高中数学回归分析(一)
57 11.4 不符合题意. 5 作直线 x y 12 与可行域边界交于
此时 x y
及 9 3， 即可知在这两点之间的整点为 3， 为所求 9 及 4,8 .
9 15 两点 ， 2 2
x y 10 练：已知x,y满足 x 4 y 20 x, y N + z=5x+2y的最大值. y
一、相关关系 二、线性回归方程
n i i
y＝a＋bx
n
b
( x x )( y y ) x y nx y
i 1 2 ( x x ) i i 1 n
i 1 n
i
i
2 2 x nx i i 1
a y bx
复习
§1.2相关系数
线性相关系数：
r
( x x )( y y )
例2、要将两种大小不同规格的钢板截成A、 B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规 格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型 钢板类型
A规格
2
B规格
1
C规格
1
第一种钢板
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15， 18，27块，问各截成这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品，且使用钢板张数最少.
例1. 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单 位：千元）的数据如下表：
年份 年份代号t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9
（1）求y关于t的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地 区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015年农村居民家庭人均纯收入.
2 x y 15 x 2 y 18 解： x 3 y 27 x N , y N
目标函数为 求z的最小值 作出可行域如图所示，其中 18 39 直线2x+y=15与直线x+3y=27的交点为 ,
5 5
z x y
ˆ a ˆ 的为9.4， ˆ bx ˆ中 b 根据上表可得回归方程 y 据此模型预报广告费用为6万元是销售额为（ B ）
A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元
D.72.0万元
江西理6
例3. 变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2) ，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组 数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1) ，R1表示变量Y与X之间的线性相关系数，R2表示变量V与 U之间的线性相关系数，则( C )
i 1 i i
n
( xi x )
i 1
n
2
( yi y )
i 1
n
=
2
x y nx y
i 1 i i
n
xi nx2 i 1 Nhomakorabean
2
2 2 y ny i i 1
n
r (0,1] : 正相关
r [1,0) : 负相关
r =0
: 不相关
刷题开始！
全国课标II理19改编
二、线性回归方程
线性回归方程系数的计算公式 设变量 y 对 x 的线性回归方程为 y＝a＋bx，由最小二乘法 知系数 a，b 的计算公式为：
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝ 1 i＝ 1
n
n
b＝
xi－ x 2
i＝ 1
n
＝
2 x2 i －n x i＝ 1
n
，a＝ y －b x .
20 10 , 3 3
，求
o
x y 10
x 4 y 20
x
§ 1.1 回归分析 § 1.2 相关系数 （一）
§1.1回归分析
一个家族中兄弟或姐妹智商的相关性如何？ 吸烟与肺癌是否有关？
一、相关关系
父母的身高与他们孩子的身高， 食物中所含的脂肪与所含的热量， 农作物的施肥量与产量，…… 它们之间是一种非确定性的关系，称为 相关关系
§1.2相关系数
线性相关系数：
r
( x x )( y y )
i 1 i i 2 ( x x ) i i 1 n 2 ( y y ) i i 1 n
n
r [1,1]
r>0 正相关 r<0 负相关
§ 1.1 回归分析 § 1.2 相关系数 （二）
复习
§1.1回归分析
A.R2＜R1＜0
C.R2＜0＜R1
B.0＜R2＜R1
D.R2=R1
练. 若线性回归方程中回归系数b=0，则相关系数为（ C ） A. r = 1 C. r = 0 B. r = -1 D. r不确定
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
ˆ b
(t t )( y y )
i 1 i i 2 ( t t ) i i 1 n
n
ˆ ˆ y - bt a
练. 随机变量x, y的几组数据分别为(3,10), (7,20), (11,24), 则y对x的线性回归方程是（C ） A.y= 1.75 - 5.75x C.y= 5.75 + 1.75x B.y= -5.75 + 1.75x D.y= 5.75 - 1.75x
例2. 某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之 间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制 作了对照表如下：
由表中数据得线性回归方程y=bx+a中，b=-2，预测当气 68 温为-4°C时，用电量的度数约为__________kW*h.
山东理7
练. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x（万元） 销售额y（万元） 4 49 2 26 3 39 5 54
注：相关关系与函数关系的区别
例1. ……
编号 股骨 长度 肱骨 长度 1 38 41 2 56 63 3 59 70 4 64 72 5 74 84
编号
1
2
3
4
5
x y
38 41
56 63
59 70
64 72
74 84
散点图
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80
高中数学《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》导学案1 新人教A版选修1-2
回归分析的基本思想及其初步应用（一）学习目标2. 了解线性回归模型与函数模型的差异，了解衡量两个变量之间线性相关关系得方法---相关系数.学习过程一、课前准备24问题1：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？复习1：函数关系是一种关系，而相关关系是一种关系.复习2：回归分析是对具有关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：→→→ .二、新课导学※学习探究实例编号 1 2 3 4 5 6 7 8身高165 165 157 170 175 165 155 170体重48 57 50 54 64 61 43 59为172cm的女大学生的体重.解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选自变量x，为因变量.(1)做散点图:从散点图可以看出和有比较好的相关关系.(2) x= y=81i iix y==∑821iix==∑所以81822188i iiiix y x ybx x==-==-∑∑$$a y bx$=-≈于是得到回归直线的方程为(3)身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为$y=问题：身高为172cm的女大学生,体重一定是上述预报值吗?思考：线性回归模型与一次函数有何不同?新知：用相关系数r可衡量两个变量之间关系.计算公式为r =r>0, 相关, r<0 相关;相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系，它们的散点图越接近；r>，两个变量有关系.※典型例题例1某班5名学生的数学和物理成绩如下表:(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程;(3)该班某学生数学成绩为96,试预测其物理成绩;变式：该班某学生数学成绩为55,试预测其物理成绩;小结：求线性回归方程的步骤：※动手试试练.(07广东文科卷）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?⨯+⨯+⨯+⨯=)(参考数值3 2.543546 4.566.5三、总结提升※学习小结1. 求线性回归方程的步骤：2. 线性回归模型与一次函数有何不同※知识拓展※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列两个变量具有相关关系的是（）A. 正方体的体积与边长B. 人的身高与视力C.人的身高与体重D.匀速直线运动中的位移与时间2. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（）A. 预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上B. 解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上D. 可选择两个变量中任意一个变量在y 轴上$必过（）3. 回归直线$$y bx a=+A. (0,0)B. (,0)x yx C. (0,)y D. (,)4.r越接近于1，两个变量的线性相关关系 .5. 已知回归直线方程$0.50.81=-,则25y xx=时,y的估计值为 .但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有下表为抽样试验的结果：（2）求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？。
高中数学回归讲解教案
高中数学回归讲解教案
教案主题：回归分析
教学目标：
1. 了解回归分析的基本概念和原理
2. 掌握简单线性回归分析和多元线性回归分析的计算方法
3. 能够应用回归分析方法解决实际问题
4. 培养学生的数理统计思维和分析能力
教学内容：
1. 回归分析的概念和基本原理
2. 简单线性回归分析
3. 多元线性回归分析
4. 实际问题的回归分析方法应用
教学步骤：
第一步：导入（5分钟）
介绍回归分析的基本概念和作用，引起学生对回归分析的兴趣和重要性。
第二步：简单线性回归分析（20分钟）
1. 讲解简单线性回归的定义和公式
2. 演示简单线性回归的计算方法
3. 给出一个简单线性回归的实例，让学生自行计算
第三步：多元线性回归分析（20分钟）
1. 讲解多元线性回归的定义和公式
2. 演示多元线性回归的计算方法
3. 给出一个多元线性回归的实例，让学生自行计算
第四步：实际问题应用（15分钟）
1. 给出一个实际问题，让学生利用回归分析方法进行分析
2. 引导学生思考回归分析在实际问题中的应用价值
第五步：总结（10分钟）
1. 总结回归分析的基本原理和方法
2. 强调回归分析在实际问题中的重要性和应用价值
3. 解答学生的问题并进行互动交流
教学反思：
通过本节课的教学，学生了解了回归分析的基本概念和原理，掌握了简单线性回归和多元线性回归的计算方法，并通过实际问题的应用进行了综合训练。
同时，也培养了学生的数理统计思维和分析能力，提高了他们解决实际问题的能力。
希望学生能够在今后的学习和工作中，充分运用回归分析方法，发挥其应用价值。
新教材高中数学第8章第2课时回归分析及非线性回归模型pptx课件新人教A版选择性必修第三册
2．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它
们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(
2为0.98
A．模型1的决定系数R
√
B．模型2的决定系数R2为0.80
C．模型3的决定系数R2为0.50
D．模型4的决定系数R2为0.25
A
[R2越大拟合效果越好．]
)
3．从某省“双一流”大学中随机选出8名女大学生，得到其身高
残差图
观测值等，这样作出的图形称为______．在残差图中，残差点比较
均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的
带状区域的宽度____，说明模型拟合精度越高．
越窄
残差
(3)残差分析：____是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以
判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据
建立两个变量间的非线性经验回归方程．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)残差平方和越接近0，线性回归模型的拟合效果越好．
(√ )
(2)在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴
上．
( × )
(3)R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．
( × )
(4)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( √ )
和幂函数模型的求解过程．(数学运算、数学建模)
01
必备知识·
情境导学探新知
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如表
所示：
第x天
1
4
9
16
25
36
49
高度y/cm
0
4
7
9
回归分析方法
回归分析方法回归分析方法是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究建模问题是一种常用的有效方法.什么是回归分析呢？大家知道：数学分析（或高等数学）是研究连续变量之间的关系，泛函分析是研究函数集之间的关系，而回归分析是研究随机变量之间的关系. 回归分析方法一般与实际联系比较密切，因为随机变量的取值是随机的，大多数是通过试验得到的，这种来自于实际中与随机变量相关的数学模型的准确度（可信度）如何，需通过进一步的统计试验来判断其模型中随机变量（回归变量）的显著性，而且，往往需要经过反复地进行检验和修改模型，直到得到最佳的结果，最后应用于实际中去。
回归分析的主要内容是：（1） 从一组数据出发，确定这些变量（参数）间的定量关系（回归模型）； （2） 对模型的可信度进行统计检验；（3） 从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些不是，显著的保留，不显著的忽略）； （4） 应用结果是对实际问题作出的判断.多元线性回归模型的一般形式为01122n n y x x x ββββε=+++++ (1) 其中ε为随机误差，且()2~0,.,1,2,,i N x i n εσ= 均为实际问题的解释变量，是已知函数. 实证分析例1 模型与假设我们将以某地区消费者对当地某品牌电子手表的销售量随价格与平均收入变动的资料进行回归分析，并对估计模型进行检验。
解释变量：商品价格x 1（单位：元/件），人均月收入x 2 （单位：元），被解释变量：商品销售量y （单位：件）。
我们仅利用x 1 和x 2来建立y 的预测模型。
数据如下表：基本模型 为了大致分析y 与x 1 和x 2的关系，先作出y 对x 1 和x 2的散点图（见图1和图2中的圆点）。
图1 y 对x 1的散点图 图2 y 对x 2的散点图从图1可以看出，随着x 1 的增加，y 的值有比较明显的线性减少趋势，因此考虑如下线性模型：011y x ββε=++ （1）来拟合，ε是随机误差，而在图2中，当x 2增大时，y 有向下弯曲减少的趋势，故考虑如下模型来拟合：201222y x x βββε=+++ （2）综合上述的分析，结合模型（1）和（2）简历如下回归模型20112232y x x x ββββε=++++ （3）（3）式右端的x 1和x 2称为回归变量，20112232x x x ββββ+++是给定商品价格 x 1，人均月收入x 2时，手表销售量y 的平均值，其中0123ββββ、、、称为回归系数,运用SPSS 计算得他们的估计值如表1，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中，如果模型选择得合适，ε应大致服从均值为零的正态分布。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修1-2
1.回归分析的含义是什么?有哪些基本步骤?线性 问题 引航 回归模型怎样用表达式表示?产生随机误差的原
因是什么?
2.回归方程中 a 与 b 怎样求解?
3.刻画回归效果的方式有哪些?
1.回归分析
相关关系 的两个变量进行统计分析的一 回归分析是对具有_________
画出两个变量的散点图 种常用方法,回归分析的基本步骤是_____________________, 求回归方程 并用回归方程进行预报. ___________,
2.线性回归模型
(x
i 1 n
n
i
x) （yi y）
2
i (1)在线性回归方程 y = a + b x中, b =_______________, i 1
【延伸探究】题(3)中③在条件不变的情况下,画出残差图. 【解析】如图所示.
【方法技巧】
1.求线性回归方程的三个步骤
(1)算:根据数据计算 x , y , x , x i yi .
i 1 2 i i 1
n
n
(2)代:代入公式求 b , a 的具体数值.
(3)求:由上面的计算结果求方程 y = b x+ a .
则模型(1)的拟合效果不如模型(2).
【知识拓展】
1.正确认识预报变量的变化和随机误差的关系
预报变量的变化程度可以分解为解释变量引起的变化程度与残 差变量的变化程度之和,其中这个变化与解释变量和随机误差 (即残差平方和)有关的程度是由相关指数R2的值决定的. 2.解释变量和随机误差的关系 在线性回归模型中,R2表示解释变量对预报变量变化的贡献 率.R2越接近于1,表示解释变量和预报变量的线性相关性越强;
人教A版高中数学必修3：2.3.2 线性回归直线方程(一)(平行班)
2.3.2 线性回归直线方程(一)
广州二中 张和发
回忆:
什么是正相关？ 什么是负相关？ 什么是线性相关？ 什么是回归直线？
探究讨论:
（上节中作业留下的问题） 数学成绩与物理成绩的散点图中的点在一条直 线附近，应怎样找出这一条直线？
数学成绩为99时估计相应的物理成绩是多少？
1、采用测量的方法，先画一条直线，测量出各点 到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之 和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距， 就得到回归方程。
x= －5°时, y=66
总结:
1. 最小二乘法的思想： 2．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析 的方法叫做回归分析。 3. 运用回归分析的方法来分析、处理数据的一般步骤: ①收集数据，并制成表格； ②画出数据的散点图； ③利用散点图直观认识变量间的相关关系； ④运用科学计算器、Excel表格等现代信息技术手段
的“添加趋势线”，弹出对话框 (4)双击回归直线，弹出“趋势线格式”对话框， (5)单击“选项”，选定“显示公式”，确定即可
回归直线是
y =0.88x+11.75 当x=99时,
y =98.8估计物理成绩为99.
法三：用计算器的统计功能求系数（参考教材P94）
练习:
1、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的 对比表： 气温/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯数 20 24 34 38 50 64 （1）将上表中的数据制成散点图. （2）求线性回归直线方程 (先用公式直接计算系数，再用统计功能验算) （3）估计某天气温为－5°时可卖多少杯热茶？
探究讨论:
怎样才能找到合适的回归直线？ 求回归直线方程的目的是什么？ 用什么标准来确定回归直线？
高中数学线性回归方程
高中数学线性回归方程
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。
接下来店铺为你整理了高中数学线性回归方程相关资料，欢迎阅读。
线性回归方程的分析方法
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
线性回归方程的例题求解
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解得。
其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差。
先求x,y的平均值。
利用公式求解：b=把x,y的平均数带入a=y-bx。
求出a=是总的公式y=bx+a线性回归方程y=bx+a过定点。
(x为xi的平均数，y为yi的平均数)
线性回归方程两个重要公式。
高中数学回归分析
回归分析
【知识点的知识】
1、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线．记为：＝x+．求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；
②求回归系数；
③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明．
2、回归分析：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）．
③由经验确定回归方程的类型．
④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，模型是否合适等．
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高中数学《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》教案 新人教A版选修1-2
第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.教学过程：一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.二、讲授新课：1. 教学例题：的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右.③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.第二课时。
高中数学人教A版选修-第一章
(xn，yn)中的一个点； ③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高； ④在回归分析中，R2 为 0．98 的模型比 R2 为 0．80 的模型拟合的效果好． 解析：由回归分析的概念知①④正确，②③错误． 答案：①④ 9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试
计算得x＝6．85，y＝157．25．
8
^ ∑i＝1xiyi－8xy ∴b＝ 8
∑i＝1x2i －8x2
8 764.5－8 × 6.85 × 157.25
＝
382.02－8 × 6.852
≈22．17，
^^ a＝y－bx＝157．25－22．17×6．85≈5．39，
故线性回归方程为^y＝22．17x＋5．39．
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
解析：选 D 根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量 x，y 具有相关的关系．
4．(重庆高考)已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3．5，
则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( ) A．^y＝0．4x＋2．3 B．^y＝2x－2．4
(1)当两个变量已明显呈线性相关关系时，则无需作散点图，就可直接求回归直线方程， 否则要先判定相关性再求回归方程．判断拟合效果的好坏需要利用 R2 确定，R2 越接近 1， 说明拟合效果越好．
(2)非线性回归方程的求法 ①根据原始数据(x，y)作出散点图； ②根据散点图，选择恰当的拟合函数； ③作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程； ④在③的基础上通过相应的变换，即可得非线性回归方程．