二次函数的图像和性质的应用提高学案

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；
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2、若关于 的函数
与 轴仅有一个公共点，则实数 的值为
.
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课程小结
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二次函数的图像和性质的应用提高
适用学科 适用区域 知识点 学习目标 学习重点 学习难点
初中数学 广东省
适用年级 课时时长（分钟）
九年级 60
二次函数的基本概念及性质，函数的最值，函数的开口及单调性 理解二次函数的基本性质，及函数解析式的基本求法 二次函数的最值及图像 二次函数的最值及图像
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学习过程
（5）一次函数
的图像 与二次函数 与
的图像
的交点，由方程组 与 只有一个交点；
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 ③方程组无解时 与 没有交点.
有两个交点; ②方程组只有一组解时
（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 程 的两个根，故
与 轴两交点为
，由于
、
是方
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二、知识讲解
考点 1 ： 确定 a、b、c 的+c 与 y=x 的图象如图所示，有以下结论： ①b ﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当 1＜x＜3 时，x +（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（ ）
2 2
2
A．1
B．2
C．3
D．4
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【巩固】 1，小轩从如图所示的二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤ 你认为其中正确信息的个数有（ ） ．
2
2
【总结与反思】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确 定函数解析式可以使计算更加简便．
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考点 3 抛物线的平移
例 3 把抛物线 y=(x+1)2 向下平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，所得到的抛物线是( (A)y=(x+2)2+2 (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2 )．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
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考点 6：能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数 y 值随 x 值的变化而变化情况
抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数 y 值随 x 值的 增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数 y 值随 x 值的增大而减小．
的对称轴是直线
，故：①
时， 对
称轴为 轴；②
（即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ 与 轴交点的位置.
（即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.
（3） 的大小决定抛物线 当 时， ， ∴抛物线
与 轴有且只有一个交点 （0， ） ： ①
， 抛物线经过原点; ②
,
与 轴交于正半轴；③
,与 轴交于负半轴.
3
根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 抛物线与 轴相交； 抛物线与 轴相切；
4
②有一个交点（顶点在 轴上）
③没有交点
抛物线与 轴相离.
（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标 是 的两个实数根.
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考点 2 ：确定 a+b+c 的符号
当 x=1 时，y=a+b+c，由图像 y 的值确定 a+b+c 的符号．与之类似的还经常出现判断 4a+2b+c 的符号（易知 x=2 时， y=4a+2b+c），由图像 y 的值确定 4a+2b+c 的符号．还有判断 a－b+c 的符号（x=－1 时，y=a－b+c）等等．
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线 的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线 中， 的作用 中的 完全一样.
（1） 决定开口方向及开口大小，这与
（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
二次函数：y=ax2+bx+c （a,b,c 是常数，且 a≠0） a＞0 开口向上，a＜0 开口向下．抛物线的对称轴为 x= 图像确定
b ， 由 2a
b 的正负，由 a 的符号确定出 b 的符号．由 x=0 时,y=c，知 c 的符号取决于图像与 y 轴的交点纵坐标，与 y 2a
轴交点在 y 轴的正半轴时，c＞0，与 y 轴交点在 y 轴的负半轴时，c＜0．确定了 a、b、c 的符号，易确定 abc 的符号．
【总结与反思】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将 x=1，﹣1，2 代入函数解析式判断 y 的值是解题关 键．
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考点 2 二次函数图象与几何变换
例 2 把抛物线 A． B． 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为（ C． D． ）
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【规范解答】抛物线 y= x ﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1）， ∵向右平移一个单位，再向下平移 2 个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）， ∴得到的抛物线的解析式为 y= （x﹣1） ﹣3． 故选 B．
2 2 2 2 2 2
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三、例题精析
考点 1 二次函数图象与系数的关系
例 1 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0， 错误的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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【规范解答】①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴 x=﹣
＜0，故 b＞0，所以 2a﹣b＜0，①正确；
②∵a＜0，对称轴在 y 轴左侧，a，b 同号，图象与 y 轴交于负半轴，则 c＜0，故 abc＜0；②正确； ③当 x=1 时，y=a+b+c＜0，③正确； ④当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0，④错误； ⑤当 x=2 时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误； 故错误的有 2 个． 故选：B．
一、复习预习
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数
用配方法可化成：
的形式，其中
.
3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① 的符号决定抛物线的开口方向：当 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 轴（或重合）的直线记作 x a (a为常数) .特别地， 轴记作直线 . 时，开口向上；当 时，开口向下；
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考点 7：二次函数解析式的几种形式．
(1)一般式：y＝ax +bx+c (a,b,c 为常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h) +k(a,h,k 为常数，a≠0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0 时，抛物线 y＝ax +k 的顶点在 y 轴上；当 k＝0 时，抛物线 y＝a(x-h) 的顶点在 x 轴上；当 h＝0 且 k＝0 时，抛物线 y＝ax 的顶点在原点. (3)两根式： y＝a(x-x1)(x-x2)，其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程 ax +bx+c＝0（a≠0）的两个根. 求解析 式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与 x 轴的两个交点 的横坐标时设成两根式．
4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相 同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：
，∴顶点是
，对称轴是直线
.
2
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 线 .
的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直
2
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
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2、已知整数 k＜5，若△ABC 的边长均满足关于 x 的方程
，则△ABC 的周长是
。
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【拔高】 1、二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则 m+n＜ ④3|a|+|c|＜2|b|。其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 7.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：
.
.已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：
.
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 8.直线与抛物线的交点 （1） 轴与抛物线 （2）与 轴平行的直线 （3）抛物线与 轴的交点 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数 得交点为(0, 与抛物线 ). 有且只有一个交点( , ). 、 ，通常选用交点式： .
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【规范解答】根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选 D．
【总结与反思】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（-1，0） —→（0，－2）.