人教A版高二数学选修2-3《2.3.2事件的独立性》小题训练
高中数学 2.2.2事件的相互独立性课后训练 新人教a版选修2-3
2.2.2 事件的相互独立性A组1.两个射手彼此独立射击一目标,甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,在一次射击中,甲、乙同时射中目标的概率是( )A.0.72B.0.85C.0.1D.不确定解析:甲、乙同时射中目标的概率是0.9×0.8=0.72.答案:A2.一袋中有除颜色外完全相同的3个红球,2个白球,另一袋中有除颜色外完全相同的2个红球,1个白球,从每袋中任取1个球,则至少取1个白球的概率为( )A. B. C. D.解析:至少取1个白球的对立事件为从每袋中都取得红球,从第一袋中取1个球为红球的概率为,从另一袋中取1个球为红球的概率为,则至少取1个白球的概率为1-.答案:B3.从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他标准合格的概率为,从中任选一名学生,则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A. B. C. D.解析:该生三项均合格的概率为.答案:B4.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( )A. B. C. D.1解析:设事件A表示“甲通过听力测试”,事件B表示“乙通过听力测试”.依题意知,事件A和B相互独立,且P(A)=,P(B)=.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C,则C=AB,且AB互斥.故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=.答案:C5.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军,若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )A. B. C. D.解析:根据题意,由于甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军,根据两队每局中胜出的概率都为,则可知甲队获得冠军的概率为.答案:D6.加工某一零件需经过三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为.解析:加工出来的零件的正品率是,因此加工出来的零件的次品率为1-.答案:7.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是.解析:设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥.∴至少两颗卫星预报准确的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案:0.9028.计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为;在上机操作考试中合格的概率分别为.所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大?(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率.。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：2.2.2事件的相互独立性
2．2.2 事件的相互独立性填一填1.相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立．(2)性质：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． ②如果A 与B 相互独立，那么P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )． 2．n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．3．独立事件的概率公式(1)若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )×P (B )；(2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n ).判一判判断(1．不可能事件与任何一个事件相互独立．(√) 2．必然事件与任何一个事件相互独立．(√)3．如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(√) 4．“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．(√) 5．对事件A 和B ，若P (B |A )＝P (B )，则事件A 与B 相互独立．(√)6．若事件A ，B 相互独立，则P (A － B －)＝P (A －)×P (B －)．(√)7．若事件A 与B －想一想1.提示： 相互独立事件 互斥事件条件 事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符合相互独立事件A ，B 同时发生，记作：AB 互斥事件A ，B 中有一个发生，记作：A ∪B (或A ＋B )计算公式P (AB )＝P (A )P (B ) P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )提示：(1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立；(2)判定两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．3．求相互独立事件同时发生的概率的步骤． 提示：(1)首先确定各事件之间是相互独立的． (2)确定这些事件可以同时发生． (3)求出每个事件的概率，再求积．4．较为复杂事件的概率的方法及步骤是怎样的？提示：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．思考感悟：练一练1.，则其中恰有一人击中目标的概率为( )A ．0.64B ．0.32C ．0.56D ．0.48解析：“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A B －)，另一种是甲未击中乙击中(即A －B )，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A B －与A －B 是互斥的，所以所求概率为P ＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32. 答案：B2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45.所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.答案：353．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．解析：设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P (A B － C －)＋P (A － B C －)＋P (A － B － C )＝P (A )·P (B －)·P (C －)＋P (A －)·P (B )·P (C －)＋P (A －)·P (B －)·P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250. (2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－45×35×710＝83125.知识点一 相互独立事件的判断1.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．解析：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16.所以P (AB )＝P (A )·P (B )， 所以事件A 与B 相互独立．2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥的事件B ．相互独立的事件C ．对立的事件D ．不相互独立的事件解析：P (A 1)＝35，若A 1发生，则P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，则P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，故A 1与A 2不是相互独立事件．故选D.答案：知识点二 相互独立事件的概率3.若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0 B.116C.14D.12解析：EF 代表E 与F 同时发生，所以P (EF )＝P (E )P (F )＝116.答案：B4．若事件A 和B 是相互独立事件，且P (AB )＝0.48，P (A － B －)＝0.08，P (A )>P (B )，则P (A )的值为( )A ．0.5B ．0.6C ．0.8D ．0.9解析：P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.48 ①，P (A － B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]·[1－P (B )]＝1－P (A )－P (B )＋P (A )·P (B )＝0.08，即P (A )＋P (B )＝1.4 ②，由①②及P (A )>P (B )，解得P (A )＝0.8.答案：C知识点三 综合知识运用5.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )A.13B.23C.12D ．1 解析：设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A 和B 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ，则C ＝A B －∪A －B ，且A B －和A －B 互斥．故P (C )＝P (A B －∪A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－12×13＝12. 答案：C6．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.4解析：法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选A 项．答案：A7．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率．(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列．解析：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.因为事件A 与B 相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.(或P (A B －)＝C 12·C 34C 23·C 35＝415)．(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35，因为X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475， P (X ＝1)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (ABC )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075，P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A －BC )＋P (A B －C ) ＝23×35×25＋13×35×35＋23×25×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，所以X 的分布列为X 0 1 2 3P 475 2075 3375 1875基础达标一、选择题1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥解析：对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．故选A.答案：A2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )A.1425B.1225C.34D.35解析：P 甲＝810＝45，P 乙＝710，所以P ＝P 甲·P 乙＝1425.答案：A3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析：依题意得P (A )＝12，P (B )＝16，事件A ，B 中至少有一件发生的概率等于1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712.答案：C4．有一道数学难题，学生A 解出的概率为12，学生B 解出的概率为13，学生C 解出的概率为14.若A ，B ，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( ) A ．1 B.624C.1124D.1724解析：一道数学难题，恰有一人解出，包括：①A 解出，B ，C 解不出，概率为12×23×34＝14，②B 解出，A ，C 解不出，概率为12×13×34＝18，③C 解出，A ，B 解不出，概率为12×23×14＝112.所以恰有1人解出的概率为14＋18＋112＝1124.答案：C5．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13解析：设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (B )＝23.故P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×23＝49.答案：A6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.12解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.答案：A7．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14解析：记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C －)P (D －)[1－P (AB )]＝12×12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝316.∴灯亮的概率为1－316＝1316. 答案：C 二、填空题8．两个人通过某项专业测试的概率分别为12，23，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．解析：二人均通过的概率为12×23＝13，∴至多有一人通过的概率为1－13＝23.答案：239．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，B 发生的概率为1－p ，则A 与B 同时发生的概率的最大值________．解析：事件A 与B 同时发生的概率为p (1－p )＝p －p 2(p ∈[0,1])，当p ＝12时，最大值为14.答案：1410．下列各对事件中为相互独立事件的有________(填序号)．①甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；②一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出一个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”；③一筐中有6个苹果和3个梨，“从中任意取出一个，取出的是苹果”与“把苹果再放回筐中，再从筐中任意取出1个，取出的是梨”．解析：判断两个事件A ，B 是否相互独立．可以看事件的发生对事件B 发生的概率是否有影响，也可以用定P (AB )＝P (A )P (B )来判断．答案：①③11．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________.解析：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C ，由题意可知A ，B ，C 是相互独立事件．由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05，P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1，P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125，得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.答案：0.2 0.25 0.512．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.答案：0.128 三、解答题13．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率． (2)至少有一个气象台预报准确的概率．解析：记“甲气象台预报天气准确”为事件A ，“乙气象台预报天气准确”为事件B .显然事件A ，B 相互独立，且P (A )＝45，P (B )＝34.(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率P (AB )＝P (A )P (B )＝45×34＝35.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P ＝1－P (AB )＝1－P (A －)P (B －)＝1－15×14＝1920.14．计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为35，34，23；在上机操作考试中合格的概率分别为910，56，78.所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？ (2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．解析：“甲理论考试合格”为事件A 1，“乙理论考试合格”为事件A 2，“丙理论考试合格”为事件A 3，i ＝1,2,3；记“甲上机考试合格”为事件B 1，“乙上机考试合格”为事件B 2，“丙上机考试合格”为事件B 3.(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A ，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B ，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C ，则P (A )＝P (A 1)P (B 1)＝35×910＝2750，P (B )＝P (A 2)P (B 2)＝34×56＝58，P (C )＝P (A 3)P (B 3)＝23×78＝712，有P (B )>P (C )>P (A )，故乙获得合格证书的可能性最大．(2)记“三人计算机考试都获得合格证书”为事件D .P (D )＝P (A )P (B )P (C )＝2750×58×712＝63320.所以，这三人计算机考试都获得合格证书的概率为63320.能力提升15.某城市有甲、乙、丙30.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．解析：设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A 1，A 2，A 3，已知A 1，A 2，A 3相互独立，且P (A 1)＝0.4，P (A 2)＝0.5，P (A 3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.则P (ξ＝3)＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A －1·A －2·A －3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＋P (A －1)·P (A －2)·P (A －3) ＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24. P (ξ＝1)＝1－0.24＝0.76. 所以分布列为：ξ 1 3 P 0.76 0.2416.的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (3)求ξ的分布列．解析：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08xy (1－z )＝0.12，(1－x )(1－y )(1－z )＝0.12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5.所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，则ξ＝0. 当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，所以P (A )＝P (ξ＝0)＝xzy ＋(1－x )(1－y )(1－z )＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A 的概率为0.24.(3)根据题意，知ξ可能的取值为0,2，P (ξ＝0)＝0.24. 根据分布列的性质，知P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)＝0.76. 所以ξ的分布列为ξ 0 2 P 0.24 0.76。
2021人教版高中数学同步a版选修2-3(理科必考)模块练习题--2.2.2 事件的相互独立性
2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 2.2.2 事件的相互独立性基础过关练题组一 条件概率1.(2020北京昌平高三第三次月考)将三枚质地均匀的骰子各掷一次并观察其正面朝上的点数,设事件A 为“三个点数都不相同”,事件B 为“至少出现一个6点”,则P(A|B)的值为( ) A.6091 B.12C.518D.912162.(2019河南南阳高二期末)某班有6名班干部,其中4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为( ) A.25 B.35C.12D.233.(2019吉林长春实验中学高二期末)某市气象台统计,7月15日该市某区下雨的概率为415,刮风的概率为215,既刮风又下雨的概率为110,设事件A 表示这一天会下雨,事件B 表示这一天会刮风,那么P(A|B)=( ) A.12 B.34C.25D.384.(2019江西九江高二上学期期末)某射击手射击一次命中的概率为0.8,连续射击两次均命中的概率是0.6,已知该射击手第一次命中,则他第二次也命中的概率是( )A.34B.45C.35D.7105.(2019内蒙古赤峰第二中学高二期末)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(B|A)=( )A.14 B.34C.29 D.596.(2019重庆江津中学、合川中学等七校高二下学期期末联考)袋中装有10个形状、大小均相同的小球,其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球,记事件A为“第一次摸出的是红球”,事件B为“第二次摸出的是白球”,则P(B|A)=( )A.25B.415C.49D.597.(2019广西桂林高二期末)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )A.0.75B.0.6C.0.52D.0.488.(2019广东广州高二期末)从1、2、3、4、5、6中任取两个数,记事件A:取到的两个数之和为偶数,事件B:取到的两个数均为偶数,则P(B|A)=( ) A. B.14C.13D.129.(2019福建莆田六中高二上学期期中)已知P(B|A)=13,P(A)=35,则P(AB)= .题组二 事件的相互独立性的判断10.(2019陕西咸阳高二期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不是相互独立事件的是( ) A.“两次得到的点数和是12” B.“第二次得到6点” C.“第二次的点数不超过3” D.“第二次的点数是奇数”11.(2019天津耀华中学高二期末)设M,N 为两个随机事件,给出以下命题:(1)若M,N 为互斥事件,且P(M)=15,P(N)=14,则P(M ∪N)=920;(2)若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则M,N 为相互独立事件;(3)若P(M )=12,P(N)=13,P(MN)=16,则M,N 为相互独立事件;(4)若P(M)=12,P(N )=13,P(MN)=16,则M,N 为相互独立事件;(5)若P(M )=12,P(N )=13,P(M N )=56,则M,N 为相互独立事件.其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4题组三 事件的相互独立性的应用12.(2020天津高三上学期期中)现让两个实习生每人加工一个零件.已知他们加工的零件为一等品的概率分别为56和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.13C.512D.1613.甲骑自行车从A 地到B 地,途中要经过三个十字路口.已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才遇到红灯的概率是( ) A.13B.49C.427D.12714.(2019福建莆田一中高二期中)为了提高学生的身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员正进行投篮练习,若他前一球投进则后一球投进的概率为34,若他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1个球投进的概率为34,则他第3个球投进的概率为( ) A.34B.58C.116D.91615.(2019北京大兴高二期末)甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛,首先甲、乙一组,丙、丁一组进行比赛,然后两组的胜者进入决赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示,表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 0.5 丁0.20.60.5那么甲获得冠军且丙获得亚军的概率是( ) A.0.15 B.0.105 C.0.045 D.0.2116.(2020四川广安、遂宁、资阳等七市高三上学期第一次诊断性考试)某项羽毛球单打比赛采用三局两胜制,若运动员甲、乙两人进入了男子羽毛球单打决赛,假设甲每局比赛获胜的概率都为23,且每局比赛是否获胜互不影响,则由此估计甲获得冠军的概率为 . 17.(2020湖南益阳高三上学期期末)在一个不透明的箱中装有形状、大小均相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人轮流从箱中摸球,每次摸取一个球,规则如下:若摸到绿球,则将此球放回箱中可继续再摸;若摸到红球,则将此球放回箱中改由对方摸球.若甲先摸球,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的概率是 .18.(2020江西南昌第八中学高三上学期期末)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .19.(2019江西上饶高二月考)在一只布袋中装有形状、大小均相同的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16颗绿棋子.某人无放回地依次从中摸出2颗棋子,则第1次摸出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率是 .20.一射击手对同一目标独立地进行4次射击,已知他至少命中一次的概率为8081,则此射击手的命中率是 .21.若事件A,B,C 相互独立,且P(AB)=16,P(B C)=18,P(AB C )=18,则P(B)= ;P(A B)= .能力提升练一、选择题1.(2019湖南长沙一中高二月考,★★☆)在形状如图所示的两个游戏盘(图①是半径分别为2和4的两个同心圆,圆心为O;图②是正六边形,点P为其中心)中各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分的概率是( )A.116B.18C.16D.142.(2019广东广州执信中学上学期高二测试,★★☆)某公交线路的某区间内共设置四个站点(如图),分别记为A0,A1,A2,A3,现有甲、乙两人同时从A0站点上车,且他们中的每个人在站点A i(i=1,2,3)下车是等可能且相互独立的,则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为( )A.23B.34C.35D.123.(2019四川成都第七中学高三一模,★★☆)如果{a n}不是等差数列,但∃k∈N*,使得a k+a k+2=2a k+1,那么称{a n}为局部等差数列.已知数列{x n}的项数为4,记事件A为“{x1,x2,x3,x4}⊆{1,2,3,4,5}”,事件B为“{x n}为局部等差数列”,则P(B|A)=( )A.415B.730C.15D.164.(2019山东潍坊寿光现代中学高二期末,★★☆)在荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶上),如图所示,而且按逆时针方向跳的概率是按顺时针方向跳的概率的两倍.假设现在青蛙在A 叶上,则跳三次之后仍停在A 叶上的概率是( )A.13B.29C.49D.827二、填空题5.(★★☆)某家公司用三台机器A 1,A 2,A 3生产同一种产品,生产量分别占总产量的12,13,16,且其产品的不良率分别占其产量的2.0%,1.2%,1.0%,则任取此公司的一件产品,其为不良品的概率是 ,若已知此产品为不良品,则其是由A 1生产出来的概率是 .6.(★★☆)在一次象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者,则乙连胜四局的概率为 .7.(★★☆)甲、乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,则比赛结束,甲胜出;若乙赢两局,则比赛结束,乙胜出.已知每一局中甲、乙两人获胜的概率分别为25、35,则甲胜出的概率为 .8.(★★☆)甲袋中有形状、大小均相同的5个白球,7个红球;乙袋中有形状、大小均相同的4个白球,2个红球,从两个袋子中选出一袋,然后从其中任取一球,则取到白球的概率是.三、解答题9.(2019四川成都高二期末,★★☆)为了促进学生的全面发展,某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设,2019年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和,至少他本人的才艺能力判断,该学生两个社团都能进入的概率为124,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理进入一个社团的概率为38社”的概率.(1)求该同学通过考核选拔进入“电影社”的概率p1和进入“心理社”的概率p2;(2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1的概率.答案全解全析 基础过关练1.A ∵P(A|B)=P(AB)P(B),P(AB)= 6063 =518,P(B)=1-P(B )=1-5363=1-125216=91216,∴P(A|B)=P(AB)P(B)=51891216=6091,故选A.2.A 由题意,设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则P(A)= C 52C 63= 1020= 12,P(AB)= C 41C 63= 15,所以P(B|A)=P(AB)P(A)= 25,故选A.3.B 由题意,可知P(A)=415,P(B)=215,P(AB)=110,利用条件概率的计算公式,可得P(A|B)=P(AB)P(B)=110215=34,故选B.4.A 设该射击手第一次命中,第二次也命中的概率为P,∵该射击手射击一次命中的概率为0.8,连续射击两次均命中的概率是0.6, ∴0.8P=0.6,解得P=34.故选A.5.A 易知事件AB 为“四名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(AB)=A 3344,P(A)=A 4444,∴P(B|A)=P(AB)P(A)=A 3344·44A 44=14.故选A.6.C 由题意得,P(A)=610=35,P(AB)=610×49=415,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=49,故选C.7.A 记事件A:该元件使用寿命超过1年,事件B:该元件使用寿命超过2年,则P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.6,因此,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概 率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.8=0.75,故选A.8.D 事件A 包含两种情况:取到的两个数均为奇数和取到的两个数均为偶数,所以P(A)=C 32+C 32C 62=25,P(AB)=C 32C 62=15,由条件概率的计算公式可得,P(B|A)=P(AB)P(A)=12,故选D.9.答案 15解析 ∵P(B|A)=13,P(A)=35,∴P(AB)=P(B|A)P(A)=15,故答案为15.10.A “第二次得到6点”“第二次的点数不超过3”“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立,而“两次得到的点数和是12”说明第一次和第二次都得到6点,故二者不是相互独立事件,故选A.11.C 若M,N 为互斥事件,且P(M)=15,P(N)=14,则P(M ∪N)=15+14=920,故(1)正确;若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则由相互独立事件的定义可知M,N 为相互独立事件,故(2)正确;若P(M )=12,P(N)=13,P(MN)=16,则P(M)=1-P(M )=12,P(MN)=P(M)·P(N),所以M,N 为相互独立事件,故(3)正确;若P(M)=12,P(N )=13,P(MN)=16,则当M,N 为相互独立事件时,P(N)=1-P(N )=23,P(MN)=12×23=13≠16,故(4)错误;若P(M )=12,P(N )=13,P(M N )=56,则P(M N )=P(M )×P(N )=12×13=16≠56,所以M,N 不是相互独立事件,故(5)错误.故选C.12.B 记事件A 为“这两个零件中恰有一个一等品”,事件A 1为“仅第一个实习生加工的零件为一等品”,事件A 2为“仅第二个实习生加工的零件为一等品”,则P(A)=P(A 1)+P(A 2)=56×14+16×34=13,故选B.13.C 由题意知甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才遇到红灯的概率P=(1-13)×(1-13)×13=427.故选C.14.D 分以下两种情况讨论:①第2个球投进,其概率为34×34+14×14=58,第3个球投进的概率为58×34=1532;②第2个球投不进,其概率为1-58=38,第3个球投进的概率为38×14=332. 综上所述,第3个球投进的概率为1532+332=916,故选D.15.C 甲、乙比赛中甲获胜的概率是0.3,丙、丁比赛中丙获胜的概率是0.5,甲、丙决赛中甲获胜的概率是0.3,由相互独立事件的定义可知,甲获得冠军且丙获得亚军的概率为0.3×0.5×0.3=0.045.故选C. 16.答案2027解析 因为甲获胜的方式有2∶0和2∶1两种,所以甲获得冠军的概率P=(23)2+C 21×23×13×23=2027.故答案为2027.17.答案15128解析 设“甲摸到绿球”为事件A,“甲摸到红球”为事件A ,“乙摸到绿球”为事件B,“乙摸到红球”为事件B ,则P(A)=14,P(A )=34,P(B)=14,P(B )=34,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的情况是AA A (B+B ),A A B A,A B AA,所以P=14×14×34×1+14×34×34×14+34×34×14×14=15128.故答案为15128.18.答案 0.245解析 甲队以4∶1获胜包含的情况有:①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率p 1=0.3×0.7×0.5×0.5×0.7=0.036 75;②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率p 2=0.7×0.3×0.5×0.5×0.7=0.036 75;③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率p 3=0.7×0.7×0.5×0.5×0.7=0.085 75;④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率p 4=0.7×0.7×0.5×0.5×0.7=0.085 75,则甲队以4∶1获胜的概率p=p 1+p 2+p 3+p 4=0.036 75+0.036 75+0.085 75+0.085 75=0.245. 故答案为0.245. 19.答案831解析 由题意,无放回地依次从中摸出2颗棋子,则第1次摸出红棋子的概率是1632=12,第2次摸出绿棋子的概率是1631,由相互独立事件的定义可得,第1次摸出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率P=12×1631=831.故答案为831.20.答案 23解析 设此射击手每次射击命中的概率为P,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知,四次全都没有命中的概率为1-8081=181,所以(1-P)4=181,解得P=23或P=43(舍去),故答案为23.21.答案 12;13解析 由题意得,{P(A)P(B)=16,P(B)P(C)=18,P(A)P(B)P(C)=18, 又{P(B)+P(B)=1,P(C)+P(C)=1,所以{P(A)=13,P(B)=12,P(C)=14, 所以P(A B)=P(A )P(B)=23×12=13.能力提升练一、选择题1.A 记一局游戏后,这两个盘中的小球分别停在其阴影部分为事件A 1,A 2,由题意知,A 1,A 2相互独立,且P(A 1)=14π(42-22)42π=316,P(A 2)=13,所以“一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P(A 1A 2)=P(A 1)·P(A 2)=316×13=116.故选A.2.A 设事件A 为“甲、乙两人不在同一站点下车”, 由题意知甲、乙两人同在A 1站点下车的概率为13×13=19;甲、乙两人同在A 2站点下车的概率为13×13=19;甲、乙两人同在A 3站点下车的概率为13×13=19,所以甲、乙两人在同一站点下车的概率P(A )=3×19=13,则P(A)=1-13=23,故选A.3.C 由题意知,事件A 共包含C 54·A 44=120个基本事件,事件B 共包含24个基本事件,其中含1,2,3的局部等差数列分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3,共3个,含3,2,1的也有3个,总共6个, 同理,含3,4,5的和含5,4,3的有6个, 含2,3,4的和含4,3,2的有4个, 含1,3,5的和含5,3,1的有8个, ∴P(B|A)=24120=15.故选C.4.A 设按顺时针方向跳的概率为P,则按逆时针方向跳的概率为2P,由题意可得P+2P=3P=1,解得P=13,即按顺时针方向跳的概率为13,按逆时针方向跳的概率为23,若现在青蛙在A 叶上,跳三次之后仍停在A 叶上,则需满足按逆时针方向跳三次或者按顺时针方向跳三次.①若按逆时针方向跳,则对应的概率为23×23×23=827;②若按顺时针方向跳,则对应的概率为13×13×13=127,则所求概率为827+127=13,故选A.二、填空题 5.答案473 000;3047解析 由题意知,事件“任取此公司的一件产品,其为不良品”的概率P 1=12×2.0%+13×1.2%+16×1.0%=473 000,事件“已知此产品为不良品,则其是由A 1生产出来”的概率P 2=12×2.0%473 000=3047.6.答案 0.09解析 乙连胜四局,即乙先胜甲,然后胜丙,接着再胜甲,最后再胜丙,所以所求概率P=(1-0.4)×0.5×(1-0.4)×0.5=0.09. 7.答案1625解析 甲胜出的情况有两种,一种是甲第一局获胜,另外一种是甲第一局输了,第二局获胜.设事件A i 为“甲在第i 局获胜”(i=1,2),事件B 为“甲胜出”,则P(B)=P(A 1)+P(A 1A 2).依题意可得P(A 1)=P(A 2)=25,因为两场比赛相互独立,所以P(A 1A 2)=P(A 1)×P(A 2)=35×25=625,从而P(B)=25+625=1625.8.答案 1324解析 设事件A 为“取到甲袋”,事件B 为“取到白球”,分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋,则此时取到白球的概率P 1=P(A)·P(B|A),依题意可得P(A)=12,P(B|A)=512,所以P 1=12×512=524;若取出的是乙袋,则此时取到白球的概率P 2=P(A )·P(B|A ),依题意可得P(A )=12,P(B|A )=46=23,所以P 2=12×23=13.综上所述,取到白球的概率P(B)=P 1+P 2=1324.三、解答题9.解析 (1)由题意得{p 1p 2=124,1-(1-p 1)(1-p 2)=38,p 1<p 2,解得{p 1=16,p 2=14. (2)记该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为ξ,易知ξ的所有可能取值为0,0.5,1,1.5.又P(ξ=1)=(1-14)×16=18,P(ξ=1.5)=14×16=124,∴该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1的 概 率P=18+124=16.。
数学选修2-3优化训练：2.3.2事件的独立性 含解析 精品
2.3.2 事件的独立性5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A.12581 B.12554 C.12536 D.12527 答案:A 解析：两次击中的概率P 1=23C 0.62·(1-0.6)=12554，三次击中的概率P 2=0.63=12527,P 1+P 2=12581. 2.已知P(B)>0，A 1∩A 2=∅，则有( )A.P(A 1｜B)>0B.P(A 1∪A 2｜B)=P(A 1｜B)+P(A 2｜B)C.P(A 12A ｜B)≠0D.P(21A A ｜B)=1答案:B解析：A 1∩A 2=∅,∴A 1与A 2互斥.∴P(A 1∪A 2｜B)=P(A 1｜B)+P(A 2｜B).3.对于事件A 、B,正确命题是( )A.如果A 、B 互不相容,则A 、B 不相容B.如果A ⊂B,则A ⊂BC.如果A 、B 对立,则A 、B 也对立D.如果A 、B 互不相容,则A 、B 对立答案:C解析：∵A 、B 对立,则A=B ,B=A . ∴A 与B 也对立.4.设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,它能活到25岁的概率是_______________.答案:0.5解析：设A=“能活到20岁”，B ＝“能活到25岁”，则P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为P(B ｜A).由于B ⊆A,故A∩B ＝B.于是P(B ｜A)=8.04.0)()()()(==A P B P A P AB P =0.5,所以这个动物能活到25岁的概率是0.5.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.从应届高中生中选出飞行员,已知这批学生体型合格的概率为31,视力合格的概率为61,其他几项标准合格的概率为51,从中任选一学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)（ ） A.94 B.901 C.54 D.95 答案:B解析：P=901516131=⨯⨯. 2.某台机器上安装甲,乙两个元件,这两个元件的使用寿命互不影响,已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9,则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为（ ）A.0.3B.0.6C.0.75D.0.9 答案:C解析：设乙元件的使用寿命超过1年的概率为x,则两个元件中至少有一个使用寿命超过1年的概率为:1-(1-0.6)·（1-x ）≥0.9.解之得：x≥0.75,选C.3.两人同时向一敌机射击,甲的命中率为51,乙的命中率为41,则两人中恰有一人击中敌机的概率为( ) A.207 B.2012 C.211 D.101 答案:A解析：恰有一人击中敌机可分为两种情况:甲击中乙没击中,甲没击中乙击中.利用独立事件的概率可知.P=P(A ·B )+P(A ·B)=51×43+54×41=207. 4.甲盒中有200个螺杆,其中有160个A 型的,乙盒中有240个螺母,其中有180个A 型的,现从甲,乙两盒中各任取一个,则能配成A 型螺栓的概率为________________.答案:53 解析：从甲中取一个A 型螺杆的概率为P(A)=54, 从乙中取一个A 型螺母的概率为P(B)=43. ∵两者相互独立,∴P=P(A)·P(B)=53. 5.设有100个圆柱形零件,其中95个长度合格,92个直径合格,87个长度,直径都合格,现从中任取1件.求:(1)该产品是合格品的概率;(2)若已知该产品直径合格,求是合格品的概率;(3)若已知该产品长度合格,求是合格品的概率.解:(1)100个中有87个合格,故P=0.87.设事件A 为合格品,B 为长度合格,C 为直径合格,则有(2)P(A ｜B)=95.087.0)()(=B P A P ≈0.915 9. (3)P(A ｜C)=92.087.0)()(=C P A P ≈0.945 7. 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题的概率是p 2,那么恰好有1个人解决这个问题的概率是( )A.p 1·p 2B.p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1)C.1-p 1·p 2D.1-(1-p 1)(1-p 2) 答案:B解析：甲解决该问题的概率为p 1(1-p 2),乙解决该问题的概率为p 2(1-p 1),两事件互为独立事件.∴P=p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1).故选B.2.若P(A ·B)=0,则事件A 与事件B 的关系是( )A.互斥事件B.A 、B 中至少有一个为不可能事件C.互斥事件或至少有一个是不可能事件D.以上都不对答案:C3.事件A 与B 独立,则下列结论正确的是( )A.P(A)=0B.P(A)=1-P(B)C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(AB)=P(A)·P(B)答案:D解析：选项A 为不可能事件,选项B 为对立事件,选项C 为互斥事件同时发生的概率,所以D 正确.4.某机械零件加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为a,第二道工序的废品率为b,假定这两道工序出废品是彼此无关的,那么产品的合格率为( )A.ab-a-b+1B.1-a-bC.1-abD.1-2ab答案:A解析：出现合格品需两道工序均出现合格品,利用独立事件的概率为P=(1-a)(1-b)=ab-a-b+1.5.两台独立在两地工作的雷达,每台雷达发现飞机目标的概率分别为0.9和0.85,则有且仅有一台雷达发现目标的概率为___________,至少有一台雷达发现目标的概率为___________. 答案:0.22 0.985 仅有一台发现目标;第一台发现:p 1=0.9×0.15=0.135,第二台发现:p 2=0.1×0.85=0.085,∴P=0.135+0.085=0.22.至少有一台对立事件为全都不发现目标,则有P=1-0.1×0.15=0.985.6.有一批书共100本,其中文科书40本,理科书60本,按装潢可分精装、平装两种,精装书70本,某人从这100本书中任取一书,恰是文科书,放回后再任取1本,恰是精装书,这一事件的概率是___________.答案:257 解析：设“任取一书是文科书”的事件为A,“任取一书是精装书”的事件为B,则A,B 是相互独立的事件,所求概率为P(A ·B).据题意可知P(A)=5210040=,P(B)10710070= ∴P(A ·B)=P(A)·(B)=25710752=⨯. 7.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率为95%,乙厂产品的合格率是80%.若用A,A 分别表示甲,乙两厂的产品,B 表示产品为合格品,B 表示产品为不合格品,试写出有关事件的概率.解:P(A)=70%,P(A )=30%,P(B ｜A)=95%,P(B ｜A )=80%,故得P(B ｜A)=5%,P(B ｜A )=20%.8.如图,电路由电池A,B,C 并联组成，电池A,B,C 损坏的概率分别是0.3,0.2,0.2,求电路断电的概率.解:设A=“电池A 损坏”，P （A ）＝0.3;B=“电池B 损坏”，P （B ）=0.2;C=“电池C 损坏”，则P （C ）＝0.2.“电路断电”＝“A 、B 、C 三个电池同时损坏”=A ·B ·C ，由实际意义,知A 、B 、C 三个事件相互独立，于是P （电路断电）＝P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）＝0.3×0.2×0.2=0.012.9.有三批种子，其发芽率分别为0.9,0.8和0.7，在每批种子中各随机抽取一粒，求至少有一粒种子发芽的概率.解:设第一批种子发芽为事件A ，第二、三批种子发芽分别为事件B 、C.设至少有一粒种子发芽为事件D ，则D=A+B+C.又A ·B ·C 表示事件A 、B 、C 都不发生，故A ＋B ＋C 与A B ·C 是两对立事件.又A 、B 、C 为相互独立事件,∴P(D)=P(A+B+C)=1-P(A ·B ·C ) =1-P(A )P(B )P(C )=1-0.1×0.2×0.3=0.994.10.甲、乙、丙三部机床独立工作,由一个工人照管,且不能同时照管两部和两部以上机床,某段时间内,它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8和0.85,求在这段时间内,(1)三部机床都不需要人照管的概率;(2)有机床需要人照管的概率;(3)至少有两部机床需要人照管,而一人根本照管不过来而造成停工的概率.解:设“甲机床不需要人照管”为事件A，“乙机床不需要人照管”为事件B，“丙机床不需要人照管”为事件C，则P（A）=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.(1)三部机床都不需要人照管的事件用A·B·C表示，∵A、B、C相互独立，∴P（A·B·C）=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.8×0.85=0.612.（2）“有机床需要人照管”事件，即“至少有一部需要人照管”的事件，它的对立事件是“三部机床都不需要人看管”，故所求概率为1-P(A·B·C)＝1-0.612=0.388.（3）“停工”事件即为“至少有两部需人照管”的事件，用A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C表示，得P(A·B·C·A·B·C+A·B·C+A·B·C)=0.059.。
人教新课标版数学高二-选修2-3训练 事件的相互独立性
数学·选修2－3(人教A 版)2．2 二项分布及其应用 2．2.2 事件的相互独立性一、选择题1．若事件A ，B 相互独立，且P (A )＝P (B )＝35，则P (AB )＝( )A.325B.425C.925D.35解析：因为事件A ，B 相互独立，故P (AB )＝35×35＝925.故选C.答案：C2．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( )A ．2个球都是白球B ．2个球都不是白球C ．2个球不都是白球随机变量及其分布D ．2个球中恰好有一个白球解析：两个球都是白球的概率为16，故其对立事件2个球不都是白球的概率为1－16＝56.答案：C3．投掷一枚质地均匀硬币和一颗质地均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析：用间接法考虑，事件A ，B 一个都不发生的概率为P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512.则所求概率1－P (A B )＝712，故C 正确． 答案：C4．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A 型螺栓的概率为( )A.120B.1516C.35D.1920解析：设“从甲盒中取一螺杆为A 型螺杆”为事件A ，“从乙盒中取一螺母为A 型螺母”为事件B ，则A 与B 相互独立P (A )＝160200＝45，P (B )＝180240＝34，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A 型螺栓的概率为P ＝P (AB )＝P (A )P (B )＝45×34＝35.故选C.答案：C5．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23解析：由题意，可得，⎩⎪⎨⎪⎧P (A －)·P (B －)＝19，P (A )P (B －)＝P (A －)P (B )所以⎩⎪⎨⎪⎧[1－P (A )]·[1－P (B )]＝19，P (A )[1－P (B )]＝[1－P (A )]P (B )，所以P (A )＝P (B )＝23.故选D.答案：D二、填空题6．(2013·揭阳高二检测)已知A ，B ，C 为三个彼此互相独立的事件，若事件A 发生的概率为12，事件B 发生的概率为23，事件C 发生的概率为34，则发生其中两个事件的概率为__________．解析：由题意可知，所求事件的概率P ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＋12×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23×34＝1124. 答案： 11247．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为______(用数字作答)．解析：分情况讨论：若共有3人被治愈，则 P 1＝C 340.93×(1－0.9)＝0.291 6；若共有4人被治愈，则P 2＝0.94＝0.656 1.故至少有3人被治愈的概率为P ＝P 1＋P 2＝0.947 7.8．中国古代有田忌赛马的故事，若甲乙两队分别有上，中，下三等马，但甲队实力明显较弱，但若以甲队的下等马对乙队的上等马，甲赢的概率为0.1，以甲队的中等马对乙队的下等马，甲赢的概率为0.8，以甲队的中等马对乙队的下等马，甲赢的概率为0.7，若三局两胜制，则甲赢的概率是________________________________________________________________________．解析：甲赢有三种情况：一、二场赢，第三场输；一、三场赢，第二场输；二、三场赢，第一场输，概率分别是0.1×0.8×0.3,0.1×0.2×0.7,0.9×0.8×0.7，相加得甲赢的概率为0.542.答案：0.542三、解答题9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．解析：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，所以灯不亮的概率为P ＝P (A B )[1－P (CD )] ＝P (A )P (B )[1－P (CD )] ＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316. 所以灯亮的概率为1－316＝1316.10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 4950，求p的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．解析： (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 P (C )＝1－110p ＝4950 ，解得p ＝15.(2)由题意，P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎪⎫1102⎝⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫110⎝⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1100⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量ξ的概率分布列为：。
2018-2019学年高中数学(人教A版)选修2-3练习：2.2.2 事件的相互独立性Word版含解析
[A 基础达标]1．(2018·广州综合测试)投掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512 B.12 C.712D.34解析：选C.因为P (A )＝12，P (B )＝16，所以P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，所以P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.所以A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.2．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件是独立事件的组数为( ) ①A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出奇数点}； ②A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3点}； ③A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3的倍数点}； ④A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出的点数小于4}； A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选A.①P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝0，所以A 与B 不独立．②P (A )＝12，P (B )＝16，P (AB )＝0，A 与B 不独立．③P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16，P (AB )＝P (A )P (B )，所以A 与B 独立． ④P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝16，P (A )P (B )≠P (AB )，所以A 与B 不独立．3．某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A.12B.13C.23D.34解析：选B.因为该电路为通路的概率为6581，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581＝(1－p )4，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故选B.4．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．5．(2018·重庆外国语学校高二期末)已知A ，B 是相互独立事件，若P (A )＝0.2，P (AB ＋AB ＋AB )＝0.44，则P (B )＝( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6解析：选A.因为A ，B 是相互独立事件，所以A ，B 和A ，B 均相互独立．因为P (A )＝0.2，P (AB ＋A B ＋A B )＝0.44，所以P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.44，所以0.2P (B )＋0.8P (B )＋0.2[1－P (B )]＝0.44，解得P (B )＝0.3.6．某自助银行设有两台A TM 机．在某一时刻这两台ATM 机被占用的概率分别为13，12，则客户此刻到达需要等待的概率为________．解析：客户需要等待意味着这两台ATM 机同时被占用，故所求概率为P ＝13×12＝16.答案：167．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (A B C )＝18，则P (B )＝________，P (A B )＝________．解析：因为P (AB C －)＝P (AB )P (C －) ＝16P (C －)＝18， 所以P (C －)＝34，即P (C )＝14.又P (B C )＝P (B )·P (C )＝18，所以P (B )＝12，P (B )＝12.又P (AB )＝16，则P (A )＝13，所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝(1－13)×12＝13.答案：12 138．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按包装可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是________．解析：设“任取一本书是文科书”为事件A ，“任取一本书是精装书”为事件B ，则A ，B 是相互独立事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，所以P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725.答案：7259．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝0.5，P (B )＝0.6，P (C )＝0.9.(1)应聘者用方案一考试通过的概率为 p 1＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率为 p 2＝13P (AB )＋13P (BC )＋13P (AC )＝13×0.5×0.6＋13×0.6×0.9＋13×0.5×0.9 ＝0.43.10．如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一点(每次都能投中)，记“投中最左侧3个小正方形区域”为事件A ，“投中最上面3个小正方形区域”为事件B .(1)求P (AB )，P (B |A )；(2)试判断事件A 与事件B 是否相互独立.解：(1)根据几何概型，得P (AB )＝19，P (A )＝13，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1913＝13.(2)根据几何概型，得P (B )＝13，所以有P (B |A )＝P (B )，即P (B )＝P （AB ）P （A ），因而P (A )P (B )＝P (AB )．由独立事件的定义，得事件A 与事件B 相互独立．[B 能力提升]11．设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，89B.⎣⎡⎦⎤19，59 C.⎣⎡⎦⎤23，89D.⎣⎡⎦⎤0，49 解析：选D.设事件A ，B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (A B )＝P (A )P (B )＝(1－x )·(1－y )＝19，即1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy ，当且仅当x ＝y 时取“＝”，所以xy ≤23或xy≥43(舍去)，所以0≤xy ≤49.所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈⎣⎡⎦⎤0，49. 12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”， 则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34. 答案：3413．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×(1－56)×23＝445，。
高中数学人教A版选修2-3练习：2.2.2 事件的相互独立性 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”；②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”．这三个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【解析】 ①中，M ，N 是互斥事件；②中，P (M )＝35，P (N )＝12.即事件M 的结果对事件N 的结果有影响，所以M ，N 不是相互独立事件；③中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )P (N )，因此M ，N 是相互独立事件． 【答案】 C2．(2016·东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23表示( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率【解析】 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A ，B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A ，B 相互独立，所以1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．【答案】 C3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34 B.23 C.35D.12【解析】 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.【答案】 A4.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2-2-2所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是( )图2-2-2A.13 B.29 C.49D.827【解析】 青蛙跳三次要回到A 只有两条途径： 第一条：按A →B →C →A ， P 1＝23×23×23＝827； 第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 叶上的概率为 P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13. 【答案】 A5．如图2-2-3所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )图2-2-3A.49B.29C.23D.13【解析】 “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A ，则P (A )＝46＝23，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B ，则P (B )＝23，事件A ，B 相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49，故选A.【答案】 A 二、填空题6．(2016·铜陵质检)在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．【解析】 “从200个螺杆中，任取一个是A 型”记为事件B.“从240个螺母中任取一个是A 型”记为事件C ，则P (B )＝C 1160C 1200，P (C )＝C 1180C 1240.∴P (A )＝P (BC )＝P (B )·P (C )＝C 1160C 1200·C 1180C 1240＝35. 【答案】 357．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________. 【导学号：97270041】【解析】 用A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14，且P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝45×23×34＝25. 所以此密码被破译的概率为1－25＝35. 【答案】 358．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．【解析】 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A ，B ，C ，不准确记为A ，B ，C ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，P (A )＝0.2， P (B )＝0.3，P (C )＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C ，A B C ，A BC ，ABC ，这四个事件两两互斥且独立．所以至少两颗预报准确的概率为P ＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＋P (ABC )＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9 ＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902. 【答案】 0.902 三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【解】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．【解】设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列为：1．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23【解析】 由P (A B )＝P (B A )，得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A B )＝19， ∴P (A )＝P (B )＝13，∴P (A )＝23. 【答案】 D2.三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图2-2-4的电路中，电路不发生故障的概率是( )图2-2-4A.1532 B.932 C.732D.1732【解析】 记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34.不发生故障的事件为(A 2∪A 3)A 1， ∴不发生故障的概率为 P ＝P [(A 2∪A 3)A 1]＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×14×12＝1532.故选A.【答案】 A3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是12，14，两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________. 【导学号：97270042】【解析】 由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为14，14，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516. 【答案】 5164．在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．【解】 如图所示，分别记这段时间内开关J A ，J B ，J C 能够闭合为事件A ，B ，C .由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P (A －B －C －)＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7) ＝0.027.于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P (A －B －C －)＝1－0.027＝0.973.即在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.。
2020秋高中数学第二章事件的相互独立性达标练习含解析新人教A版选修2_3
新人教A版高中数学选修2_2第二章:第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2.2 事件的相互独立性A级基础巩固一、选择题1．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576解析：可知K、A1、A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为P K·P＝0.9×0.96＝0.864.答案：B2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )A．1－a－b B．1－abC．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)解析：设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．答案：C3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )甲乙A.116B.18C.316D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316.答案：C4．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是( )A.320B.15C.25D.920解析：法一 考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A ，“乙去某地”为事件B ，则至少1人去此地的概率为P ＝P (A )P (B —)＋P (A —)P (B )＋P (A )P (B )＝14×45＋34×15＋14×15＝25. 法二 考查对立事件：P ＝1－P (A —)P (B —)＝1－34×45＝25.答案：C5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19B.16C.13D.718解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次即为事件A —BC ＋AB —C ＋AB C ——的发生， 故概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：D 二、填空题6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．解析：从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35. 答案：357．已知A ，B，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B —C )＝18，P (ABC —)＝18，则P (AB )＝________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （AB ）＝16，P （BC ）＝18，P （ABC ）＝18，解得P (A )＝13，P (B )＝12.所以P (A —B )＝23×12＝13.答案：138．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192.答案：35192三、解答题9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．解：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P ＝P (A —B —)[1－P (CD )]＝P (A —)P (B —)[1－P (CD )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.10．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工，绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝⎛⎭⎪⎫1－56×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝190， 所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.B 级 能力提升1．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (— A )P (—B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．答案：C2．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥， 又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：343．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．解：(1)由题意，得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.(2)由题意可得ξ的可能取值为0，2，4，6，8.P (ξ＝0)＝14×12＝18， P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516， P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516， P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316， P (ξ＝8)＝14×14＝116.则所求ξ的分布列为：。
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2．32 事件的独立性
1.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为1p 、乙解决这个问题的概率为2p 、那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 。
2．右图的图框中的字母代表元件的种类，字母相同但是下标不同的为同一
元件，已知A,B,C,D 各类元件正常工作的概率依次为s r q p ,,,，且各元件的
工作是相互独立的，则此系统正常工作的概率为 。
3.从甲袋中摸出1个白球的概率为31，从乙袋中摸出1个白球的概率为2
1，从两个袋内各摸1个球，那么概率为6
5的是 。
（A ）2个球都是白球 （B ）2个球都不是白球
（C ）2个球不都是白球 （D ）2个球中恰好有1个白球
4．掷3颗骰子，已知所得的点数都不一样，则含有6点的的概率是 。
5．有4人同猜一个谜语，他们能够猜对的概率都是2
1，则他们同时猜对的概率为 。
6．某位同学解选择题的概率为0．1，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是 。
7．某举重运动员在1次试举中能打破世界记录的概率为p ，若在比赛中他试举3次，求他打破世界记录的的概率。
8．甲、乙两个人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别是31和4
1， 试求：（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率。
9．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气的概率分别是54和4
3，在同一时间内，求：（1）甲、乙同时预报天气准确的概率；（2）至少有一个气象台预报准确的概率。
A B
C D 1 D 2。