高等数学09-10学年第二学期期中试题答案
09-2高数工期中试卷答案
北京工业大学2009─2010学年第二学期《高等数学（信、工）》期中试卷答案学号 姓名 成绩注意：本试卷共6页，12道题。
考试时间95分钟。
考试日期：2010年月5 日一、计算下列各题：本大题共6小题，每小题8分，共48分. 解答应写出主要过程或演算步骤. 1．设 yx ez2=，求 (0,1)dz-。
解：2(0,1)(0,1)20x yzxyex--∂==∂ ， 3分22(0,1)(0,1)0x yz x ey--∂==∂ ， 3分000dz dx dy =⋅+⋅= 。
2分2．设),(x yx f x z = ，其中f 具有连续的二阶偏导数，求xy zxz ∂∂∂∂∂2,。
解：21f xyf x f x z '-'+=∂∂ ， 4分 222122f xyf x y z ''-''=∂∂∂ 。
4分3.求曲面 0)cos(2)sin(=-yz xy ，在点 )3,1,2(ππ处的切平面和法线方程。
解： 曲面在点)3,1,2(ππ处的法向量为 }3,33,0{π=n 即 }3,,0{π=n ，2分 所以，切平面方程为 023=π-+πz y ， 3分法线方程为33102π-=π-=π-z y x 。
3分4.设幂级数∑∞=1n nn xa 的收敛半径为2，对幂级数∑∞=-1)3(n nn x a 而言，A 为其收敛点的集合，B 为其发散点的集合，C 为其尚不能缺定敛散性的点的集合。
试将下列x 的值ee 1,,5,4,3,2,1,0,1,2-- 归入相应的集合。
解： }5,1{,}1,0,1,2{,},4,3,2{=--==C eB e A 。
（ 3，3，2 分）5. 设)(x f 是以π2为周期的函数，且⎪⎩⎪⎨⎧π<<=<<π-π+=x x x x x f 0,10,00,)(，若将)(x f 展开成傅里叶级数，设其和函数为)(x S .(1) 写出)(x S 的表达式.(只写出一个周期里的即可)(2) 求 )2(π-S 及)23(πS . 解： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧π±==+ππ⋃π-∈=x x x x f x S 210)1(21),0()0,()()( 4分)1(21)2(+π=π-S ； 2)2()23(π=π-=πS S 。
安徽省马鞍山二中09-10学年高二下学期期中考试(数学文)word(含答案)1
马鞍山市第二中学2009—2010学年度第二学期期中素质测试高二数学（文科）试题一. 选择题 (每小题4分, 共40分) 1.a =是复数(,)a b a b R i +∈为纯虚数的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.要描述一个工厂某种产品的生产步骤,应用( )A.程序框图B.工序流程图C.知识结构图D.组织结构图3. 一位母亲记录了儿子从3岁到9岁的身高, 数据如下表, 由此建立的身高与年龄的回归模型为7197393...y x =+ 以此模型预测这个孩子10岁时的身高, 则正确的叙述是A.一定是145.83 cm B.在145.83 cm 以上 C. 在145.83 cm 左右 D. 在145.83 cm 以下 4.函数2()f x x x=+的单调递减区间是( ) A. (0,B. [0)C. (0,[0)D. (0,和[0)5. “所有9的倍数 (m) 都是3的倍数 (p) , 某奇数 (s ) 是9的倍数 (m), 故某奇数 (s ) 是3的倍数 (p) . 以上推理是A.小前提错B.结论错C.正确的D.大前提错 6. 如果所有样本点都落在一条直线上, 残差平方和以及解释变量和预报变量间的相关系数分别为 ( ) A.0, 0 B.1, 0 C.0, 1 D.1, 17. 设110a b <<, 则在①22a b >; ②a b +>; ③2ab b <;④22||||a b a b +>+中恒成立的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 阅读 图1的框图，若输入3=m ，则输出=i ( )（参考数值：3log 20106943.≈）A.7B.8C. 9D.109. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，“若2χ的观测值为6.635，我们有99 %的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思是指( )A. 在100个吸烟的人中，必有99个人患肺病B. 有1 %的可能性认为推理出现错误C. 若某人吸烟，则他有99 %的可能性患有肺病D. 若某人患肺病，则99%是因为吸烟 10. 将正整数12分解成两个整数的乘积有: 112,26,34⨯⨯⨯三种, 又34⨯是这三种分解中两数的差最小的, 我们称34⨯为12的最佳分解. 当()p q p q ⨯≤是正整数n 的最佳分解时,我们规定函数().p f n q = 如3(12).4f = 以下有关()pf n q=的说法中, 正确的个数为 ( )①(4)1;f = ② 3(24);8f = ③ 1(27);3f = ④ 若n 是一个质数, 则1();f n n= ⑤ 若n 是一个完全平方数, 则()1;f n = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二. 填空题 (每小题4分, 共20分)11.函数()ln f x x x =的单调递增区间是12. 若2x >, 则245()24x x f x x -+=-的最小值为13. 给出程序框图 (图2)，那么，输出的数是 14. 考察下列一组不等式：3322252525,+>⋅+⋅4433252525,+>⋅+⋅ 4433252525,+>⋅+⋅553223252525,+>⋅+⋅.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 15. 对命题: ① 任意两个确定的复数都不能比较大小; ② 若||1z ≤; 则11z -≤≤; ③ 若22120z z +=,则120z z == ( 以上12,,z z z 是复数 ). 其中错误的是 (只填序号)三. 解答题 (共40分)16 ( 本题满分9分 ). 求过原点与曲线(1)(2)y x x x =--相切的直线方程.17( 本题满分9分 ). 已知0,0.x y >> 用分析法证明: ()()11223323.x yxy +>+18( 本题满分9分 ). 已知函数()1f x x=，问：是否存在这样的正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有|()|f x A <成立？试证明你的结论.19( 本题满分13分 ). 已知函数22()()().xax f x x e a R --∈=（1）当0a ≥时，求()f x 的极值点；（2）设()f x 在 [ - 1 ，1 ] 上是单调函数，求出a 的取值范围.马鞍山市第二中学2009—2010学年度第二学期期中素质测试高二数学（文科）参考答案一. 选择题答案填写表二. 填空题 (每小题4分, 共20分) 11.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12. 1 13.245014.(),0,,,0m n m n m n n m a b a b a b a b a b m n +++>+>≠>（或,0,,,a b a b m n >≠为正整数）注：填252525m n m n m n n m +++>+或是未注明字母的取值范围和关系，均不扣分． 15. ①②③ ( 少一个得2分 )三. 解答题 (每小题10分, 共40分)16. 求过原点与曲线(1)(2)y x x x =--相切的直线方程.解析. 设切点坐标为P （,a b ），2362y x x '=-+ ----------- 2分则有323232330028362b a a aa or ab or b b a a a⎧=-+⎪⇒==⇒==-⎨=-+⎪⎩ ---------- 5分 ∴ P （0,0）或（33,28-） ----------- 7分∴ 所求切线方程为20x y -=或40x y +=. ------------------ 9分17. 已知0,0.x y >> 用分析法证明: ()()11223323.x y xy+>+证明：∵0,0.x y >> ∴要证()()11223323.x y xy+>+只要证 ()()322233x yxy +>+ ------------------ 4分即证 22332x y xy +> （*）∵222223322()()0x y xy x y x y +-=++->∴ （*）成立. 故原不等式成立. -------------------------- 9分18. 已知函数，问：是否存在这样的正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有|()|f x A<成立？试证明你的结论.解析. 不存在正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有|()|f x A <成立.证明：【反证法】 假设存在一个0A >，使得(,0)(0,)x ∈-∞+∞时，|()|f x A <恒成立. 即：1A x<时，恒成立. ------------ 4分 取12xA =，则有1212A A A A<⇒<，这是矛盾不等式.----- 8分故不存在正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有|()|f x A <成立. --- 9分19. 已知函数22()()().xax f x x ea R -=-∈（1）当0a ≥时，求()f x 的极值点；（2）设()f x 在 [ - 1 ，1 ] 上是单调函数，求出a 的取值范围. 解析.（1）令 2()[2(1)2]0xf x e ax a x -'=-++-= (0)a ≥当a =0时，解得：x =1∵ 1,()0;1,()0x f x x f x ''<<>> ∴ x =1时，f （x ）取得极小值；---- 3分 当0a >时，12aax x ==易得：1211a ax x +-++==，从而有下表aa.-- 6分（2）当a =0时，由（1）可知，函数在[-1，1]上单减，符合题意； ---- 8分当0a >时，若函数在[-1，1]上单增，则11a a≥≤- 解得：a φ∈若函数在[-1，1]上单减，则11a a +-≥或11a a++≤-解得：a φ∈当0a <时，1211a a a ax x +-++=>=若函数在[-1，1]1a≤-或1a ≥解得：a φ∈若函数在[-1，1]上单减，则1143101a a a aa a R +-+≥≤--≤<⇒∈⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩解得：[4,0)3a ∈-综合得：[]4,03a ∈-时，函数在[-1，1]上是单减函数. --------------- 13分。
江苏省南京一中09-10学年高一下学期期中考试(数学)
江苏省南京一中09-10学年高一下学期期中考试（数学）一、填空题：（ 共14小题，每小题3分，满分共42分） 1、在等比数列{}n a 中，已知5a =1，9a =16，则公比q = ．2、在△ABC 中，若∠A=30°, AB=2 3 , AC=3, 则△ABC 的面积是 ．3、在正方体ABCD —A1B1C1D1中，AB1与BC 所成的角为 ．4、设2, 2,a x x b x =-=-则a 与b 的大小关系为 ． 5、有以下四个命题： ①三个点确定一个平面；②经过一点和一条直线有且只有一个平面；③四个点中的任意三个点都不共线，则这四个点必不共面；④若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线必在同一个平面内。
其中正确命题的序号是 ．6、不等式220ax bx -+>的解集为{x|1<x<2},则a+b= ． 7、△ABC中，7, a b c ===，则最小内角的大小是 ．8、已知数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+，则其通项公式为=na ．9、等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则2080a a ⋅的值为 ．10、在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列， 则z y x ++的值为 ．11、经过互相平行的两条直线中的一条，作平面与另一条平行，这样的平面可以作 个12、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望 C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 海里.13、已知不等式3x2+kx+2kx2+x+2>2对一切实数x 都成立,则k 的取值范围是 ．14、若0,0>>y x ，且,12=+y x 则y x 11+的最小值为 ．二、解答题：（共六小题，满分共58分，要求写出必要的计算和推理过程）15、（本题满分8分）求函数21()2x x 31f x x =+--+.16、（本题满分8分）设nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知4,184==S S ,求13141516a a a a +++的值.17、（本题满分10分）已知2x >，求函数632y x x =+-的最小值，并指出取最小值时x 对应的值。
高数期中试题及解答
⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。
2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。
6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
09~10学年第二学期《高等数学2》经管类期中考试试题B (1)
上 海 商 学 院2009 ~ 2010 学年第二学期《高等数学》期中考试试卷B 卷（闭卷）适用年级：2009级 适用专业：经管类本科考试时间： 90 分钟（考试不能使用计算器）院系 班级 学号 姓名一、单项选择题：（每小题2分，共10分） 1、下列平面中，平行于x 轴的平面是（ ）。
(A) 032=++z y x (B) 042=++y x (C) 0432=++z y (D) 043=++z z 2、点()5,3,2--关于xoy 平面的对称点为（ ）。
(A) ()5,3,2--- (B) ()5,3,2- (C) ()5,3,2- (D) ()5,3,2-- 3、 可微函数()y x f z ,=在()00,y x 处取得极小值，则下列说法正确的是（ ） (A) ()y x f ,0在0y y =处的导数等于0； (B) ()y x f ,0在0y y =处的导数大于0； (C) ()y x f ,0在0y y =处的导数小于0； (D) ()y x f ,0在0y y =处的导数不存在。
4、点（ ）不是函数xy y x y x z 22244---+=的驻点(A) ()0,1 (B) ()1,1- (C) ()0,0 (D) ()1,15、二次积分()()dx y x f dy dx y x f dy yy ⎰⎰⎰⎰-+2021010,,变换积分次序后等于（ ）(A) ()dy y x f dx x⎰⎰-2010, (B) ()dy y x f dx xx ⎰⎰-210, (C)()dy y x f dx x⎰⎰-202, (D)()dy y x f dx x⎰⎰-212,二、填空题：（每小题2分，共16分）1、已知一球面方程为032222=-+++z z y x ，则该球面的中心为 ，半径为2、二元函数y x z -=的定义域是3、已知22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()=y x f , 4、极限=→→y xyy x sin lim5、函数()12,22-+=y x xyy x f 的间断点是6、已知22y x y x z +-+=，则()=∂∂4,3x z7、交换积分次序()=⎰⎰dx y x f dy y211,8、将二次积分()rdr r r f d ⎰⎰2010sin ,cos πθθθ化为直角坐标系下的二次积分三、计算题（每小题7分，共56分） 1、设xy y x z 232-+=，求()2,1dz2、已知()y x x z +=sin ，求二阶偏导数3、设vu ez 2-=，y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂，yz ∂∂4、设x y x y arctan 2=，求dxdy5、设()y x e e z +=ln ，3x y =，求dxdz6、求函数()2069,22+-+-+=y x xy y x y x f 的极值7、计算二重积分σd xy D⎰⎰2，其中D 是由x y 42=，及1=x 所围成的闭区域8、计算二重积分()σd e Dy x ⎰⎰+-22，其中D 为圆域222R y x ≤+四、解答题（每小题9分，共18分）1、计算由曲面y x z ++=1，0=z ，1=+y x ，0=x ，0=y 所围成的立体的体积。
西南交通大学期末真题及答案09-10高等数学IIA卷解答
班 级 学 号 姓 名9．()(3)xyLy e dx x e dy -++=⎰ 2ab π ．其中L 是椭圆22221x y a b +=的正向．三、计算题（每小题8分，共64分）10．已知函数ln(u x =,曲线23:x ty t z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩.求(1) 曲线Γ在点(1,1,1)处切线方向的单位向量(沿t 增加方向);(2) 函数ln(u x =在点(1,0,0)处沿(1)所指方向的方向导数的值．解：(1) 切线方向 {}{}211,2,31,2,3t t t == ………………………………2’}1,2,3 …………………………………….4’ (2)ργρβραρρ)cos ,cos ,cos 1(lim 0+=∂∂→u l u ………………….…….….6’ 14131+=…………………………………………….………….8’ 11. 设 sin()0x y e x z ++= 计算,z z x y∂∂∂∂. 解：令(,,)sin()x y F x y z e x z +=+ ………………………….1’(,,)sin()cos()x y x y x F x y z e x z e x z ++=+++ (,,)sin()x y y F x y z e x z +=+ (,,)cos()x y z F x y z e x z +=+..4’1tan()x zF zx z x F ∂=-=--+∂ ………………………….6’tan()zx z y∂=-+∂ ………………………….8’ 12．计算二重积分66cos yxdy dx xππ⎰⎰. 解：66600cos cos x yx x dy dx dx dy x xπππ=⎰⎰⎰⎰ ……………………4’60cos xdx π=⎰601cos 2xdx π==⎰…………………………8’ 13计算三重积分 I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰．其中Ω由锥面z =与平面1z =所围成的区域.解：2221x y zI zdxdydz dzzdxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………….4’1304z dz ππ==⎰ ………………8’或解2211x y I zdxdydz dxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰ …………………..4’()22221112x y x y dxdy +≤=--⎰⎰4π= ………………….8’ 14．设Γ是曲线2222x y z a x y z⎧++=⎨++=⎩,计算 22()x y ds Γ+⎰． 解： 222222()()3x y ds x y z ds ΓΓ+=++⎰⎰ …………………4’ =223a ds Γ⎰ ………………….6’=343a π ………………….8’15．计算32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑++⎰⎰，∑为抛物面224z x y =--被平面0z =所截下的部分的下侧.解；作曲面221:0,:4xy z D x y ∑=+≤，朝上。
南京一中09-10学年高一下学期期中考试(数学)
南京一中2009～2010学年度第二学期期中试卷高一数学一、填空题：（ 共14小题，每小题3分，满分共42分）1、在等比数列{}n a 中，已知5a =1，9a =16，则公比q = ．2、在△ABC 中，若∠A=30°, AB=2 3 , AC=3, 则△ABC 的面积是 ．3、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB 1与BC 所成的角为 ．4、设2, 2,a x x b x =-=-则a 与b 的大小关系为 ． 5、有以下四个命题：①三个点确定一个平面；②经过一点和一条直线有且只有一个平面；③四个点中的任意三个点都不共线，则这四个点必不共面；④若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线必在同一个平面内。
其中正确命题的序号是 ．6、不等式220ax bx -+>的解集为{x |1<x <2},则a +b = ． 7、△ABC中，7, a b c ===，则最小内角的大小是 ．8、已知数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+，则其通项公式为=n a ．9、等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则2080a a ⋅的值为 ． 10、在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列， 则z y x ++的值为 ．11、经过互相平行的两条直线中的一条，作平面与另一条平行，这样的平面可以作 个 12、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 海里.13、已知不等式3x 2+kx +2kx 2+x +2>2对一切实数x 都成立,则k 的取值范围是 ．14、若0,0>>y x ，且,12=+y x 则yx 11+的最小值为 ． 二、解答题：（共六小题，满分共58分，要求写出必要的计算和推理过程）15、（本题满分8分）求函数1()1f x x =-. 16、（本题满分8分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知4,184==S S , 求13141516a a a a +++的值.17、（本题满分10分）已知2x >，求函数632y x x =+-的最小值，并指出取最小值时x 对应的值。
高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)
卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。
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09-10学年第二学期高等数学期中考试参考答案
一．填空
1. yxd21d41； 2. uyxufcos2； 3. 2112ffx；
4. z； 5. 35； 6. 0543zyx；
7. yyxfyxfy1224221dddd；8. xyxzfyx01010ddd或xyyzfxy01010ddd；
9. ； 10. 21； 11. 12； 12. ji。
二．选择
1. C； 2. B； 3. D； 4. A； 5. D； 6. D。
三．
解：问题为求4315yxz在条件122yx的约束下的最小距离点。
设1431522yxyxF………………………………2分
则10452035222yxyFxFxx……………………………………………… 5分
可解得：54x，53y，……………………………………… 7分
而123553,54z，128553,54z
故，所求点为1235,53,54…………………………………………… 9分
四．
解：由题意，有 2222244yxyxyP；2222244yxyxxQ，
故，当0422yx时，有xQyP ……………………………………2分
而L所围的区域包含0,0点，故不能直接用格林公式，
做tytxLsin2cos1，取顺时针方向，0充分小。……………… 4分
则由L和1L围成的区域*D不包含原点，则由格林公式有
0dd4dd1*22LLDyx
yPxQyx
yxxy
…………………………… 7分
故022d4cos2cossinsin21tttttLL…10分
五．
解：所求即为yxzxxzyzxzyzxIdddddd2223，其中为
22
2yxz
，21z的上侧。……………………………………2分
补平面1:1z，方向向下，则1成封闭曲面，此积分满足高斯公式条
件，则：0d232221vzxzxzx…………………………4分
而1103220222214dcosddd1yxyxx…………8分
故41 …………………………………………………………9分