2010复变试卷A答案
复变函数与积分变换2010上卷A及答案
中南大学考试试卷2009-- 2010学年二学期 时间110分钟课程: 复变函数与积分变换 考试形式：闭卷 专业年级： 工程数学08级 总分100分，占总评成绩 70 %注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、选择题：（5×4'）1、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点00iy x z +=处连续的充要条件是（ ） A. ),(y x u 在),(00y x 处连续； B. ),(y x v 在),(00y x 处连续； C. ),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续；D. ),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续. 2.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点0z 处解析，则命题( )不成立. A. ),(y x u 和),(y x v 仅在0z 处可微且满足C-R 条件.B. 存在点0z 的某一邻域)(0z U ，),(y x u 和),(y x v 在)(0z U 内满足C-R 条件；C. ),(y x u 和),(y x v 在)(0z U 内可微；D. B 与C 同时成立.3. 函数)(z f 在单连通域B 内解析是函数)(z f 沿B 内任一闭曲线C 的积分0)(=⎰Cdz z f 的（ ）.A. 充分条件；B.必要条件；C. 充分必要条件；D.既非充分条件也非必要条件. 4. 幂级数∑∞=0)(cos n n z in 的收敛半径是（ ）.A.1；B.2；C.e ；D.e1.5.1=z 是函数11-z e的（ ）.A.一级极点；B.二级极点；C.可去奇点；D.本性奇点.二、解答下列各题：（8×10'）1、试求下列函数的极限： （1）zz iz +→1lim； （2）11lim1--+-→z z z z z z ；2、下列函数何处可导？何处解析？（1）i y x z f 3332)(+=； （2）xshy i xchy z f cos sin )(+=； 3、计算积分1|:|,)1( cos 5>=-⎰r z C dz z zC π。
复变函数与积分变换期末考试题
哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年 第一 学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （ ）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在 （ ）.A . 1z =-收敛 Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的 （ ）.Ａ．二阶极点、孤立奇点 Ｂ．二阶极点、非孤立奇点 Ｃ．可去奇点、孤立奇点 Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为 （ ）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。
2010复变试卷A
1．设z=0为函数2z41e z sin z-的m 级极点，则m=（ ）A. 5B. 4C. 3D. 22．设(1)(1,2,),4n n nin n α-+==+ 则lim n n α→∞=( ) A 0 B. 1 C. i D.不存在3．下列级数中，条件收敛的级数为（ ） A.∑∞=1n n i )231(+ B.∑∞=1n nn i !)43(+ C.∑∞=1n ni nD. ∑∞=1n 1)1(++-n i n4．下列命题中，正确的是（ ）A.设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =.B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数.C.若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内调和函数.D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数. 5．下列数中，为实数的是（ ）A.3)1(i -B. i cosC. LniD. ie 23π-6．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ）A. iB. -iC. 1D. -1 7．使得22z z =成立的复数z 是（ ）A.不存在B.唯一的C.纯虚数D.实数. 8．设z 为复数，则方程__||2z z i +=+的解（ ）A.i +-43 B. i +43C. i -43D.i --439.函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的（ ）条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要10.若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在2=z 处的敛散性为（ ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11.⎰=ii zdz 2________________.12.不等式522<++-z z 表示的区域为______________. 13.31=______________. 14.幂级数n n z nn n !=∞∑1的收敛半径为 .15.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则)(z f '=_____ _____.16.z=0是函数z-sinz 的__________阶零点.三、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 正确的打“√”，错的打“×”.17．函数sin z 在区域1||<z 内为有界函数.18.若)(z f 与)(z f 都在区域D 内解析，则)(z f 在D 内必为常数. 19. 对于任意自然数n>1,方程1=n z 的n 个解之和为零. 20.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散. 21.函数)(z f 在点0z 可微等价于)(z f 在点0z 解析. 22． 0=z 是函数z1sin 1的孤立奇点.四、计算题(每小题6分，共18分)23．（6分）设C 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，求⎰-cdz iy x )(2.24．（6分）求函数zz z 212-+在有限奇点处的留数25．（6分）求 ⎰-c zdz z e 2，其中C ：12=-z 的正向.五、解下列各题（每小题7分，共28分） 26．（7分）将函数2)1(1)(-=z z z f 在区域+∞<<||1z 内展开为罗朗级数．27．（7分）计算积分⎰=+1||31z dz z ，从而证明⎰=++πθθθ00cos 610cos 31d .28．（7分）利用留数计算积分dz z z z ⎰=-2351．29．（7分）证明)1(2y x v -=为调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(使得.2010)0(=f一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．设z=0为函数2z41e z sin z-的m 级极点，则m=（C ）A. 5B. 4C. 3D. 2 2．设(1)(1,2,),4nn nin n α-+==+ 则lim n n α→∞=( C )A 0 B. 1 C. i D.不存在3．下列级数中，条件收敛的级数为（C ） A.∑∞=1n n i )231(+ B.∑∞=1n nn i !)43(+ C.∑∞=1n ni nD. ∑∞=1n 1)1(++-n i n4．下列命题中，正确的是（C ）A.设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =.B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数.C.若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内调和函数.D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数. 5．下列数中，为实数的是（B ）A.3)1(i - B. i cos C. Lni D. i e 23π-6．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） A. i B. -i C. 1 D. -17．使得22z z =成立的复数z 是（D ） A.不存在 B.唯一的 C.纯虚数 D.实数. 8．设z 为复数，则方程__||2z z i +=+的解（B ）A.i +-43B. i +43C. i -43D.i --439.函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的（B ）条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要 10.若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在2=z 处的敛散性为（A ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11.⎰=ii zdz 223-. 12.不等式522<++-z z 表示的区域为的内部椭圆14/94/2522=+y x .(注：区域的表示形式也可为图形或文字描述，正确即可.) 13.31=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.14.幂级数n nz nn n !=∞∑1的收敛半径为e .15.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则)(z f '=_1_. 16.z=0是函数z-sinz 的_3_阶零点.三、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）17．函数sin z 在区域1||<z 内为有界函数.18.若)(z f 与)(z f 都在区域D 内解析，则)(z f 在D 内必为常数. 19. 对于任意自然数n>1,方程1=n z 的n 个解之和为零. 20.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散. 21.函数)(z f 在点0z 可微等价于)(z f 在点0z 解析. 22． 0=z 是函数z1sin 1的孤立奇点.四、计算题(每小题6分，共18分)23．（6分）设C 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，求⎰-cdz iy x )(2.解：曲线C 的参数方程为10,)(2<<+=t it t t z ，所以()⎰⎰+-=-1222)2)((dt i t it tdz iy x c⎰+-=123)2()1(dt it t ii 121127+=. 6分24．（6分）求函数z z z 212-+在有限奇点处的留数解：设函数zz z z f 21)(2-+=，则)(z f 的所有有限孤立奇点有:,01=z 22=z ，且它们都是一阶极点，所以=)0,(Re f s 0|21=-+z z z 21-=， =)2,(Re f s 2|1=+z z z 23=. 6分25．（6分）求 ⎰-c zdz z e 2，其中C ：12=-z 的正向. 解：设2)(-=z ez f z，则)(z f 在C 所围的区域内只有唯一的奇点2=z ，且z e 在C 及其内部是解析的，所以由柯西积分公式有：⎰-c z dz z e 22|2==z zie π=22ie π 6分五、解下列各题（每小题7分，共28分）26．（7分）将函数2)1(1)(-=z z z f 在区域+∞<<z 1内展开为罗朗级数．解：在区域+∞<<||1z 内，1||1<z ，于是 ∑∑∞=∞===-⋅=-10111111111n n n n z z z zz z所以)11()1(12'--=-z z )'1(1∑∞=-=n nz11n n n z ∞+==∑ 5分 从而，2)1(1)(-=z z z f 2132n nn n n n z z ∞∞+==-==∑∑. 7分 (注：级数表达形式不惟一，正确即可.)27．（7分）计算积分⎰=+1||31z dz z ，从而证明⎰=++πθθθ00cos 610cos 31d . 解及证：因为31+z 在圆盘1||≤z 内解析，故由柯西积分定理可得：0311||=+⎰=z dz z . 3分 而，1||=z 的参数方程为πθπθ≤≤-=,i e z所以⎰⎰⎰--+++-=+=+=ππππθθθθθθθθ3sin cos )cos sin (330i d i e d ie z dz i i C⎰⎰⎰---++++-=++-+-=ππππππθθθθθθθθθθθθθd i d d i i 10cos 6cos 3110cos 6sin 3sin )3(cos )sin 3)(cos sin cos (22所以，010cos 6cos 31=++⎰-ππθθθd 而010cos 6cos 31210cos 6cos 310=++=++⎰⎰-πππθθθθθθd d所以.010cos 6cos 310=++⎰πθθθd 7分28．（7分）利用留数计算积分dz z z z ⎰=-2351． 解：351z z -在2||=z 内部的孤立奇点有：01=z ,12=z ,13-=z ,其中01=z 为三阶极点，12=z ,13-=z 为一阶极点. 由留数定理dz z z z ⎰=-2351)]1,1(Re )1,1(Re )0,1([Re 2353535--+-+-=z z s z z s z z s i π 4分又),1(Re )1,1(Re )1,1(Re )0,1(Re 35353535∞--=--+-+-zz s z z s z z s z z s 而，),1(Re 35∞-z z s )0,1111(Re 352zz z s -⋅-=0)0,1(Re 23=--=z z s 所以dz z z z ⎰=-2351=0 7分29．（7分）证明)1(2y x v -=为调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(使得2010)0(=f ．证及解：),1(2y v x -=x v y 2-=,0=xx v ,0=yy v ,2-==yx xy v v , 故，v 具有连续的二阶偏导数，且+xx v 0=yy v所以，),(y x v 在整个复平面上为调和函数. 3分 因为，x yvx u 2-=∂∂=∂∂ 所以⎰+-=-=)()2(2y g x dx x u又xvy u ∂∂-=∂∂ 所以)1(2)(y y g --='从而，c y y y g ++-=22)( 于是，))1(2(2)(22y x i c y y x z f -++-+-=（c 为常数）, 6分又2010)0(=f ，故2010=c ,所以))1(2(20102)(22y x i y y x z f -++-+-=. 7分。
中北大学2010-2011-1复变函数与积分变换答案
2010/2011学年第 一 学期期末考试试题答案及评分标准（A 卷） 复变函数与积分变换 一、（共 20 分 每小题 4 分）单项选择题 1、D ； 2、C ； 3、D ； 4、A ； 5、B ； 二、填空题（每题４分，共２０分）1、22k eππ+； 2、0； 3、3级极点； 4、22； 5、4e -；三、（共 5 分）证明函数R e z z ω=在复平面上处处不解析。
证明: 2,x ixy ω=+ 2(,),(,),u x y x v x y xy == 2,0,,,x y x y u x u v y v x ==== …(2分) 满足C--R 条件,x y y x u v u v ==-的点为(0,0)， …(4分) 说明R e z z ω=只在0z =可导，其它点不可导，故处处不解析。
…(5分)四、（共16分，每小题8分）计算下列积分 1、计算积分()321zCe dz zz -⎰，其中其中C 为正向圆周2z =。
解：32(1)zez z -在C 内部有两个奇点0,1z z ==，由复合闭路定理有：12333222(1)(1)(1)zzzCC C eeeI dz dz dzz z z z z z ==+---⎰⎰⎰，其中12,C C 为分别包含0z = ，1z =的简单闭曲线的正向； …(3分）123333222121211!1zzzz C C z z eei e e z z dz dz i zz z z ππ=='⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰…(7分）33822(4)i e i i e πππ=-+=- …(8分）2、利用留数求实积分2422109x dx x x +∞-∞-++⎰。
解：2422()109x f x x x -=++，分母的次数比分子的次数高2次，分母没有实根，…(2分）所以2224242422222R e ,R e ,3109109109x z z dx i s i s i x x z z z z π+∞-∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤---⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰…(4分） ,3z i z i ==都为2422109z z z -++的一级极点， …(5分）故()()2242422242423222R e ,R e ,3109109222limlim 31091093112164812z i z i z z I i s i s i z z z z z z i z i z i z z z z i i i ππππ→→⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪=-+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭-⎛⎫=+=⎪⎝⎭。
复变函数1到5章测试题及答案
复变函数1到5章测试题及答案(总20页)--本页仅作预览文档封面，使用时请删除本页--- 2 -第一章 复数与复变函数(答案)一、 选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （A ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+-3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（D ）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i（C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（C ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线- 3 -６．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（A ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（D ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（B ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（D ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（C ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ） （A ）221=+-z z （B ）433=--+z z- 4 -（C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则12()f z z -=（C ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．000Im()Im()limz z z z z z →--（D ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（C ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（A ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 8arctan -π 3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z i 21+- 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 ie θ16- 5 -5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z522=++-z （或1)23()25(2222=+y x ） 的内部 ７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为 122=+y x８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 12i -+ 和 2i - 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为()2211u v -+= 10．=+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围． (]25,25[+-（或25225+≤+≤-z ）) 四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22. (当10≤≤a 时解为i a )11(-±±或)11(-+±a 当+∞≤≤a 1时解为)11(-+±a ) 五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或Im()0z =. 六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.- 6 -(像的参数方程为π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u ．表示w 平面上的椭圆1)215()217(2222=+v u ) 七、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .(1．)(z f 在复平面除去原点外连续，在原点处不连续； 2．)(z f 在复平面处处连续)第二章 解析函数（答案）一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( B )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( B )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( D )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x- 7 -（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( C )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2 （C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x + 5．函数)Im()(2z z z f =在0z =处的导数( A )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在 6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2- 7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是( C )（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数- 8 -（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( A )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．i i 的主值为( D )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2e π-11．z e 在复平面上( A )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( C )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( D )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( B )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( C )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz- 9 -（C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍 二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(limi +1 2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 常数 3．导函数x v i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 xv x u ∂∂∂∂,可微且满足222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f i 827427- 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f ic xyi y x ++-222或ic z +2c 为实常数6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z i 处可导 7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k8．复数i i 的模为),2,1,0(2 ±±=π-k e k9．=-)}43Im{ln(i 34arctan -- 10 -10．方程01=--z e 的全部解为),2,1,0(2 ±±=πk i k三、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -= （;sin )(z z f -='）2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x x ++-=（.)1()(z e z z f +='） 四、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. （c i z i z f )1(21)(2++-=.c 为任意实常数）第三章 复变函数的积分（答案）一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( D )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( D)（A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( B ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( C)（A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( B) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( A ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）1 7．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c ⎰+'+'')()()(2)( ( C )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ A ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( A )（A ）i π22（B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( C) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( C )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( D ) （A ）积分⎰=--ra z dz a z 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( D)(A)c iz +2 （B ） ic iz +2 （C ）c z +2 （D ）ic z +2 14．下列命题中，正确的是(C)（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( B )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 2 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(23 i π103．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd z z f ,其中2≠z ，则=')3(f 0 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz i π6 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c z dz i z e 5)(π 12iπ 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内 解析8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为 C x y +-)(21229．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a -3 10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为),(y x u -三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; （当10<<R 时，0； 当21<<R 时，i π8； 当+∞<<R 2时，0） 2.⎰=++22422z z z dz．（0） 四、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .（i π2）五、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(. （321ln 2)(ic c z c z f ++=（321,,c c c 为任意实常数））第四章 级 数（答案）一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( C )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( C )（A ）∑∞=+1)231(n n i （B ）∑∞=+1!)43(n nn i （C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为(D )（B ） ∑∞=+1)1(1n n i n （B ）∑∞=+-1]2)1([n n n in(C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( A )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( D )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( D )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( B ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为( A )（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( C )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( B ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的 11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( D)（A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n （B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( B )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 2)()(( B )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+=,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n n n z c 的收敛域为( A ) （A ）3141<<z （B ）43<<z（C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( C )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n n i z c 在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 发散2．设幂级数∑∞=0n nn z c 与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 12R R ≥ ．3．幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径=R22 4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立，其中=n c ),2,1,0()(!10)( =n z f n n 或（)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f ir z z n <<=-π⎰=-+ ）． 5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n ．6．设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为2R． 7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 211<-<z ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!1 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R π ．10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ∑∞=+--02)()1(n n nn i z i 三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式． （)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ，),2,1,0(})251()251{(5111 =--+=++n a n n n ） 四、求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算∑∞=122n n n 之值.（3)1()1()(z z z z f -+=，6）五、将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成洛朗级数.（n n nk k z k n z z z z z z )1()1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+）第五章 留 数(答案)一、选择题： 1．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( D ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f的( B )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 3．设0=z 为函数zz ex sin 142-的m 级极点，那么=m ( C ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( D ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323z z z ++的( B ) (A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 二级极点 （D ）本性奇点6．设∑∞==0)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k zz f s ( C ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( A ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ D ）（A ） 21)(ze zf z -= （B ）z z z z f 1sin )(-= （C ）z z z z f cos sin )(+= (D) ze zf z 111)(--= 9．下列命题中，正确的是( C )（A ） 设)()()(0z z z z f m ϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s（C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s（D ） 若0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos [Re 3zi z s ( A ) （A ）32- （B ）32 （C ）i 32 （D ）i 32- 11．=-],[Re 12i ez s i z ( B) （A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +65 12．下列命题中，不正确的是( D)（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s（B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-= （D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(zf 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞ 13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( A ) (A)0 （B ）i π2 （C ）n i π2 （D ）i n π214．积分=-⎰=231091z dz z z ( B ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5i π 15．积分=⎰=121sin z dz z z ( C ) （A ）0 （B ）61-（C ）3i π- （D ）i π- 二、填空题 1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m 9 ．2．函数z z f 1cos 1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k． 3．设函数}1exp{)(22zz z f +=，则=]0),([Re z f s 0 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s m - ． 5．设212)(zz z f +=，则=∞]),([Re z f s -2 ． 6．设5cos 1)(z z z f -=，则=]0),([Re z f s 241- ． 7．积分=⎰=113z z dz e z 12i π ．8．积分=⎰=1sin 1z dz z i π2 ． 三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e z z ．(i π-316) 四、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数． 五、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．。
自考复变函数真题及答案
2010年4月高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导 D.解析 3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2y D.f (z )=2x +iy 4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰Cz z d ||=( )A.2πiB.0C.1D.25.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-Cz z z)2(d =( )A.-πiB.0C.πiD.2πi6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-Ciz i z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i7.z =0是3sin z z 的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.4 8.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.zzsin B.2)1(1-z zC.z1e D.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1 C.1D.2 10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
(完整版)复变函数试题及答案
-5四123456五1一二三四2、、、、、、、、5、、、填（1611-计求将计计求设证使单判计B计证空e算函函算算将函明符选断算i1算明题n）9积数数积实单数：合题题题2题题（解，2分分积位在D条（（（，（（每不析fff2分圆件每每每z7每每小存zzz函CC3e小小小小小在题在zL数CIxz0=2题题题2题题区解的z221zzd1k402y321域2析z零226，共(Di分1k6a7，点分分分=1iD形0，x分z分80z且是zd，，，2，5内,c映,视））1满doC孤本共共共A±1解射iL答zs:足立质，2在…1析成题2134在的6的，x006C），z单情：2C所分分分(证，位a况f9有1i）））i y明圆的可23孤2711n：去)酌01C1立+w函52心情，1z奇iy数的邻给8点41D直域21的（2i，1线内n1f，分包9u，段分展zA式括，1，成也f0线15共洛在2性01n9朗）A变D21z0级处换内分数2的解1n）w留（析,数并nL指z1出,2 收敛）的域函数____________________________________________________________________________________________________________ f z
1 解： C 的参数方程为： z=i+t, 0 t 1 dz=dt
x
y
ix 2
dz ＝
1
t
1
it 2 dt =
1
i
C
0
23
2 解: z 1为 f z 一阶极点
z 1 为 f z 二阶极点
2
2k
1, 2 ) ， 4 ei ln 2 e 4
(k=0, 1, 2 )
5
i , 6 0, 7
复变函数考试题A答案
滨州学院2012-2013学年第一学期期末考试数学与应用数学(本)2010级《复变函数》试卷(A)参考答案及评分标准一、填空(每题1分，共10分)1．-3，4 2．1 3．4π 4．10i e θ 5．()x iy f z e ++ 6. 1 7. 128. 不存在 9．4 10. 三阶极点，0 二、判断(每题2分,共20分)1. ×2. √3. √4. √5. √6. √7. ×8. √9. × 10. √三、选择(每题4分,共20分)1. B2.D3.B4.C5.B四、解答(每题5分,共35分)1. 求导数243(1)()z f z z+=. 23322464(1)23(1)'()z z z z z f z z +⋅⋅-⋅+= ………………………………(3分) 2324(1)(53)z z z+-= ………………..…………………………(5分) 2. 求解析函数()f z u iv =+，其中22,()1u x xy y f i i =+-=-+.根据C-R 条件，2x y u x y v =+=，2y x u x y v =-=-.所以 222211()()(2)22f z x xy y i xy y x C =+-++-+，…………………(3分) 将()1f i i =-+代入，得到 12C =. 因此 2222111()()(2)222f z x xy y i xy y x =+-++-+……………………(5分) 3. 计算积分(21)(2)C dz z z +-⎰(其中1z =). (21)(2)C dz z z +-⎰112221C z dz z -=+⎰…………………………………………(3分) 121122()225z i i z ππ=-=⋅=--…………….……………(5分)4．利用留数计算积分2sin (1)z z dz z z =-⎰. 2sin (1)z z dz z z =-⎰01sin sin 2(Re Re )(1)(1)z z z z i s s z z z z π===+--…………………………(3分) 01sin sin 2()1z z zzi z z π===+-2sin1i π=⋅…………………………………………………(5分)5．讨论函数3223()3(3)f z x xy i x y y =-+-的可微性和解析性.由于222233,33,x y u x y v x y =-=-6,6,y x u xy v xy =-=………………(3分) 可见偏导函数处处连续并且满足C-R 条件, 故()f z 在复平面上处处可微， 处处解析. ……………………………………………………………………(5分)6．将函数1()1z f z z -=+在12z -<内展成幂级数. 1111()(1)111212z z f z z z z z --==-=-+++…………………………………(3分) 100111(1)()(1)(),1 2.222n n n n n n z z z z +∞∞==---=-=--<∑∑………………(5分) 7．将函数21()(1)z f z z z +=-在01z <<内展为洛朗级数. 22112()(1)(1)1z f z z z z z+==---……………………………………………(3分) 22012.n n z z ∞-==-∑…………………………………………………………(5分) 五、证明(15分) 用儒歇定理证明代数基本定理.令 101(),()...n n n f z a z z a z a ϕ-==++.当z 在充分大的圆周:C z R =上时，有110()...()n n n z a R a a R f z ϕ-≤+<= 利用儒歇定理，在圆z R <内()()f z z ϕ+与()f z 有相同个数的零点，即()()f z z ϕ+ 在圆z R <内有n 个根. …………………………………………………………(3分) 另外，在圆周0:C z R R =≥上或其外部任意一点0z ,有1100100010......n n n n n n a z a z a a z a z a --+++≥-++00000n n a R a R >-=………(5分) 故方程101...0n n n a z a z a -+++=在z 平面上有且只有n 个根.。
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安徽工业大学2009－2010学年复变函数第二学期末考试试题卷（A ）评分标准与参考答案一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．设z=0为函数2z41ez sin z-的m 级极点，则m=（C ）A. 5B. 4C. 3D. 2 2．设(1)(1,2,),4nn ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=( C )A 0 B. 1 C. i D.不存在3．下列级数中，条件收敛的级数为（C ）A.∑∞=1n ni )231(+ B.∑∞=1n nn i !)43(+C.∑∞=1n ninD.∑∞=1n 1)1(++-n i n4．下列命题中，正确的是（C ）A.设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =.B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数.C.若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu ∂∂为D 内调和函数.D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数.5．下列数中，为实数的是（B ）A.3)1(i - B. i cos C. Lni D. ie23π-6．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ）A. iB. -iC. 1D. -1 7．使得22z z =成立的复数z 是（D ） A.不存在 B.唯一的 C.纯虚数 D.实数.8．设z 为复数，则方程__||2z z i +=+的解（B ） A.i +-43 B.i +43C.i -43D.i --439.函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的（B ）条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要10.若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在2=z 处的敛散性为（A ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11.⎰=ii zdz 223-.12.不等式522<++-z z 表示的区域为的内部椭圆14/94/2522=+yx. (注：区域的表示形式也可为图形或文字描述，正确即可.)13.31=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.14.幂级数n nznnn !=∞∑1的收敛半径为e.15.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则)(z f '=_1_. 16.z=0是函数z-sinz 的_3_阶零点.三、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）17．函数sin z 在区域1||<z 内为有界函数.18.若)(z f 与)(z f 都在区域D 内解析，则)(z f 在D 内必为常数. 19. 对于任意自然数n>1,方程1=n z 的n 个解之和为零. 20.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散.21.函数)(z f 在点0z 可微等价于)(z f 在点0z 解析. 22． 0=z 是函数z1sin1的孤立奇点.四、计算题(每小题6分，共18分)23．（6分）设C 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，求⎰-cdz iy x )(2.解：曲线C 的参数方程为10,)(2<<+=t it t t z ，所以()⎰⎰+-=-1222)2)((dti t it tdz iy x c⎰+-=123)2()1(dt it t ii 121127+=. 6分24．（6分）求函数zz z 212-+在有限奇点处的留数解：设函数zz z z f 21)(2-+=，则)(z f 的所有有限孤立奇点有:,01=z 22=z ，且它们都是一阶极点，所以=)0,(Re f s 0|21=-+z z z 21-=，=)2,(Re f s 2|1=+z zz 23=. 6分25．（6分）求⎰-czdz z e2，其中C ：12=-z 的正向.解：设2)(-=z ez f z，则)(z f 在C 所围的区域内只有唯一的奇点2=z ，且z e 在C 及其内部是解析的，所以由柯西积分公式有：⎰-czdzz e22|2==z zie π=22ieπ 6分五、解下列各题（每小题7分，共28分） 26．（7分）将函数2)1(1)(-=z z z f 在区域+∞<<z 1内展开为罗朗级数．解：在区域+∞<<||1z 内，1||1<z ，于是∑∑∞=∞===-⋅=-1111111111n nn nzzzzzz所以)11()1(12'--=-z z )'1(1∑∞=-=n nz11n n n z∞+==∑5分从而，2)1(1)(-=z z z f 2132n nn n n n zz∞∞+==-==∑∑. 7分(注：级数表达形式不惟一，正确即可.)27．（7分）计算积分⎰=+1||31z dzz ，从而证明⎰=++πθθθ0cos 610cos 31d .解及证：因为31+z 在圆盘1||≤z 内解析，故由柯西积分定理可得：311||=+⎰=z dz z . 3分而，1||=z 的参数方程为πθπθ≤≤-=,i e z所以⎰⎰⎰--+++-=+=+=ππππθθθθθθθθ3sin cos )cos sin (330i d i e d ie z dz ii C⎰⎰⎰---++++-=++-+-=ππππππθθθθθθθθθθθθθd i d d i i 10cos 6cos 3110cos 6sin 3sin )3(cos )sin 3)(cos sin cos (22所以，010cos 6cos 31=++⎰-ππθθθd而010cos 6cos 31210cos 6cos 310=++=++⎰⎰-πππθθθθθθd d所以.010cos 6cos 310=++⎰πθθθd 7分28．（7分）利用留数计算积分dzzz z ⎰=-2351．解：351zz -在2||=z 内部的孤立奇点有：01=z ,12=z ,13-=z ,其中01=z 为三阶极点，12=z ,13-=z 为一阶极点. 由留数定理dz zzz ⎰=-2351)]1,1(Re )1,1(Re )0,1([Re 2353535--+-+-=zz s zz s zz s i π4分又),1(Re )1,1(Re )1,1(Re )0,1(Re 35353535∞--=--+-+-zz s zz s zz s zz s 而，),1(Re 35∞-zz s )0,1111(Re 352zzzs -⋅-=0)0,1(Re 23=--=zzs所以dzzz z ⎰=-2351=0 7分29．（7分）证明)1(2y x v -=为调和函数，并求解析函数ivu z f +=)(使得2010)0(=f ．证及解：),1(2y v x -=x v y 2-=,0=xx v ,0=yy v ,2-==yx xy v v , 故，v 具有连续的二阶偏导数，且+xx v 0=yy v所以，),(y x v 在整个复平面上为调和函数. 3分 因为，x yv xu 2-=∂∂=∂∂所以⎰+-=-=)()2(2y g x dx x u又xv yu ∂∂-=∂∂所以)1(2)(y y g --='从而，c y y y g ++-=22)(于是，))1(2(2)(22y x i c y y x z f -++-+-=（c 为常数）, 6分又2010)0(=f ，故2010=c ,所以))1(2(20102)(22y x i y y x z f -++-+-=. 7分。