不等式证明--比较法
不等式证明的基本方法
4． 放缩法是在证明不等式或变形中， 将条件或结论或变换中的 式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到 有的放矢， 注意放缩适度． 放缩法是证明不等式的常用技巧， 有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难 度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)． 【思路分析】 先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法． 综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直 到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”． 分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐 步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合 为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab， 只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x
证明不等式的基本方法
8、已知 f ( x ) x 2 px q ，求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至 少有一个不小于
1
.
2 1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 ， 2 观察： f (1) 1 p q , f (2) 4 2 p q , f (3) 9 3 p q
cd b cd d d dac cd
把以上四个不等式相加 得 abcd abcd abd bca cbd d ac ab cd . 即 ab cd a b c d 1 2 abd bca cba d ac a b c d
利用综合法证明不等式 时 , 应注意对已证 不等式的使用 , 常用的不等式有 : (1)a 2 0; ( 2 ) a 0; ( 3 )a 2 b 2 2 ab ; 它的变形形式又有 ( a b ) 4 ab ;
2
a b
2
2
2
ab 2
2
(4)
ab
2 a b a b 2( ab 0 ); 2( ab 0 ) b a b a
6、已知 x , y 0,且 x y 2, 1 x 1 y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x
1 x 1 y 证明 : 假设 , 都 不 小 于 2, y x
1 x 1 y 即 2, 且 2, y x x , y 0 , 1 x 2 y , 1 y 2 x , 2 x y 2( x y ) x y 2 , 这 与 已 知 条 件 x y 2矛 盾 . 1 x y 与 1 y x 中 至 少 有 一 个 小 于2
证明不等式的基本方法——比较法.pdf
第二讲证明不等式的基本方法课题：第01 课时不等式的证明方法之一：比较法一．教学目标（一）知识目标（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；（2）会用比较法证明不等式,熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据,以及“转化”的数学思想。
（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。
（三）德育目标（1）激发学习的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。
二．教学的重难点及教学设计（一）教学重点不等式证明比较法的基本思想, 用作差、作商达到比较大小的目的（二）教学难点借助与0 或1 比较大小转化的数学思想,证明不等式的依据和用途（三）教学设计要点1. 情境设计用糖水加糖更甜,实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境,激发学生学习动机,通过将实际问题转化为不等式大小的比较,引入新课。
2. 教学内容的处理（1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。
（2）补充一组证明不等式的变式练习。
（3）在作业中补充何时该用作差法,何时用作商法的习题,帮助同学们更好地理解比较法。
3. 教学方法独立探究,合作交流与教师引导相结合。
三．教具准备水杯、水、白糖、调羹、粉笔等四．教学过程( 一) 、新课学习：1. 作差比较法的依据：a b a b 0证明：采用差值比较法：已知a, b, m都是正数,并且 a b,则下面给出证明.a,b证明：注意到要证的不等式关于对称,不妨设当a b 0时, 1,a b 0（, ）1例5. 若a b c 0,求证1．已知a 1. 求证：（1）a2 2a 1;最终比较差与0 的大小关结果与1 的大小关系系。
初中数学知识点：不等式证明的六大方法
马行软地易失蹄，人贪安逸易失志。
对待生命要认真，对待生活要活泼。
以下是为您推荐初中数学知识点：不等式证明的六大方法。
1、比较法：包括比差和比商两种方法。
2、综合法
证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。
3、分析法
证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法
证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的
条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
例谈证明不等式的三种常用方法
考点透视不等式证明问题比较常见，且具有较强的综合性，常与向量、集合、数列、函数等知识相结合.求解此类问题的方法很多，掌握一些常用的证明方法，有助于拓展解题的思路，提升解题的效率.本文主要谈一谈证明不等式的三种常用方法：比较法、换元法、放缩法.一、比较法比较法是证明不等式的常用方法，包括作差比较法和作商比较法.运用比较法证明不等式的步骤为：①根据不等式的结构特点，将不等式左右两边的式子作差或作商；②将差式或商式进行因式分解或配方；③将所得差值与0比较，所得的商式与1比较.比较法的适用范围广，适用于解答大多数不等式证明问题.例1.若集合M ={}|x -1<x <1，试证明：当a ，b ∈M 时，||a +b <||1+ab .证明：由题意可知，将不等式两边的式子平方后相减可得：()a +b 2-()1+ab 2=a 2+2ab +b 2-()1+2ab +a 2b 2=()a 2-1()1-b 2，∵-1<a <1，-1<b <1，∴0≤a 2<1，0≤b 2<1，即a 2-1<0，1-b 2>0，∴()a 2-1()1-b 2<0，()a +b 2<()1+ab 2，∴当a ,b ∈M 时，不等式||a +b <||1+ab 成立.不等式两边的式子均为平方式，很难比较出它们的大小，于是将其两边平方并作差，再将其结果与0比较，即可证明不等式.为了便于比较出差式与0的大小，往往要将差式化简为几个因式的积或完全平方式的形式.例2.已知a >0，b >0，试证明：a b +b a≥a +b .证明:∵aba +b =ab a +b=()a +b ()a -ab +bab ()a+b =+1，当a >0，b >0+1≥-1=1(当a =b 时等号成立)，∵aba +b≥1，∴+≥a +b成立.要证明的不等式中含有根式，需运用作商比较法证明不等式.在化简商式时，需将商式化为最简形式，以便判断该式与1的大小关系，从而证明不等式成立.二、换元法换元法适用于证明变量的个数较多或结构复杂的不等式.运用换元法证明不等式，需先仔细观察已知条件和所要证明不等式的结构，找到条件与所证目标之间的联系；然后根据二者之间的联系，选择合适的式子或某一部分用新变量替换；再化简换元后的不等式，并根据基本不等式、函数单调性、导函数的性质证明不等式成立.例3.若x ∈()0,+∞，试证明：x +1x -≤2-3，证明:令x +=u，∴u=x ≥2,u 2=x +1x +2,∴只需证明u -u 2-1=1u +u 2-1≤2-3，∵u ≥2，函数y =1u +u 2-1单调递减，∴1u +u 2-1≤2-3，∴x 1≤2-3.仔细观察该不等式，可发现x +1x 与x +1x 之间存在一定的联系：æèçx +2=x +1x+2，于是令x =u ，将不等式转化为关于u 且不含有根式的不等式，运用基本不等式即可证明目标不等式成立.例4.若x ,y 满足xy =100，x ≥10，y ≥10，试证明：34≤lg ()y lg x ≤1.证明:设u =lg ()y lg x=lg x lg y ，∵xy =100，∴y =100x，∴u =lg x ()2-lg x ，陈刚34考点透视∵x≥10，y≥10，∴lg x≥12，lg100x≥12，即lg x≤32，可知lg x∈éëùû12，32，令lg x=t，∴u=-()t-12+1，t∈éëùû12，32，∵函数u()t在æèöø12,1上单调递增，在æèöø1，32上单调递减，∴当lg x=1，即x=10,y=10时，u=lg x lg y=1，该值为函数的最大值，当lg x=12或lg x=32时，x=10,y=1010或x=1010,y=10，∴u=lg x lg y=34，该值为函数的最小值，∵u()t∈éëùû34，1，∴34≤lg()y lg x≤1.根据已知条件和对数函数的运算性质将所证目标不等式进行化简、消元，便可将函数式转化为关于lg x的函数式，再令lg x=t，通过换元，将函数式转化为关于t的简单二次函数，根据二次函数的性质和对数函数的值域即可解题.三、放缩法放缩法是证明不等式的常用方法.运用放缩法证明不等式，需仔细观察所要证明的不等式的结构特点，根据切线的几何意义，通过添项或减项，借助基本不等式，利用函数的单调性等对不等式进行适当的放大或缩小.例5.已知a>12，x>1，试证明：ax2-a-ln x>1x-e1-x成立.证明:由题意可得a>1x-e1-x+ln xx2-1，则当x趋近于1时，1x-e1-x+ln xx2-1趋近12，当x趋近于+∞时，1x-e1-x+ln xx2-1趋近0，可知a>12>1x-e1-x+ln xx2-1，只需证明1x-e1-x+ln xx2-1<12在()1,+∞上恒成立，即证明12x2-12-ln x-1x+e1-x>0在()1,+∞上恒成立，设g()x=12x2-12-ln x-1x+e1-x，则g′()x=x-1x+1x2-e1-x=x-e1-x+1-xx2，令h()x=e1-x，x∈()1,+∞，则h′()x=-e1-x<0，函数h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<1，所以g′()x=x-e1-x+1-x x2>x-1+1-x x2=()x-1æèçöø÷1-1x2>0，故函数g()x在()1,+∞上单调递增，则g()x>g()1=0，因为1x-e1-x+ln xx2-1<12在()1,+∞上恒成立，所以当a>12，x>1时，ax2-a-ln x>1x-e1-x.该不等式中含有指数函数式、对数函数式，较为复杂，需先把参数分离，将问题转化为证明12x2-12-ln x-1x+e1-x>0在()1,+∞上恒成立，然后构造函数，利用函数的单调性求得最值，进而证明不等式成立.例6.已知a,b∈R，且a≠b，若a3-b3=a2-b2，求证：1<a+b<43.证明:由a3-b3=a2-b2可得()a-b()a2+ab+b2=()a-b()a+b，因为a≠b，所以a2+ab+b2=a+b，则()a+b2>a2+ab+b2=a+b，由a+b>0可得a+b>1，且ab<14()a+b2，则a+b=()a+b2-ab>()a+b2-æèöøa+b22，即a+b<43,故不等式1<a+b<43成立.将已知关系式进行变形，可发现a2+ab+b2=a+b与基本不等式a2+b2≥2ab之间有联系，于是两次利用基本不等式将代数进行放缩，从而证明结论.在运用基本不等式放缩不等式时，要注意三个前提条件：一正、二定、三相等，尤其要注意等号成立的条件.总之，证明不等式，需仔细观察不等式的结构特征，建立已知条件和所要求证不等式之间的联系，再通过作差、作商、换元、放缩等方式来进行合理的变形、化简.（作者单位：江苏省苏州市昆山经济技术开发区高级中学）35。
证明不等式的基本方法
x2
例7(1)设
y2
1, 求x
y的最大值，
16 9
并求此时的x, y值。 三角换元
（2）设 x, y R，且 x2 y 2 1，
求证：| x2 2xy y 2 | 2 ；
（1）设 x r sin, y r cos,且 | r | 1
证明：∵ a, b 是正数，且 a b ， ∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) ,
只要证 a lg a b lgb b lg a a lgb .
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) = (a b)(lg a lg b)
= (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a3 b3 a2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外，有时还可作商比较.
当且仅当(a b)(b c)≥0 时,等号成立.
四.反证法:
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理, 引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题 成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)
例、已知 f (x) x2 px q，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于2 。
求证:已知a, b, c R+,求证 :书P25页2（2）
证明不等式的基本方法——比较法
证明不等式的基本方法——比较法不等式的基本方法之一是比较法（或称为递推法）。
该方法的主要思想是通过比较不等式两边的表达式来确定它们的大小关系。
在使用比较法证明不等式时，我们通常需要注意以下几点：1.明确不等式的目标：确定我们想要证明的具体不等式。
2.选择合适的比较对象：我们需要找到一个或多个合适的表达式作为比较对象，通常是在已知不等式中出现过的表达式。
3.建立递推关系：通过比较对象与目标表达式的大小关系，建立一种递推关系。
递推关系可以是通过改变不等式两边的表达式，或是通过引入新的变量来推导出来。
4.递归执行递推关系：通过递归执行建立好的递推关系，最终推导出目标不等式的结果。
下面将通过具体的例子来说明比较法的应用。
例1：证明对于任意正整数n，有$n^2>n$。
解：首先明确不等式的目标是$n^2>n$。
可以选择$n-1$作为比较对象，因为$n^2>n$与$n>n-1$是等价的。
建立递推关系：假设$n>1$，则有$(n-1)^2=n^2-2n+1<n^2<n(n-1)$。
递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。
对于$n>2$，可以继续推导出$n^2>n$。
综上所述，对于任意正整数n，有$n^2>n$。
例2：证明对于任意正整数n，有$2^n>n$。
解：首先明确不等式的目标是$2^n>n$。
可以选择$n-1$作为比较对象，因为$2^n>n$与$n>n-1$是等价的。
建立递推关系：假设$n>1$，则有$2^{n-1} = \frac{1}{2^n} <\frac{n}{2}$。
递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。
对于$n>2$，可以继续推导出$2^n>n$。
综上所述，对于任意正整数n，有$2^n>n$。
比较法是一种简单直观的证明不等式的方法。
通过找到合适的比较对象，建立递推关系，并递归执行递推关系，我们可以有效地证明不等式。
数学：不等式证明四法比较法综合法分析法反证法与放缩法
不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。
比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。
作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３） ３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、 （课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b + m > 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3、 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２ 证：（a ５ + b ５ ）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３ （a ２b ２ ）b ３ （a ２b ２） = （a ２b ２ ）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。