常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)
认识简单的几何变换平移旋转与反射
认识简单的几何变换平移旋转与反射几何变换是几何学中重要的概念，是指将一个点、一组点或图形按照一定规则进行改变位置或形状的方法。
在几何变换中，平移、旋转和反射是最基本且常见的三种变换形式。
本文将介绍这几种几何变换，并探讨它们的性质与应用。
一、平移变换平移变换是指将一个点、一组点或图形沿着平行于给定方向的线段移动相同的距离。
在平移变换中，所有移动之后的点、线段或图形与原来的点、线段或图形相互平行且距离相等。
以平行四边形ABCD为例，若将其平移向右移动3个单位，即将每个点沿着平行于CD的方向移动3个单位，那么平移后的平行四边形为A'B'C'D'。
在这个过程中，平行四边形的边和角度都保持不变。
平移变换的性质和应用广泛。
在几何学和计算机图形学中，平移变换常用于绘制平移后的图形。
二、旋转变换旋转变换是指将一个点、一组点或图形围绕某一点进行旋转。
在旋转变换中，旋转后的图形与原来的图形形状相同，但位置和方向发生变化。
以直线段AB为例，若以点O为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90度，那么旋转后的线段为AB'。
旋转变换的主要性质是角度保持不变。
当我们应用旋转变换时，必须指定旋转中心和旋转角度。
旋转变换在几何学、物理学和计算机图形学中都有重要的应用。
三、反射变换反射变换又称为镜像变换，是指将一个点、一组点或图形沿着一条直线对称翻转。
在反射变换中，对称轴是变换的中心轴，反射后的图形与原来的图形完全对称。
以点A为例，若将点A关于直线l进行反射变换，那么反射后的点为A'。
A'与A关于直线l对称，即A关于l的对称点。
反射变换具有对称性质，对于任意点或图形，其反射图形与原图形相似。
反射变换在几何学中广泛应用，也是镜子和光学器件原理的基础。
总结：几何变换中的平移、旋转和反射是常见且重要的几何变换形式。
平移变换是将图形整体移动，保持形状和大小不变；旋转变换是围绕某一点旋转图形；反射变换则是沿着一条直线对称翻转图形。
常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 反 射 变 换 03 旋 转 变 换 04 应 用 场 景 05 总 结 与 展 望
反射变换是指将平面图形沿一条直线进行翻转，使得图形对称于该直线 反射变换可以应用于平面图形的形状、大小和方向等属性的变化 常见的反射变换包括水平、垂直、对角线等方向的反射 反射变换在计算机图形学、几何变换等领域有着广泛的应用
旋转中心：固定点， 也称为旋转中心
旋转角度：绕旋转 中心旋转的角度
旋转方向：顺时针 或逆时针方向
绕点旋转：以一个固定点为中心进行旋转 绕线旋转：以一条固定直线或曲线为中心进行旋转 绕面旋转：以一个固定平面或曲面为中心进行旋转 绕体旋转：以一个固定物体或形状为中心进行旋转
绕原点旋转的矩阵表示
绕任意点旋转的矩Leabharlann 表示绕任意轴旋转的矩阵表示
绕任意直线旋转的矩阵表 示
图像旋转：将 图像按照指定 的角度旋转， 常用于纠正图 像的倾斜角度
图像缩放：调 整图像的大小， 常用于改变图
像的分辨率
图像平移：将 图像在平面上 移动，常用于 调整图像的位
置
图像剪切：从 图像中裁剪出 指定的区域， 常用于选取图 像的特定部分
图像旋转和平 移的组合变换： 将图像旋转后 再进行平移， 常用于对图像 进行复杂的变
镜像反射：将图像沿垂直或水平方向进行对称变换 旋转反射：将图像绕某点旋转一定角度进行对称变换 缩放反射：将图像沿某个方向进行缩放变换 剪切反射：将图像沿某个方向进行剪切变换
反射变换的定义
反射变换的矩阵表示形式
反射变换的几何意义
反射变换的应用
定义：旋转变换是 一种通过绕某一固 定点旋转来改变图 形位置的变换
常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)ppt课件
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
11
学生活动
变式：
设
a,b
R
若M
a 1
0 b
定义的线性变换把直线
l : 2x y 7 0变换成另一直线 l : x y 7 0
求a, b 的值.
12
学生活动
1.求平行四边形OBCD在矩阵01
0 1
作用
下变换得到的几何图形，并给出图示，其中
O(0,0), B(2,0),C(3,1), D(1,1)
x x x 1 0 x
T1
:
y
y
y
0
1
y
0 1
6
问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？
(1)
M2
1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形；
(2) M3
1
0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1原点对称的图形；
(3)
M4
0 1
1 0
把一个几何图形变换为与之关于
直线 y x对称的图形；
(4) M5
0 1
1把一个几何图形变换为与之关于
0 直线 y x对称的图形；
7
构建数学 一般地，称形如 M1, M 2 , M3, M 4 , M5
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的 变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
（2）求直线L:x-y=4在此变换下所成的直线L/的解析式.
19
17
数学应用
例4.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图。
平面常见变换2反射旋转变换.
高二数学理科选修4-2§2.2反射变换与旋转变换 第4课时导学案 编制人 卢琪 审核人 编制时间 学生完成所需时间 班级 姓名 第 学习小组【学习目标】1，了解反射变换和旋转变换几何意义；2，掌握恒等变换与伸压变换矩阵；3，从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，即证明1212()M M M λαλβλαλβ+=+【自学重点与难点】反射变换与旋转变换几何意义．【自主预习】问题1：如右图一个三角形F,将它作关于x 轴，y 轴和坐标原点对称的变换，分别得到三角形F 1,F 2,F 3,像这样将一个图形F 变为关于定直线或定点对称的图形F /的变换称为什么变换？问题2：你能否根据定义分别写出关于x 轴、y 轴、原点对称的反射变换所对应的反射变换矩阵吗？问题3：有人说“一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线（或者点）”这句话对吗？为什么？问题4：什么是旋转变换？什么是旋转中心和旋转角？你能用举出实例吗？问题5：你能根据你举出的例子写出相应的旋转变换矩阵吗？【例题精讲】例1 求直线y ＝4x 分别在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 1 0 与0110-⎛⎫ ⎪-⎝⎭作用下变换所得的图形例2已知A （0，0），B （2，0），C （2，1），D （0，1），求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转90º后得到的图形，并求出其顶点的坐标。
例3若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为B （-2，2），求矩阵M【课堂练习】1，矩阵1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭，1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1001-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，0110⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos sin sin cos αααα⎛⎫ ⎪-⎝⎭对应的变换分别是 ， ， ， ， 。
2，已知A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2），求ABCD 在矩阵1001M -⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换矩阵作用下得到的几何图形，并画出示意图3，求出函数y =(0)x ≥在矩阵1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线1， 已知曲线1xy =，将它绕坐标原点顺时针旋转900后，得到什么曲线？曲线方程是什么？【课堂小结】§2.2反射变换与旋转变换 第4课时回顾反思班级 姓名 第 学习小组1，求曲线x y e =在矩阵1001-⎛⎫⎪⎝⎭对应的变换作用下形成的曲线2，若3()ax b f x x +=的图像在矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的变换作用下图像不变，求a 的值 3,已知A （0，0），B （1），C （0，2），求三角形ABC在矩阵122122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图4，已知椭圆22:3C x y xy ++=，将C 绕原点O 顺时针旋转4π，得到椭圆/C （1）求椭圆/C 的标准方程； （2）求椭圆C 的焦点坐标5，已知△ABC ，A （-1，0），B （3，0），C （2，1），对△ABC 先作x 轴的反射变换，再将所得的图形绕着原点逆时针旋转2π （1）分别求两次变换所对应的矩阵12,M M（2）求点C 在两次连续变换作用下所得到的点的坐标。
(5)几种常见的平面变换(4)
2
1 2
,
1 2 1 2
.
A
y
0
1
y
y
,
2 . 已知曲线 C : x y = 1 . (1) 将曲线 C 绕坐标原点逆时针旋转 45 °后
得到曲线 C ′,求曲线 C ′的方程; (2) 求曲线 C 的交点坐标和渐近线方程.
1 2
1 2
1 2
.
6 . 切变变换
4
4
3C 2
B
3
T2
C1
B1
1
A O 12 34
1 O 1 2 3 A14 5
平面变换 T 将正方形 OABC 变换为平行四边形
OA1B1C1 ,你能求出得到变换 T 的矩阵 M 吗 ?
分析 :
T :
y = x 变换成什么图形 ?
.
例 5 研究下列矩阵所确定的变换.
M解(1对xy).M于 平11面1100内00任xy意, 向(2量xx).N,xy
0
0
,有
在y
1
1
=x
.
上的投影
矩阵 M 使平面内所有点的横坐标不变,纵坐标
x y
x' y'
x y
2 3
y
,
M
1 0
2
3 1
.
6 . 切变变换
矩阵
M
对称变换：理解反射与旋转
对称变换：理解反射与旋转对称变换是数学中一种重要的概念，它在几何学、物理学以及计算机图形学中都有广泛的应用。
其中，反射与旋转是两种常见的对称变换方式。
本文将深入理解反射与旋转的概念及应用，以帮助读者更好地理解对称变换。
反射是一种在平面上进行的对称变换。
简而言之，反射就是将一个点、线段、图形等，沿着一条直线将其镜像对称到另一侧。
这条直线被称为镜面。
反射可以分为两种情况，分别为点关于镜面的对称和图形关于镜面的对称。
首先，我们来讨论点关于镜面的对称。
设点A的坐标为（x，y），镜面为直线y=0。
根据对称性质，点A关于镜面的对称点A'的坐标为（x，-y）。
这个过程可以表达为以下式子：（x，y）→（x，-y）。
接下来，我们来讨论图形关于镜面的对称。
以一个三角形ABC为例，其中点A的坐标为（x1，y1）、点B的坐标为（x2，y2）、点C的坐标为（x3，y3）。
若镜面为直线y=0，则通过点关于镜面的对称，得到三角形A'B'C'，其坐标可表示为（x1，-y1）、（x2，-y2）、（x3，-y3）。
可以看出，图形关于镜面的对称是点关于镜面对称的一个推广。
旋转是另一种常见的对称变换方式。
它是以一个点为中心，按照一定的角度将图形或点逆时针或顺时针旋转。
在二维平面上，我们常见的旋转方式有绕原点旋转和绕某一点旋转。
首先，我们来讨论绕原点旋转。
设点A的坐标为（x，y），以原点为中心，角度为θ进行逆时针旋转。
根据旋转的基本公式，点A旋转后的新坐标为（x'，y'），其中x' = x*cosθ - y*sinθ，y' = x*sinθ +y*cosθ。
可以看出，旋转是通过三角函数的运算而实现的。
接下来，我们来讨论绕某一点旋转。
同样以点A的坐标为（x，y），以点O（ox，oy）为中心，角度为θ进行逆时针旋转。
根据旋转的公式，点A旋转后的新坐标为（x'，y'），其中x' = (x-ox)*cosθ - (y-oy)*sinθ + ox，y' = (x-ox)*sinθ + (y-oy)*cosθ + oy。
反射变换-高中数学知识点讲解
反射变换
1．反射变换
【知识点的知识】
把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P′的线性变换叫做关于直线l 的反射．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
1/ 2
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
2/ 2。
高考理科数学(江苏专用)一轮复习课件：第10章 附加考查部分 第6讲
栏目 导引
第十二章
选考部分
3．矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念 对于二阶矩阵 A，B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩阵 是唯一的，通常记 A 的逆矩阵为 A－1，A－1＝B. (2)逆矩阵的求法 一般地，对于二阶可逆矩阵 d ad－bc －1 矩阵为 A ＝ －c ad－bc
1 ＝ 2
－1 1 0 －3 －1 4 1＝ . 6 1 1
栏目 导引
第十二章
选考部分
2．已知变换 T 把平面上的点(1，0)，(0， 2)分别变换成点 (1，1)，(－ 2， 2)． (1)试求变换 T 对应的矩阵 M； (2)求曲线 x2－y2＝1 在变换 T 的作用下所得到的曲线的方程．
第十章
附加考查部分 第十二章 选考部分
第6讲
矩阵与变换
栏目 导引
第十二章
选考部分
1．矩阵乘法的定义
b11 一般地，我们规定行矩阵[a11 a12]与列矩阵 b 的乘法规则 21 b11 a b x 为[a11 a12] ＝a11b11＋a12b21，二阶矩阵 与列矩阵 y b21 c d a 的乘法规则为 c b x ax＋by ＝ . d y cx＋dy
d ad－bc －1 －1 则 X＝A B，其中 A ＝ －c ad－bc
－b ad－bc . a ad－bc
栏目 导引
第十二章
选 c a b b ＝ ad － bc 叫做矩阵 A ＝ 的行列式． d c d
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心对称与旋转1800是同一变换, 要注意旋转变换中旋转方向
为逆时针.
旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形
的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋 转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋转1800的变换相当于 关于定点作中心反射变换.
数学应用
例4.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图。
sin
cos
0 1 0 1
1
0
,
-1
0
0 1
1 0
x
y
y x
T
:
x y
x y
y x
旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等，副对角线上的两
个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为1.另外中
0
1
1
M2
0
0 1
1
M3
0
0
0
1 M4 1
1 0
分别作用下变换得到的曲线.
4.二阶矩阵M对应的变换将 (1, 1) 与 (2,1)
分别变换成 (5, 7) 与 (3,6) （1）求矩阵M （2）求直线l : x y 4在此变换下所变成的直线
(3)
M4
0 1
1 0
把一个几何图形变换为与之关于
直线 y x对称的图形；
(4) M5
0 1
1把一个几何图形变换为与之关于
0 直线 y x对称的图形；
构建数学
一般地，称形如 M1, M 2 , M3, M 4 , M5
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的 变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
数学应用
例1 求出曲线 y x2
(x 0) 在矩阵
M
1 0
0 1
作用下变换所得的图形. y
y x2 (x 0)
1
O
1
x
-1
y x2 (x 0)
数学应用
例2.求出直线 y 4x 在矩阵
作用下变换得到的图形.
M
0 1
1 0
变: y lg x(x 0)
学习目标: 1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换； 2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义； 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
温故知新
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)
E
1 0
0 1
恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以
T1Βιβλιοθήκη : y
y
y
0
1
y
变换矩阵为 M1
1
0
0 1
问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？
(1)
M2
1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形；
(2) M3
1
0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1原点对称的图形；
0 0.5
问题情境
求圆C：(x 2)2 ( y 2)2 2在矩阵
1
M
0
0 1
作用下变换所得的曲线.
y
(x 2)2 ( y 2)2 2
(x 2)2 ( y 2)2 2
(2, 2)
(2, 2)
O
x
两个几何图形有何特点？
问题情境
矩阵
1 0
0 1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
x x x
0
1
y
y
T
:
y
y
y
温故知新
2.伸压变换矩阵 M
a 0
0 1
N
1 0
0
b
伸压变换 矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,
y
O
x
已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换,分别得 到图片F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗?
问题1：若将一个平面图形 F 在矩阵M1 的作用变换下得到关于 y 轴对称的几
何图形，则如何来求出这个矩阵呢？
x x x 1 0 x
或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.
1 0
0 1 2
x
y
x y 2
T
:
x
y
x y
x y 2
伸压变换——
1 0
0 2
3 0
0 1
1 0
一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
A(1α 2β) 1Aα 2Aβ
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
学生活动
变式：
设
a,b
R
若M
a 1
0 b
定义的线性变换把直线
l : 2x y 7 0变换成另一直线 l : x y 7 0
l 的解析式.
构建数学 旋转变换
2.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转
θ的变换矩阵P(.x其, y中)θ称为旋转角,点O为旋转中心.
r
r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x r cos( ) r cos cos r sin sin xcos y sin
变式：将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转300.
延伸拓展
已知二阶矩阵M对应的变换将（1，-1）与（-2，1） 分别变换为（5，7）与（-3，6）. （1）求矩阵M；
（2）求直线L:x-y=4在此变换下所成的直线L/的解析式.
求a, b 的值.
学生活动
1.求平行四边形OBCD在矩阵01
0 1
作用
下变换得到的几何图形，并给出图示，其中
O(0,0), B(2,0),C(3,1), D(1,1)
2.求出曲线y 3 x 在矩阵
作用下变换得到的曲线.
M
0 1
1
0
学生活动
1.求矩形OBCD在矩阵
y 10x y
y lg x (x 0)
1
O
1
x
数学应用 例3.求直线l : 2x y 7 0 在矩阵 M
作用下变换得到的图形.
3 1
0 1
思考1：若矩阵M
3 1
10改为矩阵
A
3 1
1 1
则变换得到的图形是什么？
思考2：我们从中能猜想什么结论？ 或点
0 1
01作用下变换得到的
几何图形，并给出图示，其中
O(0, 0), B(2, 0),C(2,1), D(0,1)
2.求出曲线
y
3
x
经 M1
1 0
0 1
和
0 M2 1
1 0
作用下变换得到的曲线.
学生活动
3.求 y
x2 (x
0)在M1
1 0
y
r
sin(
)
r sin
cos
r
cos
sin
y
cos
x sin
cos sin x x cos y sin x
sin
cos
y
x sin
y
cos
y
旋转变换
M=
cos sin