线性空间-知识点及其注释

第五章 线性空间-知识点及其注释 知识点：n维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。

#n维数组向量#简称为n维向量，是指由数域F中n个数naaa,,,21

组成

的n元有序数组，常记为12(,,,)Tnaaa或),,,(21naaa，又称为n元（数组）向量。由数域F上所有n维数组向量所构成的线性空间称为n维（元）（数组）向量空间，记为nF。 #线性组合#表达式1122sskkk称为向量组s,,,21

的系数分别

为12,,,()skkkF的线性组合，skkk,,,21

称为线性组合系数。

#线性表示#向量可由向量组s,,,21

线性表示(出)是指存在数域

F

中的数skkk,,,21,使1122sskkk。 向量组s,,,21可由向量组12,,,t线性表示是指每个i

（1,2,...,is）都可由向量组12,,,t线性表示。显然，向量组的线性表示具有传递性。 在nF中，向量可由向量组s,,,21

线性表示线性方程组

1122ssxxx有解 1212(,,,,)(,,,)ssrankrank。 #向量组等价#向量组s,,,21与向量组12,,,t等价是指向量组

s,,,21与向量组12,,,t可以相互线性表示。显然，向量组等价是

等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。 若矩阵Ａ经过有限次行初等变换成为Ｂ，则Ａ与Ｂ的行向量组等价。 #线性相关#向量组s,,,21

线性相关是指存在数域F中不全为零的数

skkk,,,21,使02211sskkk；否则称为线性无关。 对一个向量，线性相关即为零向量，线性无关即为非零向量；

12,,,(2)ss线性相关当且仅当其中一个可以有其余s－1个线性表示。若向量组s,,,21线性无关，而12,,,,s线性相关，则可由向量组

s,,,21唯一地线性表示。 若向量组s,,,21线性相关，则12,,,,s线性相关；若向量组

12,,,,s线性无关，则s,,,21

线性无关。

在nF中，向量组s,,,21

线性相关齐次线性方程组

11220ssxxx有非零解12(,,,)sranks；向量组s,,,21

线性无关齐次线性方程组11220ssxxx只有零解12(,,,)sranks；当sn时，s,,,

21

一定线性相关。

设12(,,...,)TniiiinaaaF，121(,,...,)iiiininaaaa，，1,2,...,is；那么，

s,,,21线性无关

12,,,s线性无关；12,,,s

线性相关

s,,,21

线性相关。

若矩阵Ａ经过有限次行初等变换成为Ｂ，则Ａ的列向量组s,,,21

与Ｂ的列向量组12,,,s具有完全相同的线性关系，即

1122112200sssskkkkkk，其中12,,,()skkkF；从而

s,,,21线性相（无）关

12,,,s

线性相（无）关；12,,,riii是

s,,,21的极大无关组

12,,,riii

是12,,,s的极大无关组。

若向量组s,,,21可由向量组12,,,t线性表示,且s>t，则 s,,,21线性相关；若向量组s,,,21可由向量组12,,,t线性表示,

且s,,,21线性无关，则st；向量组s,,,21与向量组12,,,t等价,且都线性无关，则s=t。 #极大线性无关向量组#简称极大无关组，是指向量组(A)的一个部分向量组12,,...,r,其本身线性无关,但从(A)中任意添加一个向量(如果还有的话)

1r,则121,,...,,rr都线性相关。一个向量组与其任一极大无关组等价；一个向量组的任意两个极大无关组等价，从而所含向量的个数相等。 #秩#向量组(A)的秩是指其任一极大无关组所含向量的个数;记为rank(A)。矩阵的行（向量组的）秩，等于其列（向量组的）秩，也等于其秩（最高阶非零子式的阶）。 #线性空间#又称向量空间,是指数域F上一非空集合V,连同其中定义的两个满足以下八条法则的运算(分别称为加法和数乘, 记为+和，统称为线性运算)，记为()VF，其中的元素称为向量：； ()()； V中存在零元素，即对V中任一元素，有；V中每个元素都有负元,即()；1

；

()()klkl；()klkl；()kkk，其中,,,,VklF。 #子空间#是指线性空间V的一非空子集W，其对V的加法和数乘封闭，即满足对,,WkF，有,kW；其本身也是线性空间。 #生成子空间#由向量组s,,,21

生成的子空间是指由向量组

s,,,21的所有线性组合所构成的子空间； s,,,21称为其生成元。生成的子空间必是子空间；反之，子空间必是其任一极大无关组（基） 生成的生成子空间。 #基#是指线性空间V中的任一组极大无关组，如12,,...,n；即其本身线性无关,但从V中任意加一个向量1n,则121,,...,,nn都线性相关。 线性代数只讨论基为有限个向量的线性空间，即有限维线性空间。 有限维线性空间V中的任一线性无关向量组都可以扩充为V的一组基。 #维数#是指线性空间V的任一组基所含向量的个数；记为dimV。

12,,,neee是nF的一组基，从而ndimFn。 #坐标#在线性空间V中，用一组基12,,,n（线性）表示一个向量：

1122nnaaa的（有序）系数组12(,,,)Tnaaa或12(,,,)naaa称为在基12,,,n下的坐标；其中ia称为的第i个坐标或分量。 #基变换#是指用线性空间V的一组基（旧基）12,,,n（线性）表示

其另一组基（新基）'''12,,,n的变换（公式）'11112121'21212222'1122nn

nn

nnnnnn

aaaaaaaaa





即1112121222'''121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa

或简记为'''1212(,,,)(,,,)nnT。其中111212122212nnnnnnaaaaaaTaaa 称为从（旧）基12,,,n到（新）基'''12,,,n的过渡矩阵；它可逆，于是又有'''11212(,,,)(,,,)nnT，它是从（新）基'''

12,,,n

到（旧）基12,,,n的变换（公式）。 #坐标变换#是指在线性空间V中，用一个向量在V的一组基（旧基） 12,,,n下的坐标（旧坐标）X表示其在另一组基（新基）'''

12,,,n

下的坐标（新坐标）Y的变换（公式）1YTX,其中T为从（旧）基12,,,n到（新）基'''12,,,n的过渡矩阵, 即'''1212(,,,)(,,,)nnT。此时又有XTY,它是从的（新）

坐标Y到其（旧）坐标X的变换（公式）。 #交子空间#是指线性空间V的两个线性子空间12,VV的交集合

121{|VVV且2}V所构成的线性子空间。 #和子空间#是指线性空间V的两个线性子空间12,VV的和集合12121122|,VVVV所构成的线性子空间。

维数公式：121212()()dimVdimVdimVVdimVV。 #直和#子空间的直和是指线性空间V的两个交子空间为零子空间的子空间12,VV的和子空间，记为12VV；此时称1V为2V的补子空间，2V为

1V的补子空间。 #同构#是指两个线性空间之间的保持线性运算的双射。 两个有限维线性空间同构它们等维（维数相等）；V是数域F上的n维线性空间V同构于nF。 #解空间#齐次线性方程组AX=O的解空间是指其所有解构成的子空间。n元齐次线性方程组AX=O的解空间为nF的n-r维子空间，其中r=rank(A)。 #基础解系#齐次线性方程组AX=O的基础解系是指其解空间的任一组基。 若rank(A)=r，且PAQ=diag{Ir , O},其中P, Q为可逆方阵，则Q的后n-r列nr,,1即为AX=O的一组基础解系。 #特解#非齐次线性方程组AX=b的任一特定的解称为其特解。