辅助圆专题
定弦定角构造辅助圆
专题25 定弦定角构造辅助圆1．如图，点P 是正六边形ABCDEF 内一点，4AB =，当90APB ∠=︒时，连接PD ，则线段PD 的最小值是( )A ．2B ．2-C ．6D ．【解答】解：4AB =，90APB ∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的圆弧上，如图，取AB 的中点O ，连接OD ，当O 、P 、D 三点共线时，PD 有最小值， 连接BD ，过点C 作CH BD ⊥于点H ，点O 为AB 的中点，422OA OB OP ∴===÷=，正六边形的每个内角为180(62)6120︒⨯-÷=︒，CD CB =，(180120)230CBD ∴∠=︒-︒÷=︒，2BD BH =，1203090OBD ∴∠=︒-︒=︒，在Rt CBH ∆中，122CH CB ==，BH =BD ∴=在Rt OBD ∆中，OD ，PD ∴的最小值为2OD OP -=．故选：B ．2．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 在x 轴上移动，在运动过程中，直线y =上的点P 如果满足30APB ∠=︒，则点P 为好点，当AB 在x 轴上运动到某一位置时，好点P 的个数最多有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：如图，当AB在x轴的正半轴时，构建等边三角形ABC，以C为圆心，以CA 为半径作辅助圆C，直线y=与C的交点就是点P，此时1302APB ACB∠=∠=︒，∴好点P最多有两个，同理在x轴的负半轴时，也存在两个好点P，故选：B．3．如图，BC是O的直径，BC=，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且120MON∠=︒，ABC∆的内心为E点，当点A在MN上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是()A．23πB．43πC．83πD．163π【解答】解：如图，连接BE 、CE ，90BAC ∠=︒，E 是内心，135BEC ∴∠=︒，∴点E 在以P 为圆心的PC 为半径的圆上运动（轨迹是)GH ，在P 上取一点M '，连接BM '、CM '，则18013545M ∠'=︒-︒=︒，290BPC M ∠=∠'=︒，BCP ∴∆是等腰直角三角形， 4BC =，4PB PC ∴==，122HPC HBC NBC NOC ∠=∠=∠=∠，同理12GPB MOB ∠=∠， 1()302HPC GPB NOC MOB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 60GPH ∴∠=︒， ∴点E 运动的路径长是60441803ππ⋅=， 故选：B ．4．如图，在平面直角坐标系中，等边OAB ∆的边OB 在x 轴正半轴上，点(3,)A m ，0m >，点D 、E 分别从B 、O 以相同的速度向O 、A 运动，连接AD 、BE ，交点为F ，M 是y 轴上一点，则FM 的最小值是( )A ．3 B1 C．2 D．6-【解答】解：如图，OAB ∆是等边三角形，60AOB ABD ∴∠=∠=︒，OB AB =，点D 、E 分别从B 、O 以相同的速度向O 、A 运动，BD OE ∴=，在OBE ∆和DAB ∆中，60OE BD BOE ABD OB AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()OBE DAB SAS ∴∆≅∆，OBE BAD ∴∠=∠，60ABE BAD ABE OBE ABO ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒180()120AFB ABE BAD ∴∠=︒-∠+∠=︒，∴点F 是经过点A ，B ，F 的圆上的点，记圆心为O '，在O '上取一点N ，使点N 和点F 在弦AB 的两侧，连接AN ，BN ，18060ANB AFB ∴∠=︒-∠=︒，连接O A '，O B '，2120AO B ANB '∴∠=∠=︒，O A O B ''=，ABO BAO ''∴∠=∠，11(180)(180120)3022ABO AO B ''∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 60ABO ∠=︒，90OBO '∴∠=︒，AOB ∆是等边三角形，(3,)A m ，23AB OB ∴==⨯，m =过点O '作O G AB '⊥，132BG AB ∴==， 在Rt △BO G '中，30ABO '∠=︒，3BG =，3cos cos30BG O B ABO '∴==='∠︒， (6O '∴，，设(0,)M n ，O M '∴=FM O M O F ''∴=-=，只有0n -=时，(n -最小为06．当0n -=时，即：n =时，FM 最小，6FM ∴=-的最小值．故选：D ．5．如图，正方形ABCD 中，2AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，则线段DP1 ．【解答】解：如图：， 动点F ，E 的速度相同，DF AE ∴=，又正方形ABCD 中，2AB =，AD AB ∴=，在ABE ∆和DAF ∆中，AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE DAF ∴∆≅∆，ABE DAF ∴∠=∠．90ABE BEA ∠+∠=︒，90FAD BEA ∴∠+∠=︒，90APB ∴∠=︒，点P 在运动中保持90APB ∠=︒，∴点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB 的中点为G ，连接CG 交弧于点P ，此时CP 的长度最小， 112AG BG AB ===．在Rt BCG ∆中，DG =1PG AG ==，1DP DG PG ∴=-=即线段DP 1，1．6．如图，正方形ABCD ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，点E 在圆弧上，EH BC ⊥于点H ，P 是EHB ∆的内心，2AB =，则AP 的最小值为【解答】解：连接PE 、PC 、PB ．P 是EHB ∆的内心，90EHB ∠=︒，1180()1352EPB HEB HBE ∴∠=︒-∠+∠=︒， BC BE =，PBC PBE ∠=∠，PB PB =，PBC PBE ∴∆≅∆，135BPC BPE ∴∠=∠=︒（定角）， ∴点P 的运动轨迹是圆弧，以BC 为斜边在BC 的下方作等腰直角三角形BCO ，连接OP 、OA ．则以点O 为圆心，OB 为半径的O 是点P 的轨迹，AP AO OP -，∴当O 、P 、A 共线时，PA 的值最小，作OM AB ⊥于M ．易知OB ，1OF BF ==，OA =PA ∴-7．如图，在矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，点P 是BC 上的一个动点，连接AP ，把PAB ∆沿着AP 翻折到△PB C '（点B '在矩形的内部），连接B C '，B D '．点P 在整个运动过程中，若存在唯一的位置使得△B CD '为直角三角形，则a ，b 之间的数量关系是 b = ．【解答】解：如图，以CD 为直径作O ，当点A 到O 的最小距离等于AB 时，使得△B CD '为直角三角形且唯一，在Rt ADO ∆中，222AD OD OA +=，22211()()22b a a a ∴+=+， 整理得222b a =，0a >，0b >，b ∴=．8．如图，O 的直径为4，C 为O 上一个定点，30ABC ∠=︒，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧），当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．CD．（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为43（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为．【解答】解：（1）如图1中，AB=AB是直径，30∠=︒，4ABCAC=，A P∠=∠=︒，2∴∠=︒，60ACB90⊥，CD PC=⋅︒，CD PC90∴∠=︒，tan60PCD=，==，PC的最大值为直径4ACPC的最小值2∴的最小值为CD点P与点C在直径AB的异侧∴．CD43CD．故答案为43（2）如图2中，在Rt PCDP∠=︒，60∠=︒，PCD∆中，90PDC∴∠=︒，30∴点D在以BC为弦的O'（红弧线）上运动，∴当A、O'、D共线时，AD的值最大．连接CO'、BO'．'='，∠'=∠=︒，O C O BBO C CDB260'是等边三角形，∴△O BC∴'==60BO BC∠'=︒，CBO∠=︒，30ABC∴∠'=︒，90ABOAO∴'=AD AO O D∴='+'=∴的最大值为AD故答案为9．如图，AB是O的直径，C为圆上一点，且120∠=︒，O的半径为2，P为圆上AOC一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最大值是1+【解答】解：如图，连接OQ，作CH AB⊥于H．AQ QP =，OQ PA ∴⊥，90AQO ∴∠=︒，∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，在Rt OCH ∆中，60COH ∠=︒，2OC =，112OH OC ∴==，CH =，在Rt CKH ∆中，CK =CQ ∴的最大值为1+10．如图，P 是矩形ABCD 内一点，4AB =，2AD =，AP BP ⊥，则当线段DP 最短时，CP =【解答】解：以AB 为直径作半圆O ，连接OD ，与半圆O 交于点P '，当点P 与P '重合时，DP 最短，122AO OP OB AB ='===， 2AD =，90BAD ∠=︒，OD ∴=，45ADO AOD ODC ∠=∠=∠=︒，2DP OD OP ∴'=-'=，过P '作P E CD '⊥于点E ，则22P E DE DP '=='=，2CE CD DE ∴=-=，CP ∴'=故答案为：11．在平面直角坐标系中，已知点(0,2)A -、(0,3)B ，点C 是x 轴正半轴上的一点，当45BCA ∠=︒时，点C 的坐标为 (6,0) ．【解答】解：如图，作ABC ∆的外接圆P ，过P 作EP BA ⊥，PF OC ⊥于F ， AE BE ∴=，点(0,2)A -、(0,3)B ，5AB ∴=，1(0,)2E ∴， 45ACB ∠=︒，90APB ∴∠=︒，1522PE AB ∴==， 5(2P ∴，1)2，在Rt PBE ∆中，52PE BE ==，由勾股定理得：PB ，在Rt PFC ∆中，12PF =，PC PB =72FC = 57622OC OF CF ∴=+=+=， ∴点C 坐标为(6,0)，故答案为(6,0)．12．如图，正方形ABCD中，2AB=，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D 出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD MP+的最小值为【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D'，连接PD'，由轴对称的性质可知：MD D M='，2='=CD CD∴+=+'='PM DM PM MD PD过点P作PE垂直DC，垂足为G，易证AF BE⊥，故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD'均最短，∴此时，PD'最短．四边形ABCD为正方形，112PG AD ∴==，112GC DC ==． 3GD ∴'=．在Rt PGD ∆'中，由勾股定理得：PD '===13．如图，边长为4的正方形ABCD 外有一点E ，90AEB ∠=︒，F 为DE 的中点，连接CF ，则CF 的最大值为 1 ．【解答】解：解法一：如图，以AB 为直径作圆H ，90AEB ∠=︒，∴点E 在这个H 上，延长DC 至P ，使CD PC =，连接BE ，EH ，PH ，过H 作HM CD ⊥于M ， EF DF =，CD PC =，12CF PE ∴=， Rt AEB ∆中，H 是AB 的中点，122EH AB ∴==，Rt PHM ∆中，由勾股定理得：PH ==2PE EH PH +=+，当P ，E ，H 三点共线时，PE 最大，CF 最大，CF ∴1；解法二：连接BD ，取BD 、AD 的中点为H 、G ，连接FH 、GF ，F 为DE 的中点，FH ∴是BDE ∆的中位线，FG 是ADE ∆的中位线，//FH BE ∴，//FG AE ，HFD BED ∴∠=∠，GFD AED ∠=∠，90AEB ∠=︒，90BED AED ∴∠+∠=︒，90HFD GFD ∴∠+∠=︒，90HFG ∴∠=︒，∴点F 在以GH 为直径的半圆上运动，取GH 的中点I ，则CF 最大时，是经过圆心I ， GH 是ABD ∆的中位线，114222GH AB ∴==⨯=， 1GI ∴=，过I 作IM CD ⊥于M ，在Rt CIM ∆中，413CM =-=，2IM =，由勾股定理得：CI ==1CF ∴'=，1．14．如图，正方形ABCD 中，4AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD MP +的最小值为【解答】解：如图作点D 关于BC 的对称点D '，连接PD '，由轴对称的性质可知：MD D M ='，4CD CD ='=，PM DM PM MD PD ∴+=+'='过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，易证AF BE ⊥，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PG 和GD '均最短，∴此时，PD '最短．四边形ABCD 为正方形，122PG AD ∴==，122GC DC ==． 6GD ∴'=．在Rt PGD ∆'中，由勾股定理得：PD '===．故答案为三．解答题（共4小题）15．在平行四边形ABCD 中，AD =，2AB =，45A ∠=︒，问AB 边上是否存在一个点P ，使得45DPC ∠=︒？若存在，请求出AP 的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：存在．理由如下，如图，作DM AB ⊥于M ．在Rt ADM ∆中，2AD =45A ∠=︒，1AM DM ∴==， 2AB =，1AM BM DM ∴===，90ADB ∴∠=︒，//AD CB ，90DBC ADB ∴∠=∠=︒，ADB ∆，DBC ∆的是等腰直角三角形，BD BC AD ∴==以B 为圆心BC 画圆交AB 于P ，此时1452DPC DBC ∠=∠=︒，PB BC ∴==2AP AB PB ∴=-=16．已知线段2BC =，用尺规作ABC ∆，使45A ∠=︒，你能作出多少个满足条件的三角形？【解答】解：如图，当2BC =，90BOC ∠=︒时，点A 在优弧BC 上， 1452A BOC ∠=∠=︒， 45A A A ∴∠'=∠''=∠=︒，∴满足条件的点A 有无数个．17．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，BC =1CD =，90ABC BCD ∠=∠=︒，点E 、点P 是四边形内的动点，且150AED ∠=︒，求PC PB PE ++的最小值．【解答】解：过点A 作AG CD ⊥于点G ，90ABC BCD ∠=∠=︒，∴四边形ABCG 是矩形，2CG AB ∴==，AG BC ==211DG ∴=-=，Rt AGD ∆中，tan AG AHD GD∠==， 60ADG ∴∠=︒，2AD =，延长DG 至点O ，使得2OD AD ==，OAD ∴∆是等边三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作圆，∴优AD 的度数为300︒，150AED ∠=︒，∴点E 在O 上，BPC ∆绕着点B 顺时针旋转60︒至△BP C ''，BP BP ∴='，PC P C ='，60PBP ∠'=︒，BP PP ∴='，PC PB PE P C PP PE ∴++='+'+，而OE 是定值，∴求P C PP PE '+'+最短，就是求P C PP PE OE '+'++最短，当O 、E 、P 、C '四点共线时，P C PP PE OE '+'++最短，最短值就是OC '的长， 过点C '作C F OC '⊥于点F ，BCC ∆'是等边三角形，12C F BC ∴'=，32CF F '=，OC ∴'=，P C PP PE OE ∴'+'++P C PP PE ∴'+'+2，PC PB PE ∴++2．18．如图1，已知四边形ABCD 是平行四边形，AC BC ⊥且AC BC =，以BC 、AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系(6,0)B -，直线3y x b =+过点D 且与x 轴交于点M ．（1）请直接写出点D ，b 的值及点M 的坐标；（2）如图2，点E 是线段AB 上的一点，点F 是线段AC 上的一点，且45CEF ∠=︒，若CEF ∆为等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如图3，点G 为y 轴正半轴上的一点，当45BGM ∠=︒时，求线段AG 的长．【解答】解：（1）如图1，(6,0)B -，6BC ∴=，AC BC =，6AC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，且AC BC ⊥，6AD BC ∴==，AD AC ⊥，(6,6)D ∴，把(6,6)D 代入3y x b =+中得：636b =⨯+，12b =-，312y x ∴=-，当0y =时，3120x -=，4x =，(4,0)M ∴；（2）若CEF ∆为等腰三角形，分三种情况讨论：①当CE CF =时，如图2，则CEF CFE ∠=∠，45CEF ∠=︒，E ∴与B 重合，F 与A 重合，AE AB ∴==；②当CE EF =时，如图3，过E 作EH AC ⊥于H ，则CEH FEH ∠=∠， 45CEF ∠=︒，14522.52CEH ∴∠=⨯︒=︒， 9022.567.5ECH ∴∠=︒-︒=︒，在AEC ∆中，45BAC ∠=︒，1804567.567.5AEC ∴∠=︒-︒-︒=︒，AEC ECH ∴∠=∠，6AE AC ∴==；③当EF CF =时，如图4，设EF x =，EF FC x ==，45CEF ∠=︒，45EFC CEF ∴∠=∠=︒，90EFC ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，AFE ACB ∴∠=∠，//EF BC ∴， ∴EF AF BC AC=， AC BC =，EF AF ∴=，6x x ∴=-，3x =，3EF AF ∴==，∴=，AE综上所述：AE的长为6或（3）如图5，作BM的中垂线交AB于E，交BM于P，过E作EF y⊥轴于F，连接EM、GE，EB EM∴=，∠=︒，45ABC∴∠=∠=︒，ABC EMB45∴∠=︒，BEM90∠=︒，BGM45∆的外接圆的圆心，∴点E是BGM∴==，EG EB EMCM=，BC=，46∴=，BM10∴==，BP PE5∴==，BE∴=，EGEF=-=，651∴，7GF∴=+-=+-=．AG GF FC AC7566。
专题16 构造辅助圆(隐圆)解题的几种常见模型-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)
专题16 构造辅助圆（隐圆）解题的几种常见模型（解析版）类型一定点定长模型典例1（威海中考）如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（ ）A．68°B．88°C．90°D．112°思路引领：如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，结合已知条件∠CBD＝2∠BDC，得到∠CAD＝2∠BAC，即可解决问题．解：如图，∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；∵∠CBD＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，∴∠CAD＝88°，故选：B．总结提升：该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助圆，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答．针对训练1．（苏州期中）如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（ ）A．14B．15C．18D．12思路引领：作AM⊥BC于点M，AN⊥BD于点N，根据题给条件及等腰三角形的性质证明△ABN≌△BAM，继而求出AN的值，在Rt△ABN中，利用勾股定理求解即可．解：作AM⊥BC于点M，AN⊥BD于点N，∵AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形，∴AM也是△ABC的中线和角平分线（三线合一），∴∠CAM＝∠BAM，∴△ABM≌△ACM，∵AB∥CD，AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝∠CAB，∵∠ADB＝∠ABD＝∠CDB，∴∠ADB=12∠ADC＝∠MAB，∴∠MAB＝∠DBA，又∵AB＝AB，∴△ABN≌△BAM（AAS），∴AN=12BC=12，∵AB＝2，∴BN2＝AB2﹣AN2=15 4，∴BD2＝4BN2＝15．故选：B．总结提升：本题考查了梯形的知识，同时涉及了等腰三角形的性质和勾股定理的知识，难度适中，解题关键是正确作出辅助线．2．（2021春•牧野区校级期中）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE 沿PE折叠，得到△PFE，连接CF．若AB＝10，BC＝12，当CF取最小值时，BP的值等于 ．思路引领：点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，根据折叠的性质可知BE＝EF＝5，即可求出CF，再利用勾股定理即可解决问题．解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，∵E是AB边的中点，AB＝10，∴AE＝EF＝5，∵AD＝BC＝12，∴CE=BE2+BC2=13，∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．由折叠可知：FP＝BP，∴CP＝BC﹣BP＝12﹣BP，在Rt△CFP中，根据勾股定理得：CF2+FP2＝CP2，∴82+BP2＝（12﹣BP）2，解得BP=10 3．故答案为：10 3．总结提升：本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．类型二对角互补模型典例2 （2018•汉阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP 的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（ ）A．变大B．先变大后变小C．先变小后变大D．不变思路引领：连接AC交BD于O，连接EO、AG，根据菱形的性质得出∠AOB＝90°，AO＝CO，求出A、E、G、O四点共圆，得出∠PAG＝∠EOB，∠APG＝∠PAG，求出∠APG＝∠EOB＝∠DBC，即可求出答案．解：连接AC交BD于O，连接EO、AG，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，∵EG是AP的垂直平分线，∴AG＝PG，∠AEG＝∠AOB＝90°，∴A、E、G、O四点共圆，∴∠PAG＝∠EOB，∠APG＝∠PAG，∴∠EOG＝∠APG，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∵AE＝PE，∴OE∥BC，∴∠EOB ＝∠DBC =12∠ABC ，∵菱形ABCD 固定，∴∠ABC 的度数固定，即∠APG 的度数不变，故选：D ．总结提升：本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线性质，圆内接四边形性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．变式训练1．（2018•碑林区校级一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上的动点，连接CD ，将△BCD 绕点C 沿顺时针旋转至△ACE ，连接DE ，则△ADE 面积的最大值＝ ．思路引领：设BD 为a ，表示线段AE ，AD ，用a 表示△ADE 的面积表达式，从而利用二次函数的极值属性求出极值．解：设BD 为a∵∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝2∴AB ＝23∴AD =23―a∵AE ＝BD ，∠B ＝∠CAE ＝30°，BC ＝AC∴△BDC ≌△AEC （SAS ）作EF ⊥AB ，垂足为F在Rt △AEF 中∠FAE ＝60°，AE ＝BD ＝a∴AF =12a ，EF =123a ∴△ADE 的面积=12×(23―a)×123a =―34a 2+32a 即当a =3，△ADE 的面积有最大值为343故答案为343总结提升：本题考查了数形结合的数学思想，将几何问题转化为函数问题，利用函数关系式获得极值．2．（2020•淮阴区模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB，BC于E、F，则EF的最小值为 ．思路引领：首先过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，易证四边形OMBN为矩形，则OM∥BC，ON∥AB，由直角三角形中30°角性质，可得AC的长，进而求得BC长．又O为AC中点，可求得OM 与ON的长，由勾股定理可得MN的长．又由垂线段最短，可得当OE与OM重合，OF与ON重合时，EF最短．得解．解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2．∴AC＝2AB＝4．过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B＝90°，∴四边形OMBN为矩形，∴OM∥BC，ON∥AB．∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，∴OM：CB＝OA：CA，ON：AB＝OC：AC．∵O为AC中点，则OB=12AC＝2＝MN，由垂线段最短，可得当OE与OM重合，OF与ON重合时，EF最短．∴EF的最小值为2．故答案为：2．总结提升：本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及垂线段最短的知识，难度适中，注意数形结合思想的运用．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），点P在直线y=33x上，连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．求∠QAP的度数．思路引领：分点P在第三象限、点P在第一象限的线段OH上、点P在第一象限的线段OH的延长线上三种情况，用四点共圆求解．解：①当点P在第三象限时，如图2，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠PAQ＝∠POQ＝30°；②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3，由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°，∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°；③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°，∴Q、P、O、A四点共圆，∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．总结提升：本题为一次函数综合题，涉及到四点共圆、等腰三角形性质，分类讨论求解是解决此题关键．类型三定边定角模型（1）定边对直角典例3东西湖区模拟）如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）个．A．6B．7C．8D．9思路引领：过点A作AB的垂线，交x轴于点C1，交y轴于点C2；过点B作AB的垂线，交x轴于点C3，交y轴于点C4；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与y轴相切，可得出圆与y轴有1个交点，与x 轴交于2点．所以满足条件的点共有7个．解：分三种情况考虑：①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切，则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．综上，所有满足题意的C有7个．故选：B．总结提升：此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．针对训练1．（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC 是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 5―1 ．思路引领：（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=12AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=12∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAD=∠CDAAE=DF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO=12AB＝1，在Rt△AOD中，OD=AO2+AD2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH=5―1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：5―1．总结提升：本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．（2）定边对定角典例4（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC 为等边三角形，AB ＝3．若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB ＝∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为（ ）A ．1.5B ．3C ．433D ．2思路引领：由等边三角形的性质得出∠ABC ＝∠BAC ＝60°，AC ＝AB ＝3，求出∠APC ＝120°，当O 、P 、B 共线时，PB 长度最小，由等边三角形的性质得出AD ＝CD =12AC =32，∠PAC ＝∠ACP ＝30°，求出PD 和BD 的长，可得PB 的长，即可得出答案．解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，AC ＝AB ＝3，∵∠PAB ＝∠ACP ，∴∠PAC +∠ACP ＝60°，∴∠APC ＝120°，∴点P 的运动轨迹是AC ，设AC 所在圆的圆心为O ，当O 、P 、B 共线时，PB 长度最小，设OB 交AC 于D ，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD=12AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD=12∠ABC＝30°，∴PD=32，BD=332，∴PB＝BD﹣PD=332―32=3．故选：B．总结提升：本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；作辅助线构建圆是解决问题的关键．典例5（2021秋•白云区期中）在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并证明；（3）若点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求∠BEC的度数．思路引领：（1）在四边形ABCD中，由四边形内角和定理即可得出结果；（2）以BD为边向下作等边△BDQ，连接CQ，由等边三角形的性质得出∠DBQ＝60°，BD＝BQ，证出∠ABD＝∠CBQ，证明△ABD≌△CBQ，得出AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，证出∠DCQ＝90°，再由勾股定理即可得出结论；（3）根据旋转的性质作辅助线，构建全等三角形，利用勾股定理的逆定理和等边三角形的判定和性质可得结论．解：（1）在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°；（2）结论：CD2+AD2＝BD2，理由：以BD为边向下作等边△BDQ，连接CQ，则∠DBQ＝60°，BD＝BQ，∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，在△ABD和△CBQ中，AB=BC∠ABD=∠CBQ，BD=BQ∴△ABD≌△CBQ（SAS），∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，∴∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，∴∠DCQ＝90°，∴CD2+CQ2＝DQ2，∵CQ＝AD，DQ＝BD，∴CD2+AD2＝BD2；（3）如图2，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBE'，∴△ABE≌△CBE，∴BE＝BE'，AE＝CE'，∠EBE'＝60°，∴△EBE'是等边三角形，∴EE'＝BE，∠BEE'＝60°，∵AE2＝BE2+CE2，∴CE'2＝E'E2+CE2，∴∠CEE'＝90°，∵∠BEE'＝60°，∴∠BEC＝60°+90°＝150°．总结提升：本题是四边形的综合题，考查了四边形内角和定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定与性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．针对训练1．（广州中考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．思路引领：（1）利用四边形内角和定理计算即可；（2）连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．想办法证明△DCQ是直角三角形即可解决问题；（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．想办法证明∠BEC＝150°即可解决问题；解：（1）如图1中，在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°．（2）如图2中，结论：DB2＝DA2+DC2．理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，∵AB＝BC，DB＝BQ，∴△ABD≌△CBQ（SAS），∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，∴∠DCQ＝90°，∴DQ2＝DC2+CQ2，∵CQ＝DA，DQ＝DB，∴DB2＝DA2+DC2．（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．则△AER是等边三角形，∵EA2＝EB2+EC2，EA＝RE，EC＝RB，∴RE2＝RB2+EB2，∴∠EBR＝90°，∴∠RAE+∠RBE＝150°，∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°，∴∠BEC＝150°，∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，∵∠K+∠BEC＝180°，∴∠K＝30°，∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，∴点E的运动路径=60⋅π⋅1180=π3．总结提升：本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题2．如图，在△ABC中，∠C＝120°，则△ABC所在的平面上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC 的面积，且∠AMB＝60°？若存在，画出该点的位置，若不存在，请说明理由．思路引领：构造等边三角形ABE，作等边△ABE的外接圆⊙O，过点C作AB的平行线交⊙O于点M1和M2，由同底等高三角形面积相等可知△ABM1和△ABM2的面积与△ABC的面积相等，由同弧所对的圆周角相等可知∠AM1B＝∠AM2B＝∠E＝60°，故M1和M2是符合题意的点，分别作M1和M2关于AB 的对称点M3和M4也符合题意．解：存在点M，如图，构造等边三角形ABE，作等边△ABE的外接圆⊙O，过点C作AB的平行线交⊙O于点M1和M2，∴∠AM1B＝∠AM2B＝∠E＝60°，∵M1M2∥AB，∴S△ABM1＝S△ABM2＝S△ABC，∴M1和M2是符合题意的点，分别作M1和M2关于AB的对称点M3和M4，则点M3和M4也符合题意，故符合题意的点有4个，分别为M1、M2、M3和M4．总结提升：本题考查了三角形的综合知识，掌握圆周角定理和同底等高三角形面积相等是解决问题的关键．。
专题15：《辅助圆》
中考核心知识点专题练习（辅助圆）德化第五中学：罗文平添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果．一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求BD的长．解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A．因为AB＝AC＝AD，所以B、C、D三点在⊙A上．延长BA交⊙A于点E，连结DE．因为DC∥EB，所以弧ED＝弧BC，所以ED＝BC＝q．在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD ＝．例2 如图， PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝5，PD＝3，求AD·DC的值．解析：以点P为圆心、PＢ为半径的作⊙P．因为PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，所以点Ａ、B、C在⊙P上．此时⊙P的直径BE＝10，DE＝8，DB＝2，由相交弦定理，得AD·DC＝DE·DB＝８×２＝16二、作三角形的外接圆例3 如图，D、E为△ABC边BC上的两点，且BD=CE，∠BAD=∠CAE，求证：AB=AC．解析：作△ADE的外接圆，分别交AB、AC于点M、N，连结MD、NE．因为∠BAD＝∠CAE，所以∠BAD＋∠DAE＝∠CAE+∠DAE，即∠NAD＝∠MAE．因为∠BDM＝∠MAE，∠CEN＝∠NAD，所以∠BDM＝∠CEN．又BD＝CE，DM＝EN，所以△BDM≌△CEN，所以∠B＝∠C，即AB＝AC．例4 如图，△ABC中，BF、CE交于点D，BD＝CD，∠BDE＝∠A，求证：BE＝CF．解析：作△ABC的外接⊙O，延长CE交⊙O于G，连接BG．因为∠G＝∠A，∠BDE＝∠A，所以∠G＝∠BDE，所以BG=BD．又BD＝CD，所以BG＝CD.又因为∠G＝∠CDF，∠GBE＝∠DCF，所以△GBE≌△DCF．所以BE＝CF．例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：BC＝BD＋AD．教学设计解析：作△ABD的外接圆交BC于E，连结DE．因为BD是∠ABC的平分线，所以弧AD＝弧DE，所以AD＝DE．在△BDE中，∠DBE＝20°，∠BED＝180°―100°＝80°，所以∠BDE＝80°，所以BE＝BD．在△DEC中，∠EDC＝80°―40°＝40°，所以EC＝DE．所以BC＝BE＋EC＝BD＋AD．三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例6 如图，在△ABC中，AB＝AC＝，D是边BC上的一点，且AＤ＝１，求BD·DC的值．解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A，交直线AD于点E、F，则点C在⊙A上，DE＝，DF＝．由相交弦定理，得BD·DC＝DE·DF＝＝2．例7 如图，在△ABC中，∠DAB＝∠C，∠B的平分线BN交AD于M．求证：（1）AM＝AN；（2）AB 2－AN 2＝BM·BN．解析：（1）略；（2）由（1），得AM＝AN．以点A为圆心、AM为半径作⊙A，交AB于E，交BA的延长线于F，则N在⊙A 上，且AE＝AF＝AN．由割线定理，得BM·BN＝BE·BF＝(AB－AE)(AB＋AF)＝(AB―AN)(AB＋AN)＝AB 2－AN 2，即AB 2－AN 2＝BM·BN．四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例8 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，设AB＝a，DC＝b，AD＝c，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？解析：以AD为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，当⊙O与直线BC有公共点（相切或相交）时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．因为⊙O的半径r＝，圆心O到直线BC的距离d＝．所以，当d≤r，即a＋b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．例9 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。
中考数学几何最值模型 专题03 辅助圆模型(学生版+解析版)
辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
九年级数学上册第24章： 辅助圆(隐圆)专题练习(无答案)
隐圆模型一定点定长（一中同长）《墨子，经上》中说：圆，一中同长也。
清朝陈澧《东塾读书记·诸子》解释道：“《几何原本》云：‘圜之中处一圜心，一圜惟一心，无二心，圜界至中心作直线俱等。
’即此所谓‘一中同长’也。
模型分析若有一定点，一动点，且动点到定点的距离为定长，则动点的轨迹为圆模型实例如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E是AB中点，点F是BC 上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B'处，求B'D的最小值.练习：如图，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ=4，则在线段PQ滑动的过程中，点C运动形成的路径长为_________2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________3图2图BC OABC OAABC O图13、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF ，PD ，则PF+PD 的最小值是_________.模型二 共端点，等线段模型（鸡爪模型）12BCA D模型分析（1）若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆； （2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题。
模型典例如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD ，若∠CAD=76°，则∠CBD=__________度。
练习1、如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB=AC ，AC=AD ，连接BD 。
求证：∠1+∠2=90°。
2、如图，在△ABC 内有一点 D，使得 DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=__________模型三定弦定角模型分析若有一固定线段AB及线段AB所对的角（∠C）固定，则点C可以看作是以AB为弧的圆上运动.模型典例如图在△ABC中，BC=2，∠A=45°，求△ABC的面积最大值.练习1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P为一动点，且PA⊥PC，连接BP，则BP的最大值为_____2、如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2√3，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是E BCADF模型四 共斜边的直角三角形模型分析：（1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；（2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角相等重要的途径之一。
中考复习专题之构造辅助圆
9/13/2024
D A
C
30°
B
2. （2012青海中考） 如图，四边形Ａ ＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点， ∠ＡＥＦ=90，EF交正方形外角的平分线Ｃ Ｆ于 Ｆ。求证：ＡＥ=EＦ。（人教版八年 级下册第69页）
A
D
F
BE
CG
一题多解
证法1 ＡＥ=EＦ 证法2
A
D
A
D
M
F
F
BE
CG
图 18
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
定张角
定线段
9/13/2024
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
变式1：如果把∠BCA=45°改成∠BCA=30°， 还会做吗？
9/13/2024
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
A
BE
图 19
D
证法5
F
BE
CG
P
图 22
CG
N
ADQ源自BEC图 21
证法3
A
D
F
B
E
H
CG 图 20
F 证法4
G
3.(2014年山东淄博市中考数学)如图，点A与 点B的坐标分别是（1,0），（5,0），点P是 该直角坐标系内的一个动点。
（1）使∠APB=30°的点P有 个； （2）若点P在y轴上且∠APB=30°， 求满足条件的点P的坐标；
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
变式2：如果把“∠BCA=45°”改成“∠ BCA=θ° 还能做吗？
初中辅助圆专题最值问题
在初中数学中，辅助圆是一个常见的工具，用于解决与圆有关的问题。
在辅助圆专题中，最值问题是一个重要的部分，涉及到在特定条件下找到某个量的最大值或最小值。
解决这类问题的一般步骤包括：
理解题意：首先，需要清楚地理解题目的要求和条件，确定需要找到哪个量的最值。
构造辅助圆：根据题目的条件，构造合适的辅助圆。
这个辅助圆可能与题目中给出的圆有关，也可能是一个新的圆。
应用几何性质：利用圆的几何性质，如半径、直径、弧长、弦长等，以及点与圆、直线与圆的位置关系，进行分析和推理。
建立方程或不等式：根据题目条件和几何性质，建立方程或不等式。
这个方程或不等式通常与需要找到的最值有关。
求解方程或不等式：解方程或不等式，找到需要求的最值。
这可能涉及到代数运算、几何图形的分析等。
检验解：最后，需要检验解是否符合题目的条件和要求。
如果符合，那么这个解就是题目的答案。
需要注意的是，每个最值问题都有其独特的特点和解决方法。
因此，在解决这类问题时，需要灵活运用所学的数学知识，结合题目的具体条件进行分析和推理。
同时，也需要多做一些练习，提高自己的解题能力和思维水平。
图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题
图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题圆，规范简约且具有丰富的性质。
尽管在许多几何问题的条件中可能并不明确涉及到圆，但是如果能够根据问题的条件和图形的特点构造一个圆，转机或许因此出现。
这就需要我们有明亮的眼光、明锐的视角发现图中的“隐形圆”，充分利用圆的众多性质，为解决问题铺设“桥梁”。
本文讲述两种常用的构造辅助圆的模型：(1)定点定长构造辅助圆；(2)定弦定角构造辅助圆。
一、模型介绍类型一：定点定长构造辅助圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A 为圆心，AB长为半径的圆上(如图1).依据的是圆的定义:圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合。
图1经典例题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4,点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______分析：CF为定长，翻折得PF=CF，故无论E点如何运动，点P随着点E的运动而始终在以点F为圆心，1为半径的圆上，将问题转化为⊙F上一点到直线AB 的距离的最小值。
解：如图，构造以F为圆心，CF为半径的圆。
过F作FG⊥AB于点G，交⊙F 于点P，此时PG的值最小，最小值为AF×sinA-1=2×-1=.模型总结：利用“定点定长”构造辅助圆的关键在于寻找一个定点，使目标动点到该定点的距离为定值。
类型二：定弦定角构造辅助圆固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的部分。
在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等。
如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C固定，根据圆的知识可知点C不唯一。
当∠C ＜90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB 是圆的直径；当∠C＞90°时，点C在劣弧上运动。
图2经典例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P为一动点，且PA⊥PC，连结BP，则BP的最大值为____________。
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新东方 王昊龙
• 辅助圆是一种思想，是一个工具！不利用辅 助圆我们照样可以完成题目，但是利用辅助 圆可以方便我们完成题目！
基本类型
1、利用定义：等线段，共端点。
O C
A B
基本类型
1、利用定义：等线段，共端点。
O C
A B
• 如图，在边长为2的菱形中，∠A=60°，M是AD 边上的中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN 沿着MN所在的直线翻折，得到△A’MN，连接 A’C，则A’C长度的最小值是多少？
如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE＝DF．连接 CF 交 BD 于 G，连接 BE 交 AG 于点 H． 若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是____．
H
o
O M
基本类型
3、（1）对角互补 （2）同弦等角
基本类型
3、（1）对角互补 （2）同弦等角
• （2）求△ABC面积的最大值。
• 如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，分别以 A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和 等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线 的垂线，垂足为M、N。
• （2）求△ABC面积的最大值。
O
D
如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE＝DF．连接 CF 交 BD 于 G，连接 BE 交 AG 于点 H． 若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是____．
如图等边△PQR 内接于正方形 ABCD，其中点 P、Q、R 分别在边 AD、AB、DC 上，M 是 QR 的中点， 求证：不论等边△PQR 怎样运动，点 M 为不动点．
已知：在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=α，点 D 是 AB 边上 任意一点，将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 α 与过点 A 且 平行于 BC 边的直线交于点 E．当 α=45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系
• 如图，在边长为2的菱形中，∠A=60°，M是AD 边上的中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN 沿着MN所在的直线翻折，得到△A’MN，连接 A’C，则A’C长度的最小值是多少？
E
A’
•
D
•
D
D
基本类型
2、三点共圆：定角度对定线段。
C O
A
B
• 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为
AP
DAP
D
E
B(E)
C(F) B
F
C
在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=2，AP=1，将三角板绕点 P 顺时针旋转，当点 E 与点 A 重合时停止，在这个过程中：∠PEF 的大 小是否发生变化？请说明理由
AP
DAP
D
E
B(E)
C(F) B
C
如图等边△PQR 内接于正方形 ABCD，其中点 P、Q、R 分别在边 AD、AB、DC 上，M 是 QR 的中点， 求证：不论等边△PQR 怎样运动，点 M 为不动点．
• 已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,D为BC中 点,E、F分别为AB、AC上的点,且满足 ∠EDF=90°。
• 求证：DE=DF
• 已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,D为BC中 点,E、F分别为AB、AC上的点,且满足 ∠EDF=90°。
• 求证：DE=DF
在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=2，AP=1，将三角板绕点 P 顺时针旋转，当点 E 与点 A 重合时停止，在这个过程中：∠PEF 的大 小是否发生变化？请说明理由
如图，等边三角形ABC的边长为6，点D在AB 边上，从A匀速运动到B。点E在BC边上，以 相同的速度从B匀速运动到C。AE和CD相交于 点P， 求动点P所走过的路径长。
O
E
练习
已知：△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO 2 ∠ABO=∠DCO．点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点． 若 A、O、C 三点在同一直线上，请证明：△PMN∽△BAO
已知：在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=α，点 D 是 AB 边上 任意一点，将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 α 与过点 A 且 平行于 BC 边的直线交于点 E．当 α=45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系
F
如图，等边三角形ABC的边长为6，点D在AB 边上，从A匀速运动到B。点E在BC边上，以 相同的速度从B匀速运动到C。AE和CD相交于 点P， 求动点P所走过的路径长。
练习
已知：△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO 2 ∠ABO=∠DCO．点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点． 若 A、O、C 三点在同一直线上，请证明：△PMN∽△BAO
1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，
PA：PB=5：14，则PB的长
为
．
• 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为
1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，
PA：PB=5：14，则PB的长
为
．
42
• 如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，分别以 A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和 等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线 的垂线，垂足为M、N。