2012海珠区九上期末数学
东莞市2012-2013学年九年级上期末数学试卷及答案解析
2．（3 分）（2012•定结县模拟）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A
B．
C．
D
．
．
考点： 最简二次根式． 分析： 找到被开方数中含有开得尽方的因数的式子即可． 解答： 解：各选项中只有选项 C、 =2 ，不是最简二次根式，故选 C． 点评： 最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
两个根．
广东省东莞市 2012-2013 学年九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．（3 分）（2013•怀柔区二模）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A
B．
C．
D
．
．
考点： 中心对称图形；轴对称图形． 专题： 常规题型． 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选 C． 点评： 本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关 键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重 合．
3．（3 分）方程 x（x+1）=0 的根为（ ）
A0
B．﹣ 1
．
C．0，﹣ 1
D 0，1 ．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解． 专题： 因式分解． 分析： 两个因式的积为 0，这两个因式可以分别为 0，求出方程的两个根． 解答： 解：x（x+1）=0
2022-2023学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2022-2023学年广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．圆C．矩形D．平行四边形2．（3分）抛物线y＝2（x﹣4）2+3顶点坐标是（）A．（4，3）B．（﹣4，3）C．（4，﹣3）D．（3，4）3．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．太阳从东方升起B．汽车累计行驶1万千米，从未出现故障C．姚明在罚球线上投篮一次，投中D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯4．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．25．（3分）已知反比例函数图象经过点（﹣2，3）当y＜3时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x＜﹣2或x＞0C．x＞﹣2D．x＞06．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），BC＝3，则EF的长为（）A．2B．4.5C．4D．67．（3分）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC 等于（）A．120°B．125°C．130°D．145°8．（3分）如图，点D、E分别在AC、AB上，∠AED＝∠C，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为（）A．1：4B．3：4C．2：3D．1：29．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，∠BCM＝30°，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（）A．4﹣4B．2﹣2C．2D．210．（3分）如图，在⊙O中，AE是直径，连接BE，若AB＝8，OC⊥AB于点D，CD＝2，则BE的长是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是．12．（3分）圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为．13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，y1），（0，y2），则y1y2（填“＞”“＜”或“＝”）14．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，则这栋楼的高度为m．15．（3分）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，2）为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为．16．（3分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE•AB．其中正确结论的序号是．三．解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）解方程：（2x﹣1）2＝4．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（﹣1，0）．（1）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，﹣1），请在平面直角坐标系中画出△ABC 关于点P成中心对称的新图形△A1B1C1．（2）请直接写出以O为位似中心，△A2B2C2与△ABC位似比为2：1时顶点A2的坐标．19．（6分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．（1）求k的值；（2）求AB所在直线的解析式．20．（6分）“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程（依次记为A，B，C，D）．若该校小慧和小丽随机选择一个板块课程．（1）小慧选科普活动课程的概率是；（2）用画树状图或列表的方法，求小慧和小丽选同一个板块课程的概率．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为点E．（1）若⊙O的半径为，AC＝5，求BN的长；（2）求证：NE是⊙O的切线．23．（10分）某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为y （人）．（1）求y与x（x＞20）的函数关系式；（2）已知景点每日的接待成本为z（元），z与y满足函数关系式是z＝100+10y．求景点的门票价格为多少元时，每日获取的利润为7900元？（利润＝门票收入﹣接待成本）24．（12分）如图，正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D．（1）如图1，连接AG和CE，直接写出AG和CE的数量及位置关系；（2）如图2，连接AE，M为AE中点，连接DM、CG，探究DM、CG的数量及位置关系，并说明理由；25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC下方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的横坐标及的最大值．2022-2023学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，A不合题意；圆是中心对称图形，也是轴对称图形，B不合题意；矩形是中心对称图形，是轴对称图形，C不合题意；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，D符合题意，故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵抛物线顶点式解析式为：y＝2（x﹣4）2+3，∴顶点坐标为（4，3），故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．3．【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的意义判断即可．【解答】解：A．太阳从东方升起，这是必然事件，故A符合题意；B．汽车累计行驶1万千米，从未出现故障，这是随机事件，故B不符合题意；C．姚明在罚球线上投篮一次，投中，这是随机事件，故C不符合题意；D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，这是随机事件，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握必然事件，随机事件，不可能事件的意义是解题的关键．4．【分析】把x＝1代入方程x2+mx＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx＝0得：1+m＝0，解得：m＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．5．【分析】把（﹣2，3）代入y＝中求出k的值，得到反比例函数解析式为y＝﹣，再计算出y＝3对应的自变量的值，然后根据反比例函数的性质求解．【解答】解：把（﹣2，3）代入y＝得k＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，把y＝3代入y＝﹣，得3＝﹣，解得x＝﹣2，∴当y＜3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．6．【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算得到答案．【解答】解：∵A（﹣2，0），D（3，0），∴OA＝2，OD＝3，∴OA：OD＝2：3，∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△DEF，∴BC：EF＝OA：OD＝2：3，∵BC＝3，∴EF＝4.5，故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．7．【分析】根据翻折变换得出AC垂直平分OQ，AQ＝AO，求出△AQO是等边三角形，求出∠AOQ＝60°，再根据等腰三角形的性质得出∠COQ＝∠AOQ，再求出答案即可．【解答】解：O关于直线AC的对称点是Q，连接OQ，交AC于M，则AC垂直平分OQ，即AQ＝AO，OM⊥AC，∵OQ＝OA，∴OQ＝AQ＝OA，∴△AQO是等边三角形，∴∠AOQ＝60°，∵OQ⊥AC，OA＝OC，∴∠COQ＝∠AOQ＝60°，∴∠AOC＝60°+60°＝120°，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换，垂径定理，等边三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记翻折变换的性质是解此题的关键．8．【分析】利用两角相等的两个三角形相似可得△AED∽△ACB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵∠AED＝∠C，∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∵BC＝2DE，∴＝（）2＝（）2＝，∴S四边形BEDC：S△ABC＝3：4，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．【分析】如图，连接BD，在BD上截取BG，使得BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H．证明△CBE≌△GBF（SAS），推出∠BCE＝∠BGF＝30°，推出点F在直线GF上运动，当点F与H重合时，DF的值最小，作出DH即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD，在BD上截取BG，使得BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD＝45°，CD＝CB＝4，∠DCB＝90°，∴BD＝4，BG＝BC＝4，∴DG＝BD﹣BG＝4﹣4，∵∠CBG＝∠EBF＝45°，∴∠CBE＝∠GBF，在△CBE和△GBF中，，∴△CBE≌△GBF（SAS），∴∠BCE＝∠BGF＝30°，∴点F在直线GF上运动，当点F与H重合时，DF的值最小，∵DH⊥FH，∠DGH＝∠BGF＝30°∴DH＝DG＝2﹣2，∴DF的最小值为2﹣2，故选：B．【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．【分析】利用垂径定理先求出AD，再利用勾股定理在Rt△ADO中求出圆的半径，最后在Rt△ADO中利用勾股定理求出BE的长．【解答】解：∵OC是⊙O的半径，OC⊥AB，∴AD＝AB＝4．在Rt△ADO中，设OC＝OA＝x，则OD＝x﹣2．由勾股定理，得x2﹣（x﹣2）2＝42，解得x＝5，即OA＝5．∴AE＝2×OA＝10．∵AE是直径，∴∠B＝90°．在Rt△ADO中，∴BE＝＝＝6．故选：B．【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，掌握圆周角定理、垂径定理及勾股定理是解决本题的关键．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．12．【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×6＝12π，故答案为：12π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．13．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝1，可知离对称轴的距离越大，函数值越大．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵该函数经过点（﹣1，y1），（0，y2），|﹣1﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴＝，解得h＝24．故答案为：24．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．15．【分析】根据题意，点（﹣3，2）到y轴的距离为3，而圆的半径为3，则点（﹣3，2）到y轴的距离等于圆的半径，可判断圆与y轴的位置关系是相切．【解答】解：∵点（﹣3，2）到y轴的距离为3，且以点（﹣3，2）为圆心的圆的半径为3，∴点（﹣3，2）到y轴的距离等于圆的半径，∴该圆与y轴的位置关系是相切，故答案为：相切．【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，正确理解和掌握根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断圆与直线的位置关系的方法是解题的关键．16．【分析】①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD＝∠ADO 即可；②过点E作EF⊥AC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE＝EF，再根据直角三角形斜边大于直角边可证；③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE∽△ADO；④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD＝45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE＝45°，再求证△CED∽△CDO，利用其对应变成比例即可得出结论．【解答】解：①∵AB是半圆直径，∴AO＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD＝∠DAO＝∠CAB，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∴①正确．②过点E作EF⊥AC，∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴OE＝EF，在Rt△EFC中，CE＞EF，∴CE＞OE，∴②错误．③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO＝∠EDO，∵∠COD＝2∠CAD＝2∠OAD，∴∠DOE≠∠DAO，∴不能证明△ODE和△ADO相似，∴③错误；④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD＝×45°＝22.5°，∴∠COD＝45°，∵AB是半圆直径，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°∵∠CAD＝∠ADO＝22.5°（已证），∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ADO＝67.5°﹣22.5°＝45°，∴△CED∽△CDO，∴＝，∴CD2＝OC•CE＝AB•CE，∴2CD2＝CE•AB．∴④正确．综上所述，只有①④正确．故答案为：①④．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．三．解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】根据平方根的定义先求出2x﹣1＝±2，再分别求出x的值即可．【解答】解：∵（2x﹣1）2＝4，∴2x﹣1＝±2，∴2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣2，∴x1＝，x2＝﹣．【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．18．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点即可；（2）利用△A2B2C2与△ABC位似比为2：1写出顶点A2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）利用△A2B2C2与△ABC位似比为2：1，∴A2（4，﹣4）或（﹣4，4）．故答案为：（4，﹣4）或（﹣4，4）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19．【分析】（1）先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，通过证得△BCE≌△CAD，求得B（﹣3，3），然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a），∴a＝1，∴A（1，1），∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝1×1＝1；（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，∵A（1，1），C（﹣2，0），∴AD＝1，CD＝3，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴CE＝AD＝1，BE＝CD＝3，∴B（﹣3，3），设直线AB的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣+．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，求得B的坐标是解题的关键．20．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）小慧选科普活动课程的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，∴小慧和小丽选同一个板块课程的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整体代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．22．【分析】（1）由直角三角形的性质可求AB，由勾股定理可求BC，由等腰三角形的性质可得BN＝6；（2）欲证明NE为⊙O的切线，只要证明ON⊥NE．【解答】解：（1）连接DN，ON，∵⊙O的半径为，∴CD＝，∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD＝．∴AB＝13，∴BC＝＝12，∵CD为直径，∴∠CND＝90°，且BD＝CD．∴BN＝NC＝6．（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB＝AB．∴∠BCD＝∠B，∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC．∴∠ONC＝∠B．∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE．∴NE为⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人，可得y与x的函数关系式；（2）根据利润＝门票收入﹣接待成本，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）根据题意得：y＝500﹣×50＝﹣10x+700，∴y与x（x＞20）的函数关系式为y＝﹣10x+700；（2）∵z＝100+10y＝100+10（﹣10x+700）＝﹣100x+7100，∴x（﹣10x+700）﹣（﹣100x+7100）＝7900，解得x＝50或x＝30，∴景点的门票价格为50元或30元时，每日获取的利润为7900元，【点评】本题考查了一次函数，一元二次方程的应用，读懂题意，列出一次函数解析式是解题关键．24．【分析】（1）如图1，证明△ADG≌△CDE（SAS），可得：AG＝CE，并根据旋转的角度可知：AG⊥CE；（2）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接EH，则CD＝DH，证明△DGC≌△DEH （SAS），得CG＝EH，根据三角形的中位线定理得DM∥EH，DM＝EH，最后由旋转的性质可得结论．【解答】解：（1）AG＝CE且AG⊥CE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠ADC＝∠GDE＝90°，AD＝CD，DG＝DE，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∵∠ADC＝∠GDE＝90°，由旋转可知：AG⊥CE；故AG＝CE且AG⊥CE；（2）DM、CG的关系是：DM＝CG，且DM⊥CG，理由如下：如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接EH，∵∠GDE＝∠CDH＝90°，∴∠GDE﹣∠CDE＝∠CDH﹣∠CDE，即∠CDG＝∠HDE，∵CD＝DH，GD＝DE，∴△DGC≌△DEH（SAS），∴CG＝EH，∵M是AE的中点，AD＝DH，∴DM是△AEH的中位线，∴DM∥EH，DM＝EH，∴DM＝CG，∵∠GDE＝∠CDH＝90°，∴△DGC绕点逆时针旋转90°到△DEH，∴CG⊥EH，∴DM⊥CG．∴DM、CG的关系是：DM＝CG，且DM⊥CG．【点评】本题是几何变换综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．25．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）由△PBC面积＝S△PHB+S△PHC＝PH×BO，即可求解；（3）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF ∥AE，可得，即可求解．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得：，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）设直线l交BC于点H，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，解得：，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则H（t，t﹣3），则△PBC面积＝S△PHB+S△PHC＝PH×BO＝3（t﹣3﹣t2+t+3）＝﹣t2+t，∵＜0，故△PBC面积有最大值，当t＝3时，△PBC面积有最大值，此时点P（3，﹣）；（3）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝﹣（t﹣3）2+≤，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣），即点P的横坐标为3，有最大值．【点评】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．。
2018-2019学年广东省广州市海珠区九年级(上)期末数学试卷--附答案解析
那么m 的取值范围是 m <1 ．
【考点】 AA：根的判别式
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△= b2 − 4ac > 0 ，建立关于m 的不等
第 6 页（共 24 页）
式，求出m 的取值范围． 【解答】解：Q方程有两个不相等的实数根， a =1，b = −2，c = m △ ， ∴ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 ×1× m > 0 解得 m <1． 【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△> 0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； （2）△= 0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； （3）△< 0 ⇔ 方程没有实数根．
14．（3 分）（2018 秋•海珠区期末）如图已知二次函数 y1 = x2 + c 与一次函数 y2 = x + c 的图 象如图所示，则当 y1 < y2 时 x 的取值范围 0 < x <1 ．
第 7 页（共 24 页）
【考点】 HC ：二次函数与不等式（组) 【专题】1：常规题型 【分析】首先将两函数解析式联立得出其交点横坐标，进而得出当 y1 < y2 时 x 的取值范围． 【解答】解：由题意可得： x2 + c = x + c ， 解得： ， ， x1 = 0 x2 = 1 则当 y1 < y2 时 x 的取值范围： 0 < x < 1． 故答案为：0 < x <1． 【点评】此题主要考查了二次函数与不等式（组 ) ，正确得出两函数的交点横坐标是解题关
． ∽ ． A ∆ABC ∆ADE B DE / /BC
．C DE : BC = 1: 2
．D S∆ABC = 9S∆ADE
九年级(上)期末数学试卷含答解析
九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=23．如图，是某几何体的俯视图，该几何体可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球D．正方体4．如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）A．B．C．D．5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C．D．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（）A．πB．πC．πD．π7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞48．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对9．一次函数y=﹣x+a﹣3（a为常数）与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（）A．0 B．﹣3 C．3 D．410．已知抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD 的长为（）A． B． C． D．7二、填空题11．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b=．12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的表达式是．13．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为m（结果保留根号）．14．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD 的长为．15．如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k=．16．由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是．三、解答题17．（2015秋•江门校级期末）已知α，β均为锐角，且满足，求α+β的值．18．（2013•海珠区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=，BC=6，求切线BD的长．19．（2015秋•江门校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0．（1）若该方程无解，求a的取值范围；（2）当a=1时，求该方程的解．20．（2015秋•江门校级期末）如图，在山顶上有一座电视塔，在塔顶B处，测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得的俯角β=45°，已知BC=60m，求山高CD（精确到1m，≈1.732）21．（2009•陕西）甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．22．（2015秋•江门校级期末）如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积为2，（1）求该反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．四、解答题23．（2015•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，（1）画出△AB′C′；（2）写出点B′，C′的坐标；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．24．（2015•滕州市校级模拟）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．25．（2015秋•滦县期末）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．参考答案与试题解析一、选择题1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．【解答】解：∵A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；C．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；D．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；故选D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．3．如图，是某几何体的俯视图，该几何体可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球D．正方体【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据几何体的俯视图是从上面看，所得到的图形分别写出各个几何体的俯视图判断即可．【解答】解：圆柱的俯视图是圆，A错误；圆锥的俯视图是圆，且中心由一个实点，B正确；球的俯视图是圆，C错误；正方体的俯视图是正方形，D错误．故选：B．【点评】本题考查了三视图的概念，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键．4．如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】利用指针落在阴影区域内的概率是：，分别求出概率比较即可．【解答】解：A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：=；B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：=；C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，∵＞＞＞，∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：．故选：A．【点评】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】压轴题；网格型．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（）A．πB．πC．πD．π【考点】弧长的计算；圆周角定理．【分析】根据圆周角得出圆心角为90°，再利用弧长公式计算即可．【解答】解：因为⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，所以可得圆心角∠BOC=90°，所以的长==π，故选B．【点评】此题考查弧长公式，关键是根据圆周角得出圆心角为90°．7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可．【解答】解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键．8．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．9．一次函数y=﹣x+a﹣3（a为常数）与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（）A．0 B．﹣3 C．3 D．4【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标．【专题】计算题；压轴题．【分析】设A（t，﹣），根据关于原点对称的点的坐标特征得B（﹣t，），然后把A（t，﹣），B（﹣t，）分别代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3，=t+a﹣3，两式相加消去t得2a﹣6=0，再解关于a的一次方程即可．【解答】解：设A（t，﹣），∵A、B两点关于原点对称，∴B（﹣t，），把A（t，﹣），B（﹣t，）分别代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3，=t+a﹣3，两式相加得2a﹣6=0，∴a=3．故选C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．10．已知抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD 的长为（）A． B． C． D．7【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据y=﹣x2+4x+5可以求得此抛物线与x轴的交点A和点B的坐标，与y轴交点C的坐标，从而可以求得点D的坐标，进而可以求得CD的长．【解答】解：∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1），∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．又∵D为AB的中点，∴点D的坐标为（1，0）．∴CD==．故选：C．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标，此题利用抛物线的三种形式间的相互转换得到点A、B的坐标，求出线段AB中点D的坐标是解决问题的关键．二、填空题11．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b=．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴a b=2﹣1=．故答案为：．【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的表达式是y=x2+2x+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【解答】解：抛物线y=x2+2x﹣1向上平移3个单位得到y=x2+2x﹣1+3=x2+2x+2．故答案为y=x2+2x+2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为10m（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．【解答】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC=30°，∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．∴楼的高度AC为10米．故答案为：10．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．14．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD 的长为4．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．15．如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k=﹣4．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式；【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0），∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，∴OD=OB=2，BD=OB•sin60°=4×=2，∴B（﹣2，2），∴k=﹣2×2=﹣4；故答案为﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中．16．由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是5．【考点】由三视图判断几何体．【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．所以图中的小正方体最多5块．故答案为：5．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．三、解答题17．（2015秋•江门校级期末）已知α，β均为锐角，且满足，求α+β的值．【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：由题意得，sinα=0，tanβ﹣1=0，则sinα=，tanβ=1，解得α=30°，β=45°，则α+β=75°．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值、掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．18．（2013•海珠区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=，BC=6，求切线BD的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）如图，连接OD，欲证明直线BD与⊙O相切，只需证明OD⊥BD即可；（2）连接DE．利用圆周角定理和三角形中位线定理易求DE的长度，而AD：AE=，在直角△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的长度；最后利用切割线定理来求切线BD的长度．【解答】（1）证明：∵OA=OD，∴∠A=∠ADO（等边对等角）．又∵∠A+∠CDB=90°（已知），∴∠ADO+∠CDB=90°（等量代换），∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，即BD⊥OD．又∵OD是圆O的半径．∴BD是⊙O切线；（2）解：连接DE，则∠ADE=90°（圆周角定理）．∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C，∴DE∥BC，又∵D是AC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=3，AE=BE．∵AD：AE=，在直角△ADE中，利用勾股定理求得AE=3，则AB=6．∴BD2=AB•BE=6×3=54，∴BD=3．【点评】本题主要考查了切线的判定与性质．其中要证某直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．19．（2015秋•江门校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0．（1）若该方程无解，求a的取值范围；（2）当a=1时，求该方程的解．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围；（2）把a=1代入，原方程化为x2+2x﹣1=0，根据公式法即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，∴a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，解得a＜﹣1，∴a的取值范围是a＜﹣1；（2）当a=1时，原方程化为x2+2x﹣1=0，∴x==﹣1，∴该方程的解为：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．20．（2015秋•江门校级期末）如图，在山顶上有一座电视塔，在塔顶B处，测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得的俯角β=45°，已知BC=60m，求山高CD（精确到1m，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△DBA、△ADC，应利用其公共边AD构造等量关系，借助BC=DB﹣DC构造方程关系式，进而可求出答案．【解答】解：设山高CD=x（米），∵∠CAD=∠β=45°，∠BAD=∠α=60°，∠ADB=90°，∴AD=CD=x，BD=AD•tan60°=x．∵BD﹣CD=BC=60，∴x﹣x=60．∴x==30（+1）．∴CD=30×（1.732+1）≈82（米）．答：山高CD约为82米．【点评】本题考查了学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（2009•陕西）甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．【考点】游戏公平性．【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．【解答】解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：3 4 5 6第二次第一次3 33 34 35 364 43 44 45 465 53 54 55 566 63 64 65 66表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．（5分）∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=．（7分）∵，∴这个游戏不公平．（8分）【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（2015秋•江门校级期末）如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积为2，（1）求该反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）由S△AOC=xy=2，设反比例函数的解析式y=，则k=xy=4；（2）连接AB，过点B作BE⊥x轴，交x轴于E点，通过分割面积法S△AOB=S△AOC+S梯形﹣S△BOE 求得．【解答】解：（1）∵S△AOC=2，∴k=2S△AOC=4；∴y=；（2）连接AB，过点B作BE⊥x轴，S△AOC=S△BOE=2，∴A（a，），B（2a，）；S梯形ACEB=（+）×（2a﹣a）=3，∴S△AOB=S△AOC+S梯形ACEB﹣S△BOE=3．【点评】此题重点考查了函数性质的应用和图形的分割转化思想．同学们要熟练掌握这类题型．四、解答题23．（2015•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，（1）画出△AB′C′；（2）写出点B′，C′的坐标；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．【分析】（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，然后根据网格结构找出点B、C的对应点B′，C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据图形即可得出点A的坐标；（3）利用AC的长，然后根据弧长公式进行计算即可求出点B转动到点B′所经过的路程．【解答】解：（1）△AB′C′如图所示；（2）点B′的坐标为（3，2），点C′的坐标为（3，5）；（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长，∵AC=4，∴弧长为：==2π，即点C经过的路径长为2π．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．24．（2015•滕州市校级模拟）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；（2）分别得出AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得：b=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．y=（x﹣）2﹣，∴顶点D的坐标为：（，﹣）；（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0），∴OA=1，OB=4，AB=5．∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）如图所示：连接AM，点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，设直线BC解析式为：y=kx+d，则，解得：，故直线BC的解析式为：y=x﹣2，当x=时，y=﹣，∴M（，﹣），△ACM最小周长是：AC+AM+MC=AC+BC=+2=3．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最短路线和勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．25．（2015秋•滦县期末）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=6，根据勾股定理可得DE=8，由题可得DC=DE=8，则有BC=10﹣8=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t 的值．【解答】（1）证明：如图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=10，AB=12，∴AE=BE=6∴DE==8，∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=8，∴BC=10﹣8=2，∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，又∵AP=t，BP=12﹣t，∴t（12﹣t）=10×2，∴t=2或t=10，∴t的值为2秒或10秒．【点评】本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．。
2021.1海珠区九年级上期末数学
海珠区2013学年第一学期期末调研测试九年级数学试卷标准答案一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B D C A D B A C B二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．；．13；没有实数根．12；），（．11；．16；．15；5．14三．解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．（本题9分）（1）原式=（2）原式=18．（本题9分）（1）答案：，；（2）答案：，19．（本题10分）B2B1A2A1CBA20．（本题10分） 解：（1）开始1234123412344321由树形图可得共有12种情况．（2）摸出的两个小球上的数字和为偶数的有（1，3）、（2、4）、（3，1）、（4、2）四种情况，则他能如愿的概率是：．21．（本题12分）解：（1）解：设捐款增长率为，依题意可得：解得：，（不符合，舍去）答：捐款增长率为．（增长率最好写成百分比形式）（2）第四天该单位能收到的捐款有：（元）．22．（本题12分）证明：（1）连接 ∵，∴，∵∴∴∴∴是的切线． （2）在中，，∴， ∵ ∴ （3）作交于点．在中，，∴∴∴E ODCBA23．（本题12分）解：（1）；（，）（2）新二次函数的解析式为：xy123456–1–2–3–4–5–6123456–1–2–3–4–5–6o（3）由函数图象可知：，对应；，对应．所以：．24．（本题14分）证明：（1）∵是直径∴∵是的切线∴由得：（2）∵，且∴（3）连接由（1）可知；由（2）可知∵∴∴∴∵是的中点∴即：是直角三角形．∴∴三点共线∵点是由点以为旋转角度绕点旋转而得∴∴是等腰三角形又∵由等腰三角形三线合一可得平分，即在中，故：OGFEDCBA25．（本题14分）证明：（1）由二次函数的图象抛物线经过点（，），可得：若抛物线经过点（，），可得：所以二次函数的解析式为：（2）若，则二次函数解析式为：令则：所以抛物线与轴交点有2个．（3）连接，作交于点由二次函数，可得抛物线的对称轴为：∵点在抛物线上，且，∴点是关于对称轴对称∴点的坐标是（，），点的坐标是（，）在中，,，可得：∴点坐标为（，）由顶点公式可得顶点的坐标是（，）∴①当点在内时，，则，得：此时：②当点在上时，，则，得：此时：③当点在外时，，则，得：此时：。
广东省广州市 九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程是x2+x=0的根的是（ ）A. x1=0，x2=1B. x1=1，x2=−1C. x1=0，x2=−1D. x1=x2=−12.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.在⊙O中，弦AB的长为23cm，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（ ）A. 2B. 3C. 3D. 24.已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（ ）A. a>1B. a>−2C. a>1且a≠0D. a>−1且a≠05.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）A. (3,3)B. (4,3)C. (3,1)D. (4,1)6.某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（ ）A. 12%B. 9%C. 6%D. 5%7.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为5的概率是（ ）A. 16B. 29C. 13D. 128.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（ ）A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘9.如图，在等边△ABC中，AB=6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（ ）A. 23B. 6C. 33D. 4210.如图，抛物线y=-x2+4x+k与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ）A. 3B. −3C. −4D. −5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.方程（x-5）2=4的解为______．12.点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______．13.用配方法将x2-8x-1=0变形为（x-4）2=m，则m=______．14.将抛物线y=（x-1）2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是______．15.如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是______（填一个即可）16.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为______．三、计算题（本大题共2小题，共21.0分）17.（1）解方程：x（x-2）+x-2=0；（2）用配方法解方程：x2-10x+22=018.有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=-x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．四、解答题（本大题共7小题，共81.0分）19.如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（-2，4）、（0，-4）、（1，-1）．将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′（1）画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（3）以O为圆心，OA为半径画圆，求扇形OA′A1的面积．20.画出函数y=12（x-6）2+3的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．21.如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，AC=CB．（1）求证：CD=CE．（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．22.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．23.如图1，⊙O的半径r=253，弦AB、CD交于点E，C为弧AB的中点，过D点的直线交AB延长线于点F，且DF=EF．（1）试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BE=35AE，求CE的长．24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？为什么？②若AD=EC，求ab的值．25.如图，已知，抛物线y=ax2-2x过点A（-2，5），过A点作x轴的平行线，交抛物线与另一点C，交y轴与点Q，点D（m，5）为线段QC上一动点（不与Q、C重合），作点Q关于直线OD的对称点P，连接PC，PD．（1）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△OPD的面积；（2）若直线PD交x轴与点E．试探究四边形OECD能否为平行四边形？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）设点P（h，k）．①求PC取最小值时k的值；②当0＜m≤5时，试探究h与m之间的关系．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x2+x=0，∴x（x+1）=0，则x=0或x+1=0，解得：x1=0，x2=-1，故选：C．方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】A【解析】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AB=2cm，OD⊥AB，∴AD=AB=×2=cm，在Rt△AOD中，OA==2（cm），故选：A．过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键4.【答案】D【解析】解：∵一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×a×（-1）＞0，且a≠0，解得：a＞-1且a≠0，故选：D．由关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．5.【答案】A【解析】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选：A．利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．6.【答案】D【解析】解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1-x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（舍去）．故选：D．设每个月生产成本的下降率为x，根据该公司10月份及12月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为5的有2种，∴两次摸出的小球标号的和为5的概率是，故选：B．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和5为的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】B【解析】解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；∵∠OCB=40°，∠C0B=180°-∠OBC-∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A=∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°，故选：B．在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．9.【答案】C【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠BAC=60°，∵BC=DC=3，∴AD⊥BC，∴AD==3∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∴∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE=AD=3，故选：C．由等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得AD的长为3，又由将△ABD绕点A逆时针旋转得△ACE，易得△ADE是等边三角形，继而求得答案．此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADE是等边三角形．10.【答案】B【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线=-=2，而AB=2，∴A（1，0），B（3，0），把A（1，0）代入y=-x2+4x+k得-1+4+k=0，解得k=-3．故选：B．根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，再根据点A、B关于直线x=2对称得到A（1，0），B（3，0），然后把A点坐标代入y=-x2+4x+k得-1+4+k=0，最后解关于k的方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．11.【答案】x1=7，x2=3【解析】解：（x-5）2=4，开方得：x-5=±2，解得：x1=7，x2=3，故答案为x1=7，x2=3．方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．12.【答案】（-2，-3）【解析】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3），故答案为：（-2，-3）．根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．13.【答案】17【解析】解：x2-8x-1=0，移项得：x2-8x=1，配方得：x2-8x+16=17，即（x-4）2=17．所以m=17．故答案为17．将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．此题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．14.【答案】y=（x-2）2【解析】解：将抛物线y=（x-1）2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是：y=（x-1-1）2，即y=（x-2）2．故答案是：y=（x-2）2．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．15.【答案】∠C=∠BAD【解析】解：∵∠B=∠B（公共角），∴可添加：∠C=∠BAD．此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．故答案可为：∠C=∠BAD．根据相似三角形的判定：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，进行添加即可．本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一．16.【答案】103【解析】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=4k=．故答案为：．过E作EG∥AB，交AC于G，易得AG=EG，EF=CF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF=3：4：5，故设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，根据AC=10，可得3k+5k+4k=10，即k=，进而得出EF=4k=．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及造等腰三角形．17.【答案】解：（1）∵x（x-2）+x-2=0，∴（x-2）（x+1）=0，则x-2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=-1；（2）∵x2-10x+22=0，∴x2-10x+25-3=0，则x2-10x+25=3，即（x-5）2=3，∴x-5=±3，∴x=5±3，即x1=5+3，x2=5-3．【解析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（2）利用配方法的步骤求解可得．此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和配方的方法是解本题的关键．18.【答案】解：（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，-1），（0，-2），（0，0），（1，-1），（1，-2），（1，0），（2，-1），（2，-2），（2，0）；（2）在直线y=-x+1的图象上的点有：（1，0），（2，-1），所以点M（x，y）在函数y=-x+1的图象上的概率=29；（3）在⊙O上的点有（0，-2），（2，0），在⊙O外的点有（1，-2），（2，-1），（2，-2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=59．【解析】（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和切线的性质．19.【答案】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A′（4，-2）、B′（4，0）、C′（1，1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）由勾股定理，可得A'O2=20，∴扇形OA′A1的面积=90×π×20360=5π．【解析】（1）依据△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′，进行画图即可；（2）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（3）依据扇形的面积计算公式进行计算即可．此题主要考查了旋转变换作图以及扇形的面积，正确得出三角形对应点的位置长是解题的关键．20.【答案】解：函数y=12（x-6）2+3的图象如图所示：抛物线的开口向上，对称轴为直线x=6，顶点坐标为（6，3），当x＞6时，y随x的增大而增大．【解析】画出二次函数的图象，结合图象可得其函数性质．此题考查了二次函数的性质与图象，考查了根据函数解析式得出顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了增减性和数形结合思想的应用．21.【答案】（1）证明：连接OC，∵AC=CB，∴∠COA=∠COB，∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，∴OD=OE，在△COD和△COE中，OD=OE∠COD=∠COEOC=OC，∴△COD≌△COE（SAS）（2）解：连接AC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，又OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∵点D是OA的中点，∴CD⊥OA，OD=12OA=12x，在Rt△COD中，CD=OD•tan∠COD=32x，∴四边形ODCE的面积为y=12×OD×CD×2=34x2．【解析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB，证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质证明；（2）连接AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC为等边三角形，根据正切的定义求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键．22.【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD=EG=x，∴AK=AD-DK=80-x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AKAD，即y120=80−x80，∴y=-32x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S=xy=-32x2+120x=-32（x-40）2+2400，当x=40时，S有最大值2400，此时y=-32×40+120=60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【解析】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到=，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S=xy=-x2+120x，则S=-（x-40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x=40时，S有最大值2400，由于y=60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．23.【答案】证明：（1）如图1，连接OC、OD；∵C为弧AB的中点，∴OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°；∴∠FDE=∠FED=∠AEC；∵OA=OC，∴∠OCE=∠ODC，∴∠ODC+∠CDF=90°，即OD⊥DF，∴DF与⊙O相切．（2）如图2，连接OA、OC；由（1）知OC⊥AB，∴AH=BH；∵AC∥DF，∴∠ACD=∠CDF；而EF=DF，∴∠DEF=∠CDF=∠ACD，∴AC=AE；设AE=5λ，则BE=3λ，∴AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；∴由勾股定理得：CH=3λ；CE2=CH2+HE2=9λ2+λ2，∴CE=10λ；在直角△AOH中，由勾股定理得：AO2=AH2+OH2，即r2=（r-3λ）2+（4λ）2，解得：λ=625r=625×253=2，∴CE=210．【解析】（1）如图，作辅助线；证明∠ODC+∠CDF=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；证明OH⊥AB，AH=4λ，此为解题的关键性结论；证明CE=；列出方程r2=（r-3λ）2+（4λ）2，求出λ===2，即可解决问题．该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用有关定理来分析、解答．24.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B=62°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90°-∠BCD=31°；（2）①由勾股定理得，AB=AC2+BC2=a2+b2，∴AD=a2+b2−a，解方程x2+2ax-b2=0得，x=−2a±4a2+4b22=±a2+b2−a，∴线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=b2，由勾股定理得，a2+b2=(12b+a)2，整理得，ab=34．【解析】即可；（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．25.【答案】（1）把点A（-2，5）代入抛物线y=ax2-2x，得5=4a+4，∴a=14，∴y=14x2-2x∴对称轴为x=4，C（10，5），当点P落在抛物线的对称轴上时，如图1，记作P'，∴OM=4，OP'=OQ=5，DP'=DQ=m，∴P'M=3，P'N=5-3=2，在Rt△DPN中，m2=22+（4-m）2，解得m=52，∴△OP'D的面积=△OQD的面积=12×5×52=254．（2）∵AC∥OE，∴当DC=OE时，四边形OECD为平行四边形，∵∠DOE=∠ODQ=∠ODP，∴DE=OE=CD=10-m，∴E（10-m，0），∵D（m，5），∴ED2=（10-2m）2+52=（10-m）2，解得m=53或m=5（舍去），∴m=53．（3）①∵OP=OQ=5，OC=55，∴当O，P，C在一条直线上时，PC最小，如图2，此时，点P记作P''此时PC=P''C=55-5，由△DPC''∽△EPO，得k5−k=555−5，解得k=5．②如图3，连接QP，作PH⊥QC于H，则QP⊥OD，∴∠HQP=90°-∠OQP=∠QOD，∵OQ=5，QD，∴OD边上的高为5mm2+25，∴QP=10mm2+25∴cos∠HQP=cos∠QOD，即h10mm2+25=5m2+25，∴h与m之间的关系为h=50mm2+25．【解析】（1）把点A（-2，5）代入抛物线y=ax2-2x求得表达式，由折叠可得OP=OQ=5，DP=DQ=m，然后在Rt△DPN中，利用勾股定理求得m，进而得出△OPD的面积；（2）当DC=OE时，四边形OECD为平行四边形，再证明OE=DE，求得点E的坐标，然后用两点之间距离公式建立方程，即可求得m的值；形对应高的比等于相似比建立关系，进而求得k的值；②连接QP，作PH⊥QC于H，则QP⊥OD，可证明∠HQP=∠QOD，即cos∠HQP=cos∠QOD，根据锐角三角函数的定义可得出h与m之间的关系．本题考查了待定系数法，平行四边形，相似三角形，锐角三角函数定义及方程思想，解题时要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用方程，相似手段来解决问题．。
广东省珠海十中2013届九年级上期末考试数学试题
21、 已知两个全等的直角三角形纸片 ABC、DEF，如图（1）放置，点 B、D 重合，
点 F 在 BC 上，AB 与 EF 交于点 G、∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，
AB=DE=4．
（1）求证：△EGB 是等腰三角形；
（2）若纸片 DEF 不动，问△ABC 绕点 F 逆时针旋转最小E来自45°CA
如：3＋2 2＝(1＋ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设 a＋b 2＝(m＋n 2)2（其中 a、b、m、n 均为整数），
则有 a＋b 2＝m2＋2n2＋2mn 2．
∴a＝m2＋2n2 ，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分 a＋b 2的式子化为平方 式的
方法．
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B
的仰角为 39°．
B
（1）求大楼与电视塔之间的距离 AC；
（2）求大楼的高度 CD（精确到 1 米）。
（参考数据：sin39°≈0.6293，cos39°≈0.7771，tan39°≈
0.8100）
D 39°
A
B
C
D
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．）
6、函数 y
1 x
中，自变量 x 的取值范围是
x
7、将抛物线 y x2 向右平移一个单位，所得函数解析式为
.
8、一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影 子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶 的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树
面（接缝忽略不计），求该圆锥的侧面积和圆锥 的高．（结果保留π）
2019-2020学年广东省广州市海珠区九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）（2021•福田区一模）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：43．（3分）（2019秋•海珠区期末）下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+1＝0C．4x2+4x+1＝0D．x2+x+3＝0 4．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为（ ）A．25°B．30°C．45°D．50°5．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（ ）A．5B．C．3D．6．（3分）（2019秋•海珠区期末）要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设有x队参加比赛，根据题意，可列方程为（ ）A．B．C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝157．（3分）（2012•荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）A．B．C．D．8．（3分）（2019秋•海珠区期末）已知二次函数y＝3（x+1）2+k的图象上有三点，A（0.5，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1 9．（3分）（2019秋•海珠区期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+m，在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣3，则m的值是（ ）A．﹣6B．﹣2C．2D．510．（3分）（2019秋•海珠区期末）已知：AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，P 是⊙O上一动点，若AD＝10，OA＝4，BC＝16，则△PCD的面积的最小值是（ ）A．36B．32C．24D．10.4二、填空题（每题3分；共18分）11．（3分）（2020•海珠区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB 等于 ．12．（3分）（邵阳）抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是 ．13．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段CD与线段AB是位似图形，若C（2，3），D（3，1），A（4，6），则B的坐标为 ．14．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的全面积 ．15．（3分）（2020•西城区校级模拟）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是 ．16．（3分）（大石桥市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有 （填序号）三、解答题（9大题；共102分）17．（10分）（2019秋•海珠区期末）解下列一元二次方程：（1）x2+6x+5＝0（2）16（x+1）2＝2518．（10分）（2019秋•海珠区期末）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）求旋转过程中点B经过的路径长（结果保留π）．19．（10分）（2011•庆阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．20．（10分）（2019秋•海珠区期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．21．（10分）（花都区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线．（1）作一个⊙O使它经过A、D两点，且圆心O在AB边上；（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．22．（12分）（2019秋•海珠区期末）如图，在一个Rt△EFG的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上，EF＝30cm，FG＝40cm，设AB＝xcm．（1）试用含x的代数式表示AD；（2）设矩形ABCD的面积为s，当x为何值时，s的值最大，最大值是多少？23．（12分）（2019秋•海珠区期末）如图，Rt△ACB中，以BC边上一点O为圆心作圆，⊙O与边AC、AB分别切于点C、D，⊙O与BC另一交点为E．（1）求证：BD•AB＝OB•BC；（2）若⊙O的半径为5，AC，求BD的长．24．（14分）（2020•江汉区校级一模）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a 的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．25．（14分）（2019秋•海珠区期末）在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中的点A（0，4），抛物线y1＝ax2+bx+c经过原点O和点C，并且有最低点G（2，﹣1），点E，F分别在线段OC，BC上，且S△AEF S矩形OABC，CF＝1，直线BE的解析式为y2＝kx+b，其图象与抛物线在x轴下方的图象交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；（3）在线段BD上是否存在点M，使得∠DMC＝∠EAF，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）（2021•福田区一模）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【考点】轴对称图形；中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选：B．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB＝1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是边AB的中点，∴AD：AB＝1：2，∴（）2．故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．3．（3分）（2019秋•海珠区期末）下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+1＝0C．4x2+4x+1＝0D．x2+x+3＝0【考点】根的判别式．【分析】计算出各选项中方程的判别式的值，从而得出答案．解：A．此方程的△＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；B．此方程的△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程没有实数根，不符合题意；C．此方程的△＝42﹣4×4×1＝0，方程有两个相等的实数根，符合题意；D．此方程的△＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，方程没有实数根，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．4．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为（ ）A．25°B．30°C．45°D．50°【考点】圆周角定理；切线的性质．【分析】根据切线的性质得到∠CAP＝90°，求出∠PAB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．解：∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴∠CAP＝90°，∴∠PAB＝∠CAP﹣∠BAC＝75°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝75°，∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°，故选：B．【点评】本题考查的是切线的性质、切线长定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（ ）A．5B．C．3D．【考点】勾股定理；垂径定理．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，∵OD⊥AB，AB＝4，∴ACAB＝2，在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，∴r2＝22+（r﹣1）2，r，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关键，垂直于弦的直径平分弦；确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．6．（3分）（2019秋•海珠区期末）要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设有x队参加比赛，根据题意，可列方程为（ ）A．B．C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝15【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】利用每两队之间都赛一场，x个球队比赛总场数x（x﹣1），由此可得出方程．解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，x（x﹣1）＝15，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．7．（3分）（2012•荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．解：根据勾股定理，AB2，BC，AC，所以△ABC的三边之比为：2：1：2：，A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为2：：3：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为2：4：21：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．8．（3分）（2019秋•海珠区期末）已知二次函数y＝3（x+1）2+k的图象上有三点，A（0.5，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数对称轴为x＝﹣1，图象开口向上；在对称轴的右侧y随x的增大而增大，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2＞y1．解：由y＝3（x+1）2+k可知，函数对称轴为x＝﹣1，图象开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，根据二次函数图象的对称性可知，C的对称点为（0，y3），∵0＜0.5＜2，∴y2＞y1＞y3；故选：C．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．9．（3分）（2019秋•海珠区期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+m，在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣3，则m的值是（ ）A．﹣6B．﹣2C．2D．5【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】首先把二次函数y＝﹣x2﹣2x+m转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在﹣3≤x≤2内有最小值，判断m的取值．解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+m转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+m+1，又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，故当x＝2时，二次函数有最小值为﹣3，故﹣4﹣4+m＝﹣3，故m＝5．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．10．（3分）（2019秋•海珠区期末）已知：AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，P 是⊙O上一动点，若AD＝10，OA＝4，BC＝16，则△PCD的面积的最小值是（ ）A．36B．32C．24D．10.4【考点】切线的性质．【分析】如图，过D作DE⊥BC，交BC于点E，可求得CD＝10，过P作⊙O的切线，交AD、BC于点M、N，当MN∥CD时，过N作NF⊥CD，可知此时点P到CD的距离最小，根据切线长定理可求得CN＝4，又可证明△DEC∽△NFC，可求得NF，进一步可求得△PDC的面积．解：如图，过D作DE⊥BC，交BC于点E，∵AD＝10，OA＝4，BC＝16，∴CE＝6，又DE＝AB＝8，∴CD＝10，当点P到CD的距离最小时，△PCD面积有最小值，过P作⊙O的切线，交AD、BC 于点M、N，当MN∥CD时，过N作NF⊥CD，可知此时P到CD的距离最小，∵AD、BC为⊙O的切线，∴AD∥BC，∴四边形CDMN为平行四边形，∴CN＝MD，MN＝CD＝10，设DM＝CN＝x，则AM＝10﹣x，∵MN为⊙O的切线，∴MP＝AM＝10﹣x，∴PN＝BN＝x，∴BC＝2x，∴x＝8，即CN＝8，在△DEC和△NFC中∵∠DEC＝∠NFC，∠C＝∠C，∴△DEC∽△NFC，∴，即，解得NF，此时S△PCD的面积最小，∴S△PCD PQ•CD10＝32．故选：B．【点评】本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定和性质，确定出△PCD面积最小时P点的位置并且求得CN的值是解题的关键，注意方程思想的应用．二、填空题（每题3分；共18分）11．（3分）（2020•海珠区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB 等于 36° ．【考点】圆周角定理．【分析】利用圆周角定理求出所求即可．解：∵∠AOB与∠ACB都对，∠AOB＝72°，∴∠ACB∠AOB＝36°，故36°【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．12．（3分）（邵阳）抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是 （﹣1，2） ．【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解：∵y＝x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，∴抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．故（﹣1，2）．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h，此题还考查了配方法求顶点式．13．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段CD与线段AB是位似图形，若C（2，3），D（3，1），A（4，6），则B的坐标为 （6，2） ．【考点】坐标与图形性质；位似变换．【分析】直接利用C，A点的变化规律得出B点坐标即可．解：∵以原点为位似中心线段CD与线段AB是位似图形，C（2，3），A（4，6），∴D（3，1）的对应点B的坐标为：（6，2）．故（6，2）．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．14．（3分）（2019秋•海珠区期末）如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的全面积 3π ．【考点】圆锥的计算．【分析】根据直角三角形的性质求出OB，根据扇形面积公式计算即可．解：∵AO⊥BC，∠BAO＝30°，∴OBAB＝1，∴圆锥的侧面积2π×1×2＝2π，底面积为π，∴全面积为3π．故3π．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．（3分）（2020•西城区校级模拟）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是 45° ．【考点】旋转的性质．【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，故45°．【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．16．（3分）（大石桥市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有 ①③ （填序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣4a＞0，则可对①进行判断；由于x＝﹣3时，y＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）得a﹣b+c＝0，把b＝﹣4a代入可得c＝﹣5a，则8a+7b+2c＝﹣30a，于是可对③进行判断；根据而此函数的性质可对④进行判断．解：∵抛物线的对称轴为直线x2，∴b＝﹣4a＞0，即4a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴a+4a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，而a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以④错误．故答案为①③．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．三、解答题（9大题；共102分）17．（10分）（2019秋•海珠区期末）解下列一元二次方程：（1）x2+6x+5＝0（2）16（x+1）2＝25【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得．解：（1）∵a＝1，b＝6，c＝5，∴△＝62﹣4×1×5＝16＞0，则，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5；（2）∵，∴，∴，，∴，．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（10分）（2019秋•海珠区期末）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）求旋转过程中点B经过的路径长（结果保留π）．【考点】轨迹；作图﹣旋转变换．【分析】（1）分别作出三个顶点绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）利用弧长公式计算可得．解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求作．（2）∵，∴旋转过程中点B经过的路径长为π．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及弧长公式．19．（10分）（2011•庆阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD∥BC，则∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE∽△AMB；（2）由△DAE∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE的长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，又∵∠DEA＝∠B＝90°，∴△DAE∽△AMB；（2）由（1）知△DAE∽△AMB，∴DE：AD＝AB：AM，∵M是边BC的中点，BC＝6，∴BM＝3，又∵AB＝4，∠B＝90°，∴AM＝5，∴DE：6＝4：5，∴DE．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．（1）中根据矩形的对边平行进而得出∠DAE＝∠AMB是解题的关键．20．（10分）（2019秋•海珠区期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥8，求m的取值范围．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣6、x1x2＝2m+1，由2x1x2﹣x1﹣x2≥8结合（1）结论可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．解：（1）∵方程有实数根，∴△＝36﹣4（2m+1）＝36﹣8m﹣4＝32﹣8m≥0，解得：m≤4．故m的取值范围是m≤4；（2）∵x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣6，x1•x2＝2m+1，∵2x1x2﹣x1﹣x2≥8，∴2（2m+1）+6≥8，解得m≥0，由（1）可得m≤4，∴m的取值范围是0≤m≤4．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合2x1x2﹣x1﹣x2≥8及m≤4，求出m的取值范围．21．（10分）（花都区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线．（1）作一个⊙O使它经过A、D两点，且圆心O在AB边上；（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；作图—复杂作图．【分析】（1）作出AD的垂直平分线，交AB于点O，进而利用AO为半径求出即可；（2）首先得出利用等腰三角形的性质得出OD∥AC，进而求出OD⊥BC，进而得出答案．解：（1）如图所示：（需保留线段AD中垂线的痕迹）．（2）直线BC与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC．∴∠ODA＝∠DAC．∴OD∥AC．∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC．∴BC为⊙O的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及线段垂直平分线的作法与性质等知识，掌握切线的判定方法是解题关键．22．（12分）（2019秋•海珠区期末）如图，在一个Rt△EFG的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上，EF＝30cm，FG＝40cm，设AB＝xcm．（1）试用含x的代数式表示AD；（2）设矩形ABCD的面积为s，当x为何值时，s的值最大，最大值是多少？【考点】二次函数的最值；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）过点F作FN⊥EG于N，交AD于点M，由勾股定理得出EG50cm，由三角形面积公式得出EF•FGFN•EG，得出FN24cm，由矩形的性质，得出AD∥BC，则△AFD～△GFE，AB＝MN＝xcm，FM＝（24﹣x）cm，得出，即，解得AD＝50x；（2）s＝AB•AD＝x•（50x）（x﹣12）2+300，即可得出结果．解：（1）过点F作FN⊥EG于N，交AD于点M，如图所示：∵△EFG是直角三角形，∴EG50（cm），∵EF•FGFN•EG，∴FN24（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AFD～△GFE，AB＝MN＝xcm，则FM＝（24﹣x）cm，∴，即：，解得：AD＝50x；（2）由（1）得：AD＝50x，s＝AB•AD＝x•（50x）（x﹣12）2+300，∴x＝12时，s的值最大，s最大＝300cm2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、矩形的性质、三角形面积计算、矩形面积计算等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．（12分）（2019秋•海珠区期末）如图，Rt△ACB中，以BC边上一点O为圆心作圆，⊙O与边AC、AB分别切于点C、D，⊙O与BC另一交点为E．（1）求证：BD•AB＝OB•BC；（2）若⊙O的半径为5，AC，求BD的长．【考点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接DO，根据切线的性质可得出∠ODB＝90°＝∠ACB，结合∠B＝∠B 可证出△BDO∽△BCA，再利用相似三角形的性质可得出BD•AB＝OB•BC；（2）设BD＝x，则BO，BC＝BO+OC5，利用相似三角形的性质可得出关于x的方程，解之取其正值即可得出结论．（1）证明：连接DO，如图所示．∵，⊙O与边AC、AB分别切于点C、D，∴∠ODB＝90°＝∠ACB．又∵∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴，∴BD•AB＝OB•BC．（2）解：设BD＝x，则BO，BC＝BO+OC5．∵△BDO∽△BCA，∴，即，整理，得：7x2﹣120x＝0，解得：x1，x2＝0（舍去，不合题意），经检验，x是原方程的解，且符合题意，∴BD的长为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质以及解物理方程，解题的关键是：（1）牢记“两角对应相等，两个三角形相似”；（2）利用相似三角形的性质，找出关于x（BD的长）的方程．24．（14分）（2020•江汉区校级一模）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a 的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断；（2）令y＝0，求出含a的两个交点的横坐标，代入t＝ax2﹣x1即可；（3）求出平移后抛物线的解析式及A，B的坐标，求出直线AC的解析式及点C的坐标，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，证△AOP∽△CGM，推出，2MB+MC＝2（MB+GM），而MB+GM的最小值即B到CN最小距离CH，即可写出2MB+MC的最小值．（1）证明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO，在Rt△AOP中，AP2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠PAO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，最短路径问题等，解题关键是能够通过作合适的辅助线，将相关线段的和的最小值转化为垂线段最短的问题等．25．（14分）（2019秋•海珠区期末）在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中的点A（0，4），抛物线y1＝ax2+bx+c经过原点O和点C，并且有最低点G（2，﹣1），点E，F分别在线段OC，BC上，且S△AEF S矩形OABC，CF＝1，直线BE的解析式为y2＝kx+b，其图象与抛物线在x轴下方的图象交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；（3）在线段BD上是否存在点M，使得∠DMC＝∠EAF，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）可设顶点式解析式，将原点坐标代入即可求出抛物线的解析式；（2）如图1，过点F作FH∥OC，与AE交于点H，通过面积法求出点H的坐标，通过求出直线AH的解析式推出点E坐标，再求出直线BE的解析式，最后求出直线BE与抛物线的交点，即可由二次函数与一次函数之间的关系写出结论；（3）先证点A，B，F，E四点共圆，如图2，作BC得垂直平分线交直线EB于点N，连接NC，求出点N坐标，再作NC的垂直平分线交直线BD于点M，设M（n，2n﹣4），由MN＝MC，可列出关于n的方程，此时∠DMC＝2∠MNC＝4∠EBC＝4∠EAF，即可写出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由题意可得h＝2，k＝﹣1且抛物线经过原点，∴0＝a（0﹣2）2﹣1，解得，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2，点O与点C关于x＝2对称，∴C（4，0），OC＝4，∵A（0，4），CF＝1，∴OA＝4，S矩形OABC＝OA•OC＝16，F（4，1），∵，∴S△AEF＝5，如图1，过点F作FH∥OC，与AE交于点H，∴，∴，，设直线AH的解析式为y＝k1x+4，∴，∴k1＝﹣2，∴直线AH的解析式为y＝﹣2x+4，当y＝0时，求得x＝2，∴E（2，0），而B（4，4），∴直线BE：y2＝2x﹣4，∵点D在直线BE上，故D（x，2x﹣4）同时也满足抛物线，故，解得：，（舍去），∴，当0＞y2＞y1时，从图象可得直线在抛物线的上方且都在x轴的下方才满足条件，对应x的取值范围为6﹣2x＜4．（3）∵E（2，0），F（4，1），A（0，4），∴，AF＝5，，∴AE2+EF2＝AF2，而矩形OABC，∴∠AEF＝90°，∠ABC＝90°，∴∠AEF+∠ABC＝180°，∴点A，B，F，E四点共圆，∴∠EAF＝∠EBC如图2，作BC的垂直平分线交直线EB于点N，连接NC，则NB＝NC，∠NBC＝∠NCB，∴∠ENC＝2∠EBC，设N（x N，2），则2＝2x N﹣4，解得x N＝3，∴N（3，2），作NC的垂直平分线交直线BD于点M（n，2n﹣4），B（4，4），C（4，0），∴，，则MN＝MC，∴∠MNC＝∠MCN，∴∠DMC＝2∠MNC＝4∠EBC＝4∠EAF，∴，解得：n，∴，综上所述，点M的坐标为．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，圆的有关性质等，解题关键是能够通过作线段的垂直平分线构造2倍角等．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海珠区2012学年第一学期期末调研测试
九年级数学试卷
一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的．）
1．下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A．
B． C． D．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．小王参加本次数学考试，成绩150分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C. 打开电视机，广州电视台正在播放新闻
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
3. 下列运算正确的是（ ）
A．325 B．326
C．2(31)31
D．225353
4. 方程23xx的解是（ ）
A．3x B．13x,20x C．13x,20x D．0x
5. 从123456789、、、、、、、、这九个自然数中任取一个数是2的整数倍的概率是（ ）
A．29 B．49 C．59 D．23
6. 已知圆1O与圆2O的半径分别为4cm和7cm，两圆的圆心距1210OOcm，则圆1O与
圆2O的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
7. 若一元二次方程220xxm有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．1m B．1m C．4m
D．12m
8. 已知二次函数2yaxbxc的图像如图所示，那么一次函数yaxc和反比例函
数byx在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
A．
B．
C． D．
9. 如图所示，在ABC中，40B，将ABC绕点A逆时针旋转至ADE处，使
点B落在BC的延长线上的D点处，则BDE（ ）
A．90 B．85
C．80 D．40
10. 已知二次函数2yaxbxc的y与x的部分对应值如下表：
x
„ 1 0 1 3 „
y
„ 3 1 3 1 „
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x大于1.5时，y随x的增大而减少 D．当4x时，0y
二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 3的平方根是______.
12. 一元二次方程2560xx的两个根分别是a和b，则ab______.
第8题图
第9题
图
13. 如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别是A、B，如果60P，1OA，
则AP_______.
14. 如图，小正方形构成的网络中，半径为1的圆O在格点上，则图中阴影部分两个
小扇形的面积之和为_______（结果保留）.
15. 某种商品原标价为200元，若连续两次降价%x后实际售价为148元，
则根据题意可列方程：_______.
16. 如图，四边形ABCD中，90BADBCD，ABAD，若四边形
ABCD的面积是224cm，则AC
的长是_______cm.
三、解答题（本题共9小题，共102 分．解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分10分，每小题5分）
计算：（1）(4820)(125)； （2）
(818)2xxx
18.（本题满分10分，每小题5分）
解下列方程：（1）260xx ； （2）2(3)4(3)0xxx
19.（本题满分10分）
小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、
“剪刀”、“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”
胜“石头”，相同的手势是和局.
(1) 用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少?
(2) 如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家. 用树形图或列表法，
求只进行两局游戏便能确定赢家的概率.
第13题图
第14题图
第16题图
20.(本题满分10分)
在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为
0,0A
、(3,3)B、(4,1)C.
（1）画出ABC及ABC绕点A逆时针旋转90后得到的
11
ABC
；
（2）求出ABC在上述旋转过程中扫过的面积.
21.（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在
x
轴、y轴的正半轴上，二次函数223yxbxc的图像经过B、C两点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求当0y时x的取值范围.
22.（本题满分12分）
如图，在圆O中，60ACBBDC，23ACcm，
（1）求BAC的度数；
（2）求圆O的半径；
（3）连接AD，求证：DBDADC.
第20题图
第21题图
第22题图
23.（本题满分12分）
已知关于x的方程222(2)0xkxk两个实数根1x，2x.
(1) 求k的取值范围
(2) 若22111xxxx，求k的值.
24.（本题满分14分）
在RtPOQ中，90POQ，4OPOQ. M是PQ的中点，把一个三角尺
的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与
POQ
的两直角边分别交于点A、B.
(1) 求证：MAMB
(2) 连接AB.请问：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值？若存
在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
第24题图
25.（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(,)mm，点B的坐标为(,)nn，抛物
线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C. 已知实
数m、n()mn分别是方程2230xx的两根.
（1）求抛物线的解析式
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），
直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接
OD
、BD.
①求BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
②当OPC为等腰三角形时，写出点P的坐标.
第25题图