11位移法
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第十一章-位移法
X
3
0
即：
M
AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
为杆件AB的刚度方 程（转角位移方程）
§11-2 等截面杆件的刚度方程
讨论：当分别作用有单位位移情况
当 A 1，B 0， 0 时：
则有：
M M
AB BA
4i 2i
当 1， A 0，B 0 时：
则有：
M
AB
M BA
第 十 章 位移法
本章主要内容
➢位移法的基本概念 ➢等截面杆件的刚度方程 ➢无侧移刚架的计算 ➢有侧移刚架的计算 ➢位移法的基第本八章 位体移法 系 ➢位移法应用举例 ➢对称结构的计算
§11-1 位移法的基本概念
一.基本思路
如下图为一个对称结构承受对称荷
载 P。结点B只发生竖向位移 ，
水平位移为零。在位移法中，我们
在上例中，如只有二根杆，则结构是静定的，当杆数 3 时，结构
是超静定的。可见用位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或 超静定而有所不同。
§11-1 位移法的基本概念
三.总结位移法计算的要点
要点：
(1) 位移法的基本未知量是位移。 (2) 位移法的基本方程是平衡方程。 (3) 建立基本方程的过程分为两步：
pq
11X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
解力法方程，得：
X1 X2
？ ？
X 3 0
A
B
运用力法解，取基本体系如下：
pq
X1
X2
结构力学_11超静定结构-位移法
§11.3 位移法的基本未知量和基本体系
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形 （2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
C
C
D
D
A
B
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的
基本方法 （手算）
机算
力法
位移法
矩阵 力法
力矩分配法
矩阵 位移法
力法几次9超次静定?
位移法几1次次超静定?
§11.1
P C θA
θA
位移法的基本概念
B
A
附加
刚臂 C
P B
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
A 用下附加刚臂上
产生附加力矩
C θA
B
θA
施加力偶使结点产 生的角位移，以实
A 现结点位移状态的
一致性。
D
2
C
F22
A
D
A
D
Fk1111
2i B
1 =1
i
A
C
kF2211
Fk122
B
i
D
A
建立基本方程
F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a)
k111 + k122 +F1P =0………..(1) k211 + k222 +F2P =0………..(2)
11第十一章 位移法
A D
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
位移法的基本结构及位移法方程
位移法方程
20kN/m
C
D
Z1
F1=0
k11 Z 1 F1P 0
A B
All Rights Reserved
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a)
MP图(kN· m)
C D F1P C
b)M1图 (1/m)
D Z 1=1 k 11 C
c)
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
1 F1P FP l 8
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k11 Z 1 F1P 0
将k11和F1P的值代入上式，解得
Z1 F1P FP l k11 64i
结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩 可由叠加公式计算，即
M M 1 Z1 M P
8.4
位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构 位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚 臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综 合体。 所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结 点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移 (但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ” 表示。 所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移 的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止 其线位移的附加约束。
c) 基本体系 C
A Z1
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三、位移法方程
P l/2 l/2 l/2 FP lF /2
A A Z 1Z
1
C C Z1 Z
1
F1=0F1=0 FP Z1 Z1 A A Z1 Z Z1 Z1 1
土木工程力学(本
形考一一、选择填空题（每空1分，共20分）1从几何角度，结构通常可以分为三类：（1）回答C通常由若干根杆件相互联结组成，杆件的几何特征是其长度远大于横截面上两个方向的尺度。
（2）回答B厚度远小于其长度和宽度。
（3）回答A长、宽、高三个方向尺度大小相近（属于同一数量级）。
从以下备选项中选择正确答案填入空格中，填入相应的答案序号即可。
A．实体结构B．板壳结构（薄壁结构）C．杆件结构D．拱结构2结点通常简化为以下三种类型：CBA从以下备选项中选择正确答案填入空格中，填入相应的答案序号即可。
A．铰结点B．刚结点C．组合结点3请把文字与选项对应起来。
（1）回答B不允许结构在支承处发生任何方向的移动和转动。
（2）回答A不允许结构在支承处发生转动，也不能沿垂直于支承的方向移动，但可以沿平行于支承的方向滑动。
（3）回答C只允许结构在支承处绕铰转动，而不能发生任何移动。
（4）回答D只约束了支承链杆方向的位移，允许结构绕铰转动，也可以沿着垂直于链杆的方向移动。
从以下备选项中选择正确答案填入空格中，填入相应的答案序号即可。
A．定向支座B．固定支座C．固定铰支座D．活动铰支座4请把文字与选项对应起来。
根据荷载的作用时间不同，荷载可以分为：B——永久作用在结构上的不变荷载。
C——暂时作用在结构上的可变荷载。
根据作用的性质可以分为：A——荷载的大小、方向和位置不随时间变化或变化比较缓慢，不会使结构产生明显的振动，计算过程中可忽略惯性力的影响。
F——随时间迅速变化的荷载，会使结构产生明显的振动，因而计算过程中惯性力的影响不能忽略。
根据作用的方式可以分为：E——是指满布在结构或构件某部分面积上的荷载。
D——作用在结构上的荷载一般总是分布在一定的面积上，当荷载作用面积远小于结构或构件的尺寸时，可以认为此荷载是作用在结构或构件的一个点上。
从以下备选项中选择正确答案填入空格中，填入相应的答案序号即可。
A．静力荷载B．恒载C．活载D．集中荷载E．分布荷载F．动力荷载5请把文字与选项对应起来。
位移法例题
0
r21=- 24i/l 2
0
6i/l 6i/l
r12= -24i/l 2
r12
Z2=1
-12i/l 2 -12i/l 2 12i/l 2
-12i/l 2 -12i/l 2 r22=48i/l 2 12i/l 2
r22
6i/l
M 2图
FP
说明：水平杆的M图没画，并不是其M=0，而 是EI无穷大的杆能平衡任何弯矩。
R1P FP
R1P=-FP
0 0 0 0 0
FP
R2P FP MP图
R2P=-FP
0
作用在结点上的外力相当于 支座，故杆件无弯矩。 解得
3FP l 2 Z1 = 24i FP l 2 Z2 = 12i
FPl /4 FPl /4 FPl / 2
FPl / 2
M图
(4) 利用叠加法作出弯矩图
例4:用位移法计算图示结构 ,并作弯矩图.EI= 常数. 4:
l
A l
D
（同济大学，2004年考研题）
Z1 = 1
B 4i A 4i 2i l
C 2i l D
Z2 = 1
6i/l
2i/l
B
C
4i/l
M1 图
A
6i/l
D
l
M2 图
l
Z1 = −ql / ( 84i )
2
Z 2 = ql / ( 3i )
3
M 图（× ql ）
2
例2： 位移法求解图示结构。
P
P /2
l A EA = B
Z1
l
l
P
l
注意： M 1图和 M P图的正确作图
例3：用位移法作图示结构的 M 图。EI=常数.
r21=- 24i/l 2
0
6i/l 6i/l
r12= -24i/l 2
r12
Z2=1
-12i/l 2 -12i/l 2 12i/l 2
-12i/l 2 -12i/l 2 r22=48i/l 2 12i/l 2
r22
6i/l
M 2图
FP
说明：水平杆的M图没画，并不是其M=0，而 是EI无穷大的杆能平衡任何弯矩。
R1P FP
R1P=-FP
0 0 0 0 0
FP
R2P FP MP图
R2P=-FP
0
作用在结点上的外力相当于 支座，故杆件无弯矩。 解得
3FP l 2 Z1 = 24i FP l 2 Z2 = 12i
FPl /4 FPl /4 FPl / 2
FPl / 2
M图
(4) 利用叠加法作出弯矩图
例4:用位移法计算图示结构 ,并作弯矩图.EI= 常数. 4:
l
A l
D
（同济大学，2004年考研题）
Z1 = 1
B 4i A 4i 2i l
C 2i l D
Z2 = 1
6i/l
2i/l
B
C
4i/l
M1 图
A
6i/l
D
l
M2 图
l
Z1 = −ql / ( 84i )
2
Z 2 = ql / ( 3i )
3
M 图（× ql ）
2
例2： 位移法求解图示结构。
P
P /2
l A EA = B
Z1
l
l
P
l
注意： M 1图和 M P图的正确作图
例3：用位移法作图示结构的 M 图。EI=常数.
位移法
（9-2）
——两端固定等截面直杆的转角位移方程。
退出 返回
10:58
§9-2 等截面直杆的转角位移方程
MAB A A
结构力学
F EI
B
B
AB
A
FSAB
l
MBA FS AB
由两端固定等截面 直杆的转角位移方程可 得到其他支撑的转角位 移方程。
杆端剪力的一般为
6i AB ΔAB FSAB ( A B 2 ) FSF AB l l 6i AB ΔAB FSBA ( A B 2 ) FSF BA l l
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、 材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(9-1) 。 仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(9-1) 。
退出 返回
10:58
§9-2 等截面直杆的转角位移方程
1、两端固定的等截面直杆
MAB A F EI
结构力学
l 4 EI M BA B l 8 l 8
2 EI M AB B l
返回
（8-1）
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10:58
§9-1 概述
B
B
结构力学
F
C
B
考虑结点B的平衡条件,由∑MB=0， 有
l
M BA M BC 0
（8-2）
A
l/ 2 l/ 2
将（8-1）代入式（8-2）得
4 EI 4 EI Fl B B 0 l l 8
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。
力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立 力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。 在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间 存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
第11章 位移法
Kii ：基本结构在结点位移Δi=1单独作用下，附加约束i处产生的约束力 Kij （i≠j） ：基本结构在结点位移Δj=1单独作用下，附加约束i处产生的约束力
Kij=Kji？ 反力互等定理
FiP ：基本结构在荷载单独作用下，附加约束i处产生的约束力
结构力学——第11章 位移法 11
11.1、位移法
A A
A A A
θ=1 B
B
1
4i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ=1
B
B 1
3i
3i
l
3i
i
l
0
l2
16
θ=1
B
－i
0
结构力学——第11章 位移法
11.2、等截面直杆的形常数和载常数
3、载常数
固端力与杆件所受荷载的形式有关，故称为载常数。
固端力：三类基本构件只受荷载作用时所得到的杆端力
i
6m 2kN/m
C
2）按照静力条件，列出位移法方程；
k111 F1P 0
15
A 3）求位移法方程中的各项系数； （画 M1 、MP图，求对应的约束力） P220-221表11.1、2 4）解方程，求位移；
C
MP
F1P 9 F1P=15－9=6 k11
4i Δ1=1 3i
F1P 6 1 k11 7i
F1P=40-41.7= -1.7kNm 41.7 F2P=41.7kNm
40 F2P
A B F1P 41.7 B E
D
C
结构力学——第11章 位移法
2m
21
A 4I C B i 5I i i=EI/l=EI 3I 0.75 i 0.5i 2）按照静力条件，列出位移法方程； 3I E k111 k12 2 F1P 0
Kij=Kji？ 反力互等定理
FiP ：基本结构在荷载单独作用下，附加约束i处产生的约束力
结构力学——第11章 位移法 11
11.1、位移法
A A
A A A
θ=1 B
B
1
4i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ=1
B
B 1
3i
3i
l
3i
i
l
0
l2
16
θ=1
B
－i
0
结构力学——第11章 位移法
11.2、等截面直杆的形常数和载常数
3、载常数
固端力与杆件所受荷载的形式有关，故称为载常数。
固端力：三类基本构件只受荷载作用时所得到的杆端力
i
6m 2kN/m
C
2）按照静力条件，列出位移法方程；
k111 F1P 0
15
A 3）求位移法方程中的各项系数； （画 M1 、MP图，求对应的约束力） P220-221表11.1、2 4）解方程，求位移；
C
MP
F1P 9 F1P=15－9=6 k11
4i Δ1=1 3i
F1P 6 1 k11 7i
F1P=40-41.7= -1.7kNm 41.7 F2P=41.7kNm
40 F2P
A B F1P 41.7 B E
D
C
结构力学——第11章 位移法
2m
21
A 4I C B i 5I i i=EI/l=EI 3I 0.75 i 0.5i 2）按照静力条件，列出位移法方程； 3I E k111 k12 2 F1P 0
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FPl / 2
ql 2 / 6
M M /2
FPl / 2
思考题
•位移法的基本思路是什么？ •位移法在那些方面借助了力 法的计算结果？
11.3 位移法的基本未知量和基本体系
一、角位移
——所有刚结点转角就是角位移基本未知量。
二、线位移 (刚架与梁不计轴向变形)
——将结构视为铰结体系,在体系的可动结点处附加上链 杆,使其变为几何不变体系,则结点在附加链杆方向上的位 移即为线位移基本未知量。
从两个不动点引出两根轴线不在一直线上的杆件,汇交的结 点必然不动,即两点不动控制另一点不动——简称为“两控一”
“两控 一”
线位移未知量个数=结点数×2-杆数
举例
例1.确定图示体系位移法基本未知量
举例 例2.确定图示体系位移法基本未知量
11.4 位移法方程
Z1
Z1 1
Z2 刚臂上力矩为零
r11Z1 r12Z2 R1P 0
1
2i 1
1
4i
3i
6i / l
3i /l
6i / l
i
由支座移动 力法计算可
得
i EI ---线刚度 l
符号规定：M、 、
均以绕杆顺时针转为正
等截面直杆的形常数与载常数
二、载常数 常用载常数
ql2 /12
ql2 /12 qLeabharlann 2 / 8ql 2 / 3
FPl / 8
FPl / 8 3FPl /16
Z1
3FPl /16
①加刚臂,将结点位移锁住
②荷载作用,刚臂上承担力矩R1P ③原结构有转角Z1 ,为还原,使刚臂 转动Z1, Z1使刚臂承担力矩 r11Z1 ④约荷束载力和矩为Z10共,即同r作11Z用1下,R刚1P臂上0的
求R1P 、r11 可得未知量 Z1 的解
4i
ZZ11 1
2i 3i
r11 7i
r12 r21 6i / l r22 15i / l2
思考题
力法与位移法在原理和步骤 上有何异同？
位移法计算综合举例
举例
例1.用位移法求解图示结构。
Z1
Z2
令：
iAB 4EI / 4 EI i
基本体系 解：
①确定基本体系和基本未知量
iiCBDC
5EI / 5 i
6i / l 6i / l
6i / l 6i / l
位移法基本概念
位移法的基本未知量为结点位移 位移法的基本结构是将体系锁成单跨梁系 位移法的基本方程为平衡方程
位移法求解步骤:
①确定基本体系和基本未知量 ②建立位移法方程 ③作单位弯矩图和荷载弯矩图 ④求系数和自由项 ⑤解方程 ⑥作弯矩图
11.2等截面直杆的形常数与载常数
一、形常数 单位杆端位移引起的杆端内力
4EI / 4 i
iBE 3EI / 4 0.75i
iCF 3EI / 6 0.5i
②建立位移法方程 r11Z1 r12Z2 R1P 0
r11Z1 r12Z2 R1P 0
③作单位弯矩图和荷载弯矩图
41.7
41.7
40
3i
Z1 1
2i
3i
4i
1.5i
附加链杆上反力为零
基本体系
r21Z1 r22Z2 R2P 0
Z2 1
位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1P 0
r21Z1 r22Z2 R2P 0
对具有n个独立结点位移的结构,有n个基本未知量, 可建立n个方程,即为位移法典型方程:
r11Z1 r12Z2 r1i Zi r1nZn R1P 0 r21Z1 r22Z2 r2i Zi r2nZn R2P 0
②建立位移法方程
r21Z1 r22Z2 R2P 0 r11Z1 r12Z2 R1P 0
③作单位弯矩图和荷载弯矩图
④求系数和自由项 R1P 32 R2P 78 ⑤解方程 Z1 80.7 / EI Z2 461.9 / EI ⑥作弯矩图 M M1Z1 M2Z2 MP
举例
6
例1.计算图示刚架,作弯矩图,各杆EI=常数
12
10Z1
3
10
2i
Z1 1
3i
（15） （4）
4i
基本体系
解：
①确定基本体系和基本未知量
②建立位移法方程 r11Z1 R1P 0
③作单位弯矩图和荷载弯矩图
④⑥⑤求作解系弯方数矩程和图自MZ由1 项1M/ri11Z7Mi
R1P
rn1Z1 rn2Z2 rni Zi rnnZn RnP 0
rii 为主系数，rij 为副系数， RiP 为自由项。 由反力互等定理得 rij rji
11.5 位移法计算超静定结构
位移法求解步骤:
①确定基本体系和基本未知量 ②建立位移法方程 ③作单位弯矩图和荷载弯矩图 ④求系数和自由项 ⑤解方程 ⑥作弯矩图
7
M AB M BA
4i 1/ i 10 6 2i 1/ i 10 12
举例
例2.计算图示刚架,作弯矩图
Z1
(FPl / 4)
11FPl / 32 解：5FPl / 32 3FPl /16 基本体系 3i / l ①确定基本体系和基本未知量
②建立位移法方程 r11Z1 R1P 0
11 位移法
本章提要
•位移法的基本概念和基本原理 •如何确定位移法的基本未知量 •如何选取位移法的基本体系和建立位移法的 基本方程 •用位移法计算超静定结构
11.1 位移法基本概念
提出问题
力法求解 9个基本未知量
考虑以结点位移为未知量， 则只需一个方程
位移法基本概念
------刚臂 限制转动的约束
4i
Z2 1
④求系数和自由项
2i
2i
3i
R1P 1.7 R2P 41.7 r11 10i r12 r21 2i r22 9i
⑤解方程 Z1 1.15 / i Z2 4.89 / i
i⑥作弯矩图 M M1Z1 M2Z2 MP
举例 例2.作图示体系的单位弯矩图，并求系数。
③作单位弯矩图和荷载弯矩图
④求系数和自由项 r11 6i / l2 R1P 5FP /16
⑤解方程 Z1 5FPl2 / 96i
⑥作弯矩图 M M1Z1 MP
Z1 1
3i /l
Z1
32
32
4i Z2
Z1 1 3i
2i
6i / l Z2 1
6i / l
3i /l
解：①确定基本体系和基本未知量