万有引力定律及常量的测定.
万有引力第三节
• 引力常量测定的意义 • 1.卡文迪许通过改变俩铁球的质量和距离， 证实了万有引力的存在和正确性！ • 2.标志着力学实验精密程度的提高，开创了 测量微力的新时代！使科学放大思想得到 推广。 • 3.使万有引力定律从定性分析，变成可以定 量计算！可以用测量地球表面重力加速度 的方法，测量出地球的质量！，所以卡文 迪许又被人称为<能称出地球质量的人>。
• G：是引力常数，其值为6.67259×10-11N·m2/kg2 ：是引力常数，其值为 × 【说明】其中M表示中心天体的质量，m表示环绕天体的 说明】其中M表示中心天体的质量， 质量， 表示轨道半径。 表示万有引力！ 质量，r 表示轨道半径。F表示万有引力！
重力与万有引力的关系
• 在地球赤道附近，1kg的物体受到的 自转向心力和重力分别是多少？
引力常量的测量使我们可以算出万有引力有多大
一.利用万有引力定律计算中心天体质量 中心天体质量！ 中心天体质量 【例】地球和月球中心的距离大约是3.84×108m，估算地球的质量
【解析】月球绕地球的运动可近似看成匀速圆周运动，月球绕地
球一周大约是27.3天，其周期 T=27.3×２４×３６００s=2.6×１０6s， 月球做圆周运动所需的向心力由地球对它的万有引力提供，即
θ
直到1789年 在牛顿发现万有引力定律一百多年以后， 直到1789年，在牛顿发现万有引力定律一百多年以后， 1789
反射光线偏转2 （2）平面镜偏转θ角，反射光线偏转2θ角，光点在刻度尺 M θ 1 上移动的弧长s=2θR，增大小平面镜到刻度尺的距离R，光点 θ θ ’就会相应增大，使石英丝的扭转形变 在刻度尺上移动的弧长s F 在刻度尺上移动的弧长s就会相应增大， m 加以“放大” 加以“放大”。 m R r
高考物理一轮专题复习学案： 万有引力定律
一、行星的运动 二、万有引力定律 三、引力常量的测定【例题】应用万有引力定律和向心力的公式证明：对于所有在圆周轨道上运动的地球卫星，其周期的二次方与轨道半径的三次方之比为一常量，即T 2/R 3＝常量．【证明】设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，轨道半径为R ，周期为T ．因为卫星绕地球作圆周运动的向心力为万有引力，故F ＝G 2R Mm ＝m R ω2＝m R 22T 4π． ∴ 32R T ＝GM 42π＝常量． 可见，这一常量只与中心天体(地球)的质量有关．也适用于绕某一中心天体运动的天体系统．●课堂针对训练●(1)关于丹麦天文学家第谷，对行星的位置进行观测所记录的数据，下列说法正确的是：A ．这些数据在测量记录时误差相当大；B ．这些数据说明太阳绕地球运动；C ．这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合；D ．这些数据与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合．(2)关于行星绕太阳运动的正确说法是：A ．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动；B ．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处；C ．离太阳越近的行星运动周期越大；D ．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．(3)如图6－1所示，r 远大于两球的半径，但两球半径不能忽略，而球的质量均匀分布、大小分别为m 1与m 2，则两球间的万有引力大小为：A ．Gm 1m 2/r 2；B ．Gm 1m 2/r 12；C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2；D ．Gm 1m 2/(r ＋r 1＋r 2)2．(4)地球对月球具有相当大的万有引力，为什么它们不靠在一起，其原因是：A ．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相平衡了；B ．地球对月球的引力还不算大；C ．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系里其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力等于零；D ．万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行．(5)关于引力常量G ，以下说法正确的是：A ．在国际单位制中，G 的单位是N ·kg 2/m 2；B ．在国际单位制中，G 的数值等于两个质量各为1kg 的物体，相距1m 时的相互吸引力；C ．在不同星球上，G 的数值不一样；D ．在不同的单位制中，G 的数值不一样．(6)以下说法正确的是：A ．质量为m 的物体在地球上任何地方其重力均相等；B ．把质量为m 的物体从地面移到高空上，其重力变小了；C ．同一物体在赤道处的重力比在两极处重力大；D ．同一物体在任何地方其质量是相同的．(7)有一个半径比地球大两倍、质量是地球质量36倍的行星．同一物体在它表面的重力是在地球表面的重力的多少倍？(8)人造地球卫星运动时，其轨道半径为月球轨道半径的31，则此卫星运动的周期大约是多少天？(9)物体在地面上重力为G 0，它在高出地面0.5R(R 为地球半径)处的重力是多少？(10)已知地面的重力加速度是g ，距地面高等于地球半径处的重力加速度是多少？(11)假设火星和地球都是球体，火星的质量为M 火，地球的质量为M 地，且M 火/M 地＝p ，火星的半径和地球的半径之比是R 火/R 地＝q ，那么在它们表面的重力加速度之比g 火/g 地等于多少？★滚动训练★(12)小球从高为h 处落到一个倾角为45°的斜面上，如图6－2所示，设小球与斜面碰撞后速率不变，沿水平方向向左运动，求小球第二次与斜面碰撞时离第一次碰撞处的距离是多少？(斜面足够长，不计空气阻力)(13)一辆汽车匀速率通过一座圆形拱桥后，接着又以相同的速率通过圆弧形凹地，设两圆形半径相等，汽车通过桥顶A 时，桥面受到的压力F NA 为车重的一半，汽车在圆弧形凹地最低点B 时，对地面的压力为F NB ，求f NA 与F NB 之比． 四、万有引力定律在天文学上的应用【例题】月亮绕地球转动的周期为T ，轨道半径为r ，则由此可得地球质量表达式为________(引力常量为G)．若地球半径为R ，则其密度表达式是________．【分析与解答】月亮绕地球转可看成作匀速圆周运动，且F 向＝F 引，∴ G 2r m M 月地＝m 月ω2r ＝m 月(T 2π)2r 故M 地＝232GT r 4π． 而 ρ＝体V M ＝232GT r 4π/(34πR 3)＝323RGT r 3π． ●课堂针对训练●(1)若已知行星绕太阳公转的半径为r ，公转的周期为T ，万有引力恒量为G ，则由此可求出：A ．某行星的质量；B ．太阳的质量；C ．某行星的密度；D ．太阳的密度．(2)若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比M 日/M 地为：A ．R 3t 2/r 3T 2；B ．R 3T 2/r 3t 2；C ．R 3t 2/r 2T 3；D ．R 3T 3/r 3t 3．(3)设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T 的平方与其运行轨道半径R 的三次方之比为常数，即T 2/R 3＝k ，那么k 的大小决定于：A ．只与行星质量有关；B ．只与恒星质量有关；C ．与行星及恒星的质量都有关；D ．与恒星的质量及行星的速率有关．(4)银河系中有两颗行星环绕某恒星运转，从天文望远镜中观察到它们的运转周期的比为27∶1，则它们的轨道半径的比为：A ．3∶1；B ．9∶1；C ．27∶1；D ．1∶9．(5)下列说法正确的是：A ．海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的；B ．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的；C ．天王星的运行轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其它行星的引力作用；D ．以上均不正确．(6)行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T ，试证明：ρT 2是一个常量，即对任何行星都相同．(7)已知某行星绕太阳运动的轨道半径为r ，周期为T ，太阳的半径是R ，则太阳的平均密度是多少？(万有引力恒量为G)(8)已知月球的半径是r ，月球表面的重力加速度为g 月，万有引力恒量为G ，若忽略月球的自转，试求出月球的平均密度表达式．(9)一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员着手进行预定的考察工作．宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程，并说明推导过程中各量的物理意义．(10)太阳光经500s 到达地球，已知地球的半径是6.4×106m ，试估算太阳的质量与地球的质量的比值(光速c ＝3×108m/s ，结果取1位有效数字)．★滚动训练★(11)从离地面高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为2s ．在A 点正上方且离地面高为2H 的B 点，以相同方向平抛另一物体，其水平射程为s ，两物体在空中的运动轨道在同一竖直平面内，且都从同一个屏M 的顶端擦过，求屏M 的高度．(12)如图6－3所示，半径为R 的光滑圆环上套有一质量为m 的小环，当圆环以角速度ω绕着环心的竖直轴旋转时，求小环偏离圆环最低点的高度．五、人造卫星 宇宙速度【例1】一人造地球卫星距地球表面的高度是地球半径的15倍．试估算此卫星的线速度(已知地球半径R ＝6400km)．【分析与解答】人造地球卫星绕地球做圆周运动时，满足的关系式为 G 2)R 16(M m ＝m R 16v 2① 式中：m 为卫星质量；M 为地球质量；16R 为卫星的轨道半径．由于地球质量M 未知，所以应设法用其他已知常数代换，在地球表面mg ＝G 2RMm ② 由①、②两式消去GM ，解得v ＝1610468916R 6⨯⨯=..g ＝2.0×103(m/s)． 注意：有些基本常知，尽管题目没有明显给出，必要时可以直接应用，如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力，地球自转周期T ＝24小时，公转周期T ＝365天，月球绕地球运动的周期约为30天等．【例2】人造卫星环绕地球运转的速度v ＝r /R 20g ，其中g 为地面处的重力加速度，R 0为地球的半径，r 为卫星离地球中心的距离，下面哪些说法正确？A ．题目中卫星速度表达式是错误的；B ．由速度表达式知，卫星离地面越高，其速度也越大；C ．由速度表达式知，卫星环绕速度与轨道半径平方根成反比；D ．从速度表达式可知，把卫星发射到越远的地方越容易．【分析和解答】卫星绕地球转动时，F 引＝F 心所以，G 2r M m ＝m r v 2(其中m 是卫星质量，M 是地球的质量)，故v ＝r GM ， 而在地球表面：mg ＝G 20R M m (其中m 为地面上物体的质量)故有GM ＝g R 02，所以v ＝r /R 20g ， 由此可知A 是错的，C 为正确的．又因为v 是环绕速度，故离地球越远处卫星环绕速度越小，但发射卫星到越远，克服地球引力作功越多，所需初速越大，故D 错(注意区分：发射初速度与环绕速度)．●课堂针对训练●(1)已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M 地(引力常量G 为已知)：A ．月球绕地球运动的周期T 1及月球到地球中心的距离R 1；B ．地球绕太阳运行的周期T 2及地球到太阳中心的距离R 2；C ．人造卫星在地面附近的运行速率v 3和运行周期T 3；D ．地球绕太阳运行的速度v 4及地球到太阳中心的距离R 4．(2)关于第一宇宙速度，下面说法中错误的是：A ．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度；B ．它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度；C ．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度；D ．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度．(3)下列说法正确的是：A ．地球同步卫星和地球自转同步，因此同步卫星的高度和速度是一定的；B ．地球同步卫星的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增大，高度降低，速度减小；C ．地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动；D ．以上均不正确．(4)人造地球卫星中的物体处于失重状态是指物体：A ．不受地球引力作用；B ．受到的合力为零；C ．对支持它的物体没有压力作用；D ．不受地球引力，也不受卫星对它的引力．(5)实际中人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度一定________第一宇宙速度．(填“大于”或“小于”或“等于”)(6)两个行星的质量分别为m 和M ，绕太阳运行的轨道半径分别是r 和R ，则：①它们与太阳之间的万有引力之比是多少？②它们公转的周期之比是多少？(7)两颗人造地球卫星，其轨道半径之比为R 1∶R 2＝4∶1，求这两颗卫星的：①线速度之比v 1∶v 2＝？ ②角速度之比ω1∶ω2＝？③周期之比T 1∶T 2？ ④向心加速度之比a 1∶a 2＝？(8)为转播电视节目，发射地球的同步卫星，它在赤道上空某高度处随地球同步运转，地球半径为6400km ，地球表面重力加速度g 取10m/s 2，求它的高度和线速度大小．(9)如图6－4所示，两颗靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不致于因万有引力作用而吸引在一起．已知双星的质量分别为m 1和m 2，相距为L ，万有引力常数为G ．求：①双星转动中心位置O 与m 1的距离； ②转动周期．(10)一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星，其轨道半径为r ＝3R(R 为地球半径)，已知地球表面重力加速度为g ，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，已知地球自转角速度为w 0，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，再经过多少时间它又一次出现在该建筑物正上方？★滚动训练★(11)如图6－5所示，长为L 的轻杆，两端各连接一个质量都是m 的小球，使它们以轻杆中点为轴在竖直平面内做匀速圆周运动，周期为T ＝2πgL ．求两小球通过竖直位置时杆分别对上下两球的作用力，并说明是拉力还是支持力．●补充训练●(1)如图6－6中的圆a 、b 、c ，其圆心均在地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言：A ．卫星的轨道只可能为a ；B ．卫星的轨道可能为b ；C ．卫星的轨道不可能为c ；D ．同步卫星的轨道一定为b ．(2)人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是：A ．半径越大，环绕速度越小，周期越小；B ．半径越大，环绕速度越小，周期越大；C ．所有卫星的环绕速度均是相同的，与半径无关；D ．所有卫星角速度都相同，与半径无关．(3)人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为v ，周期为T ，若要使卫星的周期变为2T ，可能的办法是： A ．R 不变，使线速度变为v /2； B ．v 不变，使轨道半径变为2R ；C ．轨道半径变为43R ；D ．无法实现．(4)“黑洞”是近代引力理论所预言的宇宙中一种特殊天体，在“黑洞”引力作用范围内，任何物体都不能脱离它的束缚，甚至连光也不能射出．研究认为，在宇宙中存在的黑洞可能是由于超中子星发生塌缩而形成的．2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，被命名为：MCG6－30－15．假设银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，则根据下列哪一组数据可以估算出该黑洞的质量：A ．太阳系质量和运动速度；B ．太阳系绕黑洞公转的周期和到“MCG6－30－15”的距离；C ．太阳系质量和到“MCG6－30－15”的距离；D ．太阳系运行速度和“MCG6－30－15”的半径．(5)物体在月球表面上的重力加速度为地球表面上的1/6，这说明：A ．地球的直径是月球直径的6倍；B ．月球的质量是地球质量的1/6；C ．月球吸引地球的引力是地球吸引月球引力的1/6；D ．物体在月球表面的重力是在地球表面的1/6．(6)三颗人造地球卫星A 、B 、C 绕地球作匀速圆周运动，如图6－7所示，已知m A ＝m B ＜m C 知，则三个卫星：A ．线速度关系：v A ＞vB ＝vC ； B ．周期关系：T A ＜T B ＝T C ；C ．向心力大小：F A ＝F B ＜F C ；D ．半径与周期关系：2C 3C 2B 3B 2A 3A T R T R T R ==． (7)宇航员在一行星上以速度为v 0竖直上抛一个物体经t 秒钟后落回手中，已知该行星半径为R ，要使物体不再落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少应是多少？(8)地球绕太阳公转的周期为T 1，轨道半径为R 1，月球绕地球公转的周期为T 2，轨道半径为R 2，则太阳的质量是地球的质量的多少倍？(9)有m 1和m 2两颗人造卫星，已知m 1＝m 2，如果m 1和m 2在同一轨道上运行，则它们的线速度之比v 1∶v 2＝？；如果m 1的运行轨道半径是m 2的运行轨道半径的2倍，则它们的速度之比v 1∶v 2＝？(10)若取地球的第一宇宙速度为8km/s ，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，这行星的第一宇宙速度约为多少？(11)某一高处的物体的重力是在地球表面上的重力的一半，则其距地心距离是地球半径R 的多少倍？(12)北京时间2002年12月30日零时40分，“神舟”四号无人飞船在酒泉卫星发射中心由长征二号运载火箭发射升空，飞船按计划进入预定轨道，用时t 秒绕地球运行了n 圈后，安全返回地面，这标志着我国航天技术达到新的水平．已知地球半径为R ，地面重力加速度为g ，试求飞船绕地球飞行时离地面的高度．(13)已知地球半径约6.4×106m ，又知月球绕地球的运动可近似看作做圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为多少？(结果保留一位有效数字)(14)在火箭发射卫星的开始阶段，火箭与卫星一起竖直上升的运动可看作匀加速直线运动，加速度大小为a ＝5m/s 2，卫星封闭舱内用弹簧秤挂着一个质量m ＝9kg 的物体，当卫星竖直上升到某高度时，弹簧秤的示数为85N ，求此时卫星距地面的高度是多少？(地球半径R ＝6.4×103km ，g ＝10m/s 2)(15)宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ．若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ．求该星球的质量M ．(16)用打点计时器测量重力加速度，如图6－8所示，A 、B 、C 为纸带上的3个点，测AB 间距离为0.980cm ，BC 间距离为1.372cm ，已知地球半径为6.37×106m ，试计算地球的第一宇宙速度为多少？(电源频率为50Hz)(17)2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内．若把甘肃嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g (视为常量)和微波信号传播速度为c ．试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示)．参考答案一、行星的运动 二、万有引力定律 三、引力常量的测定：(1)D(2)D(3)D(4)D(5)BD(6)BD(7)4(8)5.8天(9)94G(10)41g (11)p /q 2(12)42h(13)1∶3． 四、万有引力定律在天文学上的应用(1)B(2)A(3)B(4)B(5)AC(6)略(7)323RGT r 3π(8)rG 43π月g (9)3π/GT 2(10)3×105(11)6H/7(12)R －g /ω2．五、人造卫星、宇亩速度：(1)AC(2)AD(3)AC(4)C(5)小于(6)①22Mr R m ；②33R r (7)1∶2，1∶8，8∶1，1∶16(8)3.56×104km ，3.1×103m/s(9)①)(L 212m m m +；②)(G L 2213m m +π(10)6π；03R 3/6ωπ-g (11)21mg ，支持力；23mg ，拉力． 本章补充训练： (1)B(2)B(3)C(4)B(5)D(6)ABD(7)t /R 20v (8)21322231T R T R (9)1∶1，1∶2(10)16km/s(11)2(12)222n 4t R π2g －R(13)4×108m(14)3.2×103km(15)22Gt 3L R 32(16)7.9km/s ．(17)C cos )4T R (R 2R )4T R (312223222αππg g 22-+．。
第三节 万有引力定律常量的测定
第六章万有引力定律第三节引力常量的测定教学目标：（一）知识目标1 了解卡文迪许实验装置及其原理。
2 知道引力常量的物理意义及其数值。
（二）过程与方法通过卡文迪许测定微小量的思维方法，培养学生灵活应用所学知识解决实际问题的能力。
（三）德育目标通过对卡文迪许实验的设计思想的学习，启发学生多动脑筋，培养其发散性思维，创造性思维。
教学重点：卡文迪许扭秤测引力常量的原理。
教学难点：扭转力矩和引力矩的平衡教学方法：直接讲授法课时安排：1课时教学过程：（一）引入新课上节课我们学习了有关万有引力的相关知识，那么，请大家首先回顾一下：万有引力定律的主要内容以及其数学表达式？自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m和2m的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也可以使用，对于均匀球体，r 是两球心间的距离。
即：221r m m G F ，但是当时牛顿也不知道引力常量G 应该等于多少，所以人们没有办法将这个公式应用于计算。
（二）教学过程牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量.这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它显示出来.1789年，即在牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许（1731－1810），巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量.卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T 型架，倒挂在一根金属丝的下端.T 形架水平部分的两端各装一个质量是m 的小球，T 形架的竖直部分装一面小平面镜M ，它能把射来的光线反射到刻度尺上，这样就能比较精确地测量金属丝的扭转.实验时，把两个质量都是m ′的大球放在图中所示的位置，它们跟小球的距离相等.由于m 受到m ′的吸引，T 形架受到力矩作用而转动，使金属丝发生扭转，产生相反的扭转力矩，阻碍T 形架转动.当这两个力矩平衡时，T 形架停下来不动.这时金属丝扭转的角度可以从小镜M 反射的光点在刻度尺上移动的距离求出，再根据金属丝的扭转力矩跟扭转角度的关系，就可以算出这时的扭转力矩，进而求得m 与m ′的引力F.卡文迪许经过多次实验，证明牛顿的万有引力定律是正确的，并测出了引力常量.他的实验结果跟现代测量结果是很接近的.引力常量的测出有着非常重要的意义，不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有了真正的实用价值.由于引力常量很小，我们日常接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难觉察到它们之间的引力.例如两个质量各为50 kg的人，相距 1m时，他们相互的引力只相当于几百粒尘埃的重量.但是如果物体的质量很大，这个引力就非常可观了.例如地球对地面上物体的引力就很显著.太阳和地球之间的吸引力就更大，大约等于 3.56×1022N.这样大的力如果作用在直径是9 000 km的钢柱两端，可以把它拉断！正是由于太阳对地球有这样大的引力，地球才得以围绕太阳转动而不离去.3、引力常量的测定及其意义○思重点：卡文迪许实验的精巧之处：用两个字概括就是“放大”。
第五章 第1节 万有引力定律及引力常量的测定
转周期T的_平__方_成正比
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二、万有引力定律
结束
1．万有引力定律
内容 公式
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向
沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的 乘积m1m2正成比____，与这两个物体间距离r平的方____成反比 F＝ Gmr21m2，G＝ 6.67×10－11 m3/(kg·s2) ，r 指两个质点 间的距离，对于匀质球体，就是两球心间的距离
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3．地球到太阳的距离为水星到太阳距离的 2.6 倍，那么地球和
水星绕太阳运转的线速度之比为多少？
解析：设地球绕太阳的运行周期为 T1，水星绕太阳的运行周期
为 T2，根据开普勒第三定律有RT1123＝RT2223
①
因地球和水星绕太阳做匀速圆周运动，故有 T1＝2πvR1 1
②
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解析：火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的 一个焦点上，选项 A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上 运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速 度大小不一定相等，选项 B 错误；由开普勒第三定律可知， Ta火火32＝Ta木木32＝k ，即TT火 木22＝aa火 木33，选项 C 正确；由于火星和木星 在不同的轨道上，因此它们与太阳的连线在相同的时间内扫 过的面积不相等，选项 D 错误。 答案：C
T2＝2πvR2 2
③
由①②③式联立求解得vv12＝
RR21＝
21.6＝
1＝ 2.6
5＝ 13
1635。
高一物理§ 5.1万有引力定律及引力常量的测定鲁教版知识精讲
高一物理§ 5.1万有引力定律及引力常量的测定鲁教版【本讲教育信息】一. 教学内容：§ 5.1万有引力定律及引力常量的测定二. 知识重点：1、了解开普勒天文三定律的内容，并能写出第三定律的代数式。
2、了解万有引力定律得出的思路和过程。
3、理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。
4、了解卡文迪许实验装置及其原理，知道引力常量的数值及其意义。
三. 知识难点：1、掌握天体运动的演变过程，熟记开普勒三定律。
2、能够推导万有引力定律，并用万有引力定律推导开普勒第三定律。
3、用万有引力定律进行计算。
4、万有引力与重力关系，重力加速度的计算（一）行星运动的规律1、地心说：认为地球是宇宙中心，任何星球都围绕地球旋转。
该学说最初由古希腊学者欧多克斯提出，后经亚里士多德、托勒密进一步发展而逐渐建立和完善起来。
尽管它把地球当作宇宙中心是错误的，然而它在特定的历史时期是有着重要的意义的。
2、日心说：认为太阳是宇宙的中心，地球和其他行星都绕太阳转动。
日心说最早于十六世纪，由波兰天文学家哥白尼提出。
哥白尼认为，地球不是宇宙的中心，而是一颗普通行星，太阳才是宇宙的中心，一年的周期是地球每年绕太阳公转一周的反映。
日心说是天文学上的一次巨大革命。
但哥白尼的日心说也有缺点和错误，这就是：（1）太阳是宇宙的中心，实际上，太阳只是太阳系中的一个中心天体，不是宇宙的中心；（2）沿用了行星在圆形轨道做匀速圆周运动的旧观念，实际上行星轨道是椭圆的，速度的大小也不是恒定的。
地心说和日心说的共同点：天体的运动都是匀速圆周运动。
3、冲破圆周运动的天体运动：最早由开普勒证实了天体不是在做匀速圆周运动。
他是在研究丹麦天文学家第谷（开普勒的老师）的资料时产生的研究动机，并进行多次尝试最终用椭圆轨道很好的拟合了行星运行轨迹。
4、开普勒天文三定律：（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
（2）太阳与任何一个行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过的面积相等。
万有引力定律及引力常量的测定
1687年，牛顿发表了万有引力定律，只提出引力与两个物 体质量和两者之间距离有关，却没能给出准确的引力常数， 如何准确测量引力常数成为物理界普遍关心的重大课题。 其实，引力常量是很小很小的，平时见到的物体的质量又 不大，引力比较微小。例如两个质量各为50kg的同学，相 距0.5m时，他们之间的万有引力只有几百粒尘埃重。正因
卡文迪许
26
称量地球的质量
1.月球实际轨道是什么形状？为了解决问题的方便，
我们通常可以认为月球做什么运动？
思考
通常可以认为月球绕地球做匀速圆周运动 2.月球做圆周运动的向心力是由什么力来
提供的？
月球做圆周运动的向心力是由地球对月球 的万有引力来提供的
27
月球做圆周运动的向心力是由地球对月球的万有引力来 提供的
F引 Fn
r F
M
Mm F引 G 2 r
Fn m2 r
m
月球公转角速度 不能 直接测出,但我们知道月球 公转的周期 T .
Mm G 2 m2 r r
2 r 3 M G
28
r F m
T M
2 T
2 r 3 M G
v
42 r 3 M GT 2
29
月球绕地球运行的周期T=27.3天，
A、所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B、行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C、离太阳越近的行星运动周期越长 D、所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方
的比值都相等
17
练习1：行星绕恒星的运动轨道如果是圆形，那么运 行周期T的平方与轨道半径r的三次方的比为常数，设 T2/r3=
36
5. 一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重 力加速度为 g 0 ，行星的质量 M 与卫星的质量 m 之比 M/m=81 ， 行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星 之间的距离 r 与行星的半径 R0 之比r/R0 ＝60。设卫星表面
第1节万有引力定律及引力常量的测定(课件)
比较2、3两题的计算结果可知：质量大小的乘积对引 力大小的贡献是非常大的。
思考：
（1）如果知道地球表面的重力加速度g和地球的半径R，如何求 地球的质量？ 解析：物体受到的重力近似认为等于地球对物体的万有引力
Mm F G 2 mg R
gR 2 M G
（2）如果知道月球与地球的距离r和月球绕地球运转的周期T， 如何求地球的质量？ 解析：月球绕地球做圆周运动所需的向心力由地球对月球的 万有引力提供 2 3 Mm 2 2 4 r F G mr ( )
根据牛顿第三定律可知：行星对太阳 的引力也应与太阳的质量M成正比
③科学推想，形成等式
Mm Mm F G 2 F 2 r r ④实验验证，形成概念
二、万有引力定律 1、定律的内容 ⑴内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引 力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物 体的质量的乘积m1m2成正比，跟这两个间距离r 的平 方成反比。 m1m2 ⑵定律表达式： F G 2 r ⑶适用条件： ①只适用于质点间引力大小的计算。 ②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们的引力可 直接用公式计算，但r指两球心间距离。
3.太阳的质量为2.0×1030kg，太阳和地球的平均距离 为1.5×1011m，太阳和地球之间的万有引力是多大？ 比较2、3两题的计算结果，你有什么发现？（地球的 质量约为6.0×1024kg) 解：根据万有引力定律:
30 24 Mm 2 . 0 10 6 . 0 10 22 F G 2 6.67 10 11 N 3 . 6 10 N 11 2 r (1.5 10 )
G 6.67 10 11 N m 2 / kg2 (G 6.67 10 11 m 3 / kg s 2 )
万有引力公式中的常数G是如何测量出来的
万有引力公式中的常数G是如何测量出来的万有引力定律是艾萨克•牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。
牛顿的普适的万有引力定律表示如下：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。
该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，也就是：F= mM/r2。
因为一般物体的质量太小了，它们间的引力无法测出，而天体的质量太大了，又无法测出质量。
所以，万有引力定律发现了100多年，这个公式仍然不能是一个完善的等式得以应用。
直到100多年后，英国人卡文迪许利用扭秤，才巧妙地测出了这个常量G，得出了完整的万有引力公式F= GmM/r2，万有引力公式才得以广泛应用。
万有引力公式常数G是如何测量出来的呢？牛顿的万有引力定律描述的仅仅是一个关系式F= mM/r2。
后人根据这个关系式确定出了引力常数G后才建立起来了具有实用价值的万有引力公式：应该说明的是，牛顿得出这个规律，是在与胡克等人的探讨中得到的。
牛顿发现了万有引力定律，但引力是多少，连他本人也不知道。
万有引力定律发现了100才被卡文迪许通过实验测得。
18世纪末,英国科学家亨利•卡文迪许决定要找出这个引力。
卡文迪许最初的目的不是为了测量这个常数，而是为了测量万有引力的大小。
他将小金属球系在长为6英尺木棒的两边并用金属线悬吊起来。
这个木棒就像哑铃一样.再将两个350磅的铅球放在相当近的地方，以产生足够的引力让哑铃转动，并扭转金属线，然后用自制的仪器测量出微小的转动，测量结果惊人地准确。
亨利•卡文迪许测出的万有引力和用牛顿提出的关系式F= mM/r2算出的万有引力总是相差6.67259x10^-11倍，这就是万有引力公式常数G。
亨利•卡文迪许测出了万有引力常量，G=6.67×10^-11，亨利•卡文迪许得出了完整的万有引力公式F= GmM/r2。
万有引力常数G虽然不是牛顿本人确定的，但它是牛顿的后人英国科学家亨利•卡文迪许根据牛顿对引力现象所做的数学关系F= mM/r2描述确定出来的。
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三、重力与万有引力的关系
1.课本P95，4 2、预习新课
万有引力定律 及引力常量的测定
人类迈向太空的脚步
人类能在太空遨游，并登上其他行星， 这种现象的出现是靠神的支配，还是物 理规律的约束？ 在什么条件下才能够挣脱地球的束
缚，飞向其它星球？
行星如何运动？
人类对行星运动的认识
古希腊学者 托勒密
地心说
波兰天文学 家哥 白 尼
日心说 （1543）
40多年的天文观测和潜心研究
第一节 万有引力定律及引力常量的测定
◎开普勒观念的基础是日心 说。
◎1609年和1619年间先后发 表了行星运动的三个定律。
开普勒（德国） 天空立法者
开普勒通过四年多的刻苦计算， 先后否定了十九种设想，最后 了发现行星运行的轨道不是圆， 而是椭圆。并得出了开普勒三 定律
第一节 万有引力定律及引力常量的测定
牛顿在前人研究成
果的基础上，凭借 他超凡的数学能力 发现了普遍意义下
的万有引力定律，
比较完美的解释了 天体的运动规律。
第一节 万有引力定律及引力常量的测定
（二）、万有引力定律 1、内容——自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力 的方向沿两物体的连线，引力的大小与两个物体质量的乘积 成正比，与这两物体间距离r的平方成反比。
开普勒
开 普 勒 第 三 定 行星绕太阳运行轨道的半长轴的三 律 次方与其公转周期T的二次方成正比
第一节 万有引力定律及引力常量的测定
（3）行星绕太阳运行轨道的长半轴的三次 方与其公转周期T的二次方成正比 （开普勒第三定律）
地球 太阳 · r
数学表达式：
r3 T2
=K
其中r是椭圆轨道的长 半轴，T是行星绕太阳公 转的周期，K是一个与行
卡文迪许(英国)
力矩“放大”
思考：1、两个物体间的万有引力很小,它是如何解 决的？
2、力很小读数如何解决？
G=6.67×10－11 N·m2/kg2
测定引力常量的重要意义
1．证明了万有引力的存在． 2．使得万有引力定律有了真正的实用价值，可测定
远离地球的一些天体的质量、密度等．如根据地球 表面的重力加速度可以测定地球的质量． 3．“开创了测量弱力的新时代” （英国物理学家玻 印廷语）．
2、地球上空的物体
1)重力就等于万有引力
mg
G
Mm (R h)2
2)离地面h高处:星球上空的重力加速度g
g
G
(R
M h)2
重力G、重力加速度g随离地面的 高度h的增加而减小
P93讨论与交流 思考：当时的人们为什么不能理解万有引力定律
两物体间的万有引力非常小，而牛顿又未能 给出准确的引力常量
4、引力常量的测定——卡文迪许扭秤 光杠杆“放大”
第一节 万有引力定律及引力常量的测定
（2）太阳与任何一个行星的连线（矢径）在相等 的时间内扫过相等的面积（开普勒第二定律）
t3
近
日b
点
太阳
t4
t2 远 a日 t1 点
用公式表示为：若 tAB= tCD = tEK，
则 SAB=SCD=SEK
由此可见：行星在远日点a运行速率小，
在近日点b运行速率大
第一节 万有引力定律及引力常量的测定
O F引
重力只是万有引力的 一个分力
地球表面上的物体：
①万有引力的一个分力提供物 体随地球自转的向心力，一个 分力为重力。
②在赤道： F向最大，mg=F引-F向 （mg最小，即g最小）
F FG
万
③在南北极：F向=0， mg=F引 （ mg最大，即g最大）
G、g都随纬度的增加而增大。
不考虑地球自 转,万有引力等
2）两质量分布均匀的球体之间的引力，也 可用上述公式计算，且r为两球心间距离；
m1
m2 r
3）还可用来计算一均匀球体与球外一质点间的外有引力
既然自然界中任何两个物体之间都存在 引力，为什么我们感觉不到旁边同学的 引力？
例题：并排坐着两个人，他们的质心相距 0.5m，质量分别是50kg和75kg，请用万有 引力定律来估算他们之间的引力？
m1 F1 r
F m2 引力指向施力物体
2、表达式：
F
G
m1m2 r2
其中G=6.67×10－11 N·m2/kg2， G为引力常量。
其余所有物理量的单位均为国际单位
★3、公式的适用条件：
1）万有引力存在于一切物体之间，但上述公式 只能计算两质点间的引力，r—质心间的距离；
即两物体的形状和大小对它们之间的距离 而言,影响很小,可以忽略不计.
星无关的常量。
开普勒三大定律
“天上的立 法者”
经验 定律
开普勒第一定律（轨道定律）
所有的行星围绕太阳运动的轨 道都是椭圆，太阳位于椭圆的 一个焦点上 开普勒第二定律（面积定律）
计算时 太阳与任一行星的连线在相等 可以认 的时间内扫过相等的面积．
为行星
是做匀 开普勒第三定律（周期定律）
速圆周 行星绕太阳运行轨道的半长轴
分组练习：
1、 估算地球对人的万有引力大小？（假设人 的质量为75kg），其中地球半径R=6400km
2、课本95：2、3
说明:引力在天体与天体间,天体与物体间比较 显著,但通常物体间的引力可忽略不计.
思考与讨论:重力与万有引力一样吗?
1、地球表面上的物体
O1 F向
万有引力是物体重 力和物体随地球自 转做圆周运动的向 心力的合力。
于重力.
由于随地球自转的向心力很小，在地球表面的物体， 则F引≈G mg G Mm
R2
在地球表面的物体： F引≈G，即
mg G Mm R2
4)星球表面的重力加速度：
g
G
M R2
m放星球表面的物体的质量 M-星球质量 R-星球半径
例：火星的半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量 的九分之一，则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度 的几倍？
用在行星上，使得行星绕太阳运动。 4、胡克、哈雷等:受到了太阳对它的引力，证明了
如果行星的轨道是圆形的，其所受的引力大小跟 行星到太阳的距离的二次方成反比，但没法证明 在椭圆轨道规律也成立。 5、牛顿：如果太阳和行星间的引力与距离的二次 方成反比，则行星的轨迹是椭圆.并且阐述了普遍 意义下的万有引力定律。
课堂小结
一、行星运动的规律 开普勒三定律(轨道、面积、周期)
二、万有引力定律
1）内容
2）公式
F
G
m1m2 r2
G=6.67×10-11Nm2/kg2
3）适用条件：质点之间、匀质的球体之间、质点和匀质
的球体之间
4）引力常量的测量：卡文迪许扭秤实验
原理:力矩平衡,巧妙的“放大” 意义:证明了万有引力定律存在,使其有了实用价值
三、开普勒三定律
开普勒
开
普
勒
第
一
定
所有Байду номын сангаас行星围绕太阳运动的轨道都是
律 椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
第一节 万有引力定律及引力常量的测定
（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都 是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 （开普勒第一定律）
第一节 万有引力定律及引力常量的测定
开普勒
开 普 勒 第 二 定 太阳与任何一个行星的连线在相等的时 律 间内扫过相等的面积
运动． r的立方与公转周期T的平方成
正比．
r
r3 T2
k
为什么行星围绕太阳做椭圆运动？ 什么力来维持行星绕太阳的运动呢？
（一）、科学家对行星运动原因的各种猜想
1、伽利略：一切物体都有合并的趋势，这种趋势 导致物体做圆周运动。
2、开普勒：受到了来自太阳的类似于磁力的作用。 3、笛卡儿：在行星的周围有旋转的物质(以太）作