高中数学会考专题集锦——函数的概念与性质专题训练
函数的概念与性质(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质必练题总结
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质必练题总结单选题1、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−4)=−f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则（）A．f(16)<f(−17)<f(18)B．f(18)<f(16)<f(−17)C．f(16)<f(18)<f(−17)D．f(−17)<f(16)<f(18)答案：D分析：推导出函数f(x)是周期函数，且周期为8，以及函数f(x)在区间[−2,2]上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出f(16)、f(−17)、f(18)的大小关系.由题意可知f (x +8)=−f (x +4)=f (x )，故函数f (x )是周期函数，且周期为8，则f (16)=f (0)，f (−17)=f (−1)，f (18)=f (2)，因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，则该函数在区间[−2,0]上也为增函数，故函数f (x )在区间[−2,2]上为增函数，所以f (−1)<f (0)<f (2)，即f (−17)<f (16)<f (18).故选：D.3、定义在R 上的函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2.若f (x )的图象关于直线x =4对称，则下列选项中一定成立的是（ ）A ．f (−2)=1B ．f (0)=0C ．f (4)=2D ．f (6)=−1答案：A分析：根据f (4−x )+f (x )=2，令x =2，可求得f (2)，再根据函数的对称性可得f (6)及f (4+x )+f (x )=2，再令x =−2，可求得f (−2)，即可得出答案.解：因为函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (2)=2f (2)=2，所以f (2)=1，又f (x )的图象关于直线x =4对称，所以f (6)=f (2)=1，且f (4−x )=f (4+x )，则f (4+x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (−2)=2，所以f (−2)=−1，无法求出f (0),f (4).故选：A.4、设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1+x )=f (−x ).若f (−13)=13，则f (53)=（ ）A ．−53B ．−13C ．13D ．53答案：C分析：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f (53)的值.由题意可得：f (53)=f (1+23)=f (−23)=−f (23)，而f (23)=f (1−13)=f (13)=−f (−13)=−13， 故f (53)=13.故选：C.小提示：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5、函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[−3,+∞)B ．[3,+∞)C ．(−∞,5]D ．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x =−2(1−m)−2=1−m ，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，从而可求出m 的取值范围解：函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3的图像的对称轴为x =−2(1−m)−2=1−m ，因为函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，解得m ≤−3，所以m 的取值范围为(−∞,−3]，故选：D6、函数的y =√−x 2−6x −5值域为（ ）A ．[0,+∞)B ．[0,2]C ．[2,+∞)D ．(2,+∞)答案：B分析：令u =−x 2−6x −5，则u ≥0，再根据二次函数的性质求出u 的最大值，进而可得u 的范围，再计算y =√u 的范围即可求解.令u =−x 2−6x −5，则u ≥0且y =√u又因为u =−x 2−6x −5=−(x +3)2+4≤4，所以0≤u ≤4，所以y =√u ∈[0,2]，即函数的y =√−x 2−6x −5值域为[0,2]，故选：B.7、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（ ） A ．−12B ．0C ．1D ．2 答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果.由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C8、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：B分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2， 所以f (x )=3x −2.故选：B.9、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞)答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)，∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4； 综上所述：a 的取值范围为[0,4].故选：C.10、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3 答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.填空题11、不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021的解为______．答案：(−∞,2)∪(3,4)分析：根据幂函数的性质，分类讨论即可将不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021转化成(14−x )2021>(1x−2)2021（Ⅰ）{14−x>0 1x−2>0 14−x >1x−2，解得3<x<4；（Ⅱ）{14−x >01 x−2<0，解得x<2；（Ⅲ）{14−x<0 1x−2<0 14−x >1x−2，此时无解；综上，不等式的解集为：(−∞,2)∪(3,4)所以答案是：(−∞,2)∪(3,4)12、已知函数f(x)=|x+ax|在区间(0,1]上单调递减，则实数a的取值范围为___________.答案：(−∞,−1]∪[1,+∞)分析：分类讨论a，根据函数解析式得到函数在(0,+∞)上的单调性，再根据已知列式可得结果.当a=0时，f(x)=|x|在(0,+∞)上单调递增，故在区间(0,1]上单调递增，不合题意；当a>0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√a]上单调递减，在区间[√a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√a≥1，∴a≥1；当a<0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√−a]上单调递减，在区间[√−a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√−a≥1，∴a≤−1；综上，实数a的取值范围为(−∞,1]∪[1,+∞).所以答案是：(−∞,1]∪[1,+∞).13、设幂函数f(x)同时具有以下两个性质：①函数f(x)在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a，b，<0恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数f(x)=___________.都有f(a)−f(b)a−b（答案不唯一）答案：1x2分析：利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.由题意可得，幂函数f(x)=x a需满足在第二象限内有图象且在(0,+∞)上是单调递减即可，所以a=−2k(k∈N∗)，故满足上述条件的可以为f(x)=1.x2所以答案是：1（答案不唯一）.x214、已知m为常数，函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则m的值为______;或1答案：−32分析：根据幂函数的定义可得2m2+m−2=1，解方程即可.解：因为函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则2m2+m−2=1，或m=1.即2m2+m−3=0，解得m=−32所以答案是：−3或1.215、若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．答案：2分析：根据f(x)=f(-x)，简单计算可得结果.∵f(x)为偶函数，∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.所以答案是：2小提示：本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.解答题16、已知函数f(x)=2x−ax ，且f(2)=92.(1)求实数a的值并判断该函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在（1，+∞）上的单调性并证明.答案：(1)a=−1，函数f(x)=2x+1x为奇函数(2)f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明见解析分析：（1）根据f(2)=92，代入函数解析即可求解；（2）利用函数单调性的定义证明即可.（1）∵f(x)=2x−ax ，且f(2)=92,∴4−a2=92，∴a=−1；所以f(x)=2x+1x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，∵f(−x)=2(−x)+1−x =−2x−1x=−(2x+1x)=−f(x)，∴函数f(x)=2x+1x为奇函数.（2）函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明：任取x1,x2∈(1,+∞)，设x1<x2，则f(x2)−f(x1)=2x2+1x2−(2x1+1x1)=2(x2−x1)+(1x2−1x1)=2(x2−x1)+(x1−x2x1x2)=(x2−x1)(2−1x1x2)=(x2−x1)(2x1x2−1)x1x2∵x1,x2∈(1,+∞)，且x1<x2，∴x2−x1>0，2x1x2−1>0,x1x2>0∴f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.17、已知f(x)为二次函数，且f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，求f(x)的表达式．答案：f(x)=x 2−2x −1分析：设出二次函数解析式，代入已知等式，待定系数法即可得解.由题意可设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，则f(x +1)=a(x +1)2+b(x +1)+c =ax 2+(2a +b)x +a +b +c ，f(x −1)=a(x −1)2+b(x −1)+c =ax 2−(2a −b)x +a −b +c ，于是f(x +1)+f(x −1)=2ax 2+2bx +2a +2c ，又f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，所以{2a =2,2b =−4,2a +2c =0,解得{a =1,b =−2,c =−1,所以f(x)=x 2−2x −1．18、已知幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，且f (x )=x2−m 2m （m ∈Z ）. (1)求m 的值；(2)解不等式：f (|x |−2)<f (3x ).答案：(1)m =1(2)[2,3)分析：（1）由条件结合幂函数的性质可得2−m 2m >0，再验证可得答案.（2）由函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，结合（1）得出的解析式以及函数的定义域可得{3x ≥0|x |−2≥0|x |−2<3x，从而解出答案.（1）幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，则2−m 2m >0 ，即0<m <2又m ∈Z ，则m =1，此时f (x )=x 12f (x )=x 12满足在定义域[0,+∞)上是严格增函数.所以m =1（2）由（1）函数y=f(x)在其定义域上是严格增函数根据f(|x|−2)<f(3x )，则{3x≥0|x|−2≥0|x|−2<3x，则{x≥2|x|−2<3x所以{x≥2x2−2x<3，解得2≤x<3所以不等式f(|x|−2)<f(3x)的解集为[2,3)19、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4−2x2；(2)f(x)=x5−x；(3)f(x)=3x1−x2；(4)f(x)=|x|+x．答案：(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数分析：（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.（1）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)4−2(−x)2=x4−2x2=f(x)，故f(x)为偶函数. （2）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)5−(−x)=−x5+x=−f(x)，故f(x)为奇函数. （3）f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.=−f(x)，故f(x)为奇函数.f(−x)=−3x1−(−x)2（4）f(1)=|1|+1=2,f(−1)=0，故f(1)≠f(−1),f(−1)≠−f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题单选题1、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B2、已知函数f (x )的定义域为(3,5)，则函数f (2x +1)的定义域为（ ） A ．(1,2)B ．(7,11)C ．(4,16)D ．(3,5) 答案：A分析：根据3<2x +1<5求解即可∵f (x )的定义域为(3,5)，∴3<x <5，由3<2x +1<5，得1<x <2，则函数f (2x +1)的定义域为(1,2) 故选：A.3、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ） A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞) C ．(−3,3)D ．(−3,+∞) 答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞). 故选：B.4、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (3)=0，则不等式(2x −5)f (x −1)<0的解集为（ ）A ．(−2,52)∪(4,+∞)B ．(4,+∞)C ．(−∞,−2)∪[52,4]D ．(−∞,−2) 答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x −5>0f(x −1)<0 、{2x −5<0f(x −1)>0求解集即可.由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0， 所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0， 对于(2x −5)f(x −1)<0，当{2x −5>0f(x −1)<0 ，即{x >52x −1<−3 或{x >52x −1>3 ，可得x >4； 当{2x −5<0f(x −1)>0 ，即{x <52−3<x −1<3，可得−2<x <52； 综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞). 故选：A5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ） A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α， 因为幂函数的图像过点(3,√3)， 所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32，故选：A6、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图像如图所示，直线x =m 2，x =m (0<m <1)与y =x a ，y =x b 的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |=|CD |，则m a +m b =（ ）A．1B．1C．√2D．22答案：B分析：表示出|AB|,|CD|，由幂函数的图象可得b>1>a>0，从而得(m2)a>(m2)b，m a>m b，再由|AB|=|CD|，代入化简计算，即可求解出答案.由题意，|AB|=(m2)a−(m2)b，|CD|=m a−m b，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，(m2)a> (m2)b，m a>m b，因为|AB|=|CD|，所以m2a−m2b=(m a+m b)(m a−m b)=m a−m b，因为m a−m b>0，可得m a+m b=1.故选：B,则f(x)（）7、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x3−1定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增． 故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 8、下列函数为奇函数的是（ ） A ．y =x 2B ．y =x 3C ．y =|x|D ．y =√x 答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A ：y =f (x )=x 2定义域为R ，且f (−x )=(−x )2=x 2=f (x )， 所以y =x 2为偶函数，故A 错误；对于B ：y =g (x )=x 3定义域为R ，且g (−x )=(−x )3=−x 3=−g (x )， 所以y =x 3为奇函数，故B 正确；对于C ：y =ℎ(x )=|x |定义域为R ，且ℎ(−x )=|−x |=|x |=ℎ(x )， 所以y =|x |为偶函数，故C 错误；对于D ：y =√x 定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称， 故y =√x 为非奇非偶函数，故D 错误； 故选：B 多选题9、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B，f(x)=x+1，g(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；对于C，f(x)={1,x>0−1,x<0，g(x)={1,x>0−1,x<0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；对于D，f(t)=|t−1|与g(x)=|x−1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(−∞,4)C．f(1)=3D．若f(x)=3，则x的值是√3E．f(x)<1的解集为(−1,1)答案：BD解析：根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.由题意知函数f(x)的定义域为(−∞,2)，故A错误；当x≤−1时，f(x)的取值范围是(−∞,1]，当−1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(−∞,4)，故B正确；当x=1时，f(1)=12=1，故C错误；当x≤−1时，x+2=3，解得x=1（舍去），当−1<x<2时，x2=3，解得x=√3或x=−√3（舍去），故D正确；当x≤−1时，x+2<1，解得x<−1，当−1<x<2时，x2<1，解得−1<x<1，因此f(x)<1的解集为(−∞,−1)∪(−1,1)；故E错误.故选：BD.小提示：此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.11、已知幂函数f(x)图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若x ≥9，则f (x )≥3D ．若x 2>x 1>0，则f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)答案：AC解析：先代点求出幂函数的解析式f(x)=x 12，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由x ≥9时，可得√x ≥3可判断C ，利用(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2展开和0比即可判断D.设幂函数f(x)=x α将点(4,2)代入函数f(x)=x α得：2=4α，则α=12.所以f(x)=x 12，显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数，所以A 正确.f(x)的定义域为[0,+∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B 不正确. 当x ≥9时，√x ≥3，即f(x)≥3，所以C 正确. 当若0<x 1<x 2时， (f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=2√x 1x 2−x 1−x 24=−(√x 1−√x 2)24<0.即f (x 1)+f (x 2)2<f (x 1+x 22)成立，所以D 不正确.故选：AC小提示：关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2，化简得到−(√x 1−√x 2)24，从而判断出选项D 的正误，属于中档题.填空题12、已知函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，f(x)+g(x)=2⋅3x ，则函数f(x)=_____． 答案：3x +3−x分析：由已知可得f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，结合两函数的奇偶性可得f (x )−g (x )=2⋅3−x ，利用方程组的思想即可求出f (x ).解：因为f(x)+g(x)=2⋅3x ，所以f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，又f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (−x )=f (x ),g (−x )=−g (x )； 所以f(−x)+g(−x)=f (x )−g (x )=2⋅3−x，则{f (x )+g (x )=2⋅3x f (x )−g (x )=2⋅3−x，两式相加得，2f (x )=2⋅3x +2⋅3−x ，所以f (x )=3x +3−x . 故答案为:3x +3−x . 小提示：关键点睛:本题的关键是由函数的奇偶性得到f (x )−g (x )=2⋅3−x ，从而可求出函数的解析式. 13、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________. 答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)， 则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4， 所以函数的定义域为(−1,4)， 设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254，而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数，∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞). 所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.14、已知函数f (x )=x 2−4x +3，g (x )=mx +3−2m ，若对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，则实数m 的取值范围为______． 答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)分析：求出函数f (x )在[0,4]上的值域A ，再分情况求出g (x )在[0,4]上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解.“对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立”等价于“函数f (x )在[0,4]上 的值域包含于g (x )在[0,4]上的值域”，函数f (x )=(x −2)2−1，当x ∈[0,4]时，f(x)min =f(2)=−1，f(x)max =f(0)=f(4) =3，即f (x )在[0,4]的值域A =[−1,3]，当m =0时，g(x)=3，不符合题意，当m >0时，g (x )在[0,4]上单调递增，其值域B 1=[3−2m,3+2m]，于是有A ⊆B 1，即有{3−2m ≤−13+2m ≥3，解得m ≥2，则m ≥2，当m <0时，g (x )在[0,4]上单调递减，其值域B 2=[3+2m,3−2m]，于是有A ⊆B 2，即有{3+2m ≤−13−2m ≥3，解得m ≤−2，则m ≤−2， 综上得：m ≤−2或m ≥2，所以实数m 的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞). 所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞) 解答题15、已知二次函数f (x )=ax 2−2x (a >0) （1）若f (x )在[0,2]的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2．求a的取值范围．答案：（1）2；（2）[8,+∞).分析：由解析式可知f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数；（1）分别在1a ≥2和0<1a<2两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；（2）将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，分别在1a ≤t、1a≥t+1、t<1a≤t+12和t+12<1a<t+1，根据f(x)单调性可得f(x)max−f(x)min，将f(x)max−f(x)min看做关于t的函数，利用恒成立的思想可求得结果.由f(x)解析式知：f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数，（1）当1a ≥2，即0<a≤12时，f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)max=f(0)=0，不合题意；当0<1a <2，即a>12时，f(x)在[0,1a]上单调递减，在[1a,2]上单调递增，∴f(x)max=max{f(0),f(2)}，又f(0)=0，f(2)=4a−4，f(x)在[0,2]的最大值为4，∴f(x)max=f(2)=4a−4=4，解得：a=2；综上所述：a=2.（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2，则f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，①当1a≤t时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(t)=2at+a−2≥2，当t≥1a时，y=2at+a−2单调递增，∴(2at+a−2)min=2a⋅1a+a−2=a，∴a≥2；②当1a ≥t+1，即t≤1a−1时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(t+1)=−2at−a+2≥2，当t≤1a−1时，y=−2at−a+2单调递减，∴(−2at−a+2)min=−2a(1a−1)−a+2=a，∴a≥2；③当t<1a ≤t+12，即1a−12≤t<1a时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(1a )=a(t+1)2−2(t+1)+1a≥2，当1a −12≤t<1a时，又a>0，12<1a+12≤t+1<1a+1，令m=t+1，则y=am2−2m+1a 在[1a+12,1a+1)上单调递增，∴a(1a +12)2−2(1a+12)+1a≥2，解得：a≥8；④当t+12<1a<t+1，即1a−1<t<1a−12时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(1a )=at2−2t+1a≥2，当1a −1<t<1a−12时，y=at2−2t+1a在(1a−1,1a−12)上单调递减，∴a(1a −12)2−2(1a−12)+1a≥2，解得：a≥8；综上所述：a的取值范围为[8,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值.。
(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质知识点题库
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质知识点题库单选题1、下列图形能表示函数图象的是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A、B显然不符合，C在x=0与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.故选：D2、“幂函数f(x)=(m2+m−1)x m在(0,+∞)上为增函数”是“函数g(x)=2x−m2⋅2−x为奇函数”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：A分析：要使函数f(x)=(m2+m−1)x m是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m=1，可得函数g(x)为奇函数，即充分性成立；函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数，求出m =±1，故必要性不成立，可得答案.要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m −1=1m >0，解得：m =1，当m =1时，g (x )=2x −2−x ，x ∈R ， 则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，即充分性成立；“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”，则g (x )=−g (−x )，即2x −m 2⋅2−x =−(2−x −m 2⋅2x )=m 2⋅2x −2−x ，解得：m =±1，故必要性不成立，故选：A ．3、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x 满足xf (x −12)≤0，则x 的取值范围是（ ）A ．[−12,0]∪[12,32]B ．[−12,12]∪[32,+∞)C ．[−12,0]∪[12,+∞)D ．[−32,−12]∪[0,12] 答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0，从而得到x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0，再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，定义域为R ，f(1)=0，所以函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1，解得−12≤x <0.当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1， 解得12≤x ≤32.综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32. 故选：A4、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（ ）A ．f (x )=x 2+4B ．f (x )=1−2xC ．f (x )=−x 2−x +1D ．f (x )=2−3x答案：D分析：根据各个函数的性质逐个判断即可对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对．对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−12，在(−∞,−12)是增函数，故C 不对． 对D ，f (x )=2−3x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对．故选：D5、已知函数f(x)={−3x +3,x <0−x 2+3,x ≥0，则不等式f (a )>f (3a −4)的解集为（ ） A ．(−12,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,2)D ．(−∞,−12)答案：B分析：由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．根据题目所给的函数解析式，可知函数f (x )在(−∞,+∞)上是减函数，所以a <3a −4，解得a >2．故选：B6、设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥−7B．a≥7C．a≥3D．a≤−7答案：B分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.函数f(x)的对称轴为x=a−4，又∵函数在(−∞,3]上为减函数，∴a−4⩾3，即a⩾7．故选：B.小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.7、若函数y=f(x)在R上单调递增，且f(2m−3)>f(−m)，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,−1)B．(−1,+∞)C．(1,+∞)D．(−∞,1)答案：C分析：由单调性可直接得到2m−3>−m，解不等式即可求得结果.∵f(x)在R上单调递增，f(2m−3)>f(−m)，∴2m−3>−m，解得：m>1，∴实数m的取值范围为(1,+∞).故选：C.8、已知f(x)是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f(2a−3)<f(a−2)，则实数a的取值范围是（）A．(0，4)B．(1，+∞)C．(12，52)D．(1，52)答案：D分析：根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围. ∵f(x)是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f(2a−3)<f(a−2)，则{2a−3>a−2−2<a−2<2−2<2a−3<2，解得1<a<52故选：D..9、函数f (x )在(−∞,+∞)上是减函数，且a 为实数，则有（ ）A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2+1)<f (a )D ．f (a 2−a )<f (a )答案：C分析：利用a =0可排除ABD ；根据函数单调性和a 2+1>a 恒成立可知C 正确.当a =0时，ABD 中不等式左右两侧均为f (0)，不等式不成立，ABD 错误；∵a 2+1−a >0对于a ∈R 恒成立，即a 2+1>a 恒成立，又f (x )为R 上的减函数，∴f (a 2+1)<f (a )，C 正确.故选：C.10、已知幂函数y =f(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)=（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9答案：D分析：先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f(3)的值解：设f(x)=x α，则2α=4，得α=2，所以f(x)=x 2，所以f(3)=32=9，故选：D填空题11、已知f (x )={(3a −1)x +4a,x <1−x +1,x ⩾1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是___. 答案：[17,13) 分析：利用函数在R 上是减函数，可列出不等式组{3a −1<0(3a −1)+4a ⩾−1+1 ，由此求得a 的取值范围.由于f (x )={(3a −1)x +4a,x <1−x +1,x ⩾1是定义在R 上的减函数，∴{3a −1<0(3a −1)+4a ⩾−1+1 ， 求得17⩽a <13，所以答案是：[17,13). 12、函数y =√7+6x −x 2的定义域是_____.答案：[−1,7].分析：由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6x −x 2≥0,即x 2−6x −7≤0解得−1≤x ≤7，故函数的定义域为[−1,7].小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．13、函数y =√x 2−1的单调递减区间为___________.答案：(−∞,−1](或(−∞,−1)都对)解析：利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；令t =x 2−1，则y =√t ，∵ t =x 2−1在(−∞,−1)单调递减，y =√t 在(0,+∞)单调递增，根据复合函数的单调性可得：y =√x 2−1在(−∞,−1)单调递减，所以答案是：(−∞,−1).14、已知函数f (x )=mx 2+nx +2(m,n ∈R )是定义在[2m,m +3]上的偶函数，则函数g (x )=f (x )+2x 在[−2,2]上的最小值为______．答案：－6分析：先利用题意能得到f(−x)=f(x)和2m+m+3=0，解得n=0和m=−1，代入f(x)中，再代入g(x)，再结合二次函数的性质求最小值因为函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，故{f(−x)=f(x)2m+m+3=0，即{mx2−nx+2=mx2+nx+2m=−1，则{2nx=0m=−1解得{n=0m=−1，所以g(x)=f(x)+2x=−x2+2x+2=3−(x−1)2，x∈[−2,2]，所以g(−2)=−(−2)2+2×(−2)+2=−6，g(2)=−22+2×2+2=2，则g(x)min=−6，所以答案是：-615、已知函数y=f(2x+1)的定义域为[−1,2]，则函数y=f(x−1)的定义域为_________.答案：[0,6]分析：根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.函数y=f(2x+1)的定义域为[−1，2]，即−1≤x≤2，所以−1≤2x+1≤5，所以−1≤x−1≤5，即0≤x≤6，所以函数的定义域为[0,6].所以答案是：[0,6].解答题16、上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N∗，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p(t).（1）求p(t)的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t−360（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？答案：（1）p(t)={−10t 2+200t +200,2≤t <101200,10≤t ≤20(t ∈N ∗)；（2）6分钟. 分析：(1)2≤t <10时，求出正比例系数k ，写出函数式即可得解；(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.（1）由题意知p(t)={1200−k(10−t)2,2≤t <101200,10≤t ≤20(t ∈N ∗ )，（k 为常数）， 因p(2)=1200−k(10−2)2=1200−64k =560，则k =10，所以p(t)={−10t 2+200t +200,2≤t <101200,10≤t ≤20(t ∈N ∗)； （2）由Q =6p(t)−3360t −360得Q ={6(−10t 2+200t+200)−3360t −360,2≤t <103840t −360,10≤t ≤20 ，即Q ={840−60(t +36t ),2≤t <103840t−360,10≤t ≤20 (t ∈N ∗)， ①当2≤t <10时，Q =840−60(t +36t )≤840−60×12=120，当且仅当t =6等号成立； ②当10≤t ≤20时，Q =3840t −360在[10，20]上递减，当t =10时Q 取最大值24，由①②可知，当发车时间间隔为t =6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.17、已知集合A ={x |2<x <4}，集合B ={x |m −1<x <m 2}.(1)若A ∩B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题p:x ∈A ，命题q:x ∈B ，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.答案：(1)−√2≤m ≤√2或m ≥5(2){m |m ≤−2 或2≤m ≤3}分析：（1）讨论B =∅或B ≠∅，根据A ∩B =∅列不等式组即可求解.（2）由题意得出A ⊆B ，再由集合的包含关系列不等式组即可求解.（1）∵A ∩B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴−√2≤m ≤√2或m ≥5.（2）∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，∴{m−1≤2m2≥4，解得：m≤－2或2≤m≤3.所以实数m的取值集合为{m|m≤−2或2≤m≤3}18、已知幂函数f(x)=x m2−m−2(m∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．答案：f(x)=x−2分析：根据幂函数的单调性，可知m2−m−2<0，又m∈Z，则m=0,1，再根据函数f(x)是偶函数，将m= 0,1分别代入验证可得答案.因为幂函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，则m2−m−2<0，得m∈(−1,2)，又∵m∈Z，∴m=0或1．因为函数f(x)是偶函数，将m=0,1分别代入，当m=0时，m2−m−2=−2，函数为f(x)=x−2是偶函数，满足条件.当m=1时，m2−m−2=−2，函数为f(x)=x−2是偶函数，满足条件.∴f(x)的解析式为f(x)=x−2．19、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=√4−x2|x+3|−3；（2）f(x)=(x−1)√1+x1−x；（3）f(x)=√1−x2+√x2−1；（4）f(x)={x2−2x+3,x>00,x=0−x2−2x−3,x<0. 答案：（1）奇函数（2）既不是奇函数也不是偶函数（3）既是奇函数又是偶函数（4）奇函数分析：根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可.（1）由{4−x 2≥0|x +3|−3≠0，得−2≤x ≤2，且x ≠0， 所以f (x )的定义域为[−2,0)∪(0,2]，关于原点对称，所以f (x )=√4−x 2|x+3|−3=√4−x 2x+3−3=√4−x 2x . 又f (−x )=√4−(−x )2−x =−√4−x 2x =−f (x )，所以f (x )是奇函数.（2）因为f (x )的定义域为[−1,1)，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数.（3）对于函数f (x )=√1−x 2+√x 2−1，{1−x 2≥0x 2−1≥0,∴x =±1，其定义域为{−1,1}，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )=0，所以f (−x )=f (x )，f (−x )=−f (x )， 所以f (x )=√1−x 2+√x 2−1既是奇函数又是偶函数.（4）函数f (x )的定义域为R ，定义域关于原点对称.①当x =0时，−x =0，所以f (−x )=f (0)=0，f (x )=f (0)=0，所以f (−x )=−f (x )；②当x >0时，−x <0，所以f (−x )=−(−x )2−2(−x )−3=−(x 2−2x +3)=−f (x )； ③当x <0时，−x >0，所以f (−x )=(−x )2−2(−x )+3=−(−x 2−2x −3)=−f (x ). 综上，可知函数f (x )为奇函数.。
高中数学第三章函数的概念与性质专项训练题(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质专项训练题单选题1、若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f(a)−f(b)a−b>0成立，则必有（ ）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增 答案：A分析：根据条件可得当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，从而可判断. 由f(a)−f(b)a−b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.2、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞) 答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意； 若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)， ∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4；综上所述：a 的取值范围为[0,4]. 故选：C.3、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B4、已知幂函数y =x m 2−2m−3(m ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上单调递减，则满足(a +1)−m3<(3−2a )−m 3的a 的取值范围为（ ）A ．(0,+∞)B ．(−23,+∞) C ．(0,32)D ．(−∞,−1)∪(23,32)答案：D分析：由条件知m 2−2m −3<0，m ∈N ∗，可得m ＝1．再利用函数y =x −13的单调性，分类讨论可解不等式. 幂函数y =x m2−2m−3(m ∈N ∗)在(0,+∞)上单调递减，故m 2−2m −3<0，解得−1<m <3．又m ∈N ∗，故m ＝1或2．当m ＝1时，y =x −4的图象关于y 轴对称，满足题意； 当m ＝2时，y =x −3的图象不关于y 轴对称，舍去，故m ＝1． 不等式化为(a +1)−13<(3−2a )−13，函数y =x −13在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，故a +1>3−2a >0或0>a +1>3−2a 或a +1<0<3−2a ，解得a <−1或23<a <32．故应选：D ．5、已知函数f (x +1)的定义域为(−1,1)，则f (|x |)的定义域为（ ） A ．(−2,2)B ．(−2,0)∪(0,2) C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−12,0) 答案：B分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 依题意函数f (x +1)的定义域为(−1,1)， −1<x <1⇒0<x +1<2， 所以0<|x |<2，解得−2<x<0或0<x<2，所以f(|x|)的定义域为(−2,0)∪(0,2).故选：B6、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式(2x−5)f(x−1)<0的解集为（）A．(−2,52)∪(4,+∞)B．(4,+∞)C．(−∞,−2)∪[52,4]D．(−∞,−2)答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x−5>0f(x−1)<0、{2x−5<0f(x−1)>0求解集即可. 由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0，对于(2x−5)f(x−1)<0，当{2x−5>0f(x−1)<0，即{x>52x−1<−3或{x>52x−1>3，可得x>4；当{2x−5<0f(x−1)>0，即{x<52−3<x−1<3，可得−2<x<52；综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞).故选：A7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1， 故选：C 8、函数f (x )=√−x 2+5x+6x+1的定义域（ ）A ．(−∞,−1]∪[6,+∞)B ．(−∞,−1)∪[6,+∞)C ．(−1,6]D ．[2,3] 答案：C分析：解不等式组{−x 2+5x +6≥0x +1≠0得出定义域.{−x 2+5x +6≥0x +1≠0，解得−1<x ⩽6即函数f (x )的定义域(−1,6] 故选：C 多选题9、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C[0,1]项错误，D项正确．故选：ABD10、下列各组函数是同一函数的是（）A．y=|x|x与y=1B．y=√(x−1)2与y=x−1C．y=(√x)2x 与y=(√x)2D．y=x3+xx2+1与y=x答案：CD分析：根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.对于A：函数y=|x|x的定义域为x≠0，函数y=1定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数y=√(x−1)2定义域为R，化简可得y=|x−1|，与y=x−1解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数y=(√x)2x 定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，函数y=(√x)2定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，故为同一函数；对于D：函数y=x3+xx2+1定义域为R，化简可得y=x，与y=x为同一函数.故选：CD11、如图所示是函数y=f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A．函数f(x)的定义域为[−4,4)B．函数f(x)的值域为[0,+∞)C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应答案：BD分析：利用函数的图象判断.由图象知：A.函数f(x)的定义域为[−4,0]∪[1,4)，故错误；B.函数f(x)的值域为[0,+∞)，故正确；C. 函数f(x)在[−4,0]，[1,4)上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故正确；故选：BD12、已知函数y=(m−1)x m2−m为幂函数，则该函数为（）A．奇函数B．偶函数C．区间(0,+∞)上的增函数D．区间(0,+∞)上的减函数答案：BC分析：由幂函数的概念可得m的值，根据幂函数的性质可得结果.由y=(m−1)x m2−m为幂函数，得m−1=1，即m=2，则该函数为y=x2，故该函数为偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，故选：BC.13、已知函数f(x)是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，当x∈(0,4]时，f(x)的图象如图所示，那么满足不等式f(x)−3x+1−3≥0的x的可能取值是（）3A ．－4B ．－1C ．12D ．2 答案：AC分析：把“求f(x)−3x+1−33≥0的解集”转化为“求f (x )≥3x −1的解集”，进而转化为观察两个函数图象的特征，即可求出不等式的解集．因为函数f (x )是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，由题意，画出函数f (x )在[−4,0)∪(0,4]上的图象（如图），在同一坐标系内画出y =3x −1的图象，因为f (2)=89，所以f (−2)=−f (2)=−89=3−2−1，又f (1)=2=31−1，所以f (x )的图象与y =3x −1的图象交于(−2,−89)和(1,2)两点，f (x )−3x+1−33≥0即为f (x )≥3x −1，由图象可得，只需−4≤x ≤−2或0<x ≤1，故A ，C 可能取到故选：AC ． 填空题14、函数y =√x 2−1的单调递减区间为___________. 答案：(−∞,−1](或(−∞,−1)都对)解析：利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案； 令t =x 2−1，则y =√t ，∵ t =x 2−1在(−∞,−1)单调递减，y =√t 在(0,+∞)单调递增， 根据复合函数的单调性可得：y =√x 2−1在(−∞,−1)单调递减，所以答案是：(−∞,−1).15、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③分析：根据定义逐一判断，即可得到结果表示区间端点连线斜率的负数，−f(b)−f(a)b−a在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.16、已知幂函数f(x)的图象过点(3,13)，则此函数的解析式为______．答案：f(x)=x−1##f(x)=1x分析：设出幂函数f(x)，代入点(3,13)即可求解.由题意，设f(x)=xα，代入点(3,13)得13=3α，解得α=−1，则f(x)=x−1.所以答案是：f(x)=x−1.解答题17、已知函数f(x)=x2x2+1(1)证明：f(x)为偶函数；(2)判断g(x)=f(x)+x的单调性并用定义证明；(3)解不等式f(x)−f(x−2)+2x>2答案：(1)证明见解析(2)g(x)为R上的增函数，证明见解析(3)(1,+∞)分析：（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）首先得到g(x)的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（1）证明：f(x)的定义域为R，又f(−x)=(−x)2(−x)2+1=x2x2+1=f(x)，故f(x)为偶函数；（2）解：g(x)=f(x)+x=x2x2+1+x，所以g(x)为R上的增函数，证明：任取x1，x2∈R，且x1>x2，g(x1)−g(x2)=x12x12+1+x1−(x22x22+1+x2)=x1−x2+x12x12+1−x22x22+1=x1−x2+x12(x22+1)−x22(x12+1) (x12+1)(x22+1)=x1−x2+x12−x22(x12+1)(x22+1)=(x1−x2)[1+x1+x2(x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+x12+x22+1+x1+x2 (x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)].∵x1>x2，∴x2−x2>0，又x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)>0，∴(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)]>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)为R上的增函数；（3）解：不等式f(x)−f(x−2)+2x>2，等价于f(x)+x>f(x−2)+2−x=f(2−x)+2−x即g(x)>g(2−x)，∵g(x)为R上的增函数，∴x>2−x，解得x>1，故不等式的解集为(1,+∞).18、函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)<0，且f(1)=13．（1）证明f(x)是奇函数；（2）证明f(x)在R上是单调递增函数；（3）若f(x)+f(x−3)≥−1，求实数x的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）[0,+∞)．分析：（1）先用赋值法求出f(0)=0，令y=−x，即可根据定义证明f(x)是奇函数；（2）利用定义法证明f(x)是R上的增函数；（3）先把f(x)+f(x−3)≥−1转化为f(2x−3)≥f(−3)，利用单调性解不等式即可．（1）令x =y =0，则f (0)=f (0)+f (0)，解得f (0)=0，令y =−x ，则f (0)=f (x )+f (−x )，即f (x )+f (−x )=0，即f (−x )=−f (x )， 易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数；（2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，因为当x <0时，f (x )<0，所以f (x 1−x 2)<0，则f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)+f (−x 2)=f (x 1−x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )是R 上的增函数；（3）由f (1)=13，得f (2)=23，f (3)=1，又由f (x )是奇函数得f (−3)=−1. 由f (x )+f (x −3)≥−1，得f (2x −3)≥f (−3)，因为函数f (x )是R 上的增函数， 所以2x −3≥−3，解得x ≥0，故实数x 的取值范围为[0,+∞)．。
《函数的概念与性质》测试卷及答案解析
2020-2021学年高中数学必修一第三章《函数的概念与性质》测试卷一．选择题（共10小题）1．已知函数f （x ）的定义域是[﹣1，1]，则函数g （x ）=1−x的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．[0，1）D ．（0，1]【解答】解：∵f （x ）的定义域是[﹣1，1]； ∴g （x ）需满足：{−1≤2x −1≤11−x ＞0；解得：0≤x ＜1；∴g （x ）的定义域是[0，1）． 故选：C ．2．函数f （x ）满足f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ，则函数f （x ）等于（ ） A ．x−23B ．x+23C ．x ﹣1D ．﹣x +1【解答】解：因为f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ， 所以f （1﹣x ）﹣2f （x ）＝1﹣x ， 联立可得，f （x ）=x−23． 故选：A ．3．函数f （2x ﹣1）的定义域是[1，2]，则函数f （x +1）的定义域是（ ） A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[0，1]D ．[0，2]【解答】解：∵函数f （2x ﹣1）的定义域为[1，2]，∴1≤2x ﹣1≤3， 即函数f （x ）的定义域为[1，3]，∴函数f （x +1）的定义域需满足1≤x +1≤3， 即0≤x ≤2，函数f （x +1）的定义域为[0，2]， 故选：D ．4．若当x ∈[0，m ]时，函数y ＝x 2﹣3x ﹣4的值域为[−254，﹣4]，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，4]B ．[32，4]C ．[32，3]D ．[32，+∞]【解答】解：函数y ＝x 2﹣3x ﹣4＝（x −32）2−254，所以当x =32时，函数有最小值−254． 当y ＝x 2﹣3x ﹣4＝﹣4时，即y ＝x 2﹣3x ＝0，解得x ＝0或x ＝3． 因为函数的定义域为[0，m ]，要使值域为[−254，﹣4]， 则有32≤m ≤3，故选：C ．5．函数f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（0，1）D ．（1，+∞）【解答】解：由题意可得2x ﹣x 2≥0，解可得0≤x ≤2，根据二次函数及复合函数的性质可知，f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（0，1）， 故选：C ．6．函数f （x ）=3x+22x+1，x ∈[3，+∞）的值域是（ ） A ．[117，+∞)B ．[32，+∞)C ．[117，2)D ．(32，117]【解答】解：f （x ）=3x+22x+1=32(2x+1)+122x+1=32+14x+2，∵x ∈[3，+∞）∴f （x ）为减函数∴当x ＝3时，f （x ）=117，取得最大值；当x 接近+∞时，f （x ）接近32， 所以f （x ）的值域为（32，117]．故选：D ．7．已知函数f （x ）＝x 5+ax 3+bx ﹣8，若f （﹣3）＝10，则f （3）＝（ ） A ．﹣26B ．26C ．18D ．10【解答】解：令g （x ）＝x 5+ax 3+bx ，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则f （x ）＝g （x ）﹣8，所以f （﹣3）＝g （﹣3）﹣8＝10，得g （﹣3）＝18，又因为g （x ）是奇函数，即g （3）＝﹣g （﹣3）， 所以g （3）＝﹣18，则f （3）＝g （3）﹣8＝﹣26． 故选：A ．8．设函数f （x ）＝x 3+（a ﹣1）x 2+ax ，若f （x ）为奇函数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或0【解答】解：由奇函数的性质可知，f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立，故﹣x 3+（a ﹣1）x 2﹣ax ＝﹣x 3﹣（a ﹣1）x 2﹣ax ， 整理可得，（a ﹣1）x 2＝0即a ﹣1＝0， 所以a ＝1． 故选：B ．9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m （件）与每件的售价x （元）满足一次函数：m ＝162﹣3x ．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（ ） A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好【解答】解：设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝mx ﹣30m ＝（162﹣3x ）（x ﹣30）＝﹣3x 2+252x ﹣4860＝﹣3（x ﹣42）2+432， 当x ＝42时，y 有最大值，为432，所以若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为42元． 故选：B ．10．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，则f(−112)=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．1【解答】解：由f （x ）＝f （2﹣x ）＝f （﹣x ）， 可可得f （x ）＝f （x +2）即f （x ）为周期为2的函数， 所以f(−112)=f(−112+6)=f(12)=14， 故选：A ．二．多选题（共2小题）11．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）|g （x ）|是奇函数 B ．|f （x ）|g （x ）是奇函数C ．f （x ）g （x ）是偶函数D ．|f （x ）g （x ）|是偶函数【解答】解：因为f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ），f （﹣x ）|g （﹣x ）|＝﹣f （x ）|g （x ）|，故f （x ）|g （x ）|为奇函数，A 正确；|f （﹣x ）|g （﹣x ）＝|﹣f （x ）|g （x ）＝|f （x ）|g （x ），故|f （x ）|g （x ）为偶函数，B 不正确；f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）|，故f（x）g（x）为奇函数，C不正确；|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|，故|f（x）g（x）|为偶函数，D正确；故选：AD．12．已知幂函数y＝xα（α∈R）的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A．函数y＝xα的图象过原点B．函数y＝xα是偶函数C．函数y＝xα是单调减函数D．函数y＝xα的值域为R【解答】解：幂函数y＝xα的图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以幂函数为y＝x3；所以所以幂函数y＝x3的图象过原点，A正确；且幂函数y＝x3是定义域R上的奇函数，B错误；幂函数y＝x3是定义域R上的增函数，C错误；幂函数y＝x3的值域是R，所以D正确．故选：AD．三．填空题（共4小题）13．函数f（x）=√2+x−x2的定义域为[﹣1，2]．【解答】解：要使函数有意义，须满足2+x﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤2，所以函数的定义域为[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝3x2，则f（g（1））＝1．【解答】解：根据题意，g（x）＝3x2，则g（1）＝3，又由f(x)=2x−1，则f（g（1））＝f（3）=23−1=1，故答案为：115．若f（x）是R上单调递减的一次函数，若f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝﹣2x+1．【解答】解：由于f（x）是单调递减的一次函数，故可设f（x）＝kx+b（k＜0），于是f[f（x）]＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b，又f [f （x ）]＝4x ﹣1，∴{k 2=4kb +b =−1，又k ＜0， ∴k ＝﹣2，b ＝1， ∴f （x ）＝﹣2x +1． 故答案为：﹣2x +1．16．已知函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，则f （f （﹣2））＝ −54 ．【解答】解：∵函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，∴f(−2)=2−2=14，∴f(f(−2))=f(14)=3×14−2=−54． 故答案为：−54． 四．解答题（共6小题）17．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1，对任意的实数x 都有f （x +1）﹣f （x ）＝x +1成立．（1）求f （x ）的解析式；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣mx 在[2，4]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1， 即f （0）＝c ＝1，又由f （x +1）﹣f （x ）＝a （x +1）2+b （x +1）+c ﹣（ax 2+bx +c ）＝2ax +a +b ＝x +1， 则有{c =12a =1a +b =1，解可得a ＝b =12，c ＝1，则函数f （x ）的解析式为：f(x)=12x 2+12x +1，（2）由（1）知f(x)=12x 2+12x +1，则g(x)=f(x)−mx =12x 2+(12−m)x +1， 函数g （x ）的对称轴x =m −12，若函数g （x ）在[2，4]上是单调减函数，则有m −12≥4，解可得m ≥92， 即m 的取值范围为{m |m ≥92}． 18．已知函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3．（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，求函数f （x ）的值域．（2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3＝x 2+3x ﹣3=(x +32)2−214，故当x =−32时，函数取得最小值为−214，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f （x ）的值域为[−214，15]． （2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，则1−2a 2≤−1，∴a ≥32，即实数a 的范围为[32，+∞）19．已知函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），当x ≤2时，f （x ）＝﹣x 2+kx +2． （1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）在[2，4]上的最大值．【解答】解：（1）函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），所以函数f （x ）＝f （4﹣x ）． 当x ＞2时，4﹣x ＜2，则f （x ）＝f （4﹣x ）＝﹣（4﹣x ）2+k （4﹣x ）+2＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14， 故函数的关系式为f （x ）={−x 2+kx +2(x ≤2)−x 2+(8−k)x +4k −14(x ＞2)．（2）当x ∈[2，4]时，f （x ）＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14=−(x −8−k 2)2+k 2+84．①当8−k 2≥4时，即k ≤0，所以函数f （x ）在[2，4]上单调递增，则f （x ）max ＝f （4）＝2， ②当8−k 2≤2时，即k ≥4时，函数f （x ）在[2，4]上单调递减，则f （x ）max ＝f （2）＝2k ﹣2．③当2＜8−k 2＜4时，即0＜k ＜4时，f(x)max =f(8−k 2)=k 2+84．所以f(x)max ={2(k ≤0)k 2+84(0＜k ＜4)2k −2(k ≥4)． 20．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在定义域[5，20]内是单调的． （1）求实数k 的取值范围；（2）若f （x ）的最小值为﹣8，求k 的值．【解答】解：（1）由题意，可知f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8的对称轴为x =k8， 而函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8，x ∈[5，20]是单调函数， ∴k8≤5或k8≥20，即k ≤40或k ≥160，∴实数k 的取值范围是（﹣∞，40]∪[160，+∞）；（2）当k ≤40时，由f(x)min =f(5)=4×52−5k −8=−8，解得k ＝20； 当k ≥160时，由f(x)min =f(20)=4×202−20k −8=−8，解得k ＝80（舍去）． 综上，k ＝20．21．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2ax +3． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）当a ＝1时，写出函数y ＝|f （x ）|的单调递增区间（只写结论，不用写解答过程）； （Ⅲ）若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）2+2a （﹣x ）+3＝﹣x 2﹣2ax +3，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（﹣x 2﹣2ax +3）＝x 2+2ax ﹣3， 又由y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，则f(x)={x 2+2ax −3，x ＜00，x =0−x 2+2ax +3，x ＞0；（Ⅱ）a ＝1时，f(x)={x 2+2x −3，x ＜00，x =0−x 2+2x +3，x ＞0；此时y ＝|f （x ）|的单调递增区间为（﹣3，﹣1），（0，1），（3，+∞）； （Ⅲ）根据题意，x ＜0时，f （x ）＝x 2+2ax ﹣3＝（x +a ）2﹣a 2﹣3， 若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，必有﹣a ≥0，解可得a ≤0， 即a 的取值范围为（﹣∞，0]．22．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a +2）x +1﹣b ．（1）若a ＝﹣2，b ＝9，求函数y =f(x)x （x ＜0）的最小值； （2）若b ＝﹣1，解关于x 的不等式f （x ）≥0．【解答】解：（1）若a＝﹣2，b＝9，则y=f(x)x=−2x2−8x=−2x−8x，∵x＜0，∴y＝﹣2x−8x≥2√(−2x)⋅(−8x)=8，当且仅当−2x=−8x，即x＝﹣2时y取得最小值8；（2）若b＝﹣1，则f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝（x﹣1）（ax﹣2）．若a＝0，f（x）≥0化为﹣2x+2≥0，即x≤1；若a≠0，f（x）＝0的两根为1，2a．若a＝2，f（x）≥0化为2（x﹣1）2≥0，x∈R；若0＜a＜2，则1＜2a，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；若a＜0，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为[2a，1]；若a＞2，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．综上，当a＜0时，f（x）≥0的解集为[2a，1]；当a＝0时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]；当0＜a＜2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；当a＝2时，f（x）≥0的解集为R；当a＞2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．。
高中数学第三章函数的概念与性质知识集锦(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质知识集锦单选题1、已知f (x )是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f (2a −3)<f (a −2) ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，4)B ．(1，+∞)C ．(12，52)D ．(1，52)答案：D分析：根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a 的取值范围.∵f (x )是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f (2a −3)<f (a −2)，则{2a −3>a −2−2<a −2<2−2<2a −3<2，解得1<a <52故选：D..2、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ）A ．13B ．3C ．9D ．8 答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B3、定义在区间[−2,2]上的函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ）A ．[−2,−1]B ．[−1,1]C ．[−2,0]D ．[−1,2]答案：B分析：根据函数图象直接确定单调递减区间即可.由题图知：在[−1,1]上f(x)的单调递减，在(−2,−1),(1,2)上f(x)的单调递增，所以f(x)的单调递减区间为[−1,1].故选：B4、已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f(x)=(x−1)2,x≥0B．f(x)=(x−1)2,x≥1C．f(x)=(x+1)2,x≥0D．f(x)=(x+1)2,x≥1答案：B分析：利用凑配法求得f(x)解析式.f(x2+1)=x4=(x2+1)2−2(x2+1)+1，且x2+1≥1，所以f(x)=x2−2x+1=(x−1)2,x≥1.故选：B5、已知函数f(x+1)的定义域为(−1,1)，则f(|x|)的定义域为（）A．(−2,2)B．(−2,0)∪(0,2),0)C．(−1,0)∪(0,1)D．(−12答案：B分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.依题意函数f(x+1)的定义域为(−1,1)，−1<x<1⇒0<x+1<2，所以0<|x|<2，解得−2<x<0或0<x<2，所以f(|x|)的定义域为(−2,0)∪(0,2).故选：B在(2,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）6、已知函数f(x)=ax−1x−aA．(−∞，−1)∪(1，+∞)B．(−1,1)C ．(−∞，−1)∪(1，2]D ．(−∞，−1)∪(1，2)答案：C分析：先用分离常数法得到f(x)=a 2−1x−a +a ，由单调性列不等式组，求出实数a 的取值范围. 解：根据题意，函数f(x)=ax−1x−a =a(x−a)+a 2−1x−a =a 2−1x−a +a ，若f(x)在区间(2,+∞)上单调递减，必有{a 2−1>0a ⩽2， 解可得：a <−1或1<a ⩽2，即a 的取值范围为(−∞，−1)∪(1，2]，故选：C ．7、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且x >1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2，则f(−2021)+f(2022)=（ ）A ．−4B ．4C ．−1D ．1答案：C分析：由已知条件可得x >1时f(x +2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可. 因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且x >1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x >1时f(x +2)=f(x)，因为当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C8、若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有（ ）A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－4答案：D分析：根据f (x )和g (x )都是奇函数，可得函数y =f (x )+g (x )为奇函数，再根据F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，可得函数y =f (x )+g (x )在(0，＋∞)上有最大值6，从而可得函数y =f (x )+g (x )在(－∞，0)上有最小值，即可得出答案.解：因为若f(x)和g(x)都是奇函数，所以函数y=f(x)+g(x)为奇函数，又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，所以函数y=f(x)+g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，所以函数y=f(x)+g(x)在(－∞，0)上有最小值−6，所以在(－∞，0)上F(x)有最小值－4.故选：D.多选题9、下列函数既是偶函数，在(0,+∞)上又是增函数的是（）A．y=x2+1B．y=2x C．y=|x|D．y=|1x−x|答案：AC分析：根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.对A，开口向上，且对称轴为x=0，所以y=x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是增函数，故A正确；对B，y=2x为奇函数，故B错误；对C，y=|x|为偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=x为增函数，故C正确；对D，令f(x)=|1x −x|，f(−x)=|1−x+x|=|1x−x|=f(x)为偶函数，当x∈(0,1)，y=1x−x为减函数，故D错误，故选：AC10、关于直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（）A．不论m为何值时都有交点B．当m>2时，有两个交点C．当m=2时，有一个交点D．当m<2时，没有交点答案：BCD分析：化简函数y=|x|+|2x+4|表达式即为y=|x|+|2x+4|={−3x−4,x<−2x+4,−2≤x≤03x+4,x>0，作出直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象，通过数形结合直接判断即可.由题意得，y=|x|+|2x+4|={−3x−4,x<−2x+4,−2≤x≤03x+4,x>0，作此函数图像如下图折线所示；y=m即平行于x轴的直线，作图像如下图直线所示.对于A，由图可知，当m<2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象无交点，故A错误；对于B，由图可知，当m>2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象有两个交点，故B正确；对于C，由图可知，当m=2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象，有一个交点，故C正确；对于D，由图可知，当m<2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象无交点，故D正确.故选:BCD11、已知函数y=(m−1)x m2−m为幂函数，则该函数为（）A．奇函数B．偶函数C．区间(0,+∞)上的增函数D．区间(0,+∞)上的减函数答案：BC分析：由幂函数的概念可得m的值，根据幂函数的性质可得结果.由y=(m−1)x m2−m为幂函数，得m−1=1，即m=2，则该函数为y=x2，故该函数为偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，故选：BC.12、下列说法不正确的是（ ）A ．函数f (x )=1x 在定义域内是减函数B ．若g (x )是奇函数，则一定有C ．已知函数f (x )={−x 2−ax −5(x ≤1)a x(x >1)在(−∞,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是[−3,−1] D ．若f (x )的定义域为[−2,2]，则f (2x −1)的定义域为[−12,32]答案：ABC分析：A 选项，单调区间不能用∪号连接，即在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)不是单调递减函数，A 错误； B 选项，可举出反例；C 选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；D 选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.函数f (x )=1x 在(−∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，但在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数，故A 不正确； 当g (x )是奇函数时，g (0)可能无意义，比如g (x )=1x ，故B 不正确；因为f (x )是增函数，所以{−a 2≥1a <0−1−a −5≤a，解得−3≤a ≤−2，故C 不正确； 因为f (x )的定义域为[−2,2]，所以−2≤2x −1≤2，解得−12≤x ≤32，即f (2x −1)的定义域为[−12,32]，故D 正确. 故选：ABC.13、已知函数f(x)=x a 的图象经过点(13,3)则（ ） A ．f(x)的图象经过点(3,9)B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)在(0,+∞)上单调递减D ．f(x)在(0,+∞)内的值域为(0,+∞)答案：CD分析：根据函数解析式和图象经过的点求出a =−1，结合选项可得答案.将点(13,3)的坐标代入f(x)=x a ，可得a =−1，则f(x)=1x ,f(x)的图象不经过点(3,9)，A 错误；f(x)在()00g =(0,+∞)上单调递减，C 正确；根据反比例函数的图象与性质可得B 错误，D 正确．故选：CD.填空题14、已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 23 ，则f (-8)的值是____.答案：−4分析：先求f(8)，再根据奇函数求f(−8)f(8)=823=4，因为f(x)为奇函数，所以f(−8)=−f(8)=−4所以答案是：−4小提示：本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.15、已知幂函数f (x )的图象过点(3,13)，则此函数的解析式为______．答案：f(x)=x −1##f(x)=1x分析：设出幂函数f (x )，代入点(3,13)即可求解. 由题意，设f (x )=x α，代入点(3,13)得13=3α，解得α=−1，则f(x)=x −1.所以答案是：f(x)=x −1.16、函数f(x)=x 3+x 53(x ∈R)，若f(m +1)+f(2+m −m 2)>0，则实数m 的范围是____________． 答案：(−1,3)分析：根据解析式可判断f (x )是定义在R 上的奇函数且在R 上单调递增，转化不等式即可求解.∵f(x)=x 3+x 53=x 3+√x 53，∴f (−x )=(−x )3+√(−x)53=−(x 3+√x 53)=−f (x )，∴f (x )是定义在R 上的奇函数，且显然在R 上单调递增，由f(m +1)+f(2+m −m 2)>0可得f(m +1)>−f(2+m −m 2)=f (m 2−m −2)，∴m +1>m 2−m −2，解得−1<m <3.所以答案是：(−1,3).解答题17、已知函数f (x )的定义域为(0,+∞)，且对一切m >0，n >0，都有f (m n )=f (m )−f (n )+2，当x >1时，总有f(x)<2.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)是定义域上的减函数；(3)若f(4)=1，解不等式f(x−2)−f(8−2x)<−1.答案：(1)f(1)=2；(2)证明见解析；(3)(349,4).分析：（1）令m=n=1即可求得结果；（2）设0<x1<x2，由f(x2)−f(x1)=f(x2x1)−2<0即可证得结论；（3）将所求不等式化为f(x−28−2x)<f(4)，结合f(x)单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果. （1）令m=n=1，则f(1)=f(1)−f(1)+2，解得：f(1)=2；（2）设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1)−2，∵x2x1>1，∴f(x2x1)<2，f(x2)−f(x1)<0，∴f(x)是定义域上的减函数；（3）由f(x−2)−f(8−2x)<−1得：f(x−28−2x )−2<−1，即f(x−28−2x)<1，又f(4)=1，∴f(x−28−2x)<f(4)，∵f(x)是定义域上的减函数，∴x−28−2x >4，解得：349<x<4；又{x−2>08−2x>0，∴2<x<4，∴f(x−2)−f(8−2x)<−1的解集为(349,4).小提示：思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.18、某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n年(n∈N∗)花在该台运输车上的维护费用总计为(n2+5n)万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.答案：(1)3年(2)方案①较为合算分析：（1）由25n−49−(n2+5n)≥0，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，25n−49−(n2+5n)n =20−(n+49n)≤6.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，y=25n−49−(n2+5n)=−n2+20n−49=−(n−10)2+51，n=10时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.（1）由题意可得25n−49−(n2+5n)≥0，即n2−20n+49≤0，解得10−√51≤n≤10+√51，∴n≥3，∴该车运输3年开始盈利.；（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，25n−49−(n2+5n)n =20−(n+49n)≤6，当且仅当n=7时，取等号，∴方案①最后的利润为：25×7−49−(49+35)+17=59（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，y=25n−49−(n2+5n)=−n2+20n−49=−(n−10)2+51，∴n=10时，利润最大，∴方案②的利润为51+8=59（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，∴方案①较为合算.。
高考综合复习 专题7 函数的概念与性质专题练习
高考综合复习专题七函数的概念与性质专题练习一.选择题1.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是()A.f(x)=sinxB.f(x)=－C.f(x)=D.f(x)=2.函数，若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.－C.1, －D.1,3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(－∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(－∞,2)B.(2,＋∞)C.(－∞,2)∪(2,＋∞)D.(－2,2)4.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=－1对称,且当x>0时f(x)= ,则当x<－2时,f(x)=()A.－B.C.－D.－5.已知y=f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,－1),则不等式<1的解集为()A.(－1,2)B.(0,3)C.(－∞,－2)D.(－∞,3)6.已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数≠,≠－1, =,.若,则()A.<0B.=0C.0<<1D.≥17.若函数f(x)=(a>0,a≠1)在区间(－,0)内单调递增,则a的取值范围是()A.[－,1)B.[,1)C.(,+∞)D.(1, )8.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)=现有4个命题:①f(x)是周期函数,且周期为2;②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－;③f(x)为偶函数;④f(－2005.5)= .其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二.填空题.1.若函数f(x)= (a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a=.2.已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过点.3.定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于对称.4.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+3)=1－f(x),又当x∈(0,1]时,f(x)=2x,则f(17.5)=.三.解答题.1.设函数f(x)=,求使f(x)≥2的x的取值范围.2.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)－x+12=0有两个实根为=3,=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)< .3.设f(x)是定义在R上的增函数,若不等式f(1－ax－)<f(2－a)对任意x∈[0,1]都成立,求实数a的取值范围.4.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数,满足关系f(+)=f()+f()+2.(1)证明:f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)若x>0,则有f(x)>－2,求证:f(x)在R上为增函数.(3)若数列满足=－,且对任意n∈N﹡有=f(n),试求数列的前n项和.答案与解析:一.选择题.1.选D.分析:这里f(x)为奇函数,由此否定B.C;又f(x)在[-1,1]上单调递减,由此否定A.故应选D.2.选C.分析:注意到这里a的可能取值至多有3个,故运用代值验证的方法.当a=1时,由f(1)+f(a)=2得f(1)=1;由f(x)的表达式得f(1)==1,故a=1是所求的一个解,由此否定B.当a=－时,由f(x)的表达式得f(－)=sin=1,又f(1)=1,故f(1)+f(－)=2,a=－是所求的一个解,由此否定A.D.本题应选C.3.选D.分析:由f(x)在(－∞,0)上是减函数,且f(x)为偶函数得f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(－∞,-2]上递减,在[2,+∞)上递增.又∵f(2)=0, ∴f(-2)=0∴f(x)在(－∞,-2]上总有f(x)≥f(-2)=0,①f(x)在[2,+∞)上总有f(x)≥f(2)=0②∴由①②知使f(x)<0的x的取值范围是(-2,2),应选D.4.选C.分析:由f(x)的图象关于直线x=-1对称得f(x)=f(－2－x)①∴当x<－2时, －2－x>0∴再由已知得f(－2－x)= ②于是由①②得当x<－2时f(x)= ,即f(x)= －.应选C.5.选A.分析:由已知条件得f(0)=1,f(3)=－1,∴(※)又f(x)在R上为减函数.∴由(※)得0<x+1<3－1<x<2故应选A.6.选A.分析:注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值.当=0时, =,=,则,由此否定B,当=1时,= ,f()=f(),则,由此否定D;当0<<1时, 是数轴上以分划定点,所成线段的定比分点(内分点),是数轴上以>1分划上述线段的定比分点(内分点),∴此时又f(x)在R上递减,∴由此否定C.因而应选A.7.选B.分析:令u=g(x)= ,y=f(x)则y=由题意知当x∈(－,0)时,u>0注意到g(0),故u=g(x)在(－,0)上为减函数.①又y=f(x)在(－,0)上为增函数,∴y=在u的相应区间上为减函数.∴0<a<1再由①得u＇＝ｇ＇(x)= 在(－,0)上满足u＇≤0②而u＇=在(－,0)上为减函数,且是R上的连续函数.③∴由②③得u＇(－)≤0∴－a≤0,即a≥④于是由①,④得≤a<1应选B.点评:从复合函数的“分解”切入.利用复合函数的单调性与所“分解”出的内层函数与外层函数的单调性之间的联系(同增异减)初步确定a的取值范围0<a<1.但是,由于u=为x的三次函数, u＇为x的二次函数.故还要从u＇在(－,0)上的符号入手进一步确认a的正确的范围.”粗” 、“细”结合,双方确定所求参数的范围,乃是解决这类问题的基本方略.8.选B.分析:从认知f(x)的性质入手,由f(x)+f(x－1)=1得f(x－1)=1－f(x)(※)∴f(x－2)=1－f(x－1)(※※)∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)∴f(x)为周期函数,且2是f(x)的一个周期.(1)由上述推理可知①正确.(2)当x∈[1,2]时,有x－1∈[0,1].∴由题设得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1)=2x－x,由此可知②正确(3)由已知条件以及结果①、②得,又f()=,∴f()≠f(－)∴f(x)不是偶函数即③不正确;(4)由已知条件与f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)= f()=故④不正确.于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选B.二.填空题.1.答案: .分析:由题设知f(0)=f(4)(a≠0),∴(a≠0)0<=1(a≠0)4a－1=1或4a－1=－1(a≠0)a=即所求a=.2.答案: (0,3)分析:f(3)=－1y=f(x)的图象经过点(3,－1)y=g(x)的图象经过点(－1,3)g(－1)=3g(0－1)=3y=g(x)的图象经过点(0,3).3.答案:直线y=x分析:根据函数的定义,设x为f(x)定义域内的任意一个值,则f(x)为其相应的函数值,即为y,即y= f(x),则有x=( y)①又由已知得f[f(x)]=f(y)= x②∴由①②知f(x)与其反函数(x)为同一函数,∴函数f(x)的图象自身关于直线y=x对称.4.答案:1分析: 从认知f(x)的性质切入已知f(x+3)=1－f(x)①以－x代替①中的x得f(－x+3)=1－f(－x)②又f(x)为偶函数∴f(－x)=f(x)③∴由②③得f(－x+3)=1－f(x)④∴由①④得f(3+x)=f(3－x)f(x)图象关于直线x=3对称f(－x)=f(6+x)∴由③得f(x)=f(6+x)即f(x)是周期函数,且6是f(x)的一个周期.⑤于是由③⑤及另一已知条件得f(17.5)=f(17.5－3×6)=f(－0.5)=f(0.5)=2×0.5=1三.解答题.1.分析:注意到f(x)为复合的指数函数,故考虑令u=,而后利用指数函数的性质将所给不等式转化为关于u的不等式解.解:令u=, y=f(x),则y=2为u的指数函数.∴f(x)≥2≥2≥u≥①∴f(x) ≥≥②(1)当x≥1时,不等式②(x+1)－(x－1) ≥2≥成立.(2)当－1≤x<1时,由②得,(x+1)－(1－x) ≥x≥即≤x<1;(3)当x<－1时,由②得－(x+1)－(1－x) ≥即－2≥不成立.于是综合(1)(2)(3)得所求的x的取值范围为[,1]∪[1,+∞),也就是[,+∞)点评:对于复合函数y=f[p(x)],令u=p(x),将其分解为y=f(u),u=p(x).于是所给问题转化为内层函数u=p(x)的问题或转化为外层函数y=f(u)的问题.这种分解----转化的手法,是解决复合指数函数或复合对数函数的基本策略.2.分析:注意到f(x)为分式函数,故相关方程为分式方程,相关不等式为分式不等式,因此,求解此类问题要坚定地立足于求解分式问题的基本程序:移项,通分,分解因式;化“分”为“整”以及验根等等.解:(1)将=3, =4分别代入方程得由此解得∴f(x)= (x≠2).(2)原不等式<－<0<0<0(x－2)(x－1)(x－k)>0注意到这里k>1,(ⅰ)当1<k<2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);(ⅱ)当k=2时,原不等式(x－2)2(x－1)>0x>1且x≠2.∴原不等式的解集为(1,2)∪(2,+∞);(ⅲ)当k>2时,原不等式的解集为(1,2) ∪(k,+∞);于是综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)得当1<k≤2时,原不等式解集为(1,k)∪(2,+∞);当k>2时,原不等式解集为(1,2) ∪(k,+∞);点评:在这里,运用根轴法求解不等式(x－2)(x－1)(x－k)>0快捷准确.此外,在分式不等式转化为高次不等式后,分类讨论时不可忽略对特殊情形:k=2的讨论;综合结论时需要注意相关情况的合并,以最少情形的结论给出最佳答案.3.分析:所给不等式含有抽象的函数符号f,故首先需要“反用”函数的单调性定义脱去“f”,转化为普通的含参不等式的问题.进而,再根据个人的熟重和爱好选择不同解法.解:∵f(x)是R上的增函数.∴不等式f(1－ax－)<f(2－a) 对任意x∈[0,1]都成立.不等式1－ax－<2－a对任意x∈[0,1]都成立+ax－a+1>0对任意x∈[0,1]都成立①解法一: (向最值问题转化,以对称轴的位置为主线展开讨论.)令g(x)= +ax－a+1,则①式g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立.g(x)在区间[0,1]上的最小值大于0.②注意到g(x)图象的对称轴为x=－(1)当－≤0即a≥0时,由②得g(0)>0－a+1>0a<1,即0≤a<1;(2)当0<－≤1时,即－2≤a<0时,由②得g(－)>01－a－>0+4a－4<0<8当－2≤a<0时,这一不等式也能成立.(3)当－>1即a<－2时.由②得g(1)>02>0即当a<－2时,不等式成立.于是综合(1)(2)(3)得所求实数a的取值范围为[0,1）∪[－2,0]∪(－∞,－2), 即(－∞,1).解法二: (以△的取值为主线展开讨论)对于二次三项式g(x)= +ax－a+1,其判别式△=+4(a－1)=+4a－4△<0<8－－2<a<－2(1)当△<0时,g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立,此时－－2<a<－2;(2)当△≥0时,由g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立得－2≤a<1或a≤－－2.于是由(1)(2)得所求a的取值范围为（－－2,－2）∪[－2,1）∪(－∞, －－2]即(－∞,1).点评:解法一归统为最值问题,以g(x)图象的对称轴的位置为主线展开讨论;解法二直面g(x)>0在x∈[0,1]上成立,以g(x)的判别式△的取值为主线展开讨论,两种解法各有千秋,都解决这类问题的主要策略.以××为主线展开讨论,这是讨论有理有序,不杂不漏的保障.4.分析:为了认知和利用已知条件,从”特取”切入:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2.为利用f(0)=－2,寻觅f(x)的关系式,又在已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2故得f(x)+f(－x)=－4证明(1),由此式展开.对于(2)面对抽象的函数f(x),则只能运用定义;对于(3),这里a n=f(n),a n+1=f(n+1),因此,从已知恒等式入手寻觅{a n}的递推式或通项公式,便称为问题突破的关键.解:(1)证明:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2①又已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2∴f(x)+f(－x)=－4②设M(x,f(x))为y=f(x)的图象上任意一点则由②得③∴由③知点M(x,f(x))与N(－x,f(－x))所成线段MN的中点坐标为(0,－2),∴点M与点N关于定点(0,－2)对称.④注意到点M在y=f(x)图象上的任意性,又点N亦在y=f(x)的图象上,故由④知y=f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)证明:设,为任意实数,且<,则－>0∴由已知得f(－)>－2⑤注意到=(－)+由本题大前提中的恒等式得f()=f[(－)+] =f(－)+ f()+2∴f()－f()=f (－)+2⑥又由⑤知f (－)+2>0,∴由⑥得f()－f()>0,即f()>f().于是由函数的单调性定义知,f(x)在R上为增函数.(3)解:∵a n=f(n),∴a1=f(1)=－,a n+1=f(n+1)又由已知恒等式中令=n, =1得f(n+1)=f(n)+f(1)+2∴a n+1= a n+∴a n+1－a n=(n∈N﹡)由此可知,数列{ a n }是首项为=－,公差为的等差数列.∴=－n+×即=(n2－11n).点评:充分认识与利用已知条件中的恒等式,是本题解题的关键环节. 对于(1)由此导出f(x)+f(－x)=－4;对于(2)由此导出f()=f()+f(－)+2;对于(3)由此导出f(n+1)=f(n)+f(1)+2即a n+1－a n=.。
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函数的概念与性质专题训练
一、选择题：（本大题共12小题， 每小题4分， 共48分）
1、映射f ：X →Y 是定义域到值域的函数， 则下面四个结论中正确的是 A 、Y 中的元素不一定有原象 B 、X 中不同的元素在Y 中有不同的象
C 、Y 可以是空集
D 、以上结论都不对
2、下列各组函数中， 表示同一函数的是 A 、||2x y x y ==与
B 、2lg lg 2x y x y ==与
C 、23)
3)(2(+=--+=
x y x x x y 与
D 、10==y x y 与
3、函数1+=x y 的定义域是
A 、(-∞,+∞)
B 、[-1,+∞ ）
C 、[0,+∞]
D 、(-1,+∞)
4、若函数y f x =()的图象过点(0， 1), 则y f x =+()4的反函数的图象必过点
A 、（4， —1）
B 、（—4， 1）
C 、（1， —4）
D 、（1， 4）
5、函数)10(≠>+=+=a a b ax y b a y x 且与函数的图像有可能是
A B C D
6、函数241x y --=的单调递减区间是
A 、 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,
B 、 ⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞,21
C 、 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-0,21
D 、 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21,0
7、函数f(x)()R x ∈是偶函数， 则下列各点中必在y=f(x)图象上的是
A 、())(,a f a -
B 、())(,a f a --
C 、())(,a f a ---
D 、())(,a f a --
8、如果奇函数f(x)在区间[3， 7]上是增函数且最大值为5， 那么f(x)在区间[－7， －3]上是
A 、增函数且最小值是－5
B 、增函数且最大值是－5
C 、减函数且最大值是－5
D 、减函数且最小值是－5
9、偶函数)(x f y =在区间[0， 4]上单调递减， 则有
A 、)()3
()1(ππ
->>-f f f
B 、)()1()3
(ππ
->->f f f
C 、)3
()1()(π
πf f f >->-
D 、)3
()()1(π
πf f f >->-
10、若函数)(x f 满足)()()(b f a f ab f +=， 且n f m f ==)3(,)2.(， 则)72(f 的值为
A 、n m +
B 、n m 23+
C 、n m 32+
D 、23n m +
11、已知函数)(x f y =为奇函数， 且当0>x 时32)(2+-=x x x f ， 则当0<x 时， )(x f 的解
析式 A 、32)(2-+-=x x x f B 、32)(2---=x x x f
C 、32)(2+-=x x x f
D 、32)(2+--=x x x f
12、某学生离家去学校， 由于怕迟到， 所以一开始就跑步， 等跑累了再走余下的路程。
在下图中
纵轴表示离学校的距离， 横轴表示出发后的时间， 则下图中的四个图象中较符合该学生走法的是
二、填空题：（本大题共4小题， 每小题4分， 共16分）
13、设f(x)=5－g(x)， 且g(x)为奇函数， 已知f （－5）=－5,则f(5)的值为 。
14、函数x y --=1（x ≤1）反函数为 。
A 、
B
C 、
D 、
15、设2
2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩
≤≥， 若()3f x =， 则x = 。
16、对于定义在R 上的函数f(x)， 若实数0x 满足f(0x )=0x ， 则称0x 是函数f(x)的一个不动点.若函
数f(x)=12++ax x 没有不动点， 则实数a 的取值范围是 。
三、解答题：（本大题共4小题， 共36分）
17、试判断函数x
x x f 2
)(+=在[2， +∞）上的单调性．
18、函数)(x f y =在（－1， 1）上是减函数，
且为奇函数， 满足0)2()1(2>-+--a f a a f ， 试a 求的范围．
19、如图， 长为20m 的铁丝网， 一边靠墙， 围成三个大小相等、紧紧相连的长方形， 那么长方形
长、宽、各为多少时， 三个长方形的面积和最大？
20、给出函数2
()log (0,1)2
a
x f x a a x +=>≠-． （1） 求函数的定义域； （2） 判断函数的奇偶性； （3） 求)(1
x f -的解析式．
数学参考答案
一、选择题：1—12： DABCC CAAAB BB
二、填空题：13. 15 14. )0(12
≤-=x x y 15 .
3 16. )3,1(-
三、解答题：
17.解：设+∞<<≤212x x ， 则有
=-)()(21x f x f )2(22211x x x x +-+
=)22()(2
121x x x x -+- =)22(
)(211
221x x x x x x ⋅-+-=)21)((2
121x x x x ⋅-- =)2
)(
(2
12121x x x x x x ⋅--．
Θ
+∞<<≤212x x ， 021<-x x 且0221>-x x ， 021>x x ，
所以0)()(21<-x f x f ， 即)()(21x f x f <． 所以函数)(x f y =在区间[2， +∞)上单调递增．
18.解：由题意， 0)2()1(2>-+--a f a a f ， 即)2()1(2-->--a f a a f ，
而又函数)(x f y =为奇函数， 所以)2()1(2
a f a a f ->--．
又函数)(x f y =在（-1， 1）上是减函数， 有
⎪⎩⎪
⎨⎧-<--<-<-<--<-a a a a a a 2112111122⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<<<<<-⇒3
3312
101a a a a 或31<<⇒a ．
所以， a 的取值范围是)31(，． 20. .解：（1）由题意，
02
2
>-+x x 解得：22>-<x x 或， 所以， 函数定义域为}22|{>-<x x x 或． （2）由（1）可知定义域关于原点对称， 则
22log )(--+-=-x x x f a
=22log +-x x a =1
)22(log --+x x a
=2
2
log -+-x x a =)(x f -．
所以函数)(x f y =为奇函数．
（3）设22log -+=x x y a ， 有y
a x x =-+22， 解得122-+=y y a a x ，
所以1
2
2)(1
-+=-x
x a a x f ， {|1,}x x x x ∈≠∈R ． 19..解：设长方形长为x m ， 则宽为3420x - m ， 所以， 总面积3
4203x
x s -⋅==x x 2042+- =25)25(42+--x ．所以， 当2
5
=x 时， 总面积最大， 为25m 2，
此时， 长方形长为2.5 m ， 宽为3
10
m ．。