常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)ppt课件
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人教A版高中数学选修4-2-1.1.1.2 反射变换-课件(共23张PPT)
问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？
(1)
1 M2 0
0 1
把一个几何图形变换为与之关于 x 轴 对称的图形；
(2)
1
M3
0
0 1
把一个几何图形变换为与之关于原点 对称的图形；
(3)
0 M4 1
1 把一个几何图形变换为与之关于直线 0 y=x对称的图形；
0 1 把一个几何图形变换为与之关于直线
0
作用下
变换得到的曲线。
1
3、求出△ABC在矩阵
2 3
3 2 1
作用下变换得到的图形,
2 2
并给出图示，其中 A(0, 0), B(1, 3), C(0, 2)
4、用矩阵方法求直线y=5x-2关于直线y=-x 对称的直线方程
变式训练
1.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别变换成(5,7)与(-3,6)
这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变 换。
(即形如
x'
y
'
ax cx
by dy
的几何变换叫做线性变换)
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示， 但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换。
建构数学
当a=b=c=d=0时,
0 0
0 0
把平面上所有点
都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的 退化情况.
因此，在研究平面上的多边形或直线在 矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察 顶(端)点的变化结果即可.
课堂反馈
1
1、求平行四边形ABCD在矩阵
0
0 1
作用下变换得
到的几何图形，并给出图示，其中 A(0, 0), B(3, 0),
常见的几种平面变换(投影变换) ppt
学习目标: 1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换；
2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；
3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到 各自的树根.
排球中场休息时,工作人员用平地拖把拖 扫比赛场地.要求同时同向推动拖把,把 垃圾推到边界线停止.
求出矩阵为 变换后的点坐标。
y
T:
所以
x / x / y x
所以
( x, y )
( x, x )
y=x x
y/ x/
o
形成定义
像以上这类将平面内图形投影到某条直线上 (或某个点)的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换
作用下变换
得到的图形,其中A(0,0),B(1,2).
例题深化
矩阵
的变换作用如何?并说
明这种变换的几何意义.
变式1
A(0,0),B(1,2) 在投影矩阵M矩阵作用 下分别变换为点A/(0,0),B/(1.5,1.5)
求变换对应的矩阵M.
几点说明：
(1)投影变换的几何要素:
①投影方向；②投影的目标直线;
(2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素;
(3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点; (4)投影变换是映射,但不是一一映射.
理解应用
研究线段AB在矩阵
变式2
圆x2+(y-2)2=1在矩阵
的变换下的曲线方程.
2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；
3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到 各自的树根.
排球中场休息时,工作人员用平地拖把拖 扫比赛场地.要求同时同向推动拖把,把 垃圾推到边界线停止.
求出矩阵为 变换后的点坐标。
y
T:
所以
x / x / y x
所以
( x, y )
( x, x )
y=x x
y/ x/
o
形成定义
像以上这类将平面内图形投影到某条直线上 (或某个点)的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换
作用下变换
得到的图形,其中A(0,0),B(1,2).
例题深化
矩阵
的变换作用如何?并说
明这种变换的几何意义.
变式1
A(0,0),B(1,2) 在投影矩阵M矩阵作用 下分别变换为点A/(0,0),B/(1.5,1.5)
求变换对应的矩阵M.
几点说明：
(1)投影变换的几何要素:
①投影方向；②投影的目标直线;
(2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素;
(3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点; (4)投影变换是映射,但不是一一映射.
理解应用
研究线段AB在矩阵
变式2
圆x2+(y-2)2=1在矩阵
的变换下的曲线方程.
常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)
,a click to unlimited possibilities
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 反 射 变 换 03 旋 转 变 换 04 应 用 场 景 05 总 结 与 展 望
反射变换是指将平面图形沿一条直线进行翻转，使得图形对称于该直线 反射变换可以应用于平面图形的形状、大小和方向等属性的变化 常见的反射变换包括水平、垂直、对角线等方向的反射 反射变换在计算机图形学、几何变换等领域有着广泛的应用
旋转中心：固定点， 也称为旋转中心
旋转角度：绕旋转 中心旋转的角度
旋转方向：顺时针 或逆时针方向
绕点旋转：以一个固定点为中心进行旋转 绕线旋转：以一条固定直线或曲线为中心进行旋转 绕面旋转：以一个固定平面或曲面为中心进行旋转 绕体旋转：以一个固定物体或形状为中心进行旋转
绕原点旋转的矩阵表示
绕任意点旋转的矩Leabharlann 表示绕任意轴旋转的矩阵表示
绕任意直线旋转的矩阵表 示
图像旋转：将 图像按照指定 的角度旋转， 常用于纠正图 像的倾斜角度
图像缩放：调 整图像的大小， 常用于改变图
像的分辨率
图像平移：将 图像在平面上 移动，常用于 调整图像的位
置
图像剪切：从 图像中裁剪出 指定的区域， 常用于选取图 像的特定部分
图像旋转和平 移的组合变换： 将图像旋转后 再进行平移， 常用于对图像 进行复杂的变
镜像反射：将图像沿垂直或水平方向进行对称变换 旋转反射：将图像绕某点旋转一定角度进行对称变换 缩放反射：将图像沿某个方向进行缩放变换 剪切反射：将图像沿某个方向进行剪切变换
反射变换的定义
反射变换的矩阵表示形式
反射变换的几何意义
反射变换的应用
定义：旋转变换是 一种通过绕某一固 定点旋转来改变图 形位置的变换
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 反 射 变 换 03 旋 转 变 换 04 应 用 场 景 05 总 结 与 展 望
反射变换是指将平面图形沿一条直线进行翻转，使得图形对称于该直线 反射变换可以应用于平面图形的形状、大小和方向等属性的变化 常见的反射变换包括水平、垂直、对角线等方向的反射 反射变换在计算机图形学、几何变换等领域有着广泛的应用
旋转中心：固定点， 也称为旋转中心
旋转角度：绕旋转 中心旋转的角度
旋转方向：顺时针 或逆时针方向
绕点旋转：以一个固定点为中心进行旋转 绕线旋转：以一条固定直线或曲线为中心进行旋转 绕面旋转：以一个固定平面或曲面为中心进行旋转 绕体旋转：以一个固定物体或形状为中心进行旋转
绕原点旋转的矩阵表示
绕任意点旋转的矩Leabharlann 表示绕任意轴旋转的矩阵表示
绕任意直线旋转的矩阵表 示
图像旋转：将 图像按照指定 的角度旋转， 常用于纠正图 像的倾斜角度
图像缩放：调 整图像的大小， 常用于改变图
像的分辨率
图像平移：将 图像在平面上 移动，常用于 调整图像的位
置
图像剪切：从 图像中裁剪出 指定的区域， 常用于选取图 像的特定部分
图像旋转和平 移的组合变换： 将图像旋转后 再进行平移， 常用于对图像 进行复杂的变
镜像反射：将图像沿垂直或水平方向进行对称变换 旋转反射：将图像绕某点旋转一定角度进行对称变换 缩放反射：将图像沿某个方向进行缩放变换 剪切反射：将图像沿某个方向进行剪切变换
反射变换的定义
反射变换的矩阵表示形式
反射变换的几何意义
反射变换的应用
定义：旋转变换是 一种通过绕某一固 定点旋转来改变图 形位置的变换
4.几种常见的平面变换
变式训练
1 0 3.求直线x=2在二阶矩阵 M 对应的 1 0 变换下所变成的图形。
课堂反馈
1 0 作用下变换得 1、求平行四边形ABCD在矩阵 0 1 到的几何图形，并给出图示，其中 A(0,0), B(3,0),
C (4, 2), D(1, 2)
l : x y 7 0 求a，b的值.
换把直线 l : 2 x y 7 0 变换成另一直线
变式训练
2.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别 变换成(5,7)与(-3,6) （1）求矩阵M （2）求直线 l : x y 4 在此变换下所变成的 直线 l 的解析式.
课堂小结
生活事情
数学问题
矩阵 (数)
变换 (形)
变式练习:
1.变换矩阵M将平面内的点沿垂直于x轴的方 向投影到直线y=2x上, 求矩阵M. 2.变换矩阵M将平面内的点沿垂直于直线y=2x 的方向投影到直线y=2x上, 求矩阵M. 3.求关于直线y=2x反射变换的变换矩阵M.
几种常见的平面变换 -----切变变换
变:将条件改为曲线C绕原点顺时针旋转450， 其结果又会如何？
几种常见的平面变换 -----投影变换
问题情境
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会 投影到各自的树根。
图1树在中午的阳光下形成影子
图2把垃圾推到边界线
提出问题 这两个生活中事情，实质反映了平 面上的点在某一直线上的投影，能否用 矩阵来表示？
1 0
y
1
y 10 x
y lg x
( x 0)
O
1
x
例4.求直线l:y=4x在矩阵 得到的曲线.
2017-2018学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版选修4-2
(2)由(1)知曲线 C′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为 y＝
±x.
4．求直线 y＝ 3x 绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的方程． 解：直线 y＝ 3x 的倾斜角为π3，绕原点逆时针旋转π6后所得 的直线的倾斜角为π2，故所求的直线方程为 x＝0.
5．将抛物线 E：y2＝4x 绕它的顶点逆时针旋转 60°，得到曲线
x′＝12，
将
x＝1，y＝0
代入(1)式得 y′＝
3 2.
由(1)消去 y，并将 x＝－1 代入，得 x′＋ 3y′＝－2.
∴曲线 E′仍为抛物线，它的焦点坐标 F′12， 23，准线方程 l′：x＋ 3y＋2＝0.
6．已知椭圆x42＋y32＝1 经过矩阵 M 对应的变换作用下变为椭圆x32 ＋y42＝1，求变换矩阵 M. 解：将椭圆x42＋y32＝1 变换为椭圆x32＋y42＝1，可以伸压变换，
2
，
1
2
故对应的坐标变换公式为x′＝12x＋ 23y
.
y′＝－ 23x＋12y
令
x＝－1，y＝0
得x′＝－12
y′＝
3 2
.
所以所求的点 A′的坐标为－12， 23.
曲线在旋转变换作用下的象
[例 2] 已知曲线 C：x2＋y2＝2，将曲线 C 绕坐标原点逆时 针旋转 60°后，求得到的曲线 C′的方程．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线 方程．
[精解详析] 旋转变换对应的矩阵
M＝csions
60° 60°
－sin cos
1 6600°°＝2
3
－
3
2
，
1
2 2
设 P(x0，y0)为曲线 C 上任意的一点，它在矩阵 M 对应的变
反射变换ppt课件
问题情境
求圆C：(x2)2(y2)22在矩阵
M
1
0
0 1
作用下变换所得的曲线.
y
(x2)2(y2)22
(x2)2(y2)22
(2, 2)
(2,2)
O
x
反思：两个几何图形有何特点？
y
O
x
问1：假设将一个平面图形F在矩阵M1的 作用变换下得到关于y轴对称的几何图形， 那么如何来求出这个矩阵呢？
0
作用下
变换得到的曲线。
1
3、求出△ABC在矩阵
2 3
2
3 2 1
作用下变换得到的图形,
2
并给出图示，其中 A(0,0),B(1, 3),C(0,2)
4、用矩阵方法求直线y=5x-2关于直线y=-x 对称的直线方程
变式训练
1.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别变换成(5,7)与(-3,6)
1
(2)
M3
0
0 1
把一个几何图形变换为与之关于原点 对称的图形；
0 (3) M 4 1
1
0
把一个几何图形变换为与之关于直线 y=x对称的图形；
0 1 把一个几何图形变换为与之关于直线
(4) M5 1
0
y=-x对称的图形；
普通地，称形如M1,M2,M3,M4,M5 这样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变 换叫做反射变换，其中〔2〕叫做中心 反射，其他叫轴反射.其中定直线叫做反 射轴，定点称为反射点.
退化情况.
因此，在研讨平面上的多边形或直线在 矩阵的变换作用后构成的图形时，只需调查 顶(端)点的变化结果即可.
课堂反响
1
1、求平行四边形ABCD在矩阵
2019-2020学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.3变换的复合与矩阵的乘法反射变换课件苏教版选修4_
图并指出该变换是什么变换．
(2)矩阵01 10将点 A(2,7)变成了怎样的图形？画图并指出 该变换是什么变换．
[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再 画出图形即可看出是什么变换．
[精解详析]
(1)因为－10
0 1
25＝－25，
∴y′90
2
＋x′ 0
2＝1；因此
x′ 0
2＋y′90
2
＝1.
从而所求曲线方程为 x2＋y92＝1，是椭圆．
矩阵10 01把一个图形变换为与之关于直线 y＝x 对称的图 形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．
3．求曲线 y＝1x(x>0)在矩阵－10 －01对应的变换作用下得到的 曲线． 解：矩阵－01 －10对应的变换是关于原点对称的变换，因 此，得到的曲线为 y＝1x(x<0)．
(*)
又点 P′(x′，y′)在直线 y＝4x 上，所以 y′＝4x′，从而有 y ＝14x，从而直线 y＝4x 在矩阵－10 －01作用下变换成直线 y＝14 x.根据(*)，它们关于直线 y＝－x 对称．如图所示．
1．计算－01
－1 0
xy，并说明其几何意义．
0 －1
53＝－53；
(2)－01
0 －1
53＝－ －35；
(3)10
1 0
53＝35.
三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于 x 轴反射变换、关
于原点的中心反射变换以及关于直线 y＝x 的轴反射变换，得到
[精解详析] 任取椭圆x92＋y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在矩
阵01
10对应的变换作用下变为 P′(x′0 ，y′0 )．则有10
高中数学2.2几种常见的平面变换4旋转变5投影变换6切变变换课件苏教版选修4-2
2.投影变换 (1)定义：将平面图形投影到某条直线 (或点)的变换，称为投影变换.
(2)投影变换矩阵：像10 00，11 00这类将平面内图形投影到 某条直线 (或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.
(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射. 3.切变变换 (1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和 线间夹角可以改变，且点 沿坐标轴 运动的变换叫做切变变换.
1.矩阵10 00确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到 x 轴上， 即(x，y)―→(x，0)；矩阵11 00确定的投影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直 于 x 轴方向投影到直线 y＝x 上，即(x，y)―→(x，x)；矩阵00 01确定的投影变换， 将坐标平面上的所有点垂直投影到 y 轴上，即(x，y)―→(0，y).
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
换情况，从而得解.
矩阵10 k1(k∈R，k≠0)确定的变换为沿 x 轴方向平移|ky|个单位的切变变换； 而1k 10(k∈R，k≠0).确定的变换为沿 y 轴方向平移|kx|个单位的切变变换，不要 将二者混淆.
1.旋转中心为坐标原点且逆时针旋转π4 的旋转变换的变换矩阵为________. 【导学号：30650018】
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这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
11
学生活动
变式：
设
a,b
R
若M
a 1
0 b
定义的线性变换把直线
l : 2x y 7 0变换成另一直线 l : x y 7 0
求a, b 的值.
12
学生活动
1.求平行四边形OBCD在矩阵01
0 1
作用
下变换得到的几何图形，并给出图示，其中
O(0,0), B(2,0),C(3,1), D(1,1)
x x x 1 0 x
T1
:
y
y
y
0
1
y
0 1
6
问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？
(1)
M2
1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形；
(2) M3
1
0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1原点对称的图形；
(3)
M4
0 1
1 0
把一个几何图形变换为与之关于
直线 y x对称的图形；
(4) M5
0 1
1把一个几何图形变换为与之关于
0 直线 y x对称的图形；
7
构建数学 一般地，称形如 M1, M 2 , M3, M 4 , M5
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的 变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
（2）求直线L:x-y=4在此变换下所成的直线L/的解析式.
19
17
数学应用
例4.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图。
变式：将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转300.
18
延伸拓展
已知二阶矩阵M对应的变换将（1，-1）与（-2，1） 分别变换为（5，7）与（-3，6）. （1）求矩阵M；
矩阵
1 0
0 1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
x x x
0
1
y
y
T
:
y
y
y
2
温故知新
2.伸压变换矩阵 M
a 0
0 1
N
1 0
0
b
伸压变换 矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,
或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.
1 0
0 1 2
x
y
x y 2
2.求出曲线y 3 x 在矩阵
作用下变换得到的曲线.
M
0 1
1
0
13
学生活动
1.求矩形OBCD在矩阵
0 1
01作用下变换得到的
几何图形，并给出图示，其中
O(0, 0), B(2, 0),C(2,1), D(0,1)
2.求出曲线
y
3
x
经 M1
1 0
0 1
和
0 M2 1
1 0
作用下变换得到的曲线.
8
数学应用
例1 求出曲线 y x2
(x 0) 在矩阵
M
1 0
0 1
作用下变换所得的图形. y
y x2 (x 0)
1
O
1
x
-1
y x2 (x 0)
9
数学应用
例2.求出直线 y 4x 在矩阵
作用下变换得到的图形.
M
0 1
1 0
变: y lg x(x 0)
y 10x y
y lg x (x 0)
15
构建数学 旋转变换
2.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转
θ的变换矩阵P(.x其, y中)θ称为旋转角,点O为旋转中心.
r
r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x r cos( ) r cos cos r sin sin xcos y sin
y
r
sin(
)
r sin
14
学生活动
3.求 y
x2 (x
0)在M1
1 0
0
1
1
M2
0
0 1
1
M3
0
0
0
1 M4 1
1 0
分别作用下变换得到的曲线.
4.二阶矩阵M对应的变换将 (1, 1) 与 (2,1)
分别变换成 (5, 7) 与 (3,6)
（1）求矩阵M
（2）求直线l : x y 4在此变换下所变成的直线
l 的解析式.
学习目标: 1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换； 2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义； 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
1
温故知新
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)
E
1 0
0 1
恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以
T
:
x
y
x y
x y 2
伸压变换——
1 0
0 2
3 0
0 1
1 0
0 0.5
3
问题情境
求圆C：(x 2)2 ( y 2)2 2在矩阵
1
M
0
0 1
作用下变换所得的曲线.
y
(x 2)2 ( y 2)2 2
(x 2)2 ( y 2)2 2
(2, 2)
1
O
1
x
10
数学应用 例3.求直线l : 2x y 7 0 在矩阵 M
作用下变换得到的图形.
3 1
0 1
思考1：若矩阵M
3 1
10改为矩阵
A
3 1
1 1
则变换得到的图形是什么？
思考2：我们从中能猜想什么结论？ 或点
一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
A(1α 2β) 1Aα 2Aβ
cos
r
cos
sin
y
cos
x sin
cos sin x x cos y sin x
sin
cos
y
x sin
y
cos
y
16
旋转变换
M=
cos sin
sin
cos
0 1 0 1
1
0
,
-1
0
0 1
1 0
x
y
y x
T
:
x y
x y
y x
旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等，副对角线上的两
个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为1.另外中 心对称与旋转1800是同一变换, 要注意旋转变换中旋转方向 为逆时针.
旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形
的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋 转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋转1800的变换相当于 关于定点作中心反射变换.
(2, 2)
O
x
两个几何图形有何特点？
4
问题情境
y
O
x
已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换,分别得 到图片F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗?
5
问题1：若将一个平面图形 F 在矩阵M1 的作用变换下得到关于 y 轴对称的几
何图形，则如何来求出这个矩阵呢？