2020届高三数学第一轮复习(高考教练)考点69 空间向量的坐标运算(理科)课件 精品
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2020版高考数学新增分大一轮新高考专用课件：第八章 8.5 空间向量及其运算
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题组三 易错自纠
4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，
D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是
A.垂直
√B.平行
C.异面
D.相交但不垂直
解析 由题意得，A→B＝(－3，－3，3)，C→D＝(1，1，－1)，
∴A→B＝－3C→D，
∴A→B与C→D共线，又 AB 与 CD 没有公共点，
表示以下各向量：
(1)A→P；
(2)M→P＋N→C1.
思维升华
用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
跟踪训练 1 (1)如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点.用A→B， A→D，A→A1表示O→C1，则O→C1＝_21_A_→_B_＋__12_A→_D_＋__A_→_A_1_.
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 __a_21_＋__a_22＋__a_23_·___b_21＋__b_22_＋__b_23_
【概念方法微思考】 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.
2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共 面，故零向量不能作为基向量. 3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离 都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
A.12(－a＋b＋c) C.12(a－b＋c)
题组三 易错自纠
4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，
D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是
A.垂直
√B.平行
C.异面
D.相交但不垂直
解析 由题意得，A→B＝(－3，－3，3)，C→D＝(1，1，－1)，
∴A→B＝－3C→D，
∴A→B与C→D共线，又 AB 与 CD 没有公共点，
表示以下各向量：
(1)A→P；
(2)M→P＋N→C1.
思维升华
用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
跟踪训练 1 (1)如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点.用A→B， A→D，A→A1表示O→C1，则O→C1＝_21_A_→_B_＋__12_A→_D_＋__A_→_A_1_.
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 __a_21_＋__a_22＋__a_23_·___b_21＋__b_22_＋__b_23_
【概念方法微思考】 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.
2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共 面，故零向量不能作为基向量. 3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离 都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
A.12(－a＋b＋c) C.12(a－b＋c)
(新课标)高三数学一轮复习 第7篇 第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算名师课件 理
+
1
uuur OC
2
4
4
= 1 a+ 1 b+ 1 c. 244
答案: 1 a+ 1 b+ 1 c. 244
考点突破
剖典例 找规律
考点一 空间直角坐标系
【例 1】 (1)在空间直角坐标系中,点 M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为 M′,
则 M′在 xOz 上的投影 M″的坐标是
.
(2)已知点 A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(a∈R),则|AB|的最小值是
=a+b+c,
uuuur 2 AC1
=(a+b+c)2
uuuur
=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此| AC1 |=5.
4.已知向量 a=(4,-1,3),b=(2,4,-3),则(a+b)·(a-b)=
.
解析:因为 a+b=(6,3,0), a-b=(2,-5,6), 所以(a+b)·(a-b)=(6,3,0)·(2,-5,6) =12-15+0 =-3.
uuur OP
=x
uuur OA
+
uuur uuur y OB +z OC (其中 x、y、z∈R),则 P、A、B、C 四点共面.其中不
正确命题的个数是( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①中四点恰好围成一封闭图形,正确; ②中当a、b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|,∴②不正确; ③中a、b所在直线可能重合,∴③不正确; ④中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面,④不正确. 故选C.
高考理科数学总复习《空间向量及运算》课件
π (4)错误．两异面直线夹角范围为(0，2 ]，两向量夹角范围[0， π]． (5)正确.A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝A→C＋C→D＋D→A＝A→D＋D→A＝0. (6)错误．充要条件应为 a 与 b 反向且|a|≥|b|.
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
2.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B→A＋B→C＋D→D1＝(
)
→ A.D1B1
→ C.DB1
→ B.D1B
→ D.BD1
第13页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 B→A＋B→C＋D→D1＝C→D＋B→C＋D→D1＝B→D＋D→D1＝B→D1， 故选 D.
第14页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
3．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A，D→1C，A→1C1 是( )
第6页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积：a·b＝|a||b|cos a，b ． (2)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos a，e e 为单位向量； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a． (3)向量的数量积满足如下运算律： ①(λ·a)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
第8页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(4)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或ba11＝ab22＝ ab33(b1·b2·b3≠0)；
(5)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)； (6)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1， z2－z1)．
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
2.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B→A＋B→C＋D→D1＝(
)
→ A.D1B1
→ C.DB1
→ B.D1B
→ D.BD1
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 B→A＋B→C＋D→D1＝C→D＋B→C＋D→D1＝B→D＋D→D1＝B→D1， 故选 D.
第14页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
3．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A，D→1C，A→1C1 是( )
第6页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积：a·b＝|a||b|cos a，b ． (2)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos a，e e 为单位向量； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a． (3)向量的数量积满足如下运算律： ①(λ·a)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
第8页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(4)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或ba11＝ab22＝ ab33(b1·b2·b3≠0)；
(5)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)； (6)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1， z2－z1)．
2020天津高三数学一轮复习课件7.5 空间向量及其运算
则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0).
∴M
1,
1 2
,1
,N
1,1,
1 2
,
∴������������ =
0,
1 2
,1
, ������������ =
1,0,
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
,
∴cos<������������, ������������>= ������������·������������
-6-
知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件. ( × ) (2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若 ������������=x������������+y������������+z������������ (其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面. ( × )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①正确,②中若 a,b 共线,p 与 a 不共线,则 p=xa+yb 就不成
立.③正确.④中若 M,A,B 共线,点 P 不在此直线上,则������������=x������������+y������������
不正确.
-8-
知识梳理 双基自测
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3.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在 这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6, BD=8,则CD的长为 2√17 .
-9-
知识梳理 双基自测
2020年(新课改)数学高考总复习课件： 空间向量的运算及应用
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3.如图所示，已知斜三棱柱ABC -A1B1C1，点M，N分别在AC1
和BC上，且满足
―→ AM
＝k
―→ AC1
，
―→ BN
＝
k
―→ BC
(0≤k≤1)．判断向量
―→ MN
是否与
向量―A→B ，―AA→1 共面． 解：∵―AM→＝k―AC→1 ，―B→ N ＝k―B→C ， ∴―M→N ＝―M→A ＋―A→B ＋―B→ N ＝k―C1→A ＋―A→B ＋k―B→C ＝k(―C1→A ＋
返回
( ×)
(2)若两条不重合的直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1＝(1,0，－1)，
v2＝(－2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是平行．
(√ )
(3)已知―A→B ＝(2,2,1)， ―A→C ＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量
是
n
0＝±13，－23，32
.
(∴又2)――NA∵1C→→NN1＝＝是――ANB1→→CAC＋＋的――C中AC→→B点1 ＝＋，12―B―B→N→C＝＋－―AaA→＋1 ＝b12＋―A12→D―B＋→C ―AA→1 ＝a ＋12c， ＝∴―－M→aP＋＋b―N＋C→121 ＝―A→D12a＝＋－12ba＋＋cb＋＋12ac＋. 12c＝32a ＋12b ＋32c.
且 A，B，C 三点共线，∴存在实数 λ，使得―A→C ＝λ―A→B . 即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，
m＋1＝3λ， ∴n－2＝－λ，
－2＝λ，
解得 λ＝－2，m＝－7，n＝4.
∴m＋n＝－3.
2．已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 返回 若点 M 满足―OM→＝13(―O→A ＋―O→B ＋―O→C )． (1)判断―M→A ，―M→B ， ―M→C 三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内． 解：(1)由已知―O→A ＋―O→B ＋―O→C ＝3―OM→， 所以―O→A －―OM→＝(―OM→－―O→B )＋(―OM→－―O→C )， 即―M→A ＝―BM→＋―CM→＝－―M→B －―M→C ， 所以―M→A ，―M→B ，―M→C 共面． (2)由(1)知―M→A ，―M→B ，―M→C 共面且过同一点 M. 所以 M，A，B，C 四点共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
2020届高三数学一轮复习新课改省份专用课件：第七章 第5节空间向量及其运算和空间位置关系
定理 p ，存在有序实数组{x，y，z}使得 p ＝ x a ＋y b ＋z c
2.两个向量的数量积 (1)非零向量 a ，b 的数量积 a ·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c)＝a ·b ＋a ·c.
考法二 共线、共面向量定理的应用
[例 பைடு நூலகம்] 已知 E，F，G，H 分别是空间
四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中
点，用向量方法求证：
(1)E，F，G，H 四点共面；
(2)BD∥平面 EFGH. [证明] (1)如图，连接
BG，则―E→G ＝
―E→B ＋―B→G ＝―E→B ＋12(―B→C ＋―B→D )＝―E→B ＋
3．若空间三点 A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线， 则 p＝________，q＝________. 答案：3 2
4．已知向量 a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k∈R ，若 ka －b 与 b 垂直，则 k＝________. 答案：7
研透高考·深化提能
|a |
__a_21＋___a_22＋__a_23_
夹角
cos〈a ，b 〉
〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) ＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a12＋a22＋a23· b21＋b22＋b32
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有―A→B ＋―B→C ＋―C→D ＋―D→A
―B→F ＋―E→H ＝―E→F ＋―EH→，由共面向量定理
2.两个向量的数量积 (1)非零向量 a ，b 的数量积 a ·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c)＝a ·b ＋a ·c.
考法二 共线、共面向量定理的应用
[例 பைடு நூலகம்] 已知 E，F，G，H 分别是空间
四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中
点，用向量方法求证：
(1)E，F，G，H 四点共面；
(2)BD∥平面 EFGH. [证明] (1)如图，连接
BG，则―E→G ＝
―E→B ＋―B→G ＝―E→B ＋12(―B→C ＋―B→D )＝―E→B ＋
3．若空间三点 A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线， 则 p＝________，q＝________. 答案：3 2
4．已知向量 a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k∈R ，若 ka －b 与 b 垂直，则 k＝________. 答案：7
研透高考·深化提能
|a |
__a_21＋___a_22＋__a_23_
夹角
cos〈a ，b 〉
〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) ＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a12＋a22＋a23· b21＋b22＋b32
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有―A→B ＋―B→C ＋―C→D ＋―D→A
―B→F ＋―E→H ＝―E→F ＋―EH→，由共面向量定理
高三数学一轮复习精品课件4：8.5 空间向量及其运算
量、零向量)与平面向量类似，加减运算遵循 _三__角__形__和__平__行__四__边__形___法则，数乘运算与平面向量数乘运算 相同．
2．共线(共面)向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得_a_＝__λ_b___． 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线， 那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满 足等式O→P＝O→A＋ta，其中向量 a 叫做直线 l 的_方__向__向__量___． (2)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x、y)， 使 p＝_x_a_＋__y_b__.
命题方向1 空间向量的线性运算
例 1 如图，在四棱锥 M－ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AM 的长为 3，且 AM 和 AB、AD 的夹角 都是 60°，N 是 CM 的中点，设 a＝A→B， b＝A→D，c＝A→M，试以 a、b、c 为基向量 表示出向量B→N，并求 BN 的长．
(2)因为E→H＝A→H－A→E ＝12A→D－12A→B＝12(A→D－A→B)
＝12B→D，所以 EH∥BD．
又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH， 所以 BD∥平面 EFGH.
第八章 立体几何
8.5 空间向量及其运算
考纲要求
• 1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌 握空间向量的正交分解及其坐标表示．
• 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． • 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数
量积判断向量的共线与垂直．
2．共线(共面)向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得_a_＝__λ_b___． 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线， 那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满 足等式O→P＝O→A＋ta，其中向量 a 叫做直线 l 的_方__向__向__量___． (2)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x、y)， 使 p＝_x_a_＋__y_b__.
命题方向1 空间向量的线性运算
例 1 如图，在四棱锥 M－ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AM 的长为 3，且 AM 和 AB、AD 的夹角 都是 60°，N 是 CM 的中点，设 a＝A→B， b＝A→D，c＝A→M，试以 a、b、c 为基向量 表示出向量B→N，并求 BN 的长．
(2)因为E→H＝A→H－A→E ＝12A→D－12A→B＝12(A→D－A→B)
＝12B→D，所以 EH∥BD．
又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH， 所以 BD∥平面 EFGH.
第八章 立体几何
8.5 空间向量及其运算
考纲要求
• 1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌 握空间向量的正交分解及其坐标表示．
• 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． • 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数
量积判断向量的共线与垂直．
高三数学第一轮复习讲义空间向量的坐标运算
芯衣州星海市涌泉学校高三数学第一轮复习讲义〔62〕
空间向量的坐标运算
一．复习目的：向量的坐标运算和建系意识．
二．主要知识： ，
1． ； ； ； ；
2． ； ；
3． ； ．
4． 。
三．根底训练：
1． ，那么向量 与 的夹角是〔〕
2． ，那么 的最小值是〔〕
3． 为平行四边形，且 ，那么点 的坐标为_____.
4．设向量 ，假设 ，
那么 ， 。
5．向量 与向量 一一共线，且满足 ，为 的正方体 中， 分别为 的中点，试在棱 上找一点 ，使得 平面 。
例2． ， 为坐标原点，
〔1〕写出一个非零向量 ，使得 平面 ；
〔2〕求线段 中点 及 的重心 的坐标；
〔3〕求 的面积。
4．假设 ，且 与 的夹角为钝角，那么 的取值范围是〔〕
5．设 ，那么与 平行的单位向量的坐标为，
同时垂直于 的单位向量 .
6．设向量 ，计算 及 与 的夹角，并确定当 满足什么关系时，使 与 轴垂直.
7．矩形 中， 面积 ，假设 边上存在唯一点 ，使得 ，
〔1〕求 的值；
〔2〕 是 上的一点， 在平面 上的射影恰好是 的重心，求 到平面 的间隔。
8.直三棱柱 ， ， 分别是 的中点，
〔1〕求 的长；〔2〕求 的值；〔3〕求证： 。
例3．如图，两个边长为1的正方形 与 相交于 ， 分别是 上的点，且 ，
〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求 长度的最小值。
五．课后作业：班级学号姓名
1．假设向量 夹角的余弦值为 ，那么 =〔〕
1
2．点 ，那么点 关于 轴的对称点的坐标为〔〕
3．四面体 中， 两两互相垂直，那么以下结论中，不一定成立的是〔〕
空间向量的坐标运算
一．复习目的：向量的坐标运算和建系意识．
二．主要知识： ，
1． ； ； ； ；
2． ； ；
3． ； ．
4． 。
三．根底训练：
1． ，那么向量 与 的夹角是〔〕
2． ，那么 的最小值是〔〕
3． 为平行四边形，且 ，那么点 的坐标为_____.
4．设向量 ，假设 ，
那么 ， 。
5．向量 与向量 一一共线，且满足 ，为 的正方体 中， 分别为 的中点，试在棱 上找一点 ，使得 平面 。
例2． ， 为坐标原点，
〔1〕写出一个非零向量 ，使得 平面 ；
〔2〕求线段 中点 及 的重心 的坐标；
〔3〕求 的面积。
4．假设 ，且 与 的夹角为钝角，那么 的取值范围是〔〕
5．设 ，那么与 平行的单位向量的坐标为，
同时垂直于 的单位向量 .
6．设向量 ，计算 及 与 的夹角，并确定当 满足什么关系时，使 与 轴垂直.
7．矩形 中， 面积 ，假设 边上存在唯一点 ，使得 ，
〔1〕求 的值；
〔2〕 是 上的一点， 在平面 上的射影恰好是 的重心，求 到平面 的间隔。
8.直三棱柱 ， ， 分别是 的中点，
〔1〕求 的长；〔2〕求 的值；〔3〕求证： 。
例3．如图，两个边长为1的正方形 与 相交于 ， 分别是 上的点，且 ，
〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求 长度的最小值。
五．课后作业：班级学号姓名
1．假设向量 夹角的余弦值为 ，那么 =〔〕
1
2．点 ，那么点 关于 轴的对称点的坐标为〔〕
3．四面体 中， 两两互相垂直，那么以下结论中，不一定成立的是〔〕