例说解析几何圆问题的几何处理办法
九年级数学圆几何题小妙招
九年级数学圆几何题小妙招一、了解圆的基本概念在解决九年级数学圆几何题时，首先要掌握圆的基本概念，包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
这些基本概念是解决圆几何题的基础，只有熟练掌握这些概念，才能更好地分析问题和解决问题。
二、善于运用性质定理圆的性质定理是解决圆几何题的重要工具，包括弦长定理、切割线定理、相交弦定理、同弧所对的圆周角相等等。
在解题过程中，要善于运用这些定理，将复杂的问题转化为简单的问题，从而提高解题效率。
三、明确题目要求在解决九年级数学圆几何题时，要明确题目的要求，包括求解什么、已知什么条件等。
只有明确了题目要求，才能有针对性地进行分析和解答。
同时，要注意审题，避免因为看错题目而出现错误。
四、画图辅助解题在解决九年级数学圆几何题时，画图是一种非常有效的解题方法。
通过画图，可以将抽象的问题具体化，从而更好地分析问题和解决问题。
画图时要尽量准确，遵循题目的条件，不要随意添加或减少条件。
五、分类讨论在解决九年级数学圆几何题时，有时候需要对问题进行分类讨论。
例如，当涉及到弦与直径的关系时，可以分为弦是直径的情况和非直径的情况；当涉及到圆周角与圆心角的关系时，可以分为圆周角等于圆心角的情况、圆周角大于圆心角的情况和圆周角小于圆心角的情况等。
通过分类讨论，可以更好地解决问题。
六、利用对称性在解决九年级数学圆几何题时，可以利用对称性简化问题。
例如，当涉及到两个圆的位置关系时，可以考虑将其中一个圆关于另一个圆的直径进行对称，从而将问题转化为求解一个圆上的几何问题；当涉及到多个圆的位置关系时，可以考虑将多个圆进行适当的旋转和平移，使得问题变得简单。
七、利用代数方法在解决九年级数学圆几何题时，有时候可以利用代数方法简化问题。
例如，当涉及到弦长和半径的关系时，可以利用勾股定理求解；当涉及到弧长和半径的关系时，可以利用弧长公式求解；当涉及到角度和弧度的关系时，可以利用角度制和弧度制的转换公式求解等。
通过代数方法，可以更快地解决问题。
如何利用圆解决初中几何问题
如何利用圆解决初中几何问题几何问题在初中数学中占有重要地位，其中对于圆的应用更是应该引起我们的注意。
圆作为几何形状的一种特殊情况，具有独特的性质和应用，能够帮助我们解决很多几何问题。
本文将介绍如何利用圆解决一些常见的初中几何问题。
一、圆的基本性质在利用圆解决几何问题之前，我们首先要了解圆的一些基本性质。
圆是由同心圆及其直径或弦组成的，有以下基本性质：1. 圆心到圆上任意一点的距离相等。
2. 圆上任意两点之间的弧长相等的充要条件是这两点所对的圆心角相等。
3. 圆上的任意一条弦所对的圆心角等于其所对的弧所对的圆心角的一半。
4. 圆上的任意一条弧所对的圆心角等于其所对的弦所对的圆心角的一倍。
二、利用圆解决问题的基本方法1. 利用圆的对称性圆具有对称性，通过利用圆的对称性可以简化一些几何问题的解决过程。
例如，在证明两个角相等时，我们可以通过连接角的顶点和圆心，利用圆的对称性来简化证明过程。
2. 利用圆的切线和割线性质对于与圆相切或相割的直线，有一些重要的性质可以帮助我们解决几何问题。
例如，对于与圆相切的直线，切点与切线的两条线段相互垂直；对于与圆相割的直线，相交部分的弧长成等分线段所对的圆心角。
通过利用这些性质，我们可以解决一些线段和角的关系问题。
3. 利用圆的弧长和扇形面积圆的弧长和扇形面积是圆的重要性质之一，也是解决几何问题常用的手段。
例如，在求解弧长或扇形面积的问题时，我们可以利用角度与弧长或面积之间的关系，根据已知条件进行计算。
4. 利用圆锥曲线的性质圆锥曲线是圆的一种特殊情况，具有独特的性质和应用。
例如，利用椭圆的焦半径性质可以解决椭圆的平移、旋转和伸缩问题；利用双曲线的对称性可以解决双曲线的焦点和直角位置问题。
三、应用实例现在，让我们通过一些具体的几何问题来演示如何利用圆解决初中几何问题。
1. 如何利用圆解决正六边形的问题？已知正六边形的顶点均在一个圆上，可以通过绘制圆的中心到顶点的连线，利用圆心角和扇形面积的关系来解决正六边形的问题。
一个解析几何问题的思维展示
一个解析几何问题的思维展示
解决几何问题需要运用分析、推理、探究等多种思维方式。
下面是一个解析几何问题的思维展示：
问题：已知两个圆，其中一个圆的圆心坐标为(1, 2)，半径为3，另一个圆的圆心坐标为(5, 7)，半径为4。
求这两个圆的位置关系。
解题步骤：
1.确定目标：求两个圆的位置关系。
2.分析问题：根据圆的性质，我们知道，两个圆的位置
关系可能为内含、相离、相切、相交。
3.构建模型：由于题目中给出的是两个圆的圆心坐标和
半径，因此可以画出这两个圆的图形。
4.进行推理：根据图形的形状，可以判断两个圆的位置
关系。
如果图形的形状表明两个圆相交，则两个圆的
位置关系为相交；如果图形的形状表明两个圆相离，
则两个圆的位置关系为相离，以此类推。
5.得出结论：根据推理的结果，可以得出两个圆的位置
关系。
6.加强理解：可以尝试自己画出两个圆的图形，并进行
自测，加深对问题的理解。
解决圆形的问题
解决圆形的问题圆形在我们的生活中经常出现，解决与圆形相关的问题是数学中的基本任务之一。
本文将探讨解决圆形的问题的方法和技巧。
1. 圆的定义和性质圆是由一条固定距离（半径）与平面上所有点构成的集合。
圆的性质包括：圆心、半径、直径、弧、弦、切线等。
2. 圆的面积和周长计算计算圆的面积和周长是解决圆形问题的基础。
圆的面积公式为：S= πr²，其中，S为圆的面积，r为圆的半径。
圆的周长公式为：C = 2πr，其中，C为圆的周长。
3. 圆与直线的关系圆与直线有着多种关系，包括：相切、相交和相离。
解决圆与直线相关的问题，需要掌握切线与半径的性质，以及相切直线与圆的判定方法。
4. 弧度制与度度量制的转换解决圆形问题中，常常需要进行弧度制与度度量制之间的转换。
弧度制是以弧长所对应的圆心角的大小为度量单位，度度量制是以直角为90度，全圆为360度进行度量。
5. 圆的投影问题当一个圆沿着不同方向进行投影时，投影的形状和性质也会发生变化。
解决圆的投影问题，需要通过几何投影的理论来分析和计算。
6. 圆的切线问题圆的切线是过圆上某一点且与圆相切的直线。
解决圆的切线问题，需要了解切线与半径的性质，并掌握切线与圆的切点的计算方法。
7. 圆的平行线问题通过圆心和圆上一点可以确定一条切线，从而可以得到一组平行线。
解决圆的平行线问题，需要利用切线与半径的性质，并结合平行线的定义进行分析。
8. 圆锥曲线问题圆锥曲线是由平面上一动点与两定点之间的距离之比构成的图形。
解决圆锥曲线问题，需要掌握圆锥曲线的基本性质，如椭圆、双曲线和抛物线等。
9. 圆的旋转问题圆的旋转问题是指图形围绕圆心旋转一周产生的问题。
解决圆的旋转问题，需要运用旋转变换的相关知识，并结合圆的性质进行分析和计算。
综上所述，解决圆形的问题需要掌握圆的定义和性质，计算圆的面积和周长，了解圆与直线、圆的投影、切线、平行线、圆锥曲线以及圆的旋转等相关的知识和技巧。
通过运用这些方法和技巧，我们可以更好地解决与圆形相关的问题，并应用到实际生活和学习中。
几何题解圆的技巧
几何题解圆的技巧1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：① 利用垂径定理；① 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；① 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2.遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形3.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点作用：利用圆周角的性质，可得到直径4.遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；①据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5.遇到有切线时常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）；作用：利用切线的性质定理可得OA①AB，得到直角或直角三角形。
常常添加连结圆上一点和切点；作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6.遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA①l，则l为切线。
（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线。
7.遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到① 角、线段的等量关系① 垂直关系① 全等、相似三角形8.遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；① 内心到三角形三条边的距离相等。
9. 遇到三角形的外接圆时连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
9.遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。
作用：①利用切线的性质；①利用解直角三角形的有关知识。
圆几何题目解题技巧
圆几何题目解题技巧
1. 哎呀，遇到圆几何题目不要慌！要仔细观察图形啊！比如看到一个圆里有几条线交叉，那不是就像一团乱麻等你去理顺嘛！这时候就得找关键信息啦。
2. 嘿，解题时要善于利用已知条件呀！就像搭积木，一块一块堆起来，你看那个给的角度，不就像给了你个提示让你往那个方向走嘛！比如已知一个圆心角，那能求出好多东西呢！
3. 哇塞，别忘了那些定理啊！圆的定理就像是秘密武器！就好比圆周角定理，多好用啊，一用一个准！比如知道个弧所对的圆周角，马上就能找到圆心角啦！
4. 呀，要学会转化问题呀！把难的变成简单的，这多妙啊！就像走迷宫，找个简单的入口进去。
比如要求弧长，先把半径和圆心角搞定不就好啦！
5. 哈哈，多画画辅助线呀！这就像给题目开了扇窗，一下子就亮堂啦！有的时候一条线就能让你豁然开朗呢！例如连接圆心和某个点，说不定就有新发现！
6. 哟，记得多角度思考问题呀！别在一棵树上吊死！想想不同的方法，就像找钥匙，多试几把说不定就开了！比如可以从角度入手，也可以从线段入手嘛！
7. 唉，可别死脑筋呀！灵活一点！就跟跳舞似的，要跟着节奏来。
像那种看似复杂的图形，换个角度也许就简单了呢！
8. 总之，解决圆几何题目就是一场有趣的挑战！要细心、要动脑、要勇敢尝试！只要你掌握了这些技巧，还怕什么难题呢！。
巧用圆的平面几何性质处理解几问题
与 方向相反， ・ 一Ｉ ｉＯ ｌ ３ 则 郦 Ｏ ・ Ｑ＝ ． Ｐ Ｉ 一
４巧 用 圆 心 角 、 周 角 等 的 性质 ． 圆
例 ５ 设 直 线 Ｌ：ｘ ４ ＋ ０ 圆 Ｃ ： ｙ＋ 一 ｙ ０ 交 于Ｐ ： ３ ＋ ｙ ｍ＝ 与 ． ＋ ｘ ２＝ ￣ ｘ 、
分 析 ： Ｃ 为 圆 上 的 动点 ， 设 出Ｂ、 的 坐标 ， 进 角 参 Ｂ、都 若 Ｃ 引
数 ， 导致 繁复的运算． 果 注意到 由“ 径定理 ” 知Ｏ 上 将 如 垂 可 Ｍ
１
Ｂ （为原点）再结合 Ｃ Ｂ ９。Ｉ ＩＢ ＝ Ｍ＝ Ｂ Ｉ Ｃ０ ， Ａ ＝０， Ｍ＝ ＭＩＣ Ｉ÷Ｉ ， Ａ Ｉ Ｉ Ｃ即
Ｚ
Ｏ 点 ， 当Ｉ为何 值 时 ， Ｐ上Ｏ 两 则 ｎ Ｏ Ｑ？
可迅速解题． 解 ： Ｍ（ ， ） 连 接 Ｏ Ｏ ＭＡ， 设 ｘＹ， Ｃ， Ｍ， 则 由“ 径 定 理 ” 垂 ， Ｍ为Ｂ 的 中点 Ｃ
‘ 。
解： 如图２因圆ｃ： ｙ ｘ２＝ 过原点０， ＬＰ Ｑ ， － 一ｙ０ ＋ ＋ 则 Ｏ 是圆ｃ
的 圆周 角 ， 为 直 角 ． 据 “ 中９ 。 圆 周 角 所 对 的 弦 是 直 且 根 圆 ０的
径 ” 知Ｐ 可 Ｑ￣ ＩＣ 的直 径 ， 直 线 ３ ＋ ｙ ｍ＝ 过 圆 ， 。一 １ ￥ 。 Ｉ 即 ｘ ４＋ ０ ＬＣ （
…
９
４
‘
Ｐ２ Ｆ为钝角 时， 横坐标 的取值范围是— 点Ｐ
图１
—
．
， 一
２巧 用 “ 割 线长 定 理 ” ． 切
例２ 已 知 直线 ｙ ｍ （ ： ＝ ｘ ｍ∈Ｒ） 圆Ｃ：‘ｖ一 ｘ ５ ０ 交 于 两 与 ｘ＋‘６＋ ＝ 相
解析几何中的隐圆问题
解析几何中的隐圆问题在直线与圆的综合考查中，有时题设条件并没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆的方程或圆的定义，从而可以利用圆的知识来求解，这类问题常被称为“隐圆”问题．此类问题在高考中出现的频率比较高，通过对以往考题的分析与研究，可以总结为如下的几种题型．1．利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）可确定隐圆题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，则可以得到点的轨迹为圆．例1 已知圆22:1O x y +=，圆22:()(4)1M x a y a −+−+=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则实数a 的取值范围为________． 解 由题意得，圆心()4M a a −，在直线40x y −−=上运动， 则动圆M 是圆心在直线40x y −−=上，半径为1的圆．又因为圆M 上存在点P ，使经过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使60APB ∠=︒， 所以2OP =，即点P 也在224x y +=上，记为圆E ， 则圆E 与圆O 一定有公共点．于是2121−≤+，即13≤≤，所以实数a 的取值范围是22⎡⎢⎣⎦． 2．利用圆的性质（动点到两定点的夹角为直角）可确定隐圆 题目中若动点到两定点的夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆．例2 在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y −+=与直线2:20l x ky +−=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y −−=的距离的最大值为_______．解法1 直线12l l ，分别经过定点()()0220A B ，，，，且12l l ⊥，所以点P 在以AB 为直径的圆C 上．则圆C 的圆心为()11C ，，半径r =因为圆心C 到直线:40l x y −−=的距离为d =所以，点P 到直线l的距离的最大值为d r +=．解法2 当0k =时，点()22P ，到直线40x y −−=的距离为 当0k ≠时，解方程组2020kx y x ky −+=⎧⎨+−=⎩，，得两直线交点P 的坐标为22222211k k k k −+⎛⎫⎪++⎝⎭，， 所以，点P 到直线40x y −−==， 显然当k 为正数时取得最大值，则有211112k k k k=≤++，34⨯≤= 综上可知，点P 到直线l的距离的最大值为d r += 3．已知两定点A ，B ，动点P 满足⋅PA PB 为定值可确定隐圆 已知两定点A ，B ，动点P 满足PA PB ⋅为定值的轨迹为圆．例3 已知点()()1010A B −，，，，若圆22(1)(2)1x a y a −++−−=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的取值范围是________． 解 设()M x y ，， 因为3MA MB ⋅=所以()()113x y x y −−−⋅−−=，，， 即224x y +=，表示圆．又因为点M 在圆22(1)(2)1x a y a −++−−=上，所以两圆必有交点，2112−+， 即27(21)9a −≤+≤， 解得21a −≤≤．4．已知两定点A ，B ，动点P 满足22+PA PB 为定值可确定隐圆 已知两定点A ，B ，动点P 满足22PA PB +为定值的轨迹是圆．例4 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +−=及点()()1012A B −，，，．在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数，若不存在，说明理由．解 圆C 的标准方程为22(2)4x y −+=，所以 圆心()20C ，，半径为2． 假设圆C 上存在点P ，设()P x y ，，则22(2)4x y −+=，又222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++−+−+−=，即22(1)4x y +−=，是圆心为()01，，半径为2的圆．因为2222−<+，所以圆22(2)4x y −+=与圆22(1)4x y +−=相交， 所以点P 的个数为2．5．给定两定点A ，B ，动点P 满足(01)=>≠，AP λBP λλ的关系可确定隐圆若给定两定点A ，B ，动点P 满足(01)AP BP λλλ=>≠，的关系，则P 点的轨迹为隐圆，我们称为阿波罗尼斯圆．例5 已知O 为原点，()()2010A B −，，，，若MA =，则MB 的最大值为_______． 解 设()M x y ，，由MA =，得()2222(2)2x y x y −+=+，即22(2)8x y ++=，记为圆C ．所以M 的轨迹的圆心为()20C −，，半径为又1BC =，所以1max MB BC r =+=+6．利用轨迹法确定圆所谓轨迹法就是通过设点，根据题目中所给的条件得到轨迹方程．常见求轨迹的方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法．例6 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1050A B −，，，，若圆22:(4)()4M x y m −+−=上存在唯一点P ，使得直线PA PB ，在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________． 解 设点()00P x y ，，则直线PA 方程为()0011y y x x =++，它在y 轴上的截距为001y x +， 同理PB 在y 轴上的截距为0055y x −−， 由截距之积为5，得00005551y y x x −⋅=−+，化简得()220029x y −+=， 又()()1050A B −，，，满足()220029x y −+=， 所以点P 的轨迹是以()20，为圆心，半径为3的圆． 由题意P 的轨迹应与圆M 恰有一个适合题意的点，则：①若A ，B 不在圆M5=，解得m =1=，m 无解；②若A 或B 在圆M 上，把点A 代入圆M 可知不合题意，把点B 代入圆M ，解得m =经检验也成立．综上可知，m =m =例7 若实数x 、y满足x −=x 的取值范围是________．解析：令a b ==0a ≥，0b ≥．则()22x y x y a b =+−=+．方程x −=可化为2242a b a b +−=，即()22(2)(1)500a b a b −+−=≥≥，，如图1，在aOb 平面内，点()a b ，的轨迹是以()21C ，00a b ≥≥，的部分，即圆弧ADB 与原点O 的并集，其中，A 、B 分别为圆弧ADB 与x 轴、y 轴的交点，又因为222x a b =+=的几何意义是点()a b ，与原点O 两点的距离的平方．易知{}20⎡⎣，所以22x a b =+的取值范围是[]{}4200，．例8 函数y =________．解析：设函数()f x =，令y =()M x y ，位于一个单位圆x 轴的上半部分，如图3所示．将函数()f x =改写为()()02y f x x −=−−，它表示定点()20A −，与点()M x y ，所连直线MA 的斜率．直线MA 与上半单位圆相切时，在直角三角形MOA 中，1230MO OA MAO ==∠=︒，，，所以30MA k tan =︒=．又0AO k =，所以()0f x ⎡∈⎢⎣⎦．即函数2y x =+的值域为0⎡⎢⎣⎦．7. 当两个定点到某直线的距离分别确定时的隐圆.例9 若点()10A ，和点()40B ，到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有______条． 解析：如图1，分别以A ，B 为圆心，1，2为半径作圆依题意知，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条（2条外公切线，1条内公切线）．故满足题意的直线有3条．评注：本题已知条件中虽然没有直接出现圆，但由题意并数形结合，把原问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题．8. “四点共圆”模型我们知道判定某一四边形有外接圆的常见方法有两个，一种方法是四边形的一组对角互补，另一方法是某一边分别与其对边的两个端点构成的角大小相等，根据圆的内接四边形的这两个性质，若题中出现的向量可以构造出四边形且符合这两种情况，则构造四点共圆． 例10 向量m ，n ，p 满足：2m n ==，2m n ⋅=−，()()12m p n p m p n p −⋅−=⋅−⨯−，则p最大值为（ ）A ．2BC ．1D ．4解析 因为2m n ==及2m n ⋅=−， 所以m ，n 的夹角为120︒． 因为()()12m p n p m p n p −⋅−=−⨯−， 所以m p −与n p −的夹角为60︒． 设OA m OB n OC p ===，，， 则m p CA n p CB −=−=，， 于是12060AOB ACB ∠=︒∠=︒，．发现180AOB ACB ∠+∠=︒，且2AOB ACB ∠=∠，故构造如图4、图5两个圆，易知两圆半径长均为2，点C 均在优弧AB 上，结合圆的性质知[]24OC ∈，，所以p 的最大值为4． 同步练习1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：（x ＋4）2＋（y －a ）2＝16上的两个动点，且AB ＝，若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA PB OC +=，则实数a 的值为 ． 【答案】2或－18【解析】由“圆C 的弦AB 长度为定值AB ＝”知，弦AB 的中点M 的轨迹是以点C 为圆心的圆，由“PA PB OC +=”得2PM OC =，可求得动点P 的轨迹也在圆上，此时直线l 上存在唯一的一个点P 符合要求，故直线l 和动点P 的轨迹（圆）相切．【详解】设AB 的中点为M （x 0，y 0），P （x ，y ），则由AB ＝CM =即点M 的轨迹为（x 0＋4）2＋（y 0－a ）2＝5.又因为PA PB OC +=，所以1,(4,)2PM OC C a =−，即（x 0－x ，y 0－y ）＝(2,)2a −，从而0022x x a y y =−⎧⎪⎨=+⎪⎩，则动点P 的轨迹方程为22(2)()52a x y ++−=，又因为直线l 上存在唯一的一个点P ，所以直线l 和动点Pa ＝2或a ＝－18.故答案为：2或－18【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，结合弦长分析点M 的轨迹，转化成直线与圆相切，充分体现了转化与化归思想.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y −+=与直线2:k 20l x y +−=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y −−=的距离的最大值为 .【答案】【详解】 由题意得，直线1:20l kx y −+=的斜率为k ，且经过点(0,2)A ,直线2:20l x ky +−=的斜率为1k−，且经过点(2,0)B ，且直线12l l ⊥所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标(1,1)C，半径为r = 则圆心到直线40x y −−=的距离为d ==所以点P 到直线40x y −−=的最大距离为d r +=3．已知平面上两定点A 、B ，且2AB =，动点P 满足(0)PA PB λλ⋅=<，若点P 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为 ．【答案】34−##-0.75【分析】利用解析方法，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到动点P 点的轨迹方程221x y λ+=+，分1λ=−和10λ−<<两种情况讨论，当10λ−<<时，利用两圆的位置关系得到关于λ的不等式，进而求解得到λ的取值范围. 【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()()1010A B −，，，．设()P x y ，，且动点P 满足PA PB λ⋅=，即()()11x y x y λ−−−⋅−−=，，， 则221x y λ+=+， 当1λ=−时，满足题意；当10λ−<<时，点P 为半径的圆上，同时点P 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，即圆221(10)x y λλ+=+−<<与圆221(1)4x y −+=相离或外切内切或内含，112≤112≥， 解得314λ−<≤−或54λ≥（舍去），所以负数λ的最大值为34−．故答案为：34−.4．函数()f a =的最大值为 ． 【答案】2x y ==，则22100x y x y +=≥≥，，，原问题可化为在条件22100x y x y ⎧+=⎨≥≥⎩，下，求z x =的最大值问题，利用线性规划思想求得最大值.x y ==，则22100x y x y +=≥≥，，， ()f a x ==．原问题可化为在条件22100x y x y ⎧+=⎨≥≥⎩，下，求z x =的最大值问题.将目标函数化为33y x z =−+，其图象是一条与3y x =−平行的直线．当直线y =与圆弧相切时，z 取最大值，此时，由圆心到直线的距离等于半径，易知12z =，得2z =（舍去负值）， 所以函数()f a 的最大值为2． 故答案为：2.5．在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ，，直线:24l y x =−，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 【答案】1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】设(,)M x y ，由2=MA MO 得出M 点的轨迹方程，轨迹是圆，由此圆与圆C 有公共点可得．【详解】因为圆心C 在直线:24l y x =−．可设圆心()24C a a −，，则圆C 的方程为()22()[24]1x a y a −+−−=．设()M x y ，，由2=MA MO 化简整理得22(1)4x y ++=，所以点M 在以()01D −，为圆心，2为半径的圆上， 由题意得点M 也在圆C 上，所以圆D 和圆C 有公共部分， 即 2121CD −≤≤+，13≤≤， 解得1205a ≤≤， 故圆心C 的横坐标a 的取值范围1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知,B C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围是 ．【答案】【分析】设BC 的中点为M ，由已知2BC AM =，因此可设(,)M x y ，求出M 点的轨迹方程知M 点轨迹是圆，从而易得AM 的取值范围．【详解】设BC 的中点为(,)M x y ，因为222OB OM BM =+22OM AM =+， 所以22224(1)(1)x y x y =++−+−，化简得22113()()222x y −+−=，即点M 的轨迹是以11(,)22所以AM 的取值范围是[]22，从而BC 的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查动点的轨迹的求法以及点与圆的位置关系中的最值问题，对于圆中的弦长问题，注意通过弦心距进行转化，本题属于中档题.7．设x y ∈R 、，则22(1cos )(1sin )P x y x y =+−+−+的最小值是 ．【答案】3−【分析】22(1cos )(1sin )P x y x y =+−+−+的几何意义为点()11A x x +−，与点()cos sin B y y −，之间的距离的平方．利用参数方程思想分别考察,A B 的轨迹，得到在直角坐标系aOb 中，点A 在直线20a b −−=上，点B 在半径1R =的圆22:1O a b +=上．利用点到直线的距离公式和圆的性质求得min ||AB ，然后平方即得所求.【详解】22(1cos )(1sin )P x y x y =+−+−+的几何意义为点()11A x x +−，与点()cos sin B y y −，之间的距离的平方．设11a xb x =+⎧⎨=−⎩，则点A 在直线20a b −−=上； 设cos sin a y b y=⎧⎨=−⎩，则点B 在半径1R =的圆22:1O a b +=上． 如图，在直角坐标系aOb 中，圆心O 到直线20a b −−=的距离d ==则min ||1AB d R =−=．所以P 的最小值为21)3=−．故答案为：3−.8．已知向量a ，b ，c 为平面向量，21a b a b ==⋅=，且c 使得2c a −与−c b 所成夹角为60，则c 的最大值为（ ）A 1BC ．1D 1【答案】A【分析】先根据已知条件求出向量a ，b 的夹角，建立平面直角坐标系，设122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10B ,，设OA a =，OB b =，2OA a '=，根据线性运算可得2c A C a '=−，c b BC −=，60ACB ∠=，结合正弦定理可求出点C 的轨迹，当,,C M O 三点共线时取得最大值，即可求解. 【详解】因为21a b a b ==⋅=，所以2cos 1a b a b ⋅⋅=，可得1cos 2a b ⋅=， 因为0180a b ≤⋅≤，所以60a b ⋅=，如图所示：在平面直角坐标系中，122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10B ,， 不妨设OA a =，OB b =，延长OA 到OA '使得OA AA '=，则2OA a '=， 点C 为平面直角坐标系中的点，OC c =，则2c A C a '=−，c b BC −=，则满足题意时，60ACB ∠=，结合点A '，B 为定点，且A B '= 由正弦定理可得：2sin 60A B R '=，可得1R =，则点C 的轨迹是以322M ⎛ ⎝⎭为圆心，1为半径的优弧上， 当,,C M O 三点共线，即点C 位于图中点I 位置时，c 取得最大值，其最大值为11OM R +=， 故选：A.9．若2,AB AC =，则ABC S ∆的最大值是 .【答案】【详解】设，则，根据面积公式得，①根据余弦定理得，，将其代入①式得，，由三角形三边关系有，解得，故当时，取得最大值考点：解三角形点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.。
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例说解析几何圆问题的常规处理办法一、知识讲解知识点1：圆的概念和方程（1）平面内到定点距离等于定值的点的集合（轨迹）称为圆；（2）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=；以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，以为半径的圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->；以()()1122,,,A x y B x y 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=（3）以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（其中θ是参数）。
知识点2：圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系○1点(),m n 与圆220x y Dx Ey F ++++=： 若220m n Dm En F ++++<，点在圆内；若220m n Dm En F ++++=，点在圆上；若220m n Dm En F ++++>，点在圆外。
○2点(),m n 与圆()()222x a y b r -+-=： 若()()222m a n b r -+-<，点在圆内；若()()222m a n b r -+-=，点在圆上；若()()222m a n b r -+->，点在圆外。
（2）直线与圆的位置关系○1联立直线方程0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=得一元二次方程20ax bx c ++=，若0∆=，直线和圆有一个交点（相切）；若0∆>，直线和圆有2个交点（相交）；若0∆<，直线和圆没有交点（相离）。
○2圆()()222x a y b r -+-=的圆心到直线0Ax By C ++=的距离为d =。
若d r =，直线和圆有一个交点（相切）；若d r <，直线和圆有2个交点（相交）；若d r >，直线和圆没有交点（相离）。
○3圆()()222x a y b r -+-=与直线0Ax By C ++=相交于()()1122,,,A x y B x y 两点。
则： ()222221212121142AB k x x k x x x x r d =+-=++-=-（3）圆与圆的位置关系()()2221111:O x x y y r -+-=，()()2221222:O x x y y r -+-=的圆心距()()22121212O O x x y y =-+-若1212O O r r >+，则两圆外离；若1212O O r r =+，则两圆外切；若112122r r OO r r -<<+，则两圆相交； 若1212OO r r =-，则两圆内切；若1212OO r r <-，则两圆内含； 二、典例分析问题1：待定系数法求解圆的标准方程例题1：(2014·陕西)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________. 解析：由题意可得圆的圆心为(1，0)，故而可得圆的标准方程为：()2211x y -+=变式：(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.解析：由题意可得圆心坐标可设为()2,y y ，根据圆与y 轴的正半轴相切，故而可得2,0r y y =>，根据弦长公式可得()2223221y y y =-⇒=，故而可得圆的标准方程为：()()22214x y -+-=。
问题2：利用距离公式求解圆的位置关系例题2：(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析：由题意可得圆的标准方程为()222x y a a +-=，圆心到直线的距离为：2a d =，根根据弦长公式可得2222222a a a ⎛⎫=-⇒= ⎪⎝⎭，故而圆M 的标准方程为()22222x y +-=，2MN =，故而可得2121MN -<<+，两圆相交。
例题3：(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4C.(6－25)πD.5π4解析：由平面直角坐标系的性质可得 90AOB ∠=︒，故而可得圆C 的图像经过原点O 。
由图像可得点C 到直线的距离和到点O 的距离相等，故而当OC l ⊥时，半径最小，此时41152225r d ===，故而面积的最小值为54π。
变式：(2017·新课标1卷)已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。
若∠MAN =60°，则C 的离心率为________。
解析：如图所示，过点A 作渐近线的垂线AB ，由6030MAN BAN ∠=︒⇒∠=︒，又2233,2AM b AB b OA a OB a b ⎛⎫=⇒==⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭，故而 2232tan 32b b BOA aa b ∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得222212313b b e a a =⇒=+=。
问题3：巧思圆的几何性质与最值、范围问题例题4：(2014·北京，7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.4解析：根据90APB ∠=︒可得点P 在以AB 为直径的圆上，故而点P 的轨迹方程为：222x y m +=故而此问题可转化为以AB 为直径的圆与圆C 有交点的问题，即11151m OC m m m -≤≤+⇒-≤≤+，解得46m ≤≤，故而选B 。
变式：(2014·全国课标2)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( ) A. [－1，1]B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C. [－2，2]D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 解析：点M (x 0，1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N (0，1)，如图，则只需∠OMN ≥45°即可，此时有tan ∠OMN ＝|ON ||MN |≥tan 45°，得0<|MN |≤|ON |＝1，即0<|x 0|≤1，当M 位于点(0，1)时，显然在圆上存在点N 满足要求，综上可知－1≤x 0≤1.问题4：利用基本不等式求解圆的最值问题例题5：(2016·吉林长春质量监测)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A.[1-3，1＋3]B.(-∞，1-3]∪[1＋3，＋∞)C.[2-22，2＋22]D.(-∞，2-22]∪[2＋22，＋∞)解析：根据直线与圆的位置关系可得：()()()()222211211111m n m n m n m n +++-=⇒+=++++++，化简可得1m n mn ++=，根据基本不等式22m n mn +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可得212m n m n +⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，化简可得()()2440m n m n +-+-≥，解一元二次不等式可得222m n +≤-或者222m n +≥+，当且仅当m n =时取等号。
故而选D 。
问题5：巧用建系法解答“定长+动点”问题例题6：(2016·四川)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434B.494C.37＋634D.37＋2334解析：如图所示，以BC 中点为原点建立平面直角坐标系，此时：()()()0,3,3,0,3,0A B C-。
故而可得点P 在以A 为圆心，以1为半径的圆上，故而点P 的轨迹方程为()2231x y +-=，由PM MC =u u u u r u u u u r 可得点M 为CP 的中点。
假设点M 坐标为(),x y ，故而可得点P 坐标为()23,2x y -，代入轨迹方程化简可得：22331224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
此时可得点M 在33,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆上。
max1722BMBQ =+=u u u u r，因此2max 494BM =u u u u r 。
问题7：巧用参数方程（三角换元）法解答取值范围问题例题7：已知椭圆2221(0)25x y m m +=>与双曲线2221(0)7x y n n-=>有相同的焦点，则m n +的取值范围是 （ ） A. (]0,6B. []3,6C. (32,6⎤⎦D. [)6,9 解析：由题意可得222225718m n m n -=+⇒+=，解法1：不妨设m n z +=，故而点(),m n 在直线0m n z +-=与圆()22180,0m n m n +=>>上，亦即直线与圆在第一象限部分有交点。
故而根据图像可得直线m n z +=在平行线1l 和2l 之间，根据圆与直线位置关系可得相切时3262m d m ==⇒=，故而可得326m n <+≤，因此选B 。
解法2：根据题意可得(),m n 在圆2218m n +=，不妨设32cos 0232sin m n θπθθ⎧=⎪⎛⎫<<⎨ ⎪⎝⎭=⎪⎩，故而可得πθθθ⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，根据三角函数性质可得6m n<+≤，故而选B。
6sin4 m n。