矩阵与变换
高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念
1.了解提出矩阵概念的一些实际背景；
2.掌握矩阵行、列、元素等概念，知道零 矩阵、矩阵的相等等相关知识；
3.会用矩阵表示一些简单的实际问题。
何为矩阵?
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手 初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
5.妻子的怀疑、外人的讥讽 “其妻献疑”“河曲智叟笑而止之”
愚公面对困难的解决办法：
没有地方放置土石 “投诸渤海之尾，隐土之北” 不惧路途遥远
劳动力缺乏 “率子孙荷担者三夫”“遗男，始龀，跳往助之”
——团结一切力量
智叟的嘲讽 “虽我之死，有子存焉……子子孙孙，无穷 匮也”“山不加增，何苦而不平” ——移山的信念会永远传承下去
4.投诸渤海之北
（古：之于
今：各个，许多 ）
5.遂率子孙荷担者三夫
（古：挑
今：荷花 ）
6.曾不能毁山之一毛
（古：草木
今：毛发）
7.北山愚公长息
（古：叹气
今：休息 ）
8.虽我之死
（古：即使
今：虽然 ）
9.惧其不已也
（古：停止
今：已经 ）
四、词类活用 1.面山而居 名词作动词，向着。 2.聚室而谋 使动用法，使……聚。
细读感悟
在疏通文意的基础上，概括故事情节。
第一段： 故事背景，介绍两座山。 第二段： 开端和发展，愚公决心移山，得到全
家的支持，并排除疑难，立即行动。 第三段： 高潮，愚公驳斥智叟的观点。 第四段： 结尾，神仙帮忙移走了两座山。
朗读第一段，说说介绍了两座山的什么 内容，有何作用。
矩阵的变换和应用
矩阵的变换和应用矩阵是线性代数中重要的概念之一，它具有广泛的应用范围。
在数学、工程、科学等领域，矩阵用于描述和处理各种数据和问题。
本文将重点介绍矩阵的变换和应用，包括线性变换、旋转变换、缩放变换和平移变换等。
一、线性变换矩阵的线性变换是矩阵在向量空间中的应用之一。
线性变换是指将一个向量或一个向量组通过矩阵的相乘操作进行转换的过程。
在二维空间中，线性变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &b \\c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，矩阵的第一行表示了原始向量在x轴上的线性变换，第二行表示了原始向量在y轴上的线性变换。
通过对矩阵进行相乘运算，可以得到经过线性变换后的新向量坐标。
二、旋转变换旋转变换是矩阵在几何学中的重要应用之一。
通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量绕着原点进行旋转。
在二维空间中，旋转变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，θ表示旋转的角度。
通过对原始向量和旋转矩阵进行相乘运算，可以得到经过旋转变换后的新向量坐标。
三、缩放变换缩放变换是矩阵在图形学和几何学中的常见应用之一。
通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量在x轴和y轴上进行不同比例的缩放。
在二维空间中，缩放变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=s_x & 0 \\0 & s_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，s_x表示x轴的缩放比例，s_y表示y轴的缩放比例。
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵矩阵的变换与运算：矩阵的乘法与逆矩阵矩阵在数学中扮演着重要的角色，它可以用于描述线性变换或者表示线性系统的方程组。
本文将讨论矩阵的变换与运算，重点介绍矩阵的乘法与逆矩阵两个关键概念。
一、矩阵的乘法（Matrix Multiplication）矩阵的乘法是矩阵运算中的一种基本运算，表示为A * B，其中A 和B分别为两个矩阵。
在进行矩阵乘法时，需要满足乘法的条件：A 矩阵的列数等于B矩阵的行数。
矩阵乘法的计算方法是将A矩阵的每一行与B矩阵的每一列进行内积运算，并将结果填入一个新的矩阵C中。
具体计算过程如下：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][n]*B[n][j]其中，C[i][j]表示矩阵C中第i行第j列的元素，A[i][k]表示矩阵A 中第i行第k列的元素，B[k][j]表示矩阵B中第k行第j列的元素。
矩阵乘法的重要性在于可以描述线性变换的复合效果，同时也有利于解决线性方程组。
在实际应用中，矩阵乘法广泛运用于计算机图形学、信号处理、最优化等领域。
二、逆矩阵（Inverse Matrix）逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A * B = B * A = I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的存在与否与矩阵的行列式密切相关。
判断矩阵A是否可逆的条件是行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
若矩阵A可逆，则可以通过一系列行变换将其转化为单位矩阵，对应的变换矩阵为逆矩阵。
逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵法或者初等行变换法。
例如，对于一个2x2的矩阵A：A = [a b][c d]若|A| ≠ 0，即ad - bc ≠ 0，则A的逆矩阵存在，并可表示为：A^-1 = 1/(ad - bc) * [d -b][-c a]逆矩阵的应用广泛，例如求解线性方程组、计算矩阵的行列式与秩、求解微分方程等。
三、矩阵的变换（Matrix Transformation）矩阵的变换是指通过矩阵的乘法，对向量进行线性变换。
高中数学 矩阵与变换
14.2 矩阵与变换解答题1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．解析 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎨⎧x ＝x ′2y ＝y ′.又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4(x ′2)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得到点P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．2．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， 即⎩⎨⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤132 4.3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001的变换作用下的曲线方程． 解析 设P ′(x ′，y ′)是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点， 设P (x ，y )是P ′(x ′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1对应变换作用下新曲线上的对应点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ′ y ′， 即⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y .将⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 2＝4，故方程为x 216＋y 24＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解析 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上， 所以⎩⎨⎧(－2)－(－2b )－4＝0，(－2a )－(－8)－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.5．求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解析 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎨⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y 2，y 0＝x ＋y 2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y 2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.6. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属 于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．解析 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2，0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值． 解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为－2或2.8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y )在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x ′，y ′)， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝－y ′.因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x ′－(－y ′)＋1＝0，即2x ′＋y ′＋1＝0， 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。
矩阵的基本性质与变换
矩阵的基本性质与变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在各个工程领域和科学研究中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本性质及其在数学变换中的应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数字排成的矩形阵列，其中的数字称为元素。
矩阵由m行和n列组成，记作m×n的矩阵。
矩阵中的元素通常用小写字母表示，如a、b、c等。
以下是矩阵的一些基本性质：1. 矩阵的加法与减法对于两个相同维度的矩阵A和B，可以进行矩阵的加法和减法运算。
加法运算定义如下：A + B = C，其中C的每个元素等于A与B对应元素之和。
减法运算的定义与加法类似。
2. 矩阵的乘法矩阵乘法是一种矩阵之间的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积记作AB，得到的结果是一个m×p的矩阵C。
C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指交换矩阵的行与列，得到的新矩阵记作A^T。
即A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
4. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有方阵才存在逆矩阵。
二、矩阵的变换矩阵不仅可以进行基本的加法、减法和乘法运算，还可以用来进行各种数学变换，包括线性变换和仿射变换。
1. 线性变换线性变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，线性变换的计算公式为y=Ax。
矩阵A定义了向量x在变换过程中的缩放、旋转和剪切等操作。
2. 仿射变换仿射变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，仿射变换的计算公式为y=Ax+b，其中b是一个常向量。
仿射变换可以进行平移、旋转、缩放和错切等操作。
矩阵与变换
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a c
b e g d
f ae + bg af + bh ce + dg cf + dh h
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
建构数学
设矩阵A＝
f (l )
a b R，我们把行列式 c d ，l
l a
c
b
l d 称为A的特征多项式。
l 2 (a + d )l + ad bc
分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)0 x0 此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解 y0 x0 即 为矩阵A的属于l的一个特征向量. y0
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
线性变换与矩阵的关系
线性变换与矩阵的关系线性代数是数学中的一个分支学科，它是整个数学的一个基础。
线性代数的核心概念是线性变换和矩阵。
线性变换可以被视为线性代数中最基本的概念，矩阵则是线性变换最常用的工具。
本文将探讨线性变换与矩阵之间的关系。
一、线性变换的定义线性变换是一种把向量空间V中的每一个元素映射到向量空间W中的一种映射。
如果对于每个向量x和每个标量c，我们都有T(x + cy) = T(x) + cT(y)，则此映射为线性变换。
其中，T为线性变换的运算符，y是向量空间V中的元素。
线性变换的一个重要性质是它保持线性运算。
这意味着，对于向量空间V中的任何两个向量x和y，以及标量c，都有：T(x + y) = T(x) + T(y)T(cx) = cT(x)这些性质使得线性变换在数学中扮演着重要的角色。
二、矩阵的定义矩阵是一个有限的、有序的、由数构成的矩形表。
我们通常用大写字母表示矩阵，例如A。
矩阵可以用来表示线性变换，而线性变换可以用矩阵来描述。
我们可以将矩阵视为一种数字表示，它包含了一个线性变换所以可能的操作。
三、线性变换和矩阵的关系线性变换和矩阵是密不可分的。
每个线性变换都可以表示为一个矩阵，而每个矩阵也可以表示为一个线性变换。
矩阵的第i行和第j列上的元素用a(i,j)表示。
我们可以用以下公式将一个向量空间中的向量转换成矩阵的形式：⎡ a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)⎤⎢ a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)⎥A = ⎢ ... ... ... ... ... ⎥⎢ a(n,1) a(n,2) ... a(n,n)⎥⎣⎦对于一个给定的矩阵A，我们可以将它作为线性变换T的矩阵表示。
这个线性变换对一个向量进行变换的方式为 T(x) = Ax，其中x为向量，Ax表示矩阵A和向量x的乘积。
矩阵乘法的目的是用一个矩阵描述一种线性变换。
在矩阵乘法中，行列式中每个元素都表示了一种特定的线性变换。
矩阵及其初等变换
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (3) 1 0 1 1 1 0 2 0 1 1 1 0 .
16
理学院数学科学系
20 17 12 A 30 20 10 4 80 68 48 B 4 A 120 80 40
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理学院数学科学系
数与矩阵的乘法运算规则
( ) A ( A) ( ) A A A
4
理学院数学科学系
a11 a21 A a m1
a12 aLeabharlann 2 am 2 a1n a2n amn
这 mn 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 a ij 位于矩 阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元.以数 a ij 为(i,j)元的矩 阵可简记作 ( a ij ) 或 ( a ij ) m n . m n 矩阵A也记作 Am n . 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为 复矩阵. 矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在 数表外加上双竖线)是不同的，这是两个不同的概念. 矩阵的行数和列数不一定相等.
22
理学院数学科学系
特别注意-乘积不可交换
AB乘积一般不可以交换， (1) A21 , B13 , AB为 2 3矩阵，但BA无意义； (2) A23 , B3 2 , AB和BA均有意义，但AB为2阶矩阵， BA为3阶矩阵.
若 AB BA, 则称矩阵 A、B 乘积可交换. 由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
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理学院数学科学系
例1.3 n个变量 x1 , x2 ,, xn 与m个变量之间的 y1 , y2 ,, ym 关系式
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一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫 做反射变换，其中（2）叫做中心反射， 其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴， 定点称为反射点.
M(l1+l2b) l1M+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1+l2b 变成直线 l1M+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线 性变换。
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 k 0 1 确定的变换通常叫做切变变换,
二阶单位矩阵一般记为E
1 M 垂直伸压变换矩阵： 0
0 1 2
2 N 0
0 1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作 沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿 y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：
伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压变 换,简称伸压变换.
建构数学
设矩阵A＝
f (l )
a b R，我们把行列式 c d ，l
l a
c
b
l d 称为A的特征多项式。
l 2 (a + d )l + ad bc
分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)0 x0 此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解 y0 x0 即 为矩阵A的属于l的一个特征向量. y0
2.6 矩阵的简单应用
A 5 1 1 5 N B C 2 2
二级路矩阵
A B C
2 2 2
A 0 2 M B C 1
A B C
2 0 1
A
1 1 0
一级路矩阵 网络图
NM
2
B
结点
C
1 3
2 1矩阵
80 90 60 85
2 2矩阵
2 3 3 2
2 3矩阵
m 4
所有元素均为0的矩阵叫做0矩阵.
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等， 且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.
规定： 行矩阵 a11 b11 a12 与列矩阵 的乘法法则为 b21
m 4
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体 的拉丁字母A、B、C…表示，或者用(aij)表示，其中i,j 分别表示元素aij 所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做 矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或 字母）叫做矩阵的列.
组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
2.4 逆变换与逆矩阵
2.4.1 逆矩阵的概念 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组
建构数学
对于二矩阵 A,B 若有 AB=BA=E 则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 A的逆矩阵为 A-1 思考： A的逆矩阵有多少个？ 逆矩阵的唯一性： 若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B,则 逆矩阵是唯一的.
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a c
b e g d
f ae + bg af + bh ce + dg cf + dh h
-b ad bc a ad bc
2.5 特征值与特征向量
设矩阵A＝
a b c d ，如果对于实数l，存在一个
非零向量，使得A= l，则称l是矩阵A的一个特 征值。 是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。
从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵 A的作用后，保持在同一条直线上。 这时，特征向量或者方向不变(l>0)， 或者方向相反(l<0). 特别地，当l=0时，特征向量被变换成了0向量.
如果是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量 【定理1】
，则对任意的非零常数t，t也是矩阵A的属于特征 值l的特征向量。 属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.
【定理2】 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。
建构数学
【性质】 设 l1 、 l2 是二阶矩阵 M 的两个不同特征值， 1 、 2 是矩阵 A 的分别属于特征值 l1 、 l2 的特征向 量，对于平面上任意一个非零向量 b ，设 n n n b t11 + t2 2 ，则 M b ＝ t1l1 1 + t2 l2 2
建构数学
矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续实 施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
当连续对向量实施n(n∈N*)次变换TM时，记 作：Mn=M· · · M·· M ·
n个M
在数学中，一一对应的平面几何变换 都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换 的一次或多次复合，而伸压、反射、旋转、 切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵 叫做初等变换矩阵。
用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程。
ax + by m cx + dy n
x 记：X ，B y m n,A
-1
a c
b 则 d
AX B
其中A 1
左乘A
得到X A 1B
d ad bc -c ad bc
投影变换
1 0 1 0 像 0 0 1 0 这类将平面内图形投影到某条直线
(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射
建构数学
• 若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在
逆矩阵,且
(AB)-1=B-1A-1
对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律?
• 已知 A, B, C 为二阶矩阵,且 AB=AC ,若矩阵 A
存在逆矩阵,则
B=C
建构数学
我们把 a c b d 称为二阶行列式，它的运算结果
是一个数值（或多项式），记为 det(A)= a c b d ad bc
2.2.1 恒等变换 2.2.2 伸压变换 2.2.3 反射变换
2.2.4 旋转变换
2.2.5 投影变换 2.2.6 切变变换
恒等变换矩阵(单位矩阵): 对平面上任何一点(向量)或图形施以矩 1 0 阵 0 对应的变换,都把自己变成自己。这种 1 特殊的矩阵称为恒等变换矩阵(单位矩阵). 恒等变换: 恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒 等变换。
b11 a11 a12 ＝ a11 b11 + a12 b21 , b21 x0 a11 a12 二阶矩阵 与列向量 y 的乘法规则为 b21 b22 0 a11 a12 x0 a11 x0 + a12 y0 b b y ＝ b x + b y . 21 22 0 21 0 22 0
(即形如
x ' ax + by ' 的几何变换叫做线性变换) y cx + dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表 示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变 换。
旋转变换
cos sin 矩阵cos sin
通常叫做旋转变换矩阵.
对应的变换称做旋转变换. 其中的角做旋转角. 点O叫做旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置，不会改 变几何图形的形状. 图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
两种形式形异而质同
由矩阵M 确定的变换T，通常记为TM . 根据变换的定义，它是平面内的点集到其自身 的一个映射.
x 当 表示某个平面图形F 上的任意点时， y 这些点就组成了图形F，它在TM 的作用下，将得到 一个新的图形F — —原象集F的象集.
2.2 几种常见的平面变换
2.1 二阶矩阵与平面向量
2.1.1 矩阵的概念
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;
2.矩阵的表示；
3.相等的矩阵; 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法 1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.
1 80 90 2 3 形如 , , 3 60 85 3 2