第四章特殊变换及其矩阵
第四章 矩阵·行列式·线性方程组
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）
2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
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第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
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第四章
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
第四章特殊变换及其矩阵
或
QT AQ = Q- 1 AQ = B
则称 A 酉相似（或正交相似）于 B 。
定义2 酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个
正规变换，如果存在 V的标准正交基 ε1,ε2 ,L , εn 及对角矩阵 D º diag(d1,d2 ,L , dn ) 满足
U3U H U2U H (UU H )2
因此
3
2 ，即
3 i
2 i
，故 i 0 或 1.
从而 2 ，故
A2 U2U H UU H A.
课后思考
1、实正规矩阵是否正交相似于实 对角矩阵？
2、实正规矩阵是否正交相似于复 对角矩阵？
3、实正规矩阵正交相似于什么 样的“简单”矩阵？
(η1,η2 ,L , ηn ) = (ε1,ε2 ,L , εn )U
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵（请试试自己证明一下）
因为 (η1,η2 ,L , ηn ) B
= (T (η1 ), T (η2 ),L , T (ηn )) = (T (ε1 ), T (ε2 ),L , T (εn ))U = (ε1,ε2 ,L , εn ) AU = (η1,η2 ,L , ηn )U H AU 所以 B = U H AU ，结论成立。
| ti i |2 | ti n |2 | t1i |2 | ti i |2 当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 | t1 n |2 | t11 |2
可知 t1 j 0 ( j 2, 3, , n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 (i j) ，证毕。
高等数学第四章课件-初等矩阵
类似地, 类似地, ⎛ A ⎞ P −1 ⋯ P −1 P −1 ⎜E ⎟ l 2 1 ⎝ n⎠ ⎛ APl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎞ =⎜ E n Pl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ En ⎞ = ⎜ −1 ⎟ ⎝A ⎠
A 施 行 初 等列 变 换 ， 即 对 2n × n 矩 阵 E −1 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A .
R( A) = R( B ).
⎛ 1 0 −1 ⎞ 例2 将可逆矩阵 A = ⎜ −2 1 3 ⎟ 表成若干初等 ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 矩阵的乘积. 矩阵的乘积. ⎛ 1 0 −1 ⎞ 左乘P (2,1(2)) ⎛ 1 0 −1 ⎞ → 解: A = ⎜ −2 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 −1 ⎞ 右乘P (1,3(1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,1( −3)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ → → ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0 ⎞ 右乘P (2,3( −1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,2(1)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 0 ⎟ → → ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 0 0⎞ 左乘P (3( )) 6 ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⋱ ⎟ 1 ⎜ ⎟ P ( i ( c )) = ⎜ ⎟ c ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
←第i 行
第i列
倍法矩阵 (倍法矩阵 倍法矩阵)
( 3 )以 数 k 乘 某 行 ( 列 )加 到 另 一 行 ( 列 )上 去 以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( krj + ri ) 以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( kci + c j )，
高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ,B ,有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=,则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=,因此A 可逆,且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则,A B 的秩一个等于n ,一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵,若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭,有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵,若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形,矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆,则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠,又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆,且11(*)||A A A -=. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵,则.**)*(A B AB =正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆,两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB =二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵,B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是B .A AB BA - B AB BA +C 2()ABD BABAD 为对称矩阵,B 为反对称矩阵,C 当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵,那么 A 是对称矩阵. A T A A B T A A - C 2A D T A A - 3．以下结论不正确的是 C .(A) 如果A 是上三角矩阵,则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵,则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵,则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵,则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零,则下列结论正确的是BA AB 的第j 行元素全等于零； B AB 的第j 列元素全等于零；C BA 的第j 行元素全等于零；D BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵,E 为n 阶单位阵,则以下命题中正确的是D A 222()2A B A AB B +=++ B 22()()A B A B A B -=+-C 222()AB A B =D 22()()AE A E A E -=+- 6．下列命题正确的是B . A 若AB AC =,则B C = B 若AB AC =,且0A ≠,则B C = (C) 若AB AC =,且0A ≠,则B C = D 若AB AC =,且0,0B C ≠≠,则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则 B. (A)当m n >时,必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时,必有行列式0AB = (C)当n m >时,必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时,必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵,当m n >时,(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<,所以0AB =.8．以下结论正确的是 C(A)如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B)如果矩阵A 满足20A =,则0A =；(C)n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D)对任意方阵,A B ,有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量,1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵,已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ,则方程组*0A x =的基础解系为 C .A 123,,ααα.B 122331,,αααααα+++.C 234,,ααα.D 12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此A,B 中向量组均为线性相关的,而D 显然为线性相关的,因此答案为C.由可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵,A 适合下列条件 C 时,n I A -必是可逆矩阵(A) n A A = B A 是可逆矩阵 C 0n A = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是 D(A)1A = B 0A = C T A A = D 0A ≠12．,,A B C 均是n 阶矩阵,下列命题正确的是 A(A) 若A 是可逆矩阵,则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵,则必有AB BA = (C) 若0A ≠,则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠,则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,若ABC E =,则有C (A) ACB E = B BAC E = C BCA E = D CBA E =14．A 是n 阶方阵,*A 是其伴随矩阵,则下列结论错误的是 D (A) 若A 是可逆矩阵,则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵,则*A 也是不可逆矩阵； (C) 若*0A ≠,则A 是可逆矩阵； Ｄ*.AA A = 15．设A 是5阶方阵,且0A ≠,则*A = Ｄ(A)A B 2A C 3A D 4A16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵,则*A A 中位于(,)i j 的元素为ＢA 1n jk ki k a A =∑ B 1n kj ki k a A =∑ C 1n jk ik k a A =∑ D 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式,则C(A)A 是B 的伴随 B B 是A 的伴随 C B 是A '的伴随 D 以上结论都不对18．设,A B 为方阵,分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = Ｃ (A)**00A CB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B **00A A C B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C **00B AC A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,下列运算可行的是 C (A) A B + B A B - C AB D AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵,C 是n 阶矩阵,那么 D21．对任意一个n 阶矩阵A ,若n 阶矩阵B 能满足AB BA =,那么B 是一个 Ｃ(A)对称阵 B 对角阵 C 数量矩阵 D A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵,且0A =,那么A 的主对角线上的元素 Ｃ(A) 全为零 B 只有一个为零（C ） 至少有一个为零 D 可能有零,也可能没有零23．设1320A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则1A-= D(A)121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦B131136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C131126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦D121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24．设111222333a b cA a b ca b c⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,若111222333222a c bAP a c ba c b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则P= B(A)100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n≥阶矩阵1111a a aa a aA a a aa a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,若矩阵A的秩为1,则a必为A(A)1 B-1 C11n-D11n-矩阵A的任意两行成比例.26. 设,A B为两个n阶矩阵,现有四个命题:①若,A B为等价矩阵,则,A B的行向量组等价;②若,A B的行列式相等,即||||,A B=则,A B为等价矩阵;③若0Ax=与0Bx=均只有零解,则,A B为等价矩阵;④若,A B为相似矩阵,则0Ax=与0Bx=解空间的维数相同.以上命题中正确的是 DA ①, ③.B ②, ④.C ②,③. D③,④.当APPB1-=时,,A B为相似矩阵;相似矩阵的秩相等;齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数;三、填空题1．设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,有2A =,则11()2*3A A --=11*||2A A A A --==,111()33A A --=,因此11111311()2*34(1)32A A A A A A ------=-=-=-=-. 2．设,AB 为4阶方阵,且3A =,则1(3)A --= 1/27 , 21BA B -= 9 ; 3．设A 是一个m n ⨯矩阵,B 是一个n s ⨯矩阵,那么是()'AB 一个s m ⨯阶矩阵,它的第i 行第j 列元素为1njk ki k a b =∑.4.n 阶矩阵A 可逆A 非退化 ||0A ≠⇔ A 与单位矩阵等价 ⇔ A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积 .4.三阶对角矩阵000000a A b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 的伴随矩阵*A = 000000bc ac ab ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设123023003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则*1()A -=16A . 6．设0,1,2,i a i n ≠=,矩阵12100000000000n na a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为 111121100000000000n n a a a a -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 7．设,A B 都是可逆矩阵,矩阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．设121331,,342424A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则(2)B A C -= ． 9．A 既是对称矩阵,又是反对称矩阵,则A 为 零 矩阵.10．设方阵111222333b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111222333b y c B b y c b y c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且2,3A B =-=则行列式A B += 4 .11．设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,已知,A a B b ==,则行列式00A B=ab mn )1(-.将A 的各列依次与B 的各列交换,共需要交换mn 次,化为00A B12．设A 为n 阶方阵,且0A ≠,则 在A 等价关系下的标准形为 n 阶 单位矩阵 .13. 设12221311A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭a为某常数,B 为43⨯的非零矩阵,且0BA =,则矩阵B 的秩为 1 .由0BA =可得A 的各列为齐次线性方程组0Bx =的解,A 的前两列线性无关,因此0Bx =的基础解系至少有两个解,因此()1r B ≤.又B 为非零矩阵,因此()1r B ≥.即() 1.r B =四、解答下列各题 1．求解矩阵方程1 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2 211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭; 3 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;4 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：11254635462231321122108X -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 212111132212104328/352/3111X --⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭2．设033110123A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2AB A B =+ ,求B 解：(2)A E B A -=.0332002332110020110123002121A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22A E -=,因此2A E -可逆.3．.设1P AP -=Λ,其中1411P --⎛⎫= ⎪⎝⎭,1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭,求11A . 解：1,A P P -=Λ4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-,证明：2A E -可逆,并求其逆. 证明：124A B B E -=-两边同左乘以A 得到24B AB A =-.因此有(2)4A E B A -=.由A 可逆可得2A E -,且111(2).4A E BA ---=5．设A 是一个n 级方阵,且()R A r =,证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.证明：()R A r =,因此矩阵A 可以经过一系列行初等变换化为后n r -行全为零.也即存在初等矩阵11,,,m P P P ,使得21m P P P A 后n r -行全为零. 21mP P P P =,则PA 的后n r -行全为零.由矩阵乘法运算可得1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯,且,m n AB E <=,证明：A 的行向量组线性无关. 证明：由,m n AB E <=可得()()m r AB r A m =≤≤,因此()r A m =.因此A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵,证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是0.AB BA +=证明：当B A +时幂等阵时, 因此0.AB BA +=反之,当0.AB BA +=时有 B A +是幂等矩阵.。
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
矩阵理论第四章
1. Hermite 矩阵的谱分解
设 A 为 Hermite 矩阵，则存在酉矩阵 U ，使
1
O
U H AU
2
.
O
n
将U 写成列向量形式，即U u1 u2 ... un ，则
2. 非奇异矩阵的酉对角分解
定理 5.5.1 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 则存在 n 阶酉矩阵U 及V ，使得
A( 2 )
L-21A(1 )
0
a( 0 ) 12
a( 1 ) 22
0
a( 0 ) 13
a( 1 ) 23
a( 2 ) 33
a( 2 ) n3
a( 0 1n
a(1 2n
) )
a( 2 3n
)
a( 2 nn
)
即 A(1) L2 A( 2 )
依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
则
A
的
r
阶顺序主子式 r
于是
A
P1
E 0
mr
E
0 Q1. rn
记
P
1
E 0
F
,E
0Q1 G.
则 F 为列满秩矩阵， G 为行满秩矩阵,得
A FG .
证毕
显然,满秩分解是不唯一的.
事实上 D Crrr （ r 阶可逆方阵），
则 A FG F (DD-1)G (FD)(D-1G) F1G1，
且 F1 Crmr ,G1 Crrn .
第四章 矩阵分解
所谓矩阵分解，就是将一个矩阵写 成结构比较简单的或性质比较熟悉 的另一些矩阵的乘积．
即可将 A0 第 1 列上从第 2 到第 n 个元素全化为零．
得
a(0) 11
人教版B版高中数学选修4-2：几类特殊的矩阵变换_课件2
0
k
来表示。
例如：在平面直角坐标系中，以（ 0 ， 0 ）， （ 0 ，
1 ）， （ 1 ， 0 ）， （ 1 ， 1 ）四点为顶点的正
方形，在矩阵
2 0
0 2
的作用下的象是什么？
解：在这一变换中，正方形的四个顶点的象分别为 （ 0 ， 0 ）， （ 0 ， 2 ）， （ 2 ， 0 ）， （ 2 ， 2 ），所以原来的正方形变换成为一个以（ 0 ， 0 ）， （ 0 ， 2 ）， （ 2 ， 0 ）， （ 2 ， 2 ）为 顶点、边长为2的正方形。
0 0
01 几类特的矩阵变换学习目标1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换。 2.掌握恒等、反射、伸压、旋转、投影变换的矩 阵表示。 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性 变换，并知道二阶矩阵对应的变换往往将直线变成 直线。
知识导入
在学习平面几何知识的过程中，我们接触了平 移、旋转、对称、伸缩等变换，这些变换都具有非 常鲜明的特点。事实上矩阵中也存在类似的变换， 主要包括恒等变换、反射变换、伸压变换、旋转变 换、投影变换，等等。下面我们一起来认识一下。
旋转变换的矩阵特征
旋转变换可以用二阶 来表示。
矩阵
cos sin
sin
cos
如： 点（1，1）在矩阵
cos sin
2
2
sin
2
cos
2
作用下
的象为（-1，1），即为点（1，1）围绕原点按逆 时针方向旋转90度所得点的坐标。
1 02 2
0
1
1
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A A
T
推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足 关系式
AH A
既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实
对称矩阵与什么样的变换对应呢？
设 T 在酉空间 V 的一组标准正交基 下的矩阵表示为 A 且 A H A 。
任取
1 , 2， ， n
、 V
，设
= (1 , 2， ， n ) x, = (1 , 2， ， n ) y
, un ) ( Au1 ,
, Aun ) (1u1 ,
, nun )
充分性。若 A 有 n 个两两正交的单位特征向量
u1 ,
, un ，取 U ( u1 ,
, un ) 即可。
正规矩阵的谱分解
H U UH AU AU U 1 AU
A UU 1G1 2G2
（1）实对称矩阵（ A A ）；
T
（2）实反对称矩阵（ AT A ）；
（3）正交矩阵 （A A
T H 1
）；
天下英雄尽 入吾彀矣！
（4）酉矩阵（ AH A1 ）； （5）Hermite 矩阵（
A A ）；
H
（6）反Hermite 矩阵（ , a R or C 的矩阵。 1 1
二、正规矩阵的等价定义
定理 4 ( Schur 引理 ) 任何复方阵 A 必酉相似于 一个上三角阵
T 。即存在酉矩阵 U H U AU = T .
H
，使
并称
A = UTU
为方阵 A 的Schur分解。
100多年前(1909年) Schur给出的Schur 引理是矩阵理
论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在
, un ) ( Au1 ,
, Aun ) (1u1 ,
, nun )
充分性。若有 U H AU ，显然可验证
AH A AAH
定理10
方阵 A 是正规的，当且仅当 A 有 n 个
两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特 征子空间相互正交（完备正交系）。 证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉 矩阵 U ( u1 , , un ) 及对角阵 diag(1 , , n ) 使得 U H AU 因此 A( u1 , ，即 AU U
(T ( ), ) ( , T ( )) .
T 为 V 上的 反Hermite 变换（或反对称变 换），并称 T 在 V 的任意一组标准正交基下的矩
则称 阵表示为反Hermite 矩阵（反对称矩阵）。
定理 4
酉空间（或欧氏空间） V 上的线性变
换 T 是 反Hermite 变换（或反对称变换）的充要
定理 8 与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵。
证明：如果存在酉矩阵 U ，使得 B = U - 1 AU ，则
BBH = (U - 1 AU )(U - 1 AU ) H
= U - 1 AUU H AHU H
= U - 1 AAHU -
H
= U - 1 AH AU -
H
= U H AH AU
= U H AH (U - 1 ) H U - 1 AU = (U - 1 AU ) H (U - 1 AU )
§2、Hermite变换及Hermite矩阵
单从变换的角度我们很难把Hermite变换 （对称变换）与正规变换联系起来，但从 Hermite矩阵（对称矩阵）的定义，或者 从Hermite矩阵（对称矩阵） 都可对角化 上却能找到两者的关联，这似乎可以作为 数学的“奇异美”的一个例证。
我们知道，实对称矩阵 A 满足关系式
H
nGn
u u u u
H 1 1 1 H 2 2 2
u u
H n n n
1 1 1 1 i 1 1 i A (1 i ) (1 i ) 2 i 1 2i 1 1 1
注意这里矩阵的特征值为复数
则称
，使得
U H AU = U - 1 AU = B
QT AQ = Q- 1 AQ = B
A 酉相似（或正交相似）于 B
。
酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个 正规变换，如果存在 V 的标准正交基 ε1 , ε2 , L , εn 定义2
及对角矩阵
D º diag(d1, d2 , L , d n )
| t1 n |2 | t11 |2
, n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 ( i j ) ，证毕。
定 理 5 的 证 明
必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉 矩阵 U 及对角阵 D ，使得 A UDU H 因此 AAH (UDU H )(UDU H ) H UDDU H
的任意一组标准正交基下的矩阵
A 满足
A A ( A A)
H T
即 A 是Hermite矩阵。
证明：
必要性。
设 T 在 V 的一组标准正交基
1 , 2， ， n 下的矩阵表示为 A (ai j ) 。
(T ( i ), j ) (a1 i1 a2 i 2
an i n , j )
两方阵 A, B 互逆的条件是成立关系式
AB BA I .
从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制， 那么两矩阵是可交换矩阵。
联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两
矩阵互为转置，即要求成立 AAT AT A ，情况又如 何？
显然对称矩阵 ( AT A) 和反对称矩阵 ( AT A) 都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具
S ( I A)( I A)
是正交矩阵。
1
证明： 因为 AT A ，所以对任意的 x R n，
有
x Ax ( x Ax) x ( A) x x A x T 因此 x Ax 0 。对于 ( I A) x 0
T T T T T T
x x x ( I A) x 0 ，从而方程组 只有零解，所以 ( I A) 是非奇异的。
= B H B.
定理 9
征值。
方阵 A 是正规的，当且仅当 A 与对角矩
阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉 矩阵 U ( u1 , , un ) 及对角阵 diag(1 , , n ) 使得 U H AU 因此 A( u1 , ，即 AU U
第四章
特殊变换及其矩阵
§1、正规变换与正规矩阵
正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换 （对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等 的推广和抽象，即只关心永恒的主题---“对角化”的问题。这又一次体现出现代 数学高度的抽象和统一。
链接：《现代数学的特点与意义》，孙小礼、杜珣， 《大学数学》，1992，2（或 杜珣《现代数学引论》 序言）或其他。
则
T ( ) (1 , 2， ， n ) Ax, T ( ) ( 1 , 2， ， n ) Ay, (T ( ), ) y Ax ( y A ) x
H H H
( A y) H x ( , (T ( ))
一、 Hermite变换（对称变换）
定义1 设 T 是酉空间（或欧氏空间） V 上的线 性变换，如果对任意 、 V ， 都有
H 2
因此 3 2 ，即
从而 2 ，故
2 3 i i
，故 i 0 或 1.
A2 U 2U H U U H A.
课后思考
1、实正规矩阵是否正交相似于实 对角矩阵？
2、实正规矩阵是否正交相似于复 对角矩阵？ 3、实正规矩阵正交相似于什么 样的“简单”矩阵？
ε1 , ε2 , L , εn 和 η1 ,η2 , L , ηn 下的矩阵表示 分别为 A、B ，并设 (η1 ,η2 , L , ηn ) = ( ε1 ,ε2 , L , εn )U
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵（请试试自己证明一下）
因为
( η1 ,η2 , L , ηn ) B
= (T ( η1 ), T ( η2 ), L , T ( ηn ))
由于
T T
由于
S ( I A) ( I A) ( I A) ( I A) S ( I A )( I A ) ( I A) ( I A)
，比较等式
T T H = T HT
两边乘积矩阵在第 i 行第 i 列位置上的元素 ，并注 意到 ti j 0 ( i j ) ，因此对 i 1, 2, , n ，有
| ti i |
2
| ti n | | t1 i |
2 2
| ti i |
2
当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 可知 t1 j 0 ( j 2, 3,
满足
(T ( ε1 ), T ( ε2 ), L , T ( εn )) = ( ε1 ,ε2 , L , εn ) D
并称 T 在任意标准正交基 示为正规矩阵。
η1 ,η2 , L , ηn下的矩阵表
定理3
正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是
酉相似的。
证明：设正规变换 T 在 V 的两组标准正交基
矩阵计算中也具有相当重要的地位。
根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙
的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。
定理 5
方阵 A 是正规的，当且仅当
AAH = AH A .
为证明这个结论，再给出一个引理。
引理 6 对角阵。 满足
TT = T T
H H