的结果为 ．2,当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设： （1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%； （2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n 年时，兔子数量n R 用表示，狐狸数量用n F 表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有1000=R 只，狐狸数量有300=F 只。

请用所学知识解决如下问题：（1）列出兔子与狐狸的生态模型； （2）求出n R 、n F 关于n 的关系式；（3）讨论当n 越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。

3,在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是32.，每次命中与否互相独立.(1) 求油罐被引爆的概率.(2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望4,在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD上一点，3BE ED =，以{},,AB AC ADu u u r u u u r u u u r 为基底，则GE =u u u r___5,设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． 求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．6,已知变换A ：平面上的点P （2，－1）、Q （－1，2）分别变换成点P 1（3，－4）、 Q 1（0，5）（1）求变换矩阵A ；（2）判断变换A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，说明理由．7,两个人射击，甲射击一次中靶概率是21，乙射击一次中靶概率是31，（Ⅰ）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？（Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？（Ⅲ）两人各射击5次，是否有99％的把握断定他们至少中靶一次？8,如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．（Ⅰ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的余弦值以及BA 1与面C 1EF 所成的角的大小．9,设矩阵3122132M ⎤-⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵是1a b M c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a c +的值为 10,在矩阵1021⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下，点A （2，1）将会转换成 ． 11,在下列四个命题中：①已知A 、B 、C 、D 是空间的任意四点，则=+++；②若{,,}为空间的一组基底，则{+++,,}也构成空间的一组基底；③|||||||)(|c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅；④对于空间的任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若OC z OB y OA x OP ++=（其中R z y x ∈,,），则P 、A 、B 、C 四点共面． 其中是真命题的有 （填序号）12,一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是13,一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则==)12(X P ____________________（只需列式，不需计算结果）．答案1,2241x y +=2, 解：⑴)1(85.01.015.01.11111≥⎩⎨⎧+=-=----n F R F F R R n n n n n n …⑵设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n n F R α，⎢⎣⎡=1.01.1M⎥⎦⎤-85.015.0 ∴)(21--==n n n M M M ααα=……=∞αnM又矩阵M 的特征多项式1.01.1)(--=λλf 85.015.0-λ=)95.0)(1(95.095.12--=+-λλλλ令0)(=λf 得：95.0,121==λλ特征值11=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=231α 特征值95.02=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112α且2101107011110237030100ααα-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∴2211011070αλαλααnn n n M -===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡•-•-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡•-⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n 95.011014095.01102101195.01102370∴⎪⎩⎪⎨⎧•-=•-=n n n n F R 95.011014095.0110210⑶当n 越来越大时，n95.0越来越接近于0，n R ,n F 分别趋向于常量210,140。

即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。

3, 解：（1）“油罐被引爆”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则P(A )=C5415313132⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛∴P(A)=1-2432323131325415=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛•C答：油罐被引爆的概率为232243（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5，P(ξ=2)=94322=⎪⎭⎫⎝⎛， P(ξ=3)=C27832313212=...，P(ξ=4)=C274323132213=⎪⎭⎫ ⎝⎛..， P(ξ=5)=C913131324314=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛.故ξ的分布列为：E ξ=2×94+3×278+4×274+5×91=2779.4, --3114123AD AB ACu u ur u u u r u u u r5, 解：．1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y += 6, 解：假设所求的变换矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ， 依题意，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4312 及⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5021即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=-=-52024232d c b a d c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===2112d c b a 所以所求的变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2112A 。

（2）A 可逆121551255A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦7, 解：（Ⅰ）共三种情况：乙中靶甲不中313221=⋅； 甲中靶乙不中613121=⋅；甲乙全613121=⋅。

∴概率是32316161=++。

（Ⅱ）两类情况:共击中3次61)31()31()21()21()32()31()21()21(0222111*********=⨯+⨯C C C C ；共击中4次361)32()31()21()21(02220222=⨯C C ， 36736161=+∴概率为．（III ）0505551212421()()10.9923243243C C -=-=>，能断定.8,解：（1）以A 为原点，直线AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，且x DF =，则)0,1,0(),0,0,1(),000()1,0,0(1D B A A ，，， )0,1,(),0,21,1()1,1,0(),1,0,1(11x F E D B 于是)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(11x AF AB E D ==--=由D AB D F AB E D ⊥⊥⇔⊥11111且面 于是00111=⋅=⋅D AB D 与，可解得21=x所以当点F 是CD 的中点时，F AB E D 11平面⊥（2）当F AB E D 11平面⊥时，F 是CD 的中点，)0,1,21(F平面AEF 的一个法向量为)1,0,0(=而在平面C 1EF 中，)0,21,21(),1,21,0(1-==EF EC 所以平面C 1EF 的一个法向量为)1,2,2(-=31,cos ->=<n m ，又因为当把,都移向这个二面角内一点时，背向平面AEF ，而指向平面C 1EF故二面角C 1―EF ―A 的余弦值为13-又)1,0,1(1-=, >=<BA ,cos 122-, 所以01135,>=<BA∴BA 1与平面C 1EF 所成的角的大小为045．9,1 2210, （2，5）11, ①②12, 3213,210911)85()83(C。