2016年高考数学二轮复习专题十二推理与证明、算法初步考题溯源教材变式理

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题十二推理与证明、算法
初步考题溯源教材变式理
A.0 B．2
C.4 D．14
(2015·高考全国卷Ⅱ，5分)设
数列{a n}的前n项和，且a1＝－
n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________.
[教材变式训练]
一、选择题
[变式1] (选修2－2 P77练习T2改编)观察三角数阵，记第n行的第m个数为a(n，m)，则下列关系正确的是( )
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…
1 10 45 …45 10 1
A．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)
B．a(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)
C．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)
D．a(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)
解析：选A.观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩上”两个数之和．
∴a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．
[变式2] (必修3 P 13例6改编)程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是9
5
，则
( )
A ．a ＝4
B ．a ＝5
C ．a ＝6
D ．a ＝7
解析：选A.由程序框图及最后输出的值是9
5
可知：
当k ＝1时，S ＝1，k >a 不成立，
故S ＝1＋11×2＝3
2，k ＝2>a 不成立，
故S ＝32＋12×3＝53，k ＝3>a 不成立，
故S ＝53＋13×4＝74，k ＝4>a 不成立，
故S ＝74＋14×5＝95
，
此时k ＝5>a 成立，所以a ＝4.故选A. [变式3] (必修3 P 38－P 39改编)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )
A ．s >12？
B ．s >35？
C ．s >710？
D ．s >45
？
解析：选C.依次执行程序框图，根据输出结果确定判断框内的控制条件．
第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝9
10应满足条件；
第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝8
10
应满足条件，排除选项D ；第三次执行
循环：s ＝810×78＝7
10
，k ＝6，正是输出的结果，故这时程序不再满足条件，结束循环，而选
项A 和B 都不满足条件，结束循环，故排除A 和B ，故选C.
[变式4] (选修2－2 P 84A 组T 5改编)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…
＋a 19－n (n <19且n ∈N *
)恒成立，则必有( )
A ．a 9＝0
B ．a 10＝0
C ．a 9＝19
D ．a 10＝19
解析：选B.由a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *
)得
na 1＋n （n －1）2d ＝(19－n )a 1＋（19－n ）（18－n ）2
d .
即d
2n 2
＋(a 1－d
2)n
＝d 2n 2＋(－a 1－37
2
d )n ＋19(a 1＋9d ) 比较左、右可得a 1＋9d ＝0. ∴a 10＝0.
[变式5] (选修2－2 P 91A 组T 3改编)已知1－tan α
2＋tan α
＝1，则tan 2α为( )
A.34 B ．－34 C.43 D ．－43
解析：选D.由1－tan α
2＋tan α＝1，
得tan α＝－1
2
，
∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝2×（－1
2）
1－（－12
）
2＝－4
3
.
[变式6] (选修2－2 P 98A 组T 2改编)
等于( )
A ．3n
B ．13
×9n
C.13
(10n －1) D ．1＋2n 解析：选C.法一：当n ＝1时，原式＝11－2＝3，A ，B ，C ，D 均满足，当n ＝2时， 原式＝1111－22＝ 1 089＝33， 仅有C 满足．
法二：∵个＝1＋10＋102
＋…＋10
2n －1
＝1·（1－102n
）1－10＝19
(102n －1)，
个＝2(1＋10＋102＋…＋10n －1
)
＝2·1·（1－10n
）1－10＝29
(10n
－1)，
＝19（102n －1）－29（10n
－1） ＝19
（102n －2×10n
＋1） ＝
[13
（10n －1）]2 ＝13
(10n
－1)． 二、填空题
[变式7] (选修2－2 P 71例1改编)在数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋a n ，a 10＝2
19
，则a 1＝________．
解析：对于{a n }，∵a n ＋1＝a n
1＋a n
，
∴
1
a n ＋1＝1
a n
＋1，
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1
a 1
为首项，1为公差的等差数列．
∴
1
a 10＝1
a 1
＋9，
∴192＝1
a 1＋9，∴a 1＝2. 答案：2
[变式8] (选修2－2 P 84B 组T 1改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋
1
S n
＋2＝a n (n ≥2)，猜想S n ＝________．
解：∵a 1＝－23，S n ＋1
S n ＋2＝a n ，
∴S 1＝a 1＝－2
3.
又S 2＋1S 2＋2＝a 2＝S 2－S 1＝S 2＋2
3，
∴S 2＝－3
4，
又S 3＋1S 3＋2＝a 3＝S 3－S 2＝S 3＋3
4，
∴S 3＝－4
5
.
所以猜想S n ＝－n ＋1
n ＋2.
答案：－n ＋1
n ＋2
三、解答题
[变式9] (选修2－2 P 84A 组T 4改编)在△ABC 中，内角A 、B 、C 有关系1A ＋1B ＋1C ≥9
π
.
在四边形ABCD 中，内角A 、B 、C 、D 有关系1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥16
2π
.在五边形ABCDE 中，内角A 、
B 、
C 、
D 、
E 有关系1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥25
3π
.
(1)猜想在n 边形A 1A 2…A n 中有怎样的关系；
(2)用你学过的知识，证明△ABC 中的关系1A ＋1B ＋1C ≥9
π
.
解：(1)观察规律：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2
（n －2）π
.
(2)证明：∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，
∴(A ＋B ＋C )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1A ＋1B ＋1C
＝3＋B A ＋C A ＋A B ＋C B ＋A C ＋B C
≥3＋2A B ·B A ＋2A C ·C
A ＋
2B C ·C B
＝9，
当且仅当A ＝B ＝C ＝π
3
时，等号成立．
∴1A ＋1B ＋1C ≥9π
. [变式10] (选修2－2 P 94例2改编)是否存在实数b 、c 使得12＋22＋…＋n 2＝16
n (2n
2
＋bn ＋c )对于一切n ∈N *
恒成立，若存在，求实数b ，c ，并证明等式的成立性．若不存在，说明理由．
解：当n ＝1，2时，得b ＋c ＝4；2b ＋c ＝7，所以b ＝3，c ＝1.
下面用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝16
n (2n 2
＋3n ＋1)的成立性．
①当n ＝1时，左边＝1，右边＝1
6
×1×6＝1，等式成立．
②假设n ＝k (k ∈N *
且k ≥1)时，等式成立，即
12＋22＋…＋k 2＝16
k (2k 2
＋3k ＋1)．
那么当n ＝k ＋1时， 12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝16
k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝（k ＋1）[k （2k ＋1）＋6（k ＋1）]6
＝16(k ＋1)(2k 2
＋7k ＋6) ＝16
(k ＋1)[2(k ＋1)2
＋3(k ＋1)＋1]， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
由①②可知，存在b ＝3，c ＝1，等式12＋22＋…＋n 2＝16
n (2n 2＋bn ＋c )对于一切n ∈N
*
恒成立．。