2020年四川省南充高中毕业班2月网上考试 文科数学(试题含答案)
2020年四川省南充高中毕业班2月网上考试 文科数学答案
高2017级月考数学试题（文）参考答案一、 选择题1-5：DBADB 6-10:ACDBC 11-12:CA 二、 填空题13: -2 14: 3 15: 2.5 16: π16 三、解答题17题 解：（1）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=----6312628n n n n a a a a --+=--+ 2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=-32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列………… （5分） （2）由（1）知，322nn n a a -=-，即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n nn n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-.1S (23)26n n n +∴=-⋅+…………………………………………………………………… ( 10分)2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ，87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.………… ( 12分)18题 （1）由直方图可知：，，．所以这个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个，个，个…………（3分）拥堵路段共有个，按分层抽样从个路段中选出个，每种情况分别为：，，，即这三个级别路段中分别抽取的个数为，，．…………（6分）（2）记（Ⅰ）中选取的个轻度拥堵路段为，选取的个中度拥堵路段为，选取的个严重拥堵路段为，则从个路段选取个路段的可能情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种可能，其中至少有个轻度拥堵的有：，，，，，，，，共种可能. …………（10分）所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为…………（12分）19题（1）因为平面平面ABCE，平面平面，平面所以平面ABCE，又因为平面ABCE，所以，B E ，又，满足，所以A B又，所以平面．…………（6分）（2）在棱上存在点G，使得平面，此时点G为的中点．，由Ⅰ知，平面ABCE，所以，又，所以平面，所以CE为三棱锥的高，且，在中，，G为斜边的中点，所以 ，所以 ．故在棱上存在点G ，使得平面，此时三棱锥的体积为． …………（12分）20题 （1）由题意知，任意一点E 到焦点的距离等于到直线x=-2的距离，由抛物线的定义得抛物线标准方程为所以抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：2x =-；…………………………………(4分)（2）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，由根与系数的关系得：1216y y =-.…………………………………(6分)直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()2222288888888y y xy x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r ,()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=++++u u u r u u u u r()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++，FN FM ∴⊥u u u r u u u u r ，MF NF ∴⊥. …………………………………(12分)21题（1）当e a =时，()e e x t x x =-，'()e e x t x =-，令'()0=t x 则1x = 列表如下：所以()(1)e e 0极小值==-=t x t . …………………………………(4分)（2）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，(1)x ≥1'()e x F x a x=-+，(1)x ≥设1()e xh x a x =-+，2221e 1()e x xx h x x x⋅-'=-=， 由1x ≥得，21,x ≥2e 10->x x ，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞单调递增， 即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，①当10e a +-≥，即1a e ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增，又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有且只有一个实数解.②当10e a +-<，即1a e >+时，由（1）可知e x ex ≥，所以11'()e ,'()0xa a e e F x a ex a F e a x x e e a a =+-≥+-≥⋅+-=>，又11a e e>+ 故00(1,),()0ax F x e '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =，故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1. 又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，'()()2x s x k x e x ==-，()220'=-≥->x s x e e ，故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k >1当时，∴>x '()0，>k x ()k x ∴在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0aa x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x . 又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1. 综上，1a e ≤+. …………………………………(12分)22题 解：（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫⎪⎝⎭，由1sin ρθ=-，得31sin 2θ=-，1sin 2θ=- Q 02θπ≤< ∴76θπ=或116πθ=，所以点M 的极坐标为37,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭或………………… (5分)（2）由题意可设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.MN ====故54πθ=时，MN 的最大值为1.………………… (10分) 23题 （1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥， 当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<， 当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞． ………………… (5分) （2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a ba b a b++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立，∴+a b 的最小值是49． ………………… (10分)。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(文科)(含答案解析)
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数i+1i=()A. −2iB. 0C. 12i D. 2i2.已知集合A={1,3，√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=()A. 0或√3B. 0或3C. 1或√3D. 1或33.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是()A. 12B. 14C. 15D. 1104.已知tanα=−12,π2<α<π，则sinα=()A. 2√55B. −√55C. −2√55D. √555.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？()A. 4.55尺B. 5.45尺C. 4.2尺D. 5.8尺6.若函数y=2sin(2x+φ)的图象过点(π6,1)，则它的一条对称轴方程可能是()A. x=π6B. x=π3C. x=π12D. x=5π127.过圆x2+y2=4外一点M(4,−1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是()A. 4x−y−4=0B. 4x+y−4=0C. 4x+y+4=0D. 4x−y+4=08.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y=f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a+b)<1,则b+1a+1的取值范围是()A. (15,13) B. (−∞,13)∪(5,+∞)C. (13,5) D. (−∞,3)9.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为√3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 4√33B. 4√3 C. 2√33D.2√310. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(2a −b)cosC =ccosB ，则内角C =( )A. π6B. π4C. π3D. π2 11. 正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为( )A. 4πB. 16πC. 16π3D.32π312. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M ，使∠F 1MF 2=60°，且|MF 1|=2|MF 2|，则双曲线离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−6，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则cos <a ⃗ ，b ⃗ >=______．14. 一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数M ，若把M 当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为N ，则MN =______．15. 已知函数f(x)=alnx −bx 2图象上一点(2,f(2))处的切线方程为y =−3x +2ln2+2，则a +b =______．16. 已知F 是抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点，过F 作直线与C 相交于P ，Q 两点，且Q 在第一象限，若2PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线PQ 的斜率是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 等差数列{a n }中，a 1=1，a 6=2a 3．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n ，记S n 为数列{b n }前n 项的和，若S m =62，求m ．18. 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． (1)求出易倒伏玉米茎高的中位数m ；的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，K 3.841 6.635 10.82819. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =120°，PA =2，PB =PC =PD ，E 是PB 的中点． (1)证明：PD//平面AEC ；(2)设F 是线段DC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求三棱锥P −AFE 的体积．20. 设点F 1(−c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2+y 24=1(a >2)的左，右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，直线l ：x =5与x 轴交于点E ，过点F 2且斜率k ≠0的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 2的中点，直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．21. 已知两数f(x)=lnx +kx ．(1)当k =−1时，求函数f(x)的极值点；(2)当k =0时，若f(x)+bx −a ≥0(a,b ∈R)恒成立，求e a−1−b +1的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =√5+√22t(t 为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为ρ=2√5sinθ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P 坐标为(3,√5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 设函数f(x)=|x −1|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：i+1i =i+ii⋅i=i−i=0故选：B．直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简即可求出所求．本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解题的关键i2=−1，属于容易题．2.答案：B解析：解：A∪B=A⇔B⊆A．∴{1,m}⊆{1,3，√m}，∴m=3或m=√m，解得m=0或m=1(与集合中元素的互异性矛盾，舍去)．综上所述，m=0或m=3．故选：B．由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题．3.答案：D解析：解：从中任意取出2本共有10种，取出的书恰好都是数学书有1种，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为110，故选：D．求出总的事件个数，再求出符合题意的事件，求出概率．本题考查概率，属于基础题．4.答案：D解析：解：已知tanα=−12，∴cos2α=11+tan2α=45，∴sin2α=15．又π2<α<π，∴sinα=√55，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，求出cos2α和sin2α的值，再由π2<α<π，求出sinα的值．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题．5.答案：A解析：解：如图，已知AC+AB=10(尺)，BC=3(尺)，AB2−AC2=BC2=9，所以(AB+AC)(AB−AC)=9，解得AB−AC=0.9，因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：A ．由题意可得AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB ，AC ，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 6.答案：B解析：解：∵函数y =2sin(2x +φ)的图象过点(π6,1)，∴1=2sin(2×π6+φ)，∴φ=2kπ+π6或2kπ+5π6(k ∈z)①．又∵对称轴方程为：2x +φ=k′π+π2，∴x =k′π2+π2−φ(k′∈z)②．将①代入②得 x =k′π2−kπ+π3(,k′∈z,k ∈z)．当k′=0，k =0时，x =π3． 故选：B ．由于函数过点(π6,1)，代入函数得φ=2kπ+π6或2kπ+5π6，又可知对称轴方程为x =k′π2+π2−φ，将φ代入对称轴方程，对k ，k′赋值即可得出答案．本题考察三角函数图象和性质，属于中档题． 7.答案：A解析：解：设切点是P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)， 则以P 为切点的切线方程是：x 1x +y 1y =4， 以Q 为切点的切线方程是：x 2x +y 2y =4，∵点M(4,−1)在两条切线上，则4x 1−y 1=4，4x 2−y 2=4 ∴点P 、Q 的坐标满足方程：4x −y =4∴过两切点P 、Q 的直线方程是：4x −y −4=0． 故选：A ．设切点是P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，则以P 为切点的切线方程是：x 1x +y 1y =4，以Q 为切点的切线方程是：x 2x +y 2y =4，由此能求出过两切点P 、Q 的直线方程．本题考查经过两个切点的直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的切线方程的性质的合理运用．8.答案：C解析：解：由图可知，当x >0时，导函数f′(x)>0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f(2a+b)<1，∴0<2a+b<4，∴b<4−2a，由0<b<4−2a，可得0<a<2，画出可行域如图．k=b+1表示点Q(−1,−1)与点P(x,y)连线的斜率，a+1当P点在A(2,0)时，k最小，最小值为：1；3当P点在B(0,4)时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．9.答案：B解析：解：由题意可知，三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，如图所示：，正三角形的边长为2，高为√3，正三棱柱的高为4，×2×√3×4=4√3，所以正三棱柱的体积为：12故选：B．通过三视图复原的几何体的特征，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可．本题主要考查了根据三视图还原实物图，考查了几何体体积的求法，是基础题．10.答案：C解析：解：由正弦定理得：2sinAcosC−sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosC=sin(B+C)=sinA，由于sinA≠0，，故cosC=12又0<C<π，．所以C=π3故选：C．由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sinAcosC=sinA，结合sinA≠0，可求cos C，根据范围0<C<π，可求C的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．11.答案：D解析：解：如图所示，过A作AE⊥平面BCD，垂足为E，则E为三角形BCD的外心，由题意可知，BE=√3，因为侧棱与底面成60°角，即∠ABE=60°，所以AE=3，Rt△OBE中，R2=3+(3−R)2，解可得R=2，则正三棱锥的外接球的体积V=4πR33=32π3．故选：D．由已知及线面角可求BE，AE，然后结合球的性质可求R，结合球体积公式可求．本题主要考查了三棱锥的外接球的体积的求解，解题的关键是球心的确定，属于中档试题．12.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．由双曲线的定义知|MF1|=4a，|MF2|=2a，由余弦定理得c=√3a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵点M在双曲线x2a2−y2b2=1上，且|MF1|=2|MF2|，∴由双曲线的定义知|MF1|=4a，|MF2|=2a，又∵∠F1MF2=60°，∴在△MF1F2中，由余弦定理得：16a2+4a2−2⋅4a⋅2a⋅cos60°=4c2，解得c=√3a，∴e=ca=√3．故选：B．13.答案：12解析：解：根据题意，向量a⃗,b⃗ 满足(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=−6，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2，则有(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−7+2cos<a⃗，b⃗ >=−6，解可得：cos<a⃗，b⃗ >=12；故答案为：12根据题意，由数量积的计算公式可得(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−7+2cos<a⃗，b⃗ >=−6，变形分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 14.答案：1解析：解：全班50个人数学成绩的平均分为正数M ， 把M 当成一个同学的分数，则班中有51名同学，总成绩为51M ， 这51人的平均分为N =51M 51=M ，所以MN =1．故答案为：1．全班50个人的平均分为M ，把M 当成一个同学的分数，则班中有51人，计算这51人的平均值N ，求出M N 的值即可．本题考查了平均数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 15.答案：3解析：解：将x =2代入切线得f(2)=2ln2−4． 所以2ln2−4=aln2−4b①， 又f′(x)=ax −2bx ， ∴f′(2)=a 2−4b =−3②，联立①②解得a =2，b =1． 所以a +b =3． 故答案为：3．将(2,f(2))代入切线求出f(2)，再将切点坐标代入f(x)得方程①，再对原函数求导，进一步求出切点处导数并令其为−3，得方程②，联立①②求出a ，b 即可解决问题．本题考查了导数的几何意义，本题的关键在于利用切点满足曲线与切线方程，切点处的导数等于切线斜率列方程求解，注意计算要准确．属于基础题． 16.答案：2√2解析：解：过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：x =−1的垂线，垂足分别是P 1、Q 1，由抛物线的定义可知，|Q 1Q|=|QF|，|P 1P|=|FP|， 设|PF|=k(k >0)，2PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FQ|=2k ，|PQ|=3k ，又过点Q 作QR ⊥P 1P 于点R ， 则在直角△PRQ 中，|RR|=k ，|PQ|=3k ， |QR|=2√2k ，由∠PQR 与直线QP 的倾斜角相等，则直线PQ 的斜率k =tan∠QPR =2√2， ∴直线PQ 的斜率是2√2， 故答案为：2√2．过点P，Q分别作抛物线的准线l：x=−p的垂线，垂足分别是P1、Q1，由抛物线的|Q1Q|=|QF|定2义可知，|P1P|=|FP|，设|QF|=k(k>0)，则|FP|=2k，在直角△PRQ中求解直线PQ的倾斜角即可求得直线PQ斜率．本题考查抛物线的简单几何性质及抛物线定义的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则a n=1+(n−1)d，∵a6=2a3，∴1+5d=2(1+2d)，解得d=1，∴a n=n，n∈N∗．(2)由(1)知，b n=2n=2⋅2n−1，∴数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，=2n+1−2，∴S n=2−2n+11−2由S m=62，可得2m+1−2=62，解得m=5．解析：本题第(1)题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据等差数列的通项公式代入a6=2a3，可得关于公差d的方程，解出d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，可发现数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式可得S n的表达式，代入S m=62进行计算可得m的值．本题主要考查等差数列和等比数列基本量的计算．考查了转化思想，方程思想，指数的运算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．=190；18.答案：解：(1)m=190+1902(2)抗倒伏易倒伏矮茎154高茎1016(3)由于k2=45×(15×16−4×10)2=7.287>6.635，19×26×25×20因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．解析：(1)根据茎叶图可求易倒伏玉米茎高的中位数；(2)根据茎叶图的数据，即可完成列联表：(3)计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了中位数的求法，考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：(1)证明：连接DB与AC交于O，连接OE，∵ABCD是菱形，∴O为DB的中点，又∵E为PB的中点，∴PD//OE，∵PD⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴PD//平面AEC ；(2)解：取BC 中点M ，连接AM ，PM ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，且PC =PB ，∴BC ⊥AM ，BC ⊥PM ，又AM ∩PM =M ，∴BC ⊥平面APM ，又AP ⊂平面APM ，∴C ⊥PA ．同理可证：DC ⊥PA ，又BC ∩DC =C ，∴PA ⊥平面ABCD ，则平面PAF ⊥平面ABCD ，又平面PAF ∩平面ABCD =AF ，∴点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，过B 作直线AF 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB =2，∵E 为PB 的中点，故点E 到平面PAF 的最大距离为1，此时，F 为DC 的中点，即AF =√3，∴S △PAF =12PA ⋅AF =12×2×√3=√3， ∴V p−AFE =V E−PAF =13×√3×1=√33．解析：(1)连接DB 与AC 交于O ，连接OE ，由三角形中位线定理证明PD//OE ，再由线面平行的判定可得PD//平面AEC ；(2)取BC 中点M ，连接AM ，PM ，证明PA ⊥平面ABCD ，则平面PAF ⊥平面ABCD ，又平面PAF ∩平面ABCD =AF ，可得点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，过B 作直线AF 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB =2，由此可得点E 到平面PAF 的最大距离为1，求得AF ，则三棱锥P −AFE 的体积可求．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −x,−y),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x,−y)，所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−4a 2x 2+4−c 2， 因为a >2，x ∈[−a,a]．所以当x =0时，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 值最小，所以4−c 2=3，解得c =1，(舍负)所以a 2=5，所以椭圆C 的方程为x 25+y 24=1，(2)设直线l 1的方程为y =k(x −1)，k ≠0，联立{y =k(x −1)x 25+y 24=1，得(4+5k 2)x 2−10k 2x +5k 2−20=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=10k 24+5k 2,x 1x 2=5k 2−204+5k 2， 设N(5,y 0)，因为A ，M ，N 三点共线，又M(3,0)所以−y 13−x 1=y 02，解得y 0=2y 1x 1−3．而y 0−y 2=2y 1x 1−3−y 2=2k(x 1−1)x 1−3−k(x 2−1)=3k(x 1+x 2)−kx 1x 2−5kx 1−3=3k⋅10k 24+5k 2−k⋅5k 2−204+5k 2−5k x 1−3=0所以直线BN//x 轴，即BN ⊥l ．解析：(1)设P(x,y)，求出PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，利用最小值，转化求解即可．(2)设直线l 1的方程为y =k(x −1)，k ≠0，联立{y =k(x −1)x 25+y 24=1，得(4+5k 2)x 2−10k 2x +5k 2−20=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，通过韦达定理，设N(5,y 0)，因结合A ，M ，N 三点共线，解得y 0=2y 1x 1−3．计算y 0−y 2=0，即可说明直线BN//x 轴，即BN ⊥l ．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 21.答案：解：(1)f′(x)定义域为(0,+∞)，当k =−1时，f(x)=lnx −x,f′(x)=1x −1， 令f′(x)=0得x =1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)有唯一的极大值点x =1，无极小值点．(2)当k =0时，f(x)+b x −a =lnx +b x −a ．若f(x)+b x −a ≥0,(a,b ∈R)恒成立，则lnx +b x −a ≥0(a,b ∈R)恒成立，所以a ≤lnx +b x 恒成立，令y =lnx +b x ，则y′=x−bx 2，由题意b >0，函数在(0,b)上单调递减，在(b,+∞)上单调递增，所以a ≤lnb +1，所以a −1≤lnb所以e a−1≤b ，所以e a−1−b +1≤1，故e a−1−b +1的最大值为1．解析：(1)把k =−1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系即可求解；(2)由已知不等式恒成立，分离参数a 可得a ≤lnx +b x 恒成立，构造函数，转化为求解相应函数的范围，结合导数可求．本题主要考查了利用导数求解函数的极值，证明不等式，体现了转化思想的应用，属于中档试题．22.答案：解：(Ⅰ)由{x =3−√22t y =√5+√22t得直线l 的普通方程为x +y −3−√5=0--------2分 又由ρ=2√5sinθ得ρ2=2√5ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+(y −√5)2=5；---------5分 (Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t 2−3√2t +4=0 设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3√2又直线l 过点P(3,√5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2.------------------10分．解析：(Ⅰ)先利用两方程相加，消去参数t 即可得到l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程． (Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值． 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．23.答案：解：(1)当a =4时，不等式f(x)≥5，即|x −1|+|x −4|≥5，等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5， 解得：x ≤0或x ≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x ≤0，或x ≥5 }. …(5分)(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|(x −1)−(x −a)|=|a −1|.(当x =1时等号成立)所以：f(x)min =|a −1|.…(8分)由题意得：|a −1|≥4，解得 a ≤−3，或a ≥5. …(10分)解析：(1)不等式即|x −1|+|x −4|≥5，等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|a −1|，由题意可得|a −1|≥4，与偶此解得 a 的值． 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题。
四川省南充市2020-2021学年高二上期期末考试数学(文科)试题
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据特征命题的否定为全称命题，求得结果.
【详解】命题“ ， ”是特称命题，
所以其否定命题：
故答案为
【点睛】本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题.
15.过 作圆 的切线，则其切线方程为____________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
当过点 的直线斜率不存在时，方程是 ，通过验证圆心到直线的距离，得到 符合题意；当过点 的直线斜率存在时，设直线方程为 ，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于 的方程，解之得 ，进而得到直线的方程，最后综合可得答案．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
（1）当过点 的直线垂直于 轴时，
若 且 时，在 轴上的截距为 ,
在 轴上的截距为 ,依题意得, ,得 ,
此时直线 的方程为 ,符合题意.
故直线 的方程为为 或
19.电子商务公司对 名网络购物者在某年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位:万元)都在区间 内，其频率分布直方图如图所示:
（1）求 ;
（2）在这些购物者中，求消费金额在区间 内的购物者的人数.
【答案】
【解析】
【分析】根据茎叶图结合平均数和标准差的定义建立方程关系进行求解即可．
【详解】解： 生产零件的平均数为10，标准差为 ，
，
即 ，则
，
即 ，
则 ， ，解得 ，或 （舍 ，
则 ，
则Байду номын сангаас，
23.某产品的广告费用 (单位:万元)与销售额 (单位:万元)的统计数据如下表:
根据上表可得回归方程 .
（1）求 ;
2020年四川省南充市中考数学二诊试卷及答案解析
2020年四川省南充市中考数学二诊试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（5分）2017年国内生产总值达到827 000亿元，稳居世界第二．将数827 000用科学记数法表示为（）A．82.7×104B．8.27×105C．0.827×106D．8.27×1063．（5分）下列事件属于必然事件的是（）A．经过有交通信号的路口，遇到红灯B．任意买一张电影票，座位号是双号C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落D．三角形中，任意两边之和大于第三边4．（5分）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣的点P应落在（）A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上5．（5分）关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜1且a≠﹣2D．a＞1且a≠2 6．（5分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．﹣4C．7D．﹣77．（5分）在反比例函数y＝﹣图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2 8．（5分）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．9．（5分）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（）A．102°B．112°C．122°D．92°10．（5分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）分解因式：2a2﹣8ab+8b2＝．12．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为．13．（5分）不等式组的解集为14．（5分）如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧的长是．（结果保留π）15．（5分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC 交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．16．（5分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．17．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2t，0），B（0，﹣2t），C（2t，4t）三点，其中t＞0，函数y＝的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△P AB﹣S△PQB＝t，则t的值为．18．（5分）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是．（把所有正确结论的序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：（1）（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°（2）＝+120．（10分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．21．（10分）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D 相距1000m，E在BD的中点处．（1）求景点B，E之间的距离；（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）22．（10分）如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）请直接写出a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积．23．（10分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠P AC ＝∠B．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB＝12，求AC的长．24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC 于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020年四川省南充市中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识．2．（5分）2017年国内生产总值达到827 000亿元，稳居世界第二．将数827 000用科学记数法表示为（）A．82.7×104B．8.27×105C．0.827×106D．8.27×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：827 000＝8.27×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（5分）下列事件属于必然事件的是（）A．经过有交通信号的路口，遇到红灯B．任意买一张电影票，座位号是双号C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落D．三角形中，任意两边之和大于第三边【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【解答】解：A、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件，故选项错误；B、任意买一张电影票，座位号是双号，是随机事件，故选项错误；C、向空中抛一枚硬币，不向地面掉落，是不可能事件，故此选项错误；D、三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件，正确；故选：D．【点评】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（5分）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣的点P应落在（）A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上【分析】根据2＜＜3，得到﹣1＜2﹣＜0，根据数轴与实数的关系解答．【解答】解：2＜＜3，∴﹣1＜2﹣＜0，∴表示数2﹣的点P应落在线段BO上，故选：B．【点评】本题考查的是无理数的估算、实数与数轴，正确估算无理数的大小是解题的关键．5．（5分）关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜1且a≠﹣2D．a＞1且a≠2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【解答】解：分式方程去分母得：x+1＝2x+a，即x＝1﹣a，根据分式方程解为负数，得到1﹣a＜0，且1﹣a≠﹣1，解得：a＞1且a≠2．故选：D．【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．6．（5分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．﹣4C．7D．﹣7【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a＝，即可求点A坐标，代入解析式可求k 的值．【解答】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），∴设点A（a，3）∵S△ABC＝（a﹣1）×3＝2∴a＝∴点A（，3）∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝7故选：C．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．7．（5分）在反比例函数y＝﹣图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．【解答】解：∵A（x1，y1）在反比例函数y＝﹣图象上，x1＜0，∴y1＞0，对于反比例函数y＝﹣，在第二象限，y随x的增大而增大，∵0＜x2＜x3，∴y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．8．（5分）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，进行计算即可．【解答】解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝6，∴CD＝＝3，∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣•3•3＝6π﹣，∴阴影部分的面积为6π﹣．故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠性质．9．（5分）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为（）A．102°B．112°C．122°D．92°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB＝∠BDF＝∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF＝∠DBC＝∠DFC＝20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，由折叠可得∠ADB＝∠BDF，∴∠DBC＝∠BDF，又∵∠DFC＝40°，∴∠DBC＝∠BDF＝∠ADB＝20°，又∵∠ABD＝48°，∴△ABD中，∠A＝180°﹣20°﹣48°＝112°，∴∠E＝∠A＝112°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．10．（5分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a＜﹣c，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B．【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）分解因式：2a2﹣8ab+8b2＝2（a﹣2b）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2﹣4ab+4b2）＝2（a﹣2b）2，故答案为：2（a﹣2b）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（5分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△＝4m2﹣2（1﹣4m）＝4m2+8m﹣2＝0，∴m2+2m＝∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2﹣2m+4＝+4＝故答案为：【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型．13．（5分）不等式组的解集为﹣1＜x＜3【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．14．（5分）如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧的长是．（结果保留π）【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求∠AOB＝110°，根据弧长公式可求劣弧的长．【解答】解：∵∠AOB＝2∠C且∠C＝55°∴∠AOB＝110°根据弧长公式的长＝＝故答案为【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧长公式，关键是熟练运用弧长公式解决问题．15．（5分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC 交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是3﹣3．【分析】先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE ≌△BCE（SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．16．（5分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∵D（5，0），∴OD＝5，∵点P是边AB或边BC上的一点，∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5，∵AD＝3，∴P A＝＝4，∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．17．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（2t，0），B（0，﹣2t），C（2t，4t）三点，其中t＞0，函数y＝的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．若S△P AB﹣S△PQB＝t，则t的值为4．【分析】先根据题意画出，因为函数y＝的图象分别与线段BC，AC交于点P，Q．可确定P和Q在第一象限，根据Q在AC上可得Q的坐标，根据反比例函数和直线BC的解析式列方程可得P的坐标，根据S△P AB﹣S△PQB＝t，列关于t的方程可得结论．【解答】解：如图所示，∵A（2t，0），C（2t，4t），∴AC⊥x轴，当x＝2t时，y＝＝，∴Q（2t，），∵B（0，﹣2t），C（2t，4t），易得直线BC的解析式为：y＝3x﹣2t，则3x﹣2t＝，解得：x1＝t，x2＝﹣t（舍），∴P（t，t），∵S△P AB＝S△BAC﹣S△APC，S△PQB＝S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC，∵S△P AB﹣S△PQB＝t，∴（S△BAC﹣S△APC）﹣（S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC）＝t，S△ABQ+S△PQC﹣S△APC＝+﹣＝t，t＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式及计算图形面积的问题．解题的关键是确定交点P的坐标．18．（5分）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是①②④．（把所有正确结论的序号填在横线上）【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定分析各小题即可；【解答】解：∵∠FGH＝90°，∴∠BGF+∠CGH＝90°．又∵∠CGH+∠CHG＝90°，∴∠BGF＝∠CHG，故①正确．同理可得∠DEH＝∠CHG．∴∠BGF＝∠DEH．又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH，∴△BFG≌△DHE，故②正确．同理可得△AFE≌△CHG．∴AF＝CH．易得△BFG∽△CGH．设GH、EF为a，∴＝．∴＝．∴BF＝．∴AF＝AB﹣BF＝a﹣．∴CH＝AF＝a﹣．在Rt△CGH中，∵CG2+CH2＝GH2，∴32+（a﹣）2＝a2．解得a＝2．∴GH＝2．∴BF＝a﹣＝．在Rt△BFG中，∵cos∠BFG＝＝，∴∠BFG＝30°．∴tan∠BFG＝tan30°＝，故③错误．矩形EFGH的面积＝FG×GH＝2×2＝4，故④正确．故答案为：①②④【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：（1）（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°（2）＝+1【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝4+1+﹣1+1＝5+；（2）去分母得：3x＝2x+3x+3，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握分式方程的解法以及运算法则是解本题的关键．20．（10分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有100人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；（2）用总人数减去A、C、D项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可；（4）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人）；故答案为：100；（2）喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），补图如下：（3）选择“唱歌”的学生有：1200×＝480（人）；（4）根据题意画树形图：共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21．（10分）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D 相距1000m，E在BD的中点处．（1）求景点B，E之间的距离；（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）【分析】（1）根据已知条件得到∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，解直角三角形即可得到结论；（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，求得EF，在Rt△BEF中，求得BF，于是得到结论．【解答】解：（1）由题意得，∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，∵CD＝1000，∴BC＝＝1000，∴BD＝2BC＝2000，∵E在BD的中点处，∴BE＝BD＝1000（米）；（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，EF＝AF＝BE•sin60°＝1000×＝500，在Rt△BEF中，BF＝BE•cos60°＝500，∴AB＝AF﹣BF＝500（﹣1）（米）．【点评】此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．22．（10分）如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）请直接写出a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积．【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；（2）先表示出点C，D坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出k，再判断出BC ⊥AD，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．∴a＝﹣2．∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得，∴，∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．如图1，连接BC、AD．∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC＝2．∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD＝4．∴BC⊥AD．∴S四边形ABDC＝×BC×AD＝×2×4＝4．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键．23．（10分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠P AC ＝∠B．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB＝12，求AC的长．【分析】（1）先判断出∠CAD+∠D＝90°，进而判断出∠CAD+∠P AC＝90°，即可得出结论；（2）先判断出∠B＝∠ACF，进而判断出△ABC∽△ACF，得出比例式即可得出结论．【解答】（1）∵AD是⊙O的直径∴∠ACD＝90°；∴∠CAD+∠D＝90°∵∠P AC＝∠PBA，∠D＝∠PBA，∴∠CAD+∠P AC＝90°，∴∠P AD＝90°，∴P A⊥AD，∵点A在⊙O上，∴P A是⊙O的切线（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAD＝90°，∵∠CAD+∠D＝90°，∴∠D＝∠ACF，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝∠CAF，∴△ABC∽△ACF，∴，∴AC2＝AF•AB∵AF•AB＝12，∴AC2＝12，∴AC＝2．【点评】此题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，判断出∠B＝∠ACF是解本题的关键．24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC 于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）OB＝OC＝3，则：B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）S△COF：S△CDF＝3：2，则S△COF＝S△COD，即：x D＝x F，即可求解；（3）分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）OB＝OC＝3，则：B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）∵S△COF：S△CDF＝3：2，∴S△COF＝S△COD，即：x D＝x F，设：F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，点F在直线BC上，而BC所在的直线表达式为：y＝﹣x+3，则F（3t，3﹣3t），则：直线OF所在的直线表达式为：y＝x＝x，则点D（5t，5﹣5t），把D点坐标代入①，解得：t＝或，则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；（3）①当∠PEB＝2∠OBE时，当BP在x轴上方时，如图2，设BP1交y轴于点E′，∴∠P1BE＝2∠OBE，∴∠E′BO＝∠EBO，又∠E′OB＝∠EBO＝60°，BO＝BO，∴E′BO△≌△EBO（AAS），∴EO＝EO＝，∴点E′（0，），直线BP1过点B、E′，则其直线方程为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝﹣，故点P1的坐标为（﹣，）；当BP在x轴下方时，如图2，过点E作EF∥BE′交BP2于点F，则∠FEB＝∠EBE′，∴∠E′BE＝2∠OBE，∠EBP2＝2∠OBE，∴∠FEB＝∠EBF，∴FE＝BF，直线EF可以看成直线BE′平移而得，其k值为﹣，则其直线表达式为：y＝﹣x﹣，设点F（m，﹣m﹣），过点F作FH⊥y轴交于点H，作BK⊥HF于点K，则点H（0，﹣m﹣），K（3，﹣m﹣），∵EF＝BF，则FE2＝BF2，即：m2+（﹣+m+）2＝（3﹣m）2+（m+）2，解得：m＝，则点F（，﹣），则直线BF的表达式为：y＝x﹣…③，联立①③并解得：x＝﹣或3（舍去3），则点P2（﹣，﹣）；②当∠PBE＝2∠OBE时，当EP在BE上方时，如图3，点E′为图2所求，设BE′交EP3于点F，∵∠EBE′＝2∠OBE，∴∠EBE′＝∠P3EB，∴FE＝BF，由①知，直线BE′的表达式为：y＝﹣x+，设点F（n，﹣n+），K（3，﹣n+），由FE＝BF，同理可得：n＝，故点F（，），则直线EF的表达式为：y＝x﹣…④，联立①④并解得：n＝1或﹣（舍去负值），∴P3（1，4）；当EP在BE下方时，同理可得：x＝（舍去负值），故点P4（，﹣），故点P的坐标为：（1，4）或（﹣，）或（﹣，﹣）或（，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，涉及到三角形相似、勾股定理运用等诸多知识点，是一道难度较大的题目．。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(文科)
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）复数1(i i+= )A ．2i -B ．0C ．12iD ．2i2．（5分）已知集合{1A =，3，}m ，{1B =，}m ，A B A =，则(m = )A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或33．（5分）3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是( ) A ．12B ．14 C ．15D ．1104．（5分）已知1tan ,22πααπ=-<<，则sin (α= )A ．255B ．55-C ．255-D ．555．（5分）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？( )A ．4.55尺B ．5.45尺C ．4.2尺D ．5.8尺6．（5分）若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(6π，1)，则它的一条对称轴方程可能是()A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=7．（5分）过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是()A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=8．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足f （4）1=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x ='的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足()121,1b f a b a ++<+则的取值范围是( )A ．11(,)53B ．1(,)(5,)3-∞+∞C ．1(,5)3D ．(,3)-∞9．（5分）一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为( )A 43B ．43C 23D ．2310．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角(C = ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 11．（5分）正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为()A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π12．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点．若双曲线上存在点M ，使1260F MF ∠=︒，且12||2||MF MF =，则双曲线离心率为( )A 2B 3C ．2D 5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量,a b 满足(2)()6a b a b +-=-，且||1a =，||2b =，则cos a <，b >= ． 14．（5分）一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数M ，若把M 当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为N ，则MN= ． 15．（5分）已知函数2()f x alnx bx =-图象上一点(2，f （2）)处的切线方程为3222y x ln =-++，则a b += ．16．（5分）已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F 作直线与C 相交于P ，Q 两点，且Q 在第一象限，若2PF FQ =，则直线PQ 的斜率是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）等差数列{}n a 中，11a =，632a a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，记n S 为数列{}n b 前n 项的和，若62m S =，求m ．18．（12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． （1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ； （2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，)KK3.841 6.635 10.82819．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120BAD ∠=︒，2PA =，PB PC PD ==，E 是PB 的中点．（1）证明：//PD 平面AEC ；（2）设F 是线段DC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求三棱锥P AFE -的体积．20．（12分）设点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆222:1(2)4x y C a a +=>的左，右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF 的最小值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，直线:5l x =与x 轴交于点E ，过点2F 且斜率0k ≠的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段2EF 的中点，直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN l ⊥．。
2020年四川省南充市高考(文科)数学第二次诊断测试试卷 含解析
2020年高考（文科）数学二诊试卷一、选择题（共12小题）1．复数＝（）A．﹣2i B．0C．D．2i2．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）A．0或B．0或3C．1或D．1或33．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A．B．C．D．4．已知tanα＝﹣＜α＜π，则sinα＝（）A．B．﹣C．﹣D．5．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？（）A．4.55尺B．5.45尺C．4.2尺D．5.8尺6．若函数y＝2sin（2x+φ）的图象过点（，1），则它的一条对称轴方程可能是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝7．过圆x2+y2＝4外一点M（4，﹣1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）A．4x﹣y﹣4＝0B．4x+y﹣4＝0C．4x+y+4＝0D．4x﹣y+4＝0 8．定义在R上的函数f（x）满足f（4）＝1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y＝f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，3）9．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．4C．D．210．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣b）cos C＝c cos B，则内角C ＝（）A．B．C．D．11．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A．4πB．16πC．D．12．设F1，F2分别是双曲线﹣＝1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2＝60°，且|MF1|＝2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题13．已知向量满足（+2）•（﹣）＝﹣6，且||＝1，||＝2，则cos＜，＞＝．14．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数M，若把M当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为N，则＝．15．已知函数f（x）＝alnx﹣bx2图象上一点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3x+2ln2+2，则a+b＝．16．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F作直线与C相交于P，Q两点，且Q在第一象限，若2＝，则直线PQ的斜率是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．等差数列{a n}中，a1＝1，a6＝2a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2，记S n为数列{b n}前n项的和，若S m＝62，求m．18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m；（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏矮茎高茎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：K2＝，P（K2≥K）0.0500.0100.001K 3.841 6.63510.82819．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，PA＝2，PB ＝PC＝PD，E是PB的中点．（1）证明：PD∥平面AEC；（2）设F是线段DC上的动点，当点E到平面PAF距离最大时，求三棱锥P﹣AFE的体积．20．设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：+＝1（a＞2）的左，右焦点，P 为椭圆C上任意一点，且•的最小值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l：x＝5与x轴交于点E，过点F2且斜率k≠0的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF2的中点，直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知两数f（x）＝lnx+kx．（1）当k＝﹣1时，求函数f（x）的极值点；（2）当k＝0时，若f（x）+﹣a≥0（a，b∈R）恒成立，求e a﹣1﹣b+1的最大值．（二）选考题共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）1．复数＝（）A．﹣2i B．0C．D．2i【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简即可求出所求．解：＝i+＝i﹣i＝0故选：B．2．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）A．0或B．0或3C．1或D．1或3【分析】由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．解：A∪B＝A⇔B⊆A．∴{1，m}⊆{1，3，}，∴m＝3或m＝，解得m＝0或m＝1（与集合中元素的互异性矛盾，舍去）．综上所述，m＝0或m＝3．故选：B．3．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出总的事件个数，再求出符合题意的事件，求出概率．解：从中任意取出2本共有10种，取出的书恰好都是数学书有1种，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为，故选：D．4．已知tanα＝﹣＜α＜π，则sinα＝（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求出cos2α和sin2α的值，再由，求出sinα的值．解：已知，∴cos2α＝＝，∴sin2α＝．又，∴sinα＝，故选：D．5．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？（）A．4.55尺B．5.45尺C．4.2尺D．5.8尺【分析】由题意可得AC+AB＝10（尺），BC＝3（尺），运用勾股定理和解方程可得AB，AC，即可得到所求值．解：如图，已知AC+AB＝10（尺），BC＝3（尺），AB2﹣AC2＝BC2＝9，所以（AB+AC）（AB﹣AC）＝9，解得AB﹣AC＝0.9，因此，解得，故折断后的竹干高为4.55尺，故选：A．6．若函数y＝2sin（2x+φ）的图象过点（，1），则它的一条对称轴方程可能是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【分析】由于函数过点（，1），代入函数得φ＝2kπ+或2kπ+，又可知对称轴方程为x＝+﹣φ，将φ代入对称轴方程，对k，k'赋值即可得出答案．解：∵函数y＝2sin（2x+φ）的图象过点（，1），∴1＝2sin（2×+φ），∴φ＝2kπ+或2kπ+（k∈z）①．又∵对称轴方程为：2x+φ＝k'π+，∴x＝+﹣φ（k'∈z）②．将①代入②得x＝﹣kπ+（，k'∈z，k∈z）．当k'＝0，k＝0时，x＝．故选：B．7．过圆x2+y2＝4外一点M（4，﹣1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）A．4x﹣y﹣4＝0B．4x+y﹣4＝0C．4x+y+4＝0D．4x﹣y+4＝0【分析】设切点是P（x1，y1）、Q（x2，y2），则以P为切点的切线方程是：x1x+y1y＝4，以Q为切点的切线方程是：x2x+y2y＝4，由此能求出过两切点P、Q的直线方程．解：设切点是P（x1，y1）、Q（x2，y2），则以P为切点的切线方程是：x1x+y1y＝4，以Q为切点的切线方程是：x2x+y2y＝4，∵点M（4，﹣1）在两条切线上，则4x1﹣y1＝4，4x2﹣y2＝4∴点P、Q的坐标满足方程：4x﹣y＝4∴过两切点P、Q的直线方程是：4x﹣y﹣4＝0．故选：A．8．定义在R上的函数f（x）满足f（4）＝1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y＝f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，3）【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，由0＜b＜4﹣2a，可得0＜a＜2，画出可行域如图．k＝表示点Q（﹣1，﹣1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（2，0）时，k最小，最小值为：；当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选：C．9．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．4C．D．2【分析】通过三视图复原的几何体的特征，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可．解：由题意可知，三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，如图所示：，正三角形的边长为2，高为，正三棱柱的高为4，所以正三棱柱的体积为：，故选：B．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣b）cos C＝c cos B，则内角C ＝（）A．B．C．D．【分析】由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sin A cos C＝sin A，结合sin A ≠0，可求cos C，根据范围0＜C＜π，可求C的值．解：由正弦定理得：2sin A cos C﹣sin B cos C＝sin C cos B，即2sin A cos C＝sin B cos C+sin C cos B，即2sin A cos C＝sin（B+C）＝sin A，由于sin A≠0，故cos C＝，又0＜C＜π，所以C＝．故选：C．11．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A．4πB．16πC．D．【分析】由已知及线面角可求BE，AE，然后结合球的性质可求R，结合球体积公式可求．解：如图所示，过A作AE⊥平面BCD，垂足为E，则E为三角形BCD的外心，由题意可知，BE＝，因为侧棱与底面成60°角，即∠ABE＝60°，所以AE＝3，Rt△OBE中，R2＝3+（3﹣R）2，解可得R＝2，则正三棱锥的外接球的体积V＝＝．故选：D．12．设F1，F2分别是双曲线﹣＝1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2＝60°，且|MF1|＝2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【分析】由双曲线的定义知|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，由余弦定理得c＝，由此能求出双曲线的离心率．解：∵点M在双曲线﹣＝1上，且|MF1|＝2|MF2|，∴由双曲线的定义知|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，又∵∠F1MF2＝60°，∴在△MF1F2中，由余弦定理得16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°＝4c2，解得c＝，∴e＝＝．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量满足（+2）•（﹣）＝﹣6，且||＝1，||＝2，则cos＜，＞＝．【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得（+2）•（﹣）＝2+•﹣22＝﹣7+2cos＜，＞＝﹣6，变形分析可得答案．解：根据题意，向量满足（+2）•（﹣）＝﹣6，且||＝1，||＝2，则有（+2）•（﹣）＝2+•﹣22＝﹣7+2cos＜，＞＝﹣6，解可得：cos＜，＞＝；故答案为：14．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数M，若把M当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为N，则＝1．【分析】全班50个人的平均分为M，把M当成一个同学的分数，则班中有51人，计算这51人的平均值N，求出的值即可．解：全班50个人数学成绩的平均分为正数M，把M当成一个同学的分数，则班中有51名同学，总成绩为51M，这51人的平均分为N＝＝M，所以＝1．故答案为：1．15．已知函数f（x）＝alnx﹣bx2图象上一点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3x+2ln2+2，则a+b＝3．【分析】将（2，f（2））代入切线求出f（2），再将切点坐标代入f（x）得方程①，再对原函数求导，进一步求出切点处导数并令其为﹣3，得方程②，联立①②求出a，b 即可解决问题．解：将x＝2代入切线得f（2）＝2ln2﹣4．所以2ln2﹣4＝aln2﹣4b①，又，∴，联立①②解得a＝2，b＝1．所以a+b＝3．故答案为：3．16．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F作直线与C相交于P，Q两点，且Q在第一象限，若2＝，则直线PQ的斜率是．【分析】过点P，Q分别作抛物线的准线l：x＝﹣的垂线，垂足分别是P1、Q1，由抛物线的|Q1Q|＝|QF|定义可知，|P1P|＝|FP|，设|QF|＝k（k＞0），则|FP|＝2k，在直角△PRQ中求解直线PQ的倾斜角即可求得直线PQ斜率．解：过点P，Q分别作抛物线的准线l：x＝﹣1的垂线，垂足分别是P1、Q1，由抛物线的定义可知，|Q1Q|＝|QF|，|P1P|＝|FP|，设|PF|＝k（k＞0），2＝，则|FQ|＝2k，|PQ|＝3k，又过点Q作QR⊥P1P于点R，则在直角△PRQ中，|RR|＝k，|PQ|＝3k，|QR|＝2k，由∠PQR与直线QP的倾斜角相等，则直线PQ的斜率k＝tan∠QPR＝2，∴直线PQ的斜率是2，故答案为：2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．等差数列{a n}中，a1＝1，a6＝2a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2，记S n为数列{b n}前n项的和，若S m＝62，求m．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据等差数列的通项公式代入a6＝2a3，可得关于公差d的方程，解出d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，可发现数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式可得S n的表达式，代入S m＝62进行计算可得m的值．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝1+（n﹣1）d，∵a6＝2a3，∴1+5d＝2（1+2d），解得d＝1，∴a n＝n，n∈N*．（2）由（1）知，＝2•2n﹣1，∴数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，由S m＝62，可得2m+1﹣2＝62，解得m＝5．18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m；（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏矮茎高茎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：K2＝，P（K2≥K）0.0500.0100.001K 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据茎叶图可求易倒伏玉米茎高的中位数；（2）根据茎叶图的数据，即可完成列联表：（3）计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（1）；（2）抗倒伏易倒伏矮茎154高茎1016（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，PA＝2，PB ＝PC＝PD，E是PB的中点．（1）证明：PD∥平面AEC；（2）设F是线段DC上的动点，当点E到平面PAF距离最大时，求三棱锥P﹣AFE的体积．【分析】（1）连接DB与AC交于O，连接OE，由三角形中位线定理证明PD∥OE，再由线面平行的判定可得PD∥平面AEC；（2）取BC中点M，连接AM，PM，证明PA⊥平面ABCD，则平面PAF⊥平面ABCD，又平面PAF∩平面ABCD＝AF，可得点B到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离，过B作直线AF的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB＝2，由此可得点E到平面PAF的最大距离为1，求得AF，则三棱锥P﹣AFE的体积可求．【解答】（1）证明：连接DB与AC交于O，连接OE，∵ABCD是菱形，∴O为DB的中点，又∵E为PB的中点，∴PD∥OE，∵PD⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴PD∥平面AEC；（2）解：取BC中点M，连接AM，PM，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，且PC＝PB，∴BC⊥AM，BC⊥PM，又AM∩PM＝M，∴BC⊥平面APM，又AP⊂平面APM，∴C⊥PA．同理可证：DC⊥PA，又BC∩DC＝C，∴PA⊥平面ABCD，则平面PAF⊥平面ABCD，又平面PAF∩平面ABCD＝AF，∴点B到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离，过B作直线AF的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB＝2，∵E为PB的中点，故点E到平面PAF的最大距离为1，此时，F为DC的中点，即，∴，∴．20．设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：+＝1（a＞2）的左，右焦点，P 为椭圆C上任意一点，且•的最小值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l：x＝5与x轴交于点E，过点F2且斜率k≠0的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF2的中点，直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．【分析】（1）设P（x，y），求出的表达式，利用最小值，转化求解即可．（2）设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，联立，得（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理，设N（5，y0），因结合A，M，N三点共线，解得．计算y0﹣y2＝0，即可说明直线BN∥x轴，即BN⊥l．解：（1）设P（x，y），则＝（c﹣x，﹣y），所以＝x2+y2﹣c2＝，因为a＞2，x∈[﹣a，a]．所以当x＝0时，值最小，所以4﹣c2＝3，解得c＝1，（舍负）所以a2＝5，所以椭圆C的方程为，（2）设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，联立，得（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，设N（5，y0），因为A，M，N三点共线，又M（3，0）所以，解得．而y0﹣y2＝＝＝＝所以直线BN∥x轴，即BN⊥l．21．已知两数f（x）＝lnx+kx．（1）当k＝﹣1时，求函数f（x）的极值点；（2）当k＝0时，若f（x）+﹣a≥0（a，b∈R）恒成立，求e a﹣1﹣b+1的最大值．【分析】（1）把k＝﹣1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系即可求解；（2）由已知不等式恒成立，分离参数a可得恒成立，构造函数，转化为求解相应函数的范围，结合导数可求．解：（1）f'（x）定义域为（0，+∞），当k＝﹣1时，，令f'（x）＝0得x＝1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）有唯一的极大值点x＝1，无极小值点．（2）当k＝0时，．若恒成立，则恒成立，所以恒成立，令，则，由题意b＞0，函数在（0，b）上单调递减，在（b，+∞）上单调递增，所以a≤lnb+1，所以a﹣1≤lnb所以e a﹣1≤b，所以e a﹣1﹣b+1≤1，故e a﹣1﹣b+1的最大值为1．（二）选考题共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2＝5，即t2﹣3t+4＝0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2＝3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）因为f（x）＝|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得a的值．解：（1）当a＝4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（2）因为f（x）＝|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|＝|a﹣1|．（当x＝1时等号成立）所以：f（x）min＝|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．。
四川省南充高中2020届高三数学(文)第二次月考试卷(含答案)
A． 2 2
B．8
C．9
D．
8．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
高 2017 级 数学（文） 第 1页 共 4 页
A． 3
B． 6
C． 10
D． 15
9．在区间 0，2 上任取两个数，则这两个数之和大于 3 的概率是（ ）
A． 1 8
B． 1 4
C． 7 8
D． 3 4
10．已知函数
A．V1 2V2
B． V1 2V2
C． V1 V2 163
D． V1 V2 173
12．已知函数 f (x) ln x (x b)2 (b R) .若存在 x [ 1 , 2] ，使得 f (x) x f (x) ，则实数 b 的取值
x
2
范围是（ ）
A． (, 2)
B． (, 3) 2
2
2
（1）求 B．
（2）若 b 3 ，求 △ABC 面积的最大值．
18．（12 分）某高校共有学生 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方 法，收集 300 名学生每周平均体育运动时间的样本数据 单位：小时 ．
Ⅰ 应收集多少位女生的样本数据？ Ⅱ 根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分 布直方图 如图所示 ，其中样本数据的分组区间为：[0,2], (2,4] ,(4,6], (6,8], (8,10], (10,12],估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率； Ⅲ 在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列 联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”
2020届四川南充高级中学高二数学(文)下学期月考试题答案
7．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（ ）
A． B．1C． D．2
解：由抛物线定义，|PF|＝xP+1＝2，所以xP＝1，|yP|＝2，
所以，△PFO的面积S＝ |yP|＝ ＝1．
故选：B．
8．已知点A（4，4）在抛物线C：y2＝2px上，O为坐标原点，点P是抛物线C准线上一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（ ）
则x3＜﹣8或x3＞8．
即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．
故选：A．
5．已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A．x＝± B．y＝ C．x＝ D．y＝
解：∵椭圆和双曲线有公共焦点
∴3m2﹣5n2＝2m2+3n2，整理得m2＝8n2，
∴ ＝2
双曲线的渐近线方程为y＝± ＝± x
A． B．
C． D．
解：原方程等价于： ，或x2+y2＝4；其中当x+y﹣1＝0需 有意义，等式才成立，即x2+y2≥4，此时它表示直线x﹣y﹣1＝0上不在圆x2+y2＝4内的部分，这是极易出错的一个环节．
故选：D．
10．平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ）
所以1﹣e2＜e2 （1﹣e2），
所以 ，
解得 ；
故选：C．
二、填空题
13．若复数z＝（1+i）m+（﹣2+i）为纯虚数（i为虚数单位），其中m∈R，则|z|＝3．
解：∵z＝（1+i）m+（﹣2+i）＝（m﹣2）+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，
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四川省南充高中高2017级2020年2月网上考试数学试卷（理）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 在复平面内，复数Z 满足2)1(Z =-i ，则Z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合}|),{(3x y y x A ==，}|),{(x y y x B ==，则B A I 的元素个数是（ ） A. 4B. 3C. 2D. 13. “0)1ln(<+x ”是“022<+x x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知10log 7=a , b=3210log , c=5331，则（ ） A. b>c>aB. a>c>bC. a>b>cD. b>a>c5. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线212222=-b y a x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. x y 3±=B. x y 33±= C.x y 22±= D. x y 2±= 6. 在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a ,,直接求出三角形的面积。
据说这个问题最早由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即))()((c p b p a p p S ---=,其中)(21c b a p ++=.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）在《数学九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是)(41222∆-=a c S ,这个公式中的∆应该是（ ） A. 2)2(c b a ++ B.2b c a -+ C. 2222b a c -+ D. 2cb a ++ 7.当4π=x 时，函数)0)(sin()(>+=A x A x f ϕ取得最小值，则函数)4(x f y -=π是（ ）A. 奇函数且图象关于 2π=x 对称B. 偶函数且图象关于2π=x 对称C. 奇函数且图象关于）（0,2π对称 D. 偶函数且图象关于）（0,2π对称8. 如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 为半圆弧的两个三等分点，则=( ) A. - B. 22-9. 十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两代表团）安排至a 、b 、c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D .1810.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为矩形，且a AD AF ==21，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为（ ） A.66 B.33 C.36 D.2311. 已知O 为坐标原点，抛物线C:x y 82=上一点A 到焦点F 的距离为6，若P 为抛物线C 准线上的一个动点，则AP OP +的最小值为（ ）12. A.4 B. 34 C. 64 D. 36 12. 设函数)(x f 是定义在)2,0(π上的函数，)(x f '是函数)(x f 的导函数，若则1)6(),(.tan )(='<πf x f x x f ,不等式x x f sin 2)(<的解集是（ ） A. )6,0(πB. )21,0(C. )2,6(ππD. )2,21(π二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知样本7,8,9,x,y 的平均数是8，方差是4，则xy=14. 已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g ，其中)(x f 的图象关于直线2=x 对称，)(x g 的图象关于点 （2，-2）中心对称，且33)()(3++=-x x g x f x，则)4(f =15．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东o60的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时_______16.在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为三、解答题（本题共6小题，共70分，请在指定位置写出解答过程） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （1）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.18．（本小题满分12分）高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：9[80,0) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a ，b ，c 成等差数列且2c a =.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X 的分布列和期望值.19．（本小题满分12分）如图，三棱锥D-AB C 中,2,AB AC ==23,BC =3DB DC ==，E ，F 分别为DB ，AB 的中点，且90EFC ︒∠=.（1）求证：平面DAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角D-CE-F 的余弦值.20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线px y C 2:2=的焦点是F ，准线是l .抛物线上任意一点M 到y轴的距离比到准线的距离少2（1）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）已知点()8,8P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A 、B （均与P 不重合），直线PA 、PB 分别交l 于点M 、N 求证：MF NF ⊥.21.(本小题满分12分)已知R m x m xmx x f ∈--+=,ln 1)( (1) 讨论)(x f 的单调区间；(2) 当202e m ≤<时，证明：m x xf x e x -+->1)(2请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分。
22．（本小题满分10分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sin ρθ=-)0,20(><≤ρπθ，M 为该曲线上的任意一点.（1）当32OM =时，求M 点的极坐标； （2）将射线OM 绕原点O 逆时针旋转2π与该曲线相交于点N ，求MN 的最大值.23．（本小题满分10分）已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值.2017级高三寒假月考数学试卷（理）答题卡一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.______________ 14. ______________ 15. ______________ 16. ______________三、解答题（本题共6小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）17.（12分）19. （12分）21.（12分）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题计分．22．23．高2017级月考数学试题（文）参考答案一、 选择题1-5：DBADB 6-10:ACDBC 11-12:CA 二、 填空题13: -2 14: 3 15: 2.5 16: π16 三、解答题17题 解：（1）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=----6312628n n n n a a a a --+=--+ 2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=-32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列………… （5分） （2）由（1）知，322n n n a a -=-，即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-.1S (23)26n n n +∴=-⋅+…………………………………………………………………… ( 10分)2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ，87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.………… ( 12分)18题 （1）由直方图可知：，，．所以这个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个，个，个…………（3分）拥堵路段共有个，按分层抽样从个路段中选出个，每种情况分别为：，，，即这三个级别路段中分别抽取的个数为，，．…………（6分）（2）记（Ⅰ）中选取的个轻度拥堵路段为，选取的个中度拥堵路段为，选取的个严重拥堵路段为，则从个路段选取个路段的可能情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种可能，其中至少有个轻度拥堵的有：，，，，，，，，共种可能. …………（10分）所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为…………（12分）19题（1）因为平面平面ABCE，平面平面，平面所以平面ABCE，又因为平面ABCE ，所以 ， 又，满足，所以A B B E ⊥ ， 又 ，所以 平面． …………（6分）（2）在棱上存在点G ，使得平面， 此时点G 为的中点．， 由Ⅰ知，平面ABCE ，所以 ， 又，所以 平面， 所以CE 为三棱锥的高，且， 在中，，G 为斜边的中点， 所以 ，所以． 故在棱上存在点G ，使得平面， 此时三棱锥的体积为． …………（12分）20题 （1）由题意知，任意一点E 到焦点的距离等于到直线x=-2的距离，由抛物线的定义得抛物线标准方程为所以抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：2x =-；…………………………………(4分)（2）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=， 由根与系数的关系得：1216y y =-.…………………………………(6分)直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()2222288888888y y x y x y y -+=-+=+-，当2x =-时，228168y y y -=+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r , ()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=++++u u u r u u u u r ()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++， FN FM ∴⊥u u u r u u u u r ，MF NF ∴⊥. …………………………………(12分)21题（1）当e a =时，()e e x t x x =-，'()e e x t x =-，令'()0=t x 则1x = 列表如下：所以()(1)e e 0极小值==-=t x t . …………………………………(4分)（2）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，(1)x ≥1'()e x F x a x=-+，(1)x ≥ 设1()e xh x a x =-+，2221e 1()e x x x h x x x ⋅-'=-=， 由1x ≥得，21,x ≥2e 10->x x ，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，①当10e a +-≥，即1a e ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增，又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有且只有一个实数解. ②当10e a +-<，即1a e >+时，由（1）可知e x ex ≥， 所以11'()e ,'()0x a a e e F x a ex a F e a x x e e a a =+-≥+-≥⋅+-=>，又11a e e>+ 故00(1,),()0a x F x e '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =， 故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，'()()2x s x k x e x ==-，()220'=-≥->x s x e e ，故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k > 1当时，∴>x '()0，>k x ()k x ∴在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >， 又0a a x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x .又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.综上，1a e ≤+. …………………………………(12分)22题 解：（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由1sin ρθ=-，得31sin 2θ=-，1sin 2θ=- Q 02θπ≤< ∴76θπ=或116πθ=， 所以点M 的极坐标为37,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭或………………… (5分)（2）由题意可设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭.MN ====故54πθ=时，MN 1.………………… (10分) 23题 （1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥， 当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞． ………………… (5分) （2）由（1）3m =，∴11322a b a b +=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b ++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49． ………………… (10分)。