第一章 随机事件与概率
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概率论第一章随机事件及其概率
A
B
和事件 A∪B={| ∈ A或B } A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ， A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S 当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
S
(3).事件的积运算 得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中每一个都要发生，
解. 由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。 (1) A、B互不相容即 AB = ，则 P (B – A ) = 0.5； (2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2； (3) 利用加法公式的另一形式： P (A∪B ) = P (A ) + P (B – A )， 得到P (B – A ) = 0.4。
性质5 设A，B是两个事件，若 A B， 则 P (A ) ≤ P (B ) 性质6 对任意的事件A ，有P (A ) ≤1。 证明思路 利用概率定义中的无穷可加以及非负性等。
思考
性质4中如何推广到n个事件的加法公式
例1.11 假定 P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5 ， 分别计算 (1) A、B 不相容；(2) A B； (3) P (A∪B) = 0.7 时概率P (B – A) 的值。
例如从 26 个英文字母中任取2 个排列， 所有不同方式一共有 P262 = 26×25 = 650。
(2) 可以重复的排列
从 n 个不同元素中允许放回任意取 m 个 出来排成有顺序的一列( 即取出的这些元素 可以相同 )。所有不同的排列方式一共有 n×n×…×n = nm
B
和事件 A∪B={| ∈ A或B } A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ， A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S 当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
S
(3).事件的积运算 得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中每一个都要发生，
解. 由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。 (1) A、B互不相容即 AB = ，则 P (B – A ) = 0.5； (2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2； (3) 利用加法公式的另一形式： P (A∪B ) = P (A ) + P (B – A )， 得到P (B – A ) = 0.4。
性质5 设A，B是两个事件，若 A B， 则 P (A ) ≤ P (B ) 性质6 对任意的事件A ，有P (A ) ≤1。 证明思路 利用概率定义中的无穷可加以及非负性等。
思考
性质4中如何推广到n个事件的加法公式
例1.11 假定 P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5 ， 分别计算 (1) A、B 不相容；(2) A B； (3) P (A∪B) = 0.7 时概率P (B – A) 的值。
例如从 26 个英文字母中任取2 个排列， 所有不同方式一共有 P262 = 26×25 = 650。
(2) 可以重复的排列
从 n 个不同元素中允许放回任意取 m 个 出来排成有顺序的一列( 即取出的这些元素 可以相同 )。所有不同的排列方式一共有 n×n×…×n = nm
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
概率第一章
1.2.1 基本事件空间与事件
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
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1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x ≤ l/2 sin ϕ . 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
SA ∫0 P( A) = = SΩ
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π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
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第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
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第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
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第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
概率论第一章
例如：在检查某些圆柱形产品时， 例如：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只有它的长度及直径 都合格时才算产品合格，那么“产品合格” 直径合格” 都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、 长度合格”等事件有着密切联系。 “长度合格”等事件有着密切联系。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
第1章 概率论的基本概念.
, B不可能同时发生 概率论表述：事件 A .. A不能都不发生， 概率论表述：事件 A 不发生 . 事件 A 和 概率论表述：事件 A 发生，而事件 B 发生 . , , 概率论表述：事件 概率论表述：事件 概率论表述：事件 A A A , B B B 相等意味着它们是同一个集合 中至少有一个发生 同时发生 . . 概率论表述：事件A发生必然导致事件B发生. 也不能都发生，只能恰好发生其中一个.
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
ChapterOne随机事件及其概率(RandomEventsandProbability)(精)
§1.4 条件概率 (Conditional Probability)
一、 条件概率(Conditional probability) Definition 1.5 设 A, B 是 两 个 事 件 ， 且 P( A) 0 ， 称 A 发生的条件下事件 B 发生的
P( B | A) = P( AB) P( A) 为在事件
8 Y 12 ；若以 ( X , Y ) 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以 用这平面上的边长为 4 的一个正方形： 8 X 12 ，8 Y 12 内所有
点表示出来。二人能会面的充要条件是 X Y 1 2 （图中阴影部分） ；所 以所求的概率为：
1 1 2 16 2[ （4 ） ] 阴影部分的面积 15 2 2 P 正方形ABCD的面积 16 64 .
（6）对任意两个事件 A, B ，有
P( A B) P( A) P( B) P( AB) .
这条性质可以推广到多个事件。设 A1 , A2 ,, An 是任意 n 个事件，则有
P( A1 A2 An ) P( Ai )
i 1 n 1i j n
4 C 出现的方式有 6 种，剩下的两种只能在 1，2，3，4，
2 8 6，7，8，9 中任取，共有 种取法。故
4 2 C6 8 P(C ) 96
二、 几何概型 (Geometric probability) 如果一个试验具有以下两个特点： （1） 样本空间 S 是一个大小可以计量的几何 区域（如线段、平面、立体） 。 （2） 向区域内任意投一点，落在区域内任意 点处都是“等可能的” 。 那么，事件 A 的概率由下式计算：
§1.2 概率的统计定义
(The Statistic Definition of Probability)
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第1章 随机事件与概率
第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。
随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。
统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。
（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。
2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。
在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。
样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。
样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。
3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。
事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。
基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。
两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。
空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。
①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。
事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。
（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。
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21.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件 为
A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销”
B.“甲、乙两种产品均畅销
C.“甲种产品滞销
D.甲种产品滞销或乙种产品畅销
答案：D
22.设Ω={x|-∞<x<+∞},A={x|0≤x<2},B={x|1≤x<3},则 表示
A.{x|0≤x<1}
B.{x|0<x<1}
D.
答案：A
25.掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和为3的概率是
A.1/36
B.1/18
C.1/12
D.1/11
答案：B
26.袋中放有3个红球,2个白球,第一次取出一球,不放回,第二次再取一球,则两次都是红球的概率是
A.9/25
B.3/10
C.6/25
D.3/20
答案：B
27.已知事件A、B满足A B,则P(B-A)≠
B.抛掷硬币出现反面的情况
C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况
D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球
答案：D
5.抛掷骰子的随机试验中，基本事件包括（）
A.1,2,3
B.4,5,6
C.2,4,6
D.A∪B
答案：D
6.现有一批药品共5件，其中有2件是次品。则抽3次抽到的次品数的样本空间是（）
A.{0,1,2,3,4,5}
A.2/15
B.1/5
C.1/2
D.3/5
答案：A
32.设A、B为两个随机事件,且O<P(A)<1.P(B)>0,P(B|A)=P( ),则必有
A.P(A|B)=
B.P(A|B)≠
C.P(AB)=P(A)P(B)
D.P(AB)≠P(A)P(B)
答案：C
33.设A,B是两个相互独立的事件,已知 ,则
A.1/2
17.对掷一粒骰子的试验，在概率论中将出现“奇数点”称为
A.不可能事件
B.必然事件
C.随机事件
D.样本事件
答案：C
18.下面各组事件中,互为对立事件的有
A.A1={抽到的三个产品全是合格品}A2={抽到的三个产品全是废品}
B.B1=(抽到的三个产品全是合格品}B2=抽到的三个产品中至少有一个废品}
C.C1={抽到的三个产品中合格品不少于2个}C2={抽到的三个产品中废品不多于2个}
D.D1={抽到的三个产品中有2个合格品}D2={抽到的三个产品中有2个废品}
答案：B
19.下列事件与事件A-B不等价的是
A.A-AB
B.(AUB)-B
C.
D.
答案：C
20.甲、乙两人进行射击,A、B分别表示甲、乙射中目标,则AB表示
A.二人都没射中
B.二人都射中
C.二人没有都射中
D.至少一个射中
答案：B
C.0.75
D.0.5
答案：D
15.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件A与B相互独立，则P(B│A)=（）
A.0
B.0.4
C.0.75
D.0.5
答案：B
16.设A与B是两随机事件,则 表示
A.A与B都不发生
B.A与B同时发生
C.A与B中至少有一个发生
D.A与B中至少有一个不发生
答案：D
A. P(B)-P(A)
B.P(B)-(A)+P(AB)
C.
D.P(B)-P(AB)
答案：B
28.A、B为两事件,若P(AUB)=0.8,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则
A.P( )=0.32
B.P( )=0.2
C.P(B-A)=0.4
D.P( )=0.48
答案：B
29.设A、B为两个事件,P(A)≠P(B)>0,且A B,则下列必成立是
答案：{3}
6.已知A={1，4，5，6，7}，Ω={0,1,2,3,4,5,6,7}则 =__________
答案：{0,2,3}
7.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，事件AB的概率为0.1，则事件A+B的概率为__________
答案：0.8
8.已知则P(B│A)=0.5，事件B的概率为0.4，事件AB的概率为0.3，事件A的概率为__________
答案：√
7.对于任意两个事件A,B,若满足P(AB)=P(A)P(B)则事件A与B相互独立。（）
答案：√
8.若事件A与B相互独立，则则A与 相互独立。（）
答案：×
9.古典概型的不同样本点之间的概率是相同的。（）
答案：√
四、计算题
1.一袋中有10个大小和材质均相同的球，其中有6个白球，4个红球。现从中任取3球，求：
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 D.以上都不对
答案：B
45.设在每次试验中,事件A发生的概率为p(0<p<1),q=1-p,则在n次独立重复试验中,事件A至少发生一次的概率是( )
A.pnB.qnC.1-pnD.1-qnE.以上都不是
答案：D
46.设A与B互为对立事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是( )
B.{1,2,3,4,5}
C.{0,1,2}
D.{1,2}
答案：C
7.已知A={1，4，7}，则当B=( ),A B
A.{1，4，6}
B.{1，6，7}
C.{1，2，7}
D.{1，4，7}
答案：D
8.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},A-B=（）
A.{4，6}
B.{1，4，5，6，7}
第一章随机事件与概率
一、选择题
1.下列不属于随机事件的特征的是（）
A.试验在相同条件下进行
B.每次实验的结果都相同或者相近
C.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个
D.每次试验必有预知结果的其中一个
答案：B
2.下列说法正确的是（）
A.基本粒子构成碳原子
B.在不同高度抛出两枚硬币是正面朝上，这一实验属于随机试验
A.0.6
B.0.9
C.0.8
D.0.3
答案：B
13.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，B A，则事件A+B的概率为（）
A.0.6
B.0.9
C.0.8
D.0.3
答案：A
14.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件AB的概率为0.3，则P(B│A)=（）
A.0.6
B.0.4
A.7/50 B.7/100 C.7/48 D.15/100 D.以上都不对
答案：A
43.设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D. D.以上都不对
答案：C
44.设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(B-A)=( )
A.P(A|B)=1
B.P(B|A)=1
C.
D.
答案：A
30.设A、B为两事件,EP(A)P(B)均大于0,则下列公式错误的是
A. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P(AB)=P(A)P(B|A)
D.
答案：B
31.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取的2件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为
A.a+b+c-1 B.a+b+c C.(a+c)c D.a+b+c+1 D.以上都不对
答案：A
39.已知甲乙丙三人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为1/5、1/4、1/3则该密码只被甲破译的概率是（）
A.1/10 B.3/5 C.2/5 D.1/5 D.以上都不对
答案：A
40.设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0，则有（）
C.抛掷骰子所有可能结果为{1,2,3,4}
D.在相同条件下抛掷硬币不属于随机事件
答案：A
3.下列属于必然事件的是（）
A.抛掷硬币出现正面的情况
B.抛掷硬币出现反面的情况
C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况
D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球
答案：C
4.下列属于不可能事件的是（）
A.抛掷硬币出现正面的情况
A.P(A)=1-P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P( )=l D.P(A+B)=1 E.以上都不是
答案：B
二、填空题
1.已知A={1，2，3，4},B={2，4}，则A__________B
答案：
2.已知A={1，2，3，4},B={1，2，3，4}，则A__________B
答案：B
36.对于任意事件A和B，与A∪B=B不等价的是（）
A.A B B. C. ∅D. ∅D.以上都不对
答案：D
37.已知P(AB)=0,则以下正确的是（）
A.A与B相互独立B.A与B互不相容C.P(A)=0或P（B）=0 D.P(A-B)=P(A) D.以上都不对
答案：D
38.设P(A+B)=a， ( )
答案： 或=或
3.已知A={1，3，4},B={1，2，7，4}，则A∪B=__________
答案：{1,2,3,4,7}
4.已知A={1，3，4},B={1，2，7，4}，则A∩B=__________
答案：{1，4}
5.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},B-A=__________
A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销”
B.“甲、乙两种产品均畅销
C.“甲种产品滞销
D.甲种产品滞销或乙种产品畅销
答案：D
22.设Ω={x|-∞<x<+∞},A={x|0≤x<2},B={x|1≤x<3},则 表示
A.{x|0≤x<1}
B.{x|0<x<1}
D.
答案：A
25.掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和为3的概率是
A.1/36
B.1/18
C.1/12
D.1/11
答案：B
26.袋中放有3个红球,2个白球,第一次取出一球,不放回,第二次再取一球,则两次都是红球的概率是
A.9/25
B.3/10
C.6/25
D.3/20
答案：B
27.已知事件A、B满足A B,则P(B-A)≠
B.抛掷硬币出现反面的情况
C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况
D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球
答案：D
5.抛掷骰子的随机试验中，基本事件包括（）
A.1,2,3
B.4,5,6
C.2,4,6
D.A∪B
答案：D
6.现有一批药品共5件，其中有2件是次品。则抽3次抽到的次品数的样本空间是（）
A.{0,1,2,3,4,5}
A.2/15
B.1/5
C.1/2
D.3/5
答案：A
32.设A、B为两个随机事件,且O<P(A)<1.P(B)>0,P(B|A)=P( ),则必有
A.P(A|B)=
B.P(A|B)≠
C.P(AB)=P(A)P(B)
D.P(AB)≠P(A)P(B)
答案：C
33.设A,B是两个相互独立的事件,已知 ,则
A.1/2
17.对掷一粒骰子的试验，在概率论中将出现“奇数点”称为
A.不可能事件
B.必然事件
C.随机事件
D.样本事件
答案：C
18.下面各组事件中,互为对立事件的有
A.A1={抽到的三个产品全是合格品}A2={抽到的三个产品全是废品}
B.B1=(抽到的三个产品全是合格品}B2=抽到的三个产品中至少有一个废品}
C.C1={抽到的三个产品中合格品不少于2个}C2={抽到的三个产品中废品不多于2个}
D.D1={抽到的三个产品中有2个合格品}D2={抽到的三个产品中有2个废品}
答案：B
19.下列事件与事件A-B不等价的是
A.A-AB
B.(AUB)-B
C.
D.
答案：C
20.甲、乙两人进行射击,A、B分别表示甲、乙射中目标,则AB表示
A.二人都没射中
B.二人都射中
C.二人没有都射中
D.至少一个射中
答案：B
C.0.75
D.0.5
答案：D
15.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件A与B相互独立，则P(B│A)=（）
A.0
B.0.4
C.0.75
D.0.5
答案：B
16.设A与B是两随机事件,则 表示
A.A与B都不发生
B.A与B同时发生
C.A与B中至少有一个发生
D.A与B中至少有一个不发生
答案：D
A. P(B)-P(A)
B.P(B)-(A)+P(AB)
C.
D.P(B)-P(AB)
答案：B
28.A、B为两事件,若P(AUB)=0.8,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则
A.P( )=0.32
B.P( )=0.2
C.P(B-A)=0.4
D.P( )=0.48
答案：B
29.设A、B为两个事件,P(A)≠P(B)>0,且A B,则下列必成立是
答案：{3}
6.已知A={1，4，5，6，7}，Ω={0,1,2,3,4,5,6,7}则 =__________
答案：{0,2,3}
7.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，事件AB的概率为0.1，则事件A+B的概率为__________
答案：0.8
8.已知则P(B│A)=0.5，事件B的概率为0.4，事件AB的概率为0.3，事件A的概率为__________
答案：√
7.对于任意两个事件A,B,若满足P(AB)=P(A)P(B)则事件A与B相互独立。（）
答案：√
8.若事件A与B相互独立，则则A与 相互独立。（）
答案：×
9.古典概型的不同样本点之间的概率是相同的。（）
答案：√
四、计算题
1.一袋中有10个大小和材质均相同的球，其中有6个白球，4个红球。现从中任取3球，求：
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 D.以上都不对
答案：B
45.设在每次试验中,事件A发生的概率为p(0<p<1),q=1-p,则在n次独立重复试验中,事件A至少发生一次的概率是( )
A.pnB.qnC.1-pnD.1-qnE.以上都不是
答案：D
46.设A与B互为对立事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是( )
B.{1,2,3,4,5}
C.{0,1,2}
D.{1,2}
答案：C
7.已知A={1，4，7}，则当B=( ),A B
A.{1，4，6}
B.{1，6，7}
C.{1，2，7}
D.{1，4，7}
答案：D
8.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},A-B=（）
A.{4，6}
B.{1，4，5，6，7}
第一章随机事件与概率
一、选择题
1.下列不属于随机事件的特征的是（）
A.试验在相同条件下进行
B.每次实验的结果都相同或者相近
C.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个
D.每次试验必有预知结果的其中一个
答案：B
2.下列说法正确的是（）
A.基本粒子构成碳原子
B.在不同高度抛出两枚硬币是正面朝上，这一实验属于随机试验
A.0.6
B.0.9
C.0.8
D.0.3
答案：B
13.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，B A，则事件A+B的概率为（）
A.0.6
B.0.9
C.0.8
D.0.3
答案：A
14.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件AB的概率为0.3，则P(B│A)=（）
A.0.6
B.0.4
A.7/50 B.7/100 C.7/48 D.15/100 D.以上都不对
答案：A
43.设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D. D.以上都不对
答案：C
44.设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(B-A)=( )
A.P(A|B)=1
B.P(B|A)=1
C.
D.
答案：A
30.设A、B为两事件,EP(A)P(B)均大于0,则下列公式错误的是
A. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P(AB)=P(A)P(B|A)
D.
答案：B
31.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取的2件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为
A.a+b+c-1 B.a+b+c C.(a+c)c D.a+b+c+1 D.以上都不对
答案：A
39.已知甲乙丙三人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为1/5、1/4、1/3则该密码只被甲破译的概率是（）
A.1/10 B.3/5 C.2/5 D.1/5 D.以上都不对
答案：A
40.设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0，则有（）
C.抛掷骰子所有可能结果为{1,2,3,4}
D.在相同条件下抛掷硬币不属于随机事件
答案：A
3.下列属于必然事件的是（）
A.抛掷硬币出现正面的情况
B.抛掷硬币出现反面的情况
C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况
D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球
答案：C
4.下列属于不可能事件的是（）
A.抛掷硬币出现正面的情况
A.P(A)=1-P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P( )=l D.P(A+B)=1 E.以上都不是
答案：B
二、填空题
1.已知A={1，2，3，4},B={2，4}，则A__________B
答案：
2.已知A={1，2，3，4},B={1，2，3，4}，则A__________B
答案：B
36.对于任意事件A和B，与A∪B=B不等价的是（）
A.A B B. C. ∅D. ∅D.以上都不对
答案：D
37.已知P(AB)=0,则以下正确的是（）
A.A与B相互独立B.A与B互不相容C.P(A)=0或P（B）=0 D.P(A-B)=P(A) D.以上都不对
答案：D
38.设P(A+B)=a， ( )
答案： 或=或
3.已知A={1，3，4},B={1，2，7，4}，则A∪B=__________
答案：{1,2,3,4,7}
4.已知A={1，3，4},B={1，2，7，4}，则A∩B=__________
答案：{1，4}
5.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},B-A=__________