几种常见的平面变换 (1)
平面形的旋转
平面形的旋转旋转是一种常见的平面变换，它可以改变一个平面形状的方向和位置。
在二维几何中，旋转通常是通过将平面形绕着一个中心点旋转一定的角度来实现的。
本文将探讨平面形的旋转，包括旋转的定义、公式和具体的例子。
一、旋转的定义平面形的旋转是指将一个平面形沿着一个轴进行旋转，使其绕着轴旋转一定的角度，从而改变其方向和位置。
在二维平面中，旋转可以描述为一个点围绕着另一个点旋转一定角度所形成的轨迹。
旋转可以是顺时针或逆时针方向。
二、旋转的公式在二维几何中，旋转可以通过变换矩阵来表示。
对于一个点P(x, y)，绕着原点旋转θ角度后的新坐标P'(x', y')可以通过以下公式计算得出：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度θ的余弦和正弦值。
这个公式可以用来计算平面上任意点的旋转后的新坐标。
三、旋转的例子（1）旋转正方形考虑一个边长为a的正方形，我们将其绕着原点逆时针旋转45度。
根据旋转公式，我们可以计算出旋转后每个顶点的坐标。
顶点A的坐标为(-a/2, a/2)，旋转后的坐标为：x' = (-a/2) * cos45 - (a/2) * sin45 = -a/2y' = (-a/2) * sin45 + (a/2) * cos45 = 0顶点B的坐标为(a/2, a/2)，旋转后的坐标为：x' = (a/2) * cos45 - (a/2) * sin45 = 0y' = (a/2) * sin45 + (a/2) * cos45 = a顶点C的坐标为(a/2, -a/2)，旋转后的坐标为：x' = (a/2) * cos45 - (-a/2) * sin45 = a/2y' = (a/2) * sin45 + (-a/2) * cos45 = 0顶点D的坐标为(-a/2, -a/2)，旋转后的坐标为：x' = (-a/2) * cos45 - (-a/2) * sin45 = 0y' = (-a/2) * sin45 + (-a/2) * cos45 = -a通过计算可以得到旋转后正方形的新顶点坐标为A'(-a/2, 0)，B'(0, a)，C'(a/2, 0)，D'(0, -a)。
2.2.6切变变换
建构数学
1 k 确定的变换通常叫做切变变换, 像由矩阵 0 1
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
数学探究
如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用 下变成图形A’B’C’D’，试求变换T对应的变换是沿y轴方向的切变变换，
对于原图形中的任意一点，横坐标保持不变， 而纵坐标依横坐标的比例增加，它把平面上 的点沿y轴方向平移|kx|个单位: 当kx>0时，沿y轴正方向移动； 当kx<0时，沿y轴负方向移动； 当kx=0时，原地不动， 在此变换作用下，y轴上的点为不动点。
几种常见的平面变换 -----切变变换
F
S
F
S
F
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平 行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要 发生改变，如图，这种形式的形变叫切变。
问题情境
一副码好的纸牌，现将它的左边与一把直尺对 齐，保持直尺底端右下角和最下面一张纸牌不动， 用直尺轻轻推动纸牌，使得纸牌的形状变换为如图2 所示的模样，问纸牌被推动的前后存在什么变化规 律吗？
图2 图1
问题情境
问题1：仔细观察，你发现了什么？ 问题2：你能将问题数学化吗？
图3
图4
解决问题
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x, y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
课堂练习
1 1 作用下变换得到的 1.考虑直线x+y=2在矩阵 0 1
几何图形。
2. 求把△ABC 变换成 △A’B’C’的变换矩阵， 其中A(-2,1)、B(0,1)、C(0,-1) 、A’(-2,-3)、 B’(0,1)、C’(0,-1).
常见的几种平面变换(切变变换)
缩放切变变换可以应用于各种 平面图形，如矩形、圆形、多 边形等。
通过缩放切变变换，可以改变 平面图形的大小和形状，实现 图形的缩放操作。这种变换在 图形处理、计算机视觉、图像 识别等领域有着广泛的应用。
平移切变变换
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
平移切变变换是平面图 形在平移过程中发生的 变换。
。
图像剪裁
通过切变变换，可以将图像的 一部分进行剪裁，实现图像的
局部显示。
图像扭曲
通过切变变换，可以将图像进 行扭曲，实现图像的扭曲效果
。
在几何建模中的应用
三维模型转换
通过切变变换，可以将三维模型进行转换， 实现三维模型的旋转、平移等操作。
二维图形绘制
通过切变变换，可以绘制各种二维图形，如 直线、圆、椭圆等。
THANKS
感谢观看
详细描述
平移切变变换是指将平 面图形按照一定的方向 和距离进行移动，从而 改变图形位置的变换。 在平移过程中，图形中 的每一点都按照相同的 方向和距离进行变换。
总结词
平移切变变换可以应用 于各种平面图形，如矩 形、三角形、多边形等
。
详细描述
通过平移切变变换，可 以改变平面图形在平面 上的位置，实现图形的 平移操作。这种变换在 图形处理、计算机视觉 、动画制作等领域有着
特效制作
通过切变变换，可以制作各种特效，如爆炸、烟雾等。
动画合成
通过切变变换，可以将多个动画进行合成，实现复杂的动画效果。
05
总结
切变变换的优点和局限性
优点
切变变换能够有效地处理图像的几何失真，提高图像的清晰度和对比度，同时能够保留图像中的重要 特征。
高二数学 几种常见的平面变换(1)-恒等变换、伸压变换教案
2、伸压变换矩阵与伸压变换；
3、用矩阵表示变换的数形结合的思想。
课本34页1、2
练习册
课外作业
课本34页3、4
课题
几种常见的平面变换（1）-恒等变换、伸压变换
总课时数
第节
教学目标
1.理解可以用矩阵来表示平面中的常见的几何变换；
2.掌握恒等、伸压变换的几何意义及其矩阵表示。
教学重难点
恒等变换、伸压变换的概念
恒等变换、伸压变换的矩阵
教学参考
教师用书 课本 非常学案
授课方法
启发引导
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
一、问题情境:
1、二阶矩阵与列向量的乘法规则：
其几何意义是
问题情境：一个矩阵就对应了一个变换，已知变换前（后）的点，知道了矩阵，就可以求出变换后（前）的点，已知变换也可以求出对应的矩阵。本节课就研究如何用矩阵表示平面上常见的变换。
二、建构数学
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)
2.恒等变换
3.伸压变换矩阵
4.伸压变换
学生回答
学生活动：教师给出三个变换，学生用矩阵来表示，教师给出相应的、教学运用
例1、已知曲线y=sinx经过变换T作用后变为新的曲线C ,试求变换T对应的矩阵M ,以及曲线C的解析表达式.
解题小结：
例2、验证图C : x2+y2=1在矩阵A= 对应的伸压变换下变为一个椭圆,并求此椭圆的方程.
几种常见的平面变换
2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵0 ⎪B. C.D.A. ⎝ 0 1 ⎪⎭-1 0⎪⎭0 -1⎪⎭0 1⎪⎭2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ =答案：C 。
解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ⎢cos θ -sin θ ⎤x sin θ + ycos θ ⎥⎦ ⎩ y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ⎦ ⎣ y '⎦ ⎣ 1⎥⎦⎣0 026.2 几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；，3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
【典型例题】⎛ 1 0 ⎫ 1 ⎪ 的作用下()⎪ ⎝ 5 ⎭A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5倍C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5倍答案：B 。
（2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是()⎛ 1 0⎫ ⎛ -1 0⎫⎛ 0 1 ⎫⎛ 10 ⎫⎪ ⎪⎝⎝⎝答案：D 。
（3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后 (0 < θ <π（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°⎣sin θ cos θ ⎦⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ x cos θ - y sin θ ⎤ ⎧ x = x ' c os θ + y ' s in θT ： ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ = ⎢ ，从而有 ⎨ ⎣代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足π π2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。
常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 反 射 变 换 03 旋 转 变 换 04 应 用 场 景 05 总 结 与 展 望
反射变换是指将平面图形沿一条直线进行翻转，使得图形对称于该直线 反射变换可以应用于平面图形的形状、大小和方向等属性的变化 常见的反射变换包括水平、垂直、对角线等方向的反射 反射变换在计算机图形学、几何变换等领域有着广泛的应用
旋转中心：固定点， 也称为旋转中心
旋转角度：绕旋转 中心旋转的角度
旋转方向：顺时针 或逆时针方向
绕点旋转：以一个固定点为中心进行旋转 绕线旋转：以一条固定直线或曲线为中心进行旋转 绕面旋转：以一个固定平面或曲面为中心进行旋转 绕体旋转：以一个固定物体或形状为中心进行旋转
绕原点旋转的矩阵表示
绕任意点旋转的矩Leabharlann 表示绕任意轴旋转的矩阵表示
绕任意直线旋转的矩阵表 示
图像旋转：将 图像按照指定 的角度旋转， 常用于纠正图 像的倾斜角度
图像缩放：调 整图像的大小， 常用于改变图
像的分辨率
图像平移：将 图像在平面上 移动，常用于 调整图像的位
置
图像剪切：从 图像中裁剪出 指定的区域， 常用于选取图 像的特定部分
图像旋转和平 移的组合变换： 将图像旋转后 再进行平移， 常用于对图像 进行复杂的变
镜像反射：将图像沿垂直或水平方向进行对称变换 旋转反射：将图像绕某点旋转一定角度进行对称变换 缩放反射：将图像沿某个方向进行缩放变换 剪切反射：将图像沿某个方向进行剪切变换
反射变换的定义
反射变换的矩阵表示形式
反射变换的几何意义
反射变换的应用
定义：旋转变换是 一种通过绕某一固 定点旋转来改变图 形位置的变换
选修4-2 矩阵与变换
选修4－2 ⎪⎪⎪矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量 (1)矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 42 0 －1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法①[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]； ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2．几种常见的平面变换(1)当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4)当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换． (6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1确定的变换称为切变变换．3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 4．矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．(2)矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝M ·M ·…·M . 5．矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A ，B 来说，尽管AB ，BA 均有意义，但可能AB ≠BA . (2)矩阵乘法满足结合律设A ，B ，C 为二阶矩阵，则一定有(AB )C ＝A (BC )． (3)矩阵乘法不满足消去律．设A ，B ，C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B ≠C . [小题体验]1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 82 3，矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y 3.若A ＝B ，则x ＋y ＝________.解析：因为A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，所以x ＋y ＝10.答案：102．已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3y x ＋y ，则它所对应的变换矩阵为________．解析：将它写成矩阵的乘法形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以它所对应的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3111．矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，易颠倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律． [小题纠偏]1．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7，若AB ＝BA ，则实数k 的值为________．解析：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4＋2k 1612＋4k 34， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10 16k ＋21 2k ＋28，因为AB ＝BA ，故k ＝3. 答案：3 2．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，计算AB ，AC . 解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0.考点一 二阶矩阵的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2.解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12.B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.2．(2014·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－121 x，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y .因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y ， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2且α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，试判断(AB )α与A (Bα)的关系．解：因为AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －1， 所以(AB )α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，因为Bα＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04， A (Bα)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤04＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08. 所以(AB )α＝A (Bα)．[谨记通法]1．矩阵的乘法规则两矩阵M ，N 的乘积C ＝MN 是这样一个矩阵； (1)C 的行数与M 的相同，列数与N 的相同；(2)C 的第i 行第j 列的元素C ij 由M 的第i 行与N 的第j 列元素对应相乘求和得到． [提醒] 只有M 的行数与N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义． 2．矩阵的运算律 (1)结合律(AB )C ＝A (BC )；(2)分配律A (B ±C )＝AB ±AC ，(B ±C )A ＝BA ±CA ； (3)λ(AB )＝(λA )B ＝A (λB )．考点二 平面变换的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －22 22 22对应的变换将曲线C 变为曲线C ′，求曲线C ′的方程．解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C ′上一点(x ，y )，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y .所以x ′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，所以x ′y ′＝x ＋y 2×y －x 2＝1， 所以曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.[由题悟法]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1)已知曲线C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解．(2)已知曲线C ′是曲线C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组)求解．[即时应用]已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a >0，b >0)对应的变换作用下变为椭圆x 29＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P (x ，y )为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by .又因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以a 2x 29＋b 2y 24＝1.由已知条件可知，x 2＋y 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4. 因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k－2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |， 则由题设知：|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为2或－2.[由题悟法]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[即时应用]已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程．解：绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x 0′，y 0′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0′＝－2y 0，y 0′＝x 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y 0′，y 0＝－x 0′2.又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(y 0′)2＋⎝⎛⎫－x 0′22＝1. 故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 0 12，求MN .解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12 1 0.2．(2016·南京三模)已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′， 所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′－y ′22＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.3．(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y －2＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 12对应的变换作用下得到直线x ＋y －b ＝0(a ，b ∈R)，求a ＋b 的值．解：设P (x ，y )是直线x ＋y －2＝0上任意一点，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋ay x ＋2y ，得(x ＋ay )＋(x ＋2y )－b ＝0，即x ＋a ＋22y －b 2＝0. 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝1，－b 2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4，所以a ＋b ＝4.4．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3，W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，试求满足MZ ＝W 的二阶矩阵Z .解：设Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则MZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d . 又因为MZ ＝W ，且W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－3 1， 所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－3 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2c ＝2，b －2d ＝－1，2a ＋3c ＝－3，2b ＋3d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－17，c ＝－1，d ＝37.故Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －17－137. 5．(2016·苏锡常镇一调)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．解：由题意得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 设曲线y ＝sin x 上任意一点P (x ，y )在矩阵MN 变换下得到点P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.因为y ＝sin x ，所以12y ′＝sin 2x ′，即y ′＝2sin 2x ′.因此所求的曲线方程为y ＝2sin 2x .6．(2017·苏锡常镇调研)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T 对应的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤50＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，5a ＝－1，5c ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320251120. 7．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1,2)．则A ′B ―→＝(2,2)，A ′B ―→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，所以点B ′的坐标为(－1,4)． 8．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程．解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2， 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝－2x ′＋2y ′， 于是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝x ＋y 2.代入2x 2－2xy ＋1＝0得xy ＝1，所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3)利用行列式解二元一次方程组． 2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，当ad －bc ≠0时，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .3.特征值与特征向量的定义设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：第一步：令矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0，求出λ的值．第二步：将λ的值代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．6．A n α(n ∈N *)的简单表示 (1)设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，α，β是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t 1α＋t 2β(其中t 1，t 2为实数)，则A n γ＝t 1λn 1α＋t 2λn 2β(n ∈N *)．[小题体验]1．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 6－2 －6 的特征值为__________．解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －6 2 λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f (λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.答案：－2或－3 2．设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 2的一个特征向量，则实数a 的值为________．解析：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋6＝2λ，12＝3λ解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1.答案：11．不是每个二阶矩阵都可逆，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆． 2．如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[小题纠偏] 1．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356的逆矩阵为____________． 解析：法一：设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2153－23. 法二：注意到2×6－3×5＝－3≠0， 故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－32－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53 －23.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53－23 2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2a －4的一个特征值为λ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3是矩阵A 的属于λ的一个特征向量，则a ＋λ＝_____.解析：因为Aα＝λα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－6＝2λ，2a ＋12＝－3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，λ＝－2，所以a ＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5考点一 求逆矩阵与逆变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.所以矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12. 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.[由题悟法]求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ：①若ad －bc ＝0，则A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .[即时应用]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，求矩阵AB 的逆矩阵．解：法一：因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012，且1×12－0＝12≠0，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212 －012－012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， 同理B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1. 因此(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.法二：因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 12，且1×12－0×1＝12≠0，所以(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 －112012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.考点二 特征值与特征向量的计算及应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解：(1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4⇒a ＝3.(2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3 －2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.把λ＝－1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0，得x ＋y ＝0，所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；把λ＝4代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0，得2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.[由题悟法](1)求矩阵A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量． (2)根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，根据Aα＝λα构建a ，b ，c ，d 的方程求解．[即时应用]1．(2015·江苏高考)已知x ，y ∈R ，向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0的属于特征值 －2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解：由已知，得Aa ＝－2a ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2， 所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0.从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.2．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. 又⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 4－3 6. 考点三 根据A ，α计算A n α(n ∈N *)(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；(2)求A 4B .解：(1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，所以λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝24α1＋34α2＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤113 97. [由题悟法]已知矩阵A 和向量α，求A n α(n ∈N *)，其步骤为： (1)求出矩阵A 的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝sα1＋tα2.(3)应用A n α＝sλn 1α1＋tλn2α2表示A n α.[即时应用]已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3x ，2x ＋y ＝3y ， 从而求得λ1＝3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝mα1＋nα2，则m ＝4，n ＝－3. M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.1．(2016·无锡期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1，若矩阵AB －1对应的变换把直线l变为直线l ′：x ＋y －2＝0，求直线l 的方程．解：由题意得B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，所以AB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2， 设直线l 上任意一点(x ，y )在矩阵AB －1对应的变换下为点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝2y ，将x ′，y ′代入l ′的方程，得(x －2y )＋2y －2＝0，化简后得l ：x ＝2.2．(2016·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解：设B ＝⎣⎡⎦⎤a cb d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎡⎦⎤a c bd ＝⎣⎡⎦⎤10 01， 即错误!＝错误!，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1412. 因此，AB ＝⎣⎡⎦⎤102－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 14012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1540 －1. 3．(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：(1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，所以6＋3a ＝3,2b －6＝4， 所以a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －15 －2. 由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －15 －3. 所以B 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －15 －3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －15 －3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1－5 4. 4．(2016·常州期末)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24 b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P (－1,2)在M 对应的变换作用下得到点Q ，求Q 的坐标．解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝8，4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，所以点Q 的坐标为(－2,4)． 5．(2016·苏州暑假测试)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 26的特征值和特征向量．解：特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －4 －2 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)， 由f (λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2.将λ1＝7代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧8x －4y ＝0，－2x ＋y ＝0，即y ＝2x ，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤12为属于特征值λ1＝7的一个特征向量．同理，λ2＝－2时，特征方程组是⎩⎪⎨⎪⎧－x －4y ＝0，－2x －8y ＝0，即x ＝－4y ，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．综上所述，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 2 6有两个特征值λ1＝7，λ2＝－2.属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，属于λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1.6．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 652有属于特征值λ1＝8的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，及属于特征值λ2＝－3的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，计算M 3α.解：令α＝me 1＋ne 2，将具体数据代入，有m ＝1，n ＝－3，所以α＝e 1－3e 2.所以M 3α＝M 3(e 1－3e 2)＝M 3e 1－3M3e 2＝λ31e 1－3λ32e 2＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤65－3×(－3)3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 1532 479. 7．(2016·泰州期末)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 52 x 的一个特征值为－2，求M 2. 解：把λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－x ＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，第 21 页 共 21 页所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 52 3，所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 45 14. 8．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4). 求：(1) 矩阵M;(2) 矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3) 直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2) 由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3) 设点(x ，y )是直线l 上的任意一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简，得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.。
高中数学回归课本校本教材--矩阵
高中数学回归课本校本教材25（一）基础知识 矩 阵1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。
由4个元素a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。
2. 二阶行矩与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A= a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘积为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ax+by cx+dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；①数乘平面向量：设x yα→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；.②平面向量的加法：设11x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，22x y β→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1212x x y y αβ→→+⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦③数乘结合律：()A A λαλα→→=；分配律：()A A A αβαβ→→→→+=+； ④二阶行矩乘法a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦；⑤复合变换与二阶矩阵的乘法（左乘）：A B BA →→；如：已知△ABC ，A (－1，0)，B (3，0)，C (2，1)，对它先作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．分别求两次变换所对应的矩阵M 1，M 2；求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标． 解M ＝M 2 M 1＝[]0 －11 0[]1 00 －1＝[]0 11 0 ．C 坐标是(1，2)．说明连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序M 2M 1． 3.逆变换与逆矩阵：逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。
逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E ，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A -1。
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1
得－y ＝2x ＋2，即直线y＝2x＋2经过变换得到的图形为直线y＝－2x－2， 如图所示，此变换为关于x轴的反射变换.
二、求变换矩阵 根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的坐标间的关系，由 点的坐标间的关系即可求出变换矩阵.
求把△ABC变换成△A B C 的变换对应的矩阵，其中A(－ 2，1)，B(0，1)，C(0，－1)；A (－2，－3)，B (0，1)，C (0，－1).
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如图2-2-6所示，对反比例函数图象C：y＝经过旋转变换将其方程改 写为标准形式.
图2-2-6 【解】 设P(x，y)为曲线C上任意一点，它在变换T作用下的象P (x ，y )， 其中变换矩阵为＝， 则解得 故xy＝＝4，y 2－x 2＝8， 因此旋转后的方程为－＝1.
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Hale Waihona Puke (1)，点A(2，1)； (2)，直线y＝2x＋2. 【解】 (1)矩阵对应的坐标变换公式为把A(2，1)代入即 得A的对应点为A (1，－2)，该变换把列向量＝按顺时针方向 旋转90°.故该变换为旋转变换，如图所示.
(2)设直线y＝2x＋2上任意一点P(x，y)按矩阵所表示的坐标变换对应的点 为P (x ，y )，
【解】 设变换对应的矩阵为， 由已知，得＝， ＝， ＝， 即 即 ∴变换对应的矩阵为. 三、函数方程思想 本章求矩阵变换下曲线的方程广泛应用了函数方程思想.
试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么 变换.
(1)，图形的方程为：x2＋y2＝4； (2)，图形的方程为：y＝－2x＋6. 【解】 (1)所给方程表示的是以原点为圆心，2为半径的圆.设A(x，y)为曲 线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1)，则＝＝， ∴2x＝x1，y＝y1，即x＝，y＝y1 将其代入x2＋y2＝4可得到方程＋y＝4，此方程表示椭圆. 所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换. (2)所给方程表示的是一条直线.设A(x，y)为直线上的任意一点，经过变换后 的点为A1(x1，y1). ∵＝＝， ∴x1＝0，y1＝2x＋y. 又由y＝－2x＋6得2x＋y＝6， ∴A1(0，6)为定点. 通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换.
章末分层突破
本章在高考中主要考查对六种特殊变换的理解，以及在六种变换前后的点 的坐标及曲线方程的求法，掌握六种特殊变换的特点.
一、求在某种变换作用下得到的图形(表达式) 求在某种变换作用下所得到的图形(表达式)是考查变换知识的热点题型，通 常用代入法(相关点法)求解.
下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形？画图并指出该变换 是什么变换？