高考理科数学一轮复习课件：第九章第11讲回归分析与独立性检验
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数学高考总复习重点精品 《11回归分析的基本思想及其初步应用》2 新人教A版选修12PPT课件
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系
函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法 来刻划之间的关系呢？
2、最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程：
yˆ bˆx aˆ
选修1-2
（一）
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前言
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2
必修3(第二章 统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据 估计、推断
用样本估计总体 变量间的相关关系
简 分 系 用样本 用样本
线
单 层 统 的频率 数字特
n
(xi X )( yi Y )
bˆ i1 n
(X i X )2
i 1
aˆYbˆX
例如：
对一作直线运动的质点的运动过程作了8次观 测，得到下表，试估计x=9s时的位置y的值。
时刻 x/s
1
2
3
4
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
7
8
位置观 测值 5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06
xi2 1
4
9
16 25 36 49 64 204
3、回归分析的基本步骤:
画散点图 求回归方程 预报、决策
数学３——统计 1. 画散点图 2. 求出b,a的值。 3. 求回归直线方程 4. 用回归直线方程解决应用问题
思考：在时刻x=9s时，质点运动位置一定 是22.6287cm吗？
2025高考数学一轮复习-9.4-列联表与独立性检验【课件】
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)概率值 α 越小，临界值 xα 越大．( √ ) (2)独立性检验的思想类似于反证法．( √ ) (3)独立性检验的结论是有多大的把握认为两个分类变量有关系．( √ ) (4)事件 X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 χ2 的观测值越大．( √ )
{Y＝0}和{Y＝1}，其中 a，b，c，d 是事件{X＝x，Y＝y}(x，y＝0,1)的频数，n 是样本容
量，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 2×2 列联表
Y X Y＝0 Y＝1
合计
X＝0 a b
a＋b
X＝1 c
d
c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
2.独立性检验 (1)小概率值 α 的临界值：对于任何小概率值 α，可以找到相应的正实数 xα，使得下面 的关系成立 P(χ2≥xα)＝α.我们称 xα 为 α 的临界值，这个临界值可作为判断 χ2 大小的标准．概 率值 α 越小，临界值 xα 越大． (2)χ2 的计算公式 χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d. (3)独立性检验：利用 χ2 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立 的方法称为 χ2 独立性 检验，简称独立性检验．
【解析】 1－0.05＝0.95＝95%，即有 95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．故选 C．
6．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用 2×2 列
联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯
错误的概率不超过( B )
A．0.1%
3．在一次独立性检验中得到如下列联表：
B
B1 B2 合计
考点11 回归分析与独立性检验(学生版)
考点11 回归分析与独立性检验概率与统计，是历年高考的必考点，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查内容有：数字特征与概率的计算问题、随机变量的均值与方差、回归分析与独立性检验、二项分布及其应用等。
例如：2021年全国高考乙卷（文）、（理）[17]，2022年全国新高考卷Ⅱ[19]，2022年全国乙卷（文）、（理）[19]，2022年全国甲卷（文）[17]，2022年北京高考[18]等都对数字特征与概率的计算问题进行了考查。
〔1〕回归分析的实际应用1.求回归直线方程(线性回归方程)的一般步骤 (1)画散点图； (2)求回归直线方程； (3)用回归直线方程进行预报。
2.利用回归方程进行预测，把回归直线方程看作一次函数，求函数值。
3.利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数bˆ。
4.回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当||r 越趋近于1时，两变量的线性相关性越强。
〔2〕独立性检验的实际应用 1.独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出2×2列联表；(2)计算随机变量2K 的观测值k ，查表确定临界值0k ；(3)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()02k K P ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()02k K P ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与Y有关系”。
2.独立性检验的应用可以利用独立性检验来推断两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。
具体做法是： (1)根据实际问题需要的可信程度(或容许犯错误概率的上界)确定临界值0k ； (2)利用公式，由观测数据计算得到随机变量2K 的观测值k ；(3)如果0k k ≥，就说有()()%100102⨯≥-k K P 的把握认为“X 与Y 有关系”(或说在犯错误的概率不超过()2k K P ≥的前提下认为“X 与Y 有关系”)，否则就说样本观测数据没有提供“X 与Y 有关系”的充分证据(或说在犯错误的概率不超过()02k K P ≥的前提下不能认为“X 与Y 有关系”)。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《列联表与独立性检验》课件ppt
∴根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为“数 学成绩达标”与“运动达标”有关.
思维升华
独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题 的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解 答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且χ2的公式一般 会在原题中给出.
题型三 独立性检验的综合应用
例3 体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进 行动方案(2020－2030)》(下面简称“体育健康促进行动方案”)中明确提 出青少年学生每天在校内参与不少于60分钟的中高强度身体活动的要求. 随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高 度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.某中学教师为了了解体 育运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考 中随机抽取1 000名学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月 考的数学成绩情况，
(2)请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分(同一组中的数据用 该组区间的中点值作代表)；
该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分 x ＝ 0.025×40 ＋ 0.125×60 ＋ 0.350×80 ＋ 0.300×100 ＋ 0.150×120 ＋ 0.050×140＝91.50， 估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分为91.50分.
则b＝
5
＝889.50－－55××44×2 4＝0.85，
x2i －5 x 2
i＝1
第九章 统计与成对数据的统计分析
§9.4 列联表与独 立性检验
考试要求
1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义. 2.通过实例，了解独立性检验及其应用.
内容索引
高考理科第一轮复习课件(9.4相关性、最小二乘估计)
考向 2
线性回归方程及其应用
【典例2】（1）（2013·南昌模拟）下表提供了某厂节能降耗 技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产 能耗y（吨）的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为
y=0.35+0.7x，那么表中t的值为( )
(A)3
(B)3.15
(C)3.5
【拓展提升】最小二乘法估计的三个步骤 (1)作出散点图，判断是否线性相关. (2)如果是，则用公式求a，b，写出回归方程. (3)根据方程进行估计． 【提醒】回归直线方程恒过点 (x， ． y)
【变式备选】某商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统
计对比，得到如下表格：
其中i＝1,2,3,4,5,6,7.
【解析】选C.用回归模型y=73.93+7.19x，只能作预测，其结 果只是一个估计值．
4.给出下列关系： ①正方形的边长与面积之间的关系； ②某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系； ③人的身高与视力之间的关系； ④雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是_________.
5.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些 学生的情况，具体数据如表：
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，
2 50 13 20－ 7） （ 10 得到 ＝ 4.844，因为χ 2≥3.841，所以有 23 27 20 30 2
____________的把握判定主修统计专业与性别有关系.
2
【拓展提升】线性相关关系与函数关系的区别 （1）函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如，正
方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．
高考数学一轮复习 9.5 回归分析与独立性检验精品课件 文 新人教A版
≈ 0 .999
(518 -1× 6 2 202 0 )0 5 (54.4 5 -17 × 2 72 .6 2 2)
查得r0.05=0.576,
因r＞r0.05,说明变量Y与x之间具有线性相关关系.
.
12
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(2) b=15812-8 19-1 × 6 242× 203 20×07 05 2.6 2 5≈0.304
.
4
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1.随机误差
由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直
线的附近，实际上，y=bx+a+e,e是y与 =y ˆbx+a之间
的误差.通常e为随机变量，称为随机误差，它的均值
E(e)=0,方差D（e）=σ2>0.这样线性回归模型的完整表
达式为
{ y=bx+a+e E(e)=0,D(e)=σ2 .
1 32.2 25.0
2 31.1 30.0
3 32.9 34.0
4
5
35.8 37.1
37.0 39.0
第几年 城市居民年收入（亿元） 某商品销售额（万元）
6 38.0 41.0
7 39.0 42.0
8 43.0 44.0
9 10 44.6 46.0 48.0 51.0
.
14
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(1)画出散点图; (2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线附近， 求Y与x之间的回归直线方程.
X 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 Y 56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7
.
第11讲独立性检验与回归分析专题课件高三数学二轮复习
分组
对照组 实验组 合计
与m比较
小于m
不小于m
6
14
14
6
20
20
单位：只
合计
20 20 40
（2） 根据（1）中的列联表，能否有95％的把握认为小白鼠在高浓度 臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 参考数据：
α
0.10
0.05
0
6.635
2. 列联表与独立性检验 （1） 关于分类变量 X 和 Y 的抽样数据的2×2列联表如下：
的性质解决实际应用问题.本题第（2）问着重于独立性检验的实际应 用，即建立解决问题的统计模型，不局限于简单的套用公式.
α
0.010
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
解：根据题意，可得2×2列联表如下：
男性 女性 合计
Ⅰ型病
Ⅱ型病
单位：人 合计
m 2m 3m
热点2 回归分析 [典例设计] 例3 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为 了了解声音强度 D （单位：dB）与声音能量 I （单位：W/cm2）之间的 关系，将测得的声音强度 Di 和声音能量 Ii （ i ＝1，2，…，10）的数据 作了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值.
模型乙
估计值 残差
2
3
4
5
6
3
4
6
8
11
3.08 4.07 5.72 8.03 11
－0.08 －0.07 0.28 －0.03 0
2.4 4.4 6.4 8.4 10.4
0.6 －0.4 －0.4 －0.4 0.6
【高考数学总复习】：回归性分析与独立性检验(知识点讲解+真题演练+详细解答)
（2）相关关系：这是一种非确定性关系，①两个变量中一个为可控制变量，另一个为 随机变量，例如施肥量是可控制变量，而农作物的产量是随机变量。②两个变量均为随机变
量，例如某同学的数学成绩与化学成绩。
2.线性回归分析 (1) 散点图：将样本中的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图，它直观地 描述了两个变量之间是否有相关关系，是判断两个变量相关性的重要依据。 (2) 回归直线：散点图中点的整体分布在一条直线左右，则称这两个变量之间具有线性相关
(a b)(c d)(a c)(b d )
通过对统计量 K2 的研究，一般情况下认为：
①当 K 2 ≤3.841 时，认为变量 X 与 Y 是无关的。
②当 K 2 ＞3.841 时，有 95%的把握说变量 X 与 Y 有关；
④ 当 K 2 ＞6.635 时，有 99%的把握说变量 X 与 Y 有关；
定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。
2.分类变量的理解： 分类变量是说明事物类别的一个名称，其取值是分类数据。如“性别”就是一个分类变 量，其变量值为“男”或“女”；“行业”也是一个分类变量，其变量值可以为“零售 业”，说明 X 与 Y 无关的把握越小
6. 右表是对与喜欢足球与否的统计列联表依据表中的数据，得到（ ）
A. K 2 9.564 B. K 2 3.564 C. K 2 2.706 D. K 2 3.841
7. 对两个分类变量 A、B 的下列说法中正确的个数为（ ）． ①A 与 B 无关，即 A 与 B 互不影响；②A 与 B 关系越密切，则 K2 的值就越大；③K2
x yw
46.6 563 6.8
8
(xi x )2
i 1
量，例如某同学的数学成绩与化学成绩。
2.线性回归分析 (1) 散点图：将样本中的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图，它直观地 描述了两个变量之间是否有相关关系，是判断两个变量相关性的重要依据。 (2) 回归直线：散点图中点的整体分布在一条直线左右，则称这两个变量之间具有线性相关
(a b)(c d)(a c)(b d )
通过对统计量 K2 的研究，一般情况下认为：
①当 K 2 ≤3.841 时，认为变量 X 与 Y 是无关的。
②当 K 2 ＞3.841 时，有 95%的把握说变量 X 与 Y 有关；
④ 当 K 2 ＞6.635 时，有 99%的把握说变量 X 与 Y 有关；
定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。
2.分类变量的理解： 分类变量是说明事物类别的一个名称，其取值是分类数据。如“性别”就是一个分类变 量，其变量值为“男”或“女”；“行业”也是一个分类变量，其变量值可以为“零售 业”，说明 X 与 Y 无关的把握越小
6. 右表是对与喜欢足球与否的统计列联表依据表中的数据，得到（ ）
A. K 2 9.564 B. K 2 3.564 C. K 2 2.706 D. K 2 3.841
7. 对两个分类变量 A、B 的下列说法中正确的个数为（ ）． ①A 与 B 无关，即 A 与 B 互不影响；②A 与 B 关系越密切，则 K2 的值就越大；③K2
x yw
46.6 563 6.8
8
(xi x )2
i 1